2.5: Вібраційна мембрана
- Page ID
- 27024
- Застосовувати хвильові рівняння до двовимірної мембрани (прямокутники та кола)
- Розпізнати можливі геометрії вузлів у двовимірних системах
Поки що ми дивилися на хвилі в одному вимірі, подорожуючи по струні або звукові хвилі, що спускаються по вузькій трубці. Однак хвилі у вищих розмірах, ніж один, дуже знайомі - водні хвилі на поверхні ставка або звукові хвилі, що виходять з джерела в трьох вимірах. Приємно виявити, що ці хвилі у вищих вимірах задовольняють хвильові рівняння, які є дуже природним продовженням того, який ми знайшли для рядка, і - дуже важливе - вони також задовольняють Принцип суперпозиції, іншими словами, якщо хвилі зустрічаються, ви просто додаєте внесок від кожної хвилі. У наступних двох абзацах ми заглибимося більш детально, але цей Принцип суперпозиції є вирішальним уроком.
Хвильове рівняння та суперпозиція у більшій кількості вимірів
Що відбувається у вищих вимірах? Розглянемо два виміри, наприклад хвилі в еластичному аркуші на зразок барабанної головки. Якщо інше положення для еластичного аркуша - це площина (\(x\),\(y\)), тому, коли вона вібрує, вона рухається вгору і вниз у напрямку z, його конфігурація в будь-який момент часу є функцією. \(u(x,y,t)\)
Насправді, ми могли б зробити те ж саме, що ми зробили для рядка, дивлячись на загальні сили трохи і застосовуючи Другий закон Ньютона. У цьому випадку це означало б взяти одну маленьку частину барабанної головки, і замість невеликого натягу струни з натягом, що тягне два кінці, у нас буде невеликий квадрат еластичного листа, з натягом тягне все навколо краю. Пам'ятайте, що чиста сила на біті струни виникла через те, що струна вигиналася навколо, тому напруження на протилежних кінцях перетягували в дещо різні боки, і не скасовували. \(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)Термін вимірював цю кривизну, швидкість зміни ухилу. У двох вимірах, думаючи про невеликий квадрат еластичного простирадла, справи йдуть складніше. Візуалізуйте шматочок аркуша, щоб він був на мить, як крихітний патч на повітряній кулі, ви побачите його криві в двох напрямках, і сили натягу повинні бути перетягнутими по краях. Загальна сила на маленькому квадраті виникає через те, що сили натягу на протилежних сторонам поза лінією, якщо поверхня вигинається навколо, тепер ми повинні додати два набори майже протилежних сил з двох пар сторін. Математика зараз показана тут, але принаймні правдоподібно, що рівняння:
\[ \dfrac{ \partial^2 u(x,y,t)}{\partial x^2} + \dfrac{ \partial^2 u(x,y,t)}{\partial y^2} = \dfrac{1}{v^2} \dfrac{ \partial^2 u(x,y,t)}{\partial t^2} \label{2.5.1} \]
Фізика цього рівняння полягає в тому, що прискорення крихітного біта аркуша походить від неврівноваженої напруги, спричиненої вигином аркуша в обох напрямках x - і y, тому є два члени на лівій стороні.
І перейти до трьох вимірів легко: додайте ще один термін, щоб дати
\[ \dfrac{ \partial^2 u(x,y,,z,t)}{\partial x^2} + \dfrac{ \partial^2 u(x,y,z,t)}{\partial y^2} + \dfrac{ \partial^2 u(x,y,z,t)}{\partial z^2} = \dfrac{1}{v^2} \dfrac{ \partial^2 u(x,y,z,t)}{\partial t^2} \label{2.5.2} \]
Ця сума частинних диференціацій у просторі настільки поширена у фізиці, що існує стенографія:
\[ \nabla^2 = \left( \dfrac{ \partial^2}{\partial x^2}, \dfrac{ \partial^2}{\partial y^2}, \dfrac{ \partial^2}{\partial z^2} \right) \label{2.5.4} \]
так рівняння\ ref {2.5.2} можна легше записати як
\[ \nabla^2 u(x,y,z,t) = \dfrac{1}{v^2} \dfrac{\partial^2 u(x,y,z,t)}{\partial t^2} \label{2.5.3} \]
Так само, як ми знайшли в одному вимірі біжать гармонійні хвилі (без граничних умов)
\[u(x,t) = A \sin (kx -\omega t) \label{2.5.5} \]
з\(\omega=\nu k \), ви можете перевірити, що тривимірне рівняння має гармонічні розв'язки
\[u(x,y,z,t) = A \sin (k_x x +k_x +k_z z -\omega t) \label{2.5.6} \]
з\(\omega = \nu |\vec{k|}\) де\(|k| = \sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2}\)
\(\vec{k}\)вектор в напрямку руху хвилі. Електричне і магнітне поля в радіохвилі або світловій хвилі мають саме таку форму (або, ближче до джерела, дуже схоже еквівалентний вираз для вихідних сфер хвиль, а не плоских хвиль).
Важливо розуміти, що 2D хвильове рівняння (Equation\ ref {2.5.1}) все ще є лінійним рівнянням, тому Принцип суперпозиції все ще тримається. Якщо дві хвилі на пружному аркуші, або поверхні водойми, зустрічаються один з одним, результат в будь-якій точці дається простим складанням зсувів від окремих хвиль. Ми почнемо з думки про хвилі, що вільно поширюються в двох і трьох вимірах, ніж пізніше розглянемо хвилі в обмежених зонах, таких як головка барабана.
Коливальні режими прямокутної мембрани
Одновимірна хвиля не має вибору в тому, як вона поширюється: вона просто рухається уздовж лінії (ну, вона може частково відбитися деякою зміною лінії, а частина її йде назад). Однак, коли ми переходимо до вищих вимірів, як поширюється хвилеве збудження, що починається в якомусь локалізованому регіоні, далеко не очевидно. Але ми можемо почати з згадки деяких простих випадків: падіння камінчика в негазовану воду викликає назовні рухається коло брижі. Якщо ми надамо, що світло - це хвиля, ми помічаємо, що промінь світла змінює напрямок руху від повітря до скла. Звичайно, не відразу видно, що світло - це хвиля: про це ми поговоримо трохи пізніше. Нижче наведено кілька розв'язків (як тимчасових, так і просторових) разом з їх квантовими числами (\(n_x\)і\(n_y\)).
Рішення для функції\(u(x,y,t)\) в вібраційній прямокутній мембрані проводиться аналогічним чином шляхом поділу змінних та встановлення граничних умов. Вирішена функція дуже схожа, де
\[u(x,y,t) = A_{nm} \cos(\omega_{nm} t + \phi_{nm}) \sin \left(\dfrac {n_x \pi x}{a}\right) \sin\left(\dfrac {n_y\pi y}{b}\right) \label{2.5.6b} \]
де
- \(a\)довжина прямокутної мембрани і\(b\) є шириною, і
- \(n_x\)і\(n_y\) є двома квантовими числами (по одному в кожному вимірі).
Як і у випадку з розв'язками 1-D хвильових рівнянь, вузол - це точка (або лінія) на конструкції, яка не рухається, поки решта конструкції вібрує.
Для наступних двовимірних рішень на рисунку Template:index, скільки вузлів існує, яка геометрія і як би ви їх охарактеризували?
- (\(n_x=1\),\(n_y=1\)
- (\(n_x=2\),\(n_y=1\)
Рішення
a. (\(n_x=1\),\(n_y=1\) рішення на рис. Template:index має нульові вузли. Тобто жодна пляма в мембрані (крім кордонів) не рухається під час руху мембрани.
b. (\(n_x=2\),\(n_y=1\) рішення на рисунку Template:index має один вузол. Це лінія на половину довжини напрямку x і простягається по всій довжині напрямку y.
Для (\(n_x=2\),\(n_y=2\) рішення прямокутної мембрани на рис. Template:index: скільки вузлів існує, яка геометрія і як би ви їх охарактеризували?
- Відповідь
-
Є два вузли. Вони є лініями і одна знаходиться на половині довжини напрямку x і простягається по всій довжині напрямку y і один, якщо і один - на половину довжини напрямку y і поширюється на всю довжину напрямку x.
Коливальні режими кругової мембрани
Основні принципи вібраційної прямокутної мембрани поширюються на інші 2-D елементи, включаючи круглі мембрани. Однак математика і рішення трохи складніше. Розв'язки найкраще представлені полярними позначеннями (замість прямокутних, як у Equation\ ref {2.5.6b}) і мають наступний функціональний вигляд
\[u(r, \theta, t)=J_{m}\left(\lambda_{m n} r\right) \cos m \theta \cos c \lambda_{m n} t \nonumber \]
де\(J_m\) - функції Бесселя (це коливальні функції) і\(\lambda\) є константами. Ця система має два квантових числа (\(m\)і\(n\)), які виконують ту ж функцію, що\(n_x\) і\(n_y\) роблять у прямокутних мембранах. У анімаціях на малюнку Template:index вузлові діаметри та кола відображаються як білі області, які не коливаються, тоді як червоні та сині області вказують на позитивні та негативні зсуви.
Рисунок Template:index (ліворуч) показує основну форму режиму вібраційної кругової мембрани, тоді як інші два режими є збудженими режимами з більш складним вузловим характером.
Скільки вузлів у трьох розв'язках кругової мембрани на малюнку Template:index, які їх геометрії та як би ви їх охарактеризували?
- Відповідь
-
(ліворуч) нульові вузли
(Середній) два вузла. Вони кругові приблизно на 1/3 і 2/3 радіуса (це радіальні вузли = при фіксованих радіусах)
(праворуч) чотири вузли. Вони являють собою лінії під кутом 45° від центру (це кутові вузли = під фіксованими кутами).
Дописувач
- Template:ContribFowler
- Delmar Larsen