1.E: Світанок квантової теорії (вправи)

Рішення для вибору питань можна знайти в Інтернеті.

1.1A

Натрій метал має порогову частоту\(4.40 × 10^{14}\) Гц. Яка кінетична енергія фотоелектрона, викинутого з поверхні шматка натрію, коли викидає фотон дорівнює\(6.20 × 10^{14}\) Гц? Яка швидкість цього фотоелектрона? З якої області електромагнітного спектра знаходиться цей фотон?

1.1 Б

Що таке найбільш довгохвильове електромагнітне випромінювання, яке може викинути фотоелектрон зі срібла, враховуючи, що робоча функція становить 4,73 еВ? Чи є це у видимому діапазоні?

Рішення

263 нм

1.1C

Знайдіть найбільш довгохвильовий фотон, який може викинути електрон з калію, враховуючи, що робоча функція становить 2,24 еВ. Це видиме електромагнітне випромінювання?

1.1C

Яка робоча функція в еВ електронів в магнії, якщо найбільш довгохвильовий фотон, який може викидати електрони, становить 337 нм?

Рішення

3.69 еВ

1.1Д

Обчисліть робочу функцію в еВ електронів в алюмінії, якщо найбільш довгохвильовий фотон, який може викинути електромагнітний, дорівнює 304 нм.

1.1E

Яка максимальна кінетична енергія в еВ електронів, викинутих з металу натрію 450-нм електромагнітним випромінюванням, враховуючи, що робоча функція дорівнює 2,28 еВ?

Рішення

0,483 еВ

1.1Ф

УФ випромінювання, що має довжину хвилі 120 нм, потрапляє на золотий метал, до якого електрони пов'язані 4,82 еВ. Яка максимальна кінетична енергія викидаються фотоелектронів?

1,1 Г

Фіолетове світло довжиною хвилі 400 нм викидає електрони з максимальною кінетичною енергією 0,860 еВ з металу натрію. Яка робоча функція електронів до металу натрію?

Рішення

2.25 еВ

1.1 ГОД

УФ-випромінювання, що має довжину хвилі 300-нм, потрапляє на урановий метал, викидаючи електрони 0.500-еВ. Яка функція роботи електронів до металу урану?

1.1I

Яка довжина хвилі електромагнітного випромінювання, яке викидає 2,00-еВ електрони з металу кальцію, враховуючи, що робоча функція дорівнює 2,71 еВ? Що це за тип електромагнітного випромінювання?

Рішення

(а) 264 нм

(б) Ультрафіолет

1,1 ДЖ

Знайдіть довжину хвилі фотонів, які викидають електрони 0,100-еВ з калію, враховуючи, що робоча функція дорівнює 2,24 еВ. Чи видно ці фотони?

1,1 ТИС.

Яка максимальна швидкість електронів, викинутих з матеріалу 80-нм фотонами, якщо вони пов'язані з матеріалом 4,73 еВ?

Рішення

1,95 × 10 ⁶ м/с

1,1 Л

Фотоелектрони з матеріалу з робочою функцією 2,71 еВ викидаються 420-нм фотонами. Після викиду, скільки часу потрібно цим електронам, щоб проїхати 2,50 см до пристрою виявлення?

1,1 М

Лазер з вихідною потужністю 2,00 мВт при довжині хвилі 400 нм проектується на метал кальцію. (a) Скільки електронів в секунду викидається? (б) Яку потужність несуть електрони, враховуючи, що робоча функція дорівнює 2,71 еВ?

Рішення

(а)\(4.02×10^{15}/s\)

(б) 0,256 мВт

1.1N

(а) Обчислити кількість фотоелектронів в секунду, викинутих з 1,00-мм 2 площі металу натрію 500-нм електромагнітним випромінюванням, що має інтенсивність\(1.30\; kW/m^2\) (інтенсивність сонячного світла над земною атмосферою). (б) Враховуючи, що робоча функція становить 2,28 еВ, яку потужність захоплюють електрони? (c) Електрони забирають меншу потужність, ніж принесені фотонами. Куди йде інша сила? Як його можна відновити?

1.1О

Червоне світло, що має довжину хвилі 700 нм, проектується на метал магнію, до якого електрони пов'язані 3,68 еВ. (а)\(KE_ e=h\nu -\Phi\) Використовувати для обчислення кінетичної енергії викинутих електронів. (б) Що нерозумно щодо цього результату? (c) Які припущення є необґрунтованими чи суперечливими?

Рішення

(а) —1,90 еВ—1,90 еВ

(b) Негативна кінетична енергія

(c) Щоб електрони були вибиті вільно.

необгрунтовані результати

1.1П

(а) Яка робоча функція електронів до матеріалу, з якого електрони 4.00-еВ викидаються 400-нм електромагнітним випромінюванням? (б) Що нерозумно щодо цього результату? (c) Які припущення є необґрунтованими чи суперечливими?

1.2A

1. Припустимо, електрон в атомі водню знаходиться на круговій орбіті Бора з n = 30. Скільки разів в секунду це обходиться?
2. Припустимо, тепер електрон падає до стану n = 29, випромінюючи єдиний фотон. Яка частота цього фотона, в циклах в секунду?
3. Прокоментуйте зв'язок між вашими відповідями в (a), (b) вище. Яке б ви здогадалися відношення бути для n = 300?

1.2B

\(\mu\)(мюон) є двоюрідним братом електрона, єдина різниця в тому, що його маса в 207 разів більше. Термін служби близько 2 мс.\(μ\) Якщо пучок мюонів спрямований на тверде тіло, мюони вийдуть на орбіту навколо ядер. Атом Бора, з мюоном, що замінює електрон, є корисною моделлю для зображення цього.

1. Для ядра заряду Ze, наскільки велика орбіта n = 1 μ порівняно з електронною орбітою?
2. Яка частота фотона, що випромінюється при\(μ\) переході n = 2 до n = 1?
3. Для золотого ядра\(n = 1\)\(μ\) орбіта знаходиться всередині ядра. Знайти частоту випромінюваного фотона для\(n = 2\) to\(n = 1\) в цьому випадку. (Підказка: вам знадобиться радіус золотого ядра. Припустимо тут, що позитивний заряд рівномірно поширюється по всьому ядру.)

1.3

Повз інфрачервону область, у напрямку нижчих енергій, розташована мікрохвильова область. У цій області випромінювання зазвичай характеризується частотою (\(\nu\)) яка виражається в одиницях\(\text{MHz}\), де\(\text{Hz}\) - цикл в секунду. З урахуванням мікрохвильової частоти\(2.0 \times 10^{4}\, \text{MHz}\), обчислити\(v\)\(λ\), і енергії на фотон для цього випромінювання, а потім порівняти результати з малюнком нижче.

Рішення

Частота (v) мікрохвильового випромінювання задана і після перетворення в Гц отримують наступне

v=2.0e ⁴ МГц (1e ⁶ Гц/1 МГц) = 2.0e ¹⁰ с ^-1 Гц

тепер знаходимо довжину хвилі за допомогою формули і отримуємо

\[λ=\dfrac{c}{v}=\dfrac{2.998 \times 10^{8} m \,s^{-1}}{2.0 \times 10^{10} \,s^{-1} } = 1.5 \times 10^{-2}\,m \nonumber\]

нарешті, ми використовуємо e=HV для обчислення енергії

Е = ХВ= (6,626е ^-34 Дж*с) (2,0е ¹⁰ с ^-1) = 1,3е ^-23 Дж

1.4

Порівняйте розподіл Планка та розподіли Релія-Жана. Для великих значень\({\nu}\), which one would be greater?

Рішення

Розподіл Планка

\[d{\rho}=\dfrac{8{\pi}h}{c^3}\dfrac{{\nu}^3}{e^{\dfrac{h{\nu}}{k_BT}}-1}d{\nu}\nonumber \]

І розподіл Релі Жана

\[d{\rho}=\dfrac{8{\pi}{\rho^2}k_BT}{c^3}d{\nu}\nonumber \]

Для більших\({\nu}\), розподіл Релі Жана збільшується, тоді як розподіл Планка зменшується через експоненціальний термін у знаменнику, що переважує\({\nu}^3\) термін.

1.4

Принциповим припущенням Планка було те, що енергії електронного генератора можуть мати тільки значення\(E=nh\nu\) і\(ΔE=h\nu\). Насправді, як v→0, то ΔE → 0 і E стає безперервним. Слід очікувати, що некласичний розподіл Планка перейде до класичного розподілу Рейлі-Джинса на низьких частотах, де ΔE →0. Доведіть, що рівняння 1.2 зводиться до рівняння 1.1 як v→0.

Примітка: Розширення Тейлора експоненціальної

\[e^x \approx 1+x+\left(\dfrac{x^2}{2!}\right) + ... \nonumber \]

може скорочуватися до того\(x\),\(e^x \approx 1+x\) коли маленький.

Рішення

Важливо знати рівняння Планкса і використовувати його:

_{дп (в, Т) =П в (Т) дв =( 8 π/с ³) (v ³ дв/е ^{хв/к б Т} -1)}

Примітка: P _v (T) dv ⇒ щільність променистої енергії між частотами v і v+dv

Тепер для малих х у нас є е ^х ≈1+х

і як v→0, hv/k _b T → 0, як тільки ми маємо це ми отримуємо наступне

дп (v, Т) = (8πh/c ³) * (v ³ дв)/(1+ (хв/к _б Т) -1)) = 8πхв ³ к _Б ТДВ/с ³ hv = 8πv ² к _Б ТДВ/с ³

і це класичний розподіл Rayleigh-Jeans.

1.5

Видимий спектр знаходиться в діапазоні 400-700 нм і містить близько 40% інтенсивності сонячного випромінювання. Використовуючи розподіл Планка, напишіть інтегральний вираз, яке можна обчислити, щоб дати цей результат (не оцінюйте інтеграл).

Рішення

Розподіл Планка Blackbody за довжиною хвилі

\[\rho_\lambda(\lambda, T) d \lambda =\dfrac{2 hc^2}{\lambda^5}\dfrac{1}{ e^{\frac{hc}{\lambda k_\mathrm{B}T}} - 1} d\lambda\nonumber \]

І тому інтенсивність, що міститься у видимому спектрі (від 400 нм і 700 нм) становить

\[\int^{700}_{400}\rho_\lambda(\lambda, T) d\lambda = \int^{700\, nm}_{400\, nm}\dfrac{2 hc^2}{\lambda^5}\dfrac{1}{ e^{\frac{hc}{\lambda k_\mathrm{B}T}} - 1} d\lambda\nonumber \]

Інтенсивність, що міститься у всьому спектрі, може бути дана

\[\int^{\infty}_{0}\rho_\lambda(\lambda, T) d\lambda = \int^{\infty}_{0}\dfrac{2 hc^2}{\lambda^5}\dfrac{1}{ e^{\frac{hc}{\lambda k_\mathrm{B}T}} - 1} d\lambda\nonumber \]

І таким чином

\[40\% =100\% \times \dfrac{\rho_{visible}}{\rho_{total}}=100 \% \times \dfrac{\int^{700}_{400}{\dfrac{8phc}{\lambda^5 \left(e^{\dfrac{hc}{\lambda k_bT}}-1\right)} d \lambda}}{\int^{\infty }_0{\dfrac{8phc}{\lambda^5\left(e^{\dfrac{hc}{\lambda k_bT}}-1\right)}d \lambda}}\nonumber \]

1.13

Яка частота і енергія одного фотона 310 нм?

Рішення

Дано:\(\lambda\) = 310 нм.

Щоб знайти частоту:

\[\nu=\dfrac{c}{\lambda}\nonumber \]]

\[\nu=\dfrac{2.99 \times 10^{8} \dfrac{m}{s}}{310 \ nm}\nonumber \]

\[\nu= 9.67 \times 10^{14} s^{-1} \nonumber \]

Щоб знайти енергію:

\[E = h \nu\nonumber \]

\[E = (6.626 \times 10^{-34}) \times \nu\nonumber \]

\[E = 6.41 \times 10^{-19} J\nonumber \]

1.14

Лазер випромінює\(3.3 \times 10^{17}\) фотони в секунду. Якщо енергія на фотон\(6.4 \times 10^{-20}J\) припадає на фотон, знайдіть а) потужність і б) довжину хвилі лазера. в яких електромагнітних спектрах знаходиться лазер?

Рішення

а)

\(W=(6.4 \times 10^{-20}J)(3.3 \times 10^{17}\dfrac{1}{s})\)

\(W=0.02112\dfrac{J}{s}\)

б)

\(E=h\dfrac{c}{\lambda}\)

\(\lambda=\dfrac{hc}{E}\)

\(\lambda=\dfrac{(3 \times 10^{8}\dfrac{m}{s})(6.626 \times 10^{-34}Js)}{6.4 \times 10^{-20}J}\)

\(\lambda=3.106 \times 10^{-6}m\)

в)

інфрачервоний спектр

1.15

Яка максимальна довжина хвилі при заданій температурі 7500K?

Рішення

Для заданої температури максимально допустима довжина хвилі задається:

\(T = \frac{2.9 \times 10^{-3}\text{mK}}{\lambda_\text{max}}\)

Дано: Т = 7500К

\(7500 = \frac{2.9 \times 10^{-3}\text{mK}}{\lambda_\text{max}}\)

\(\lambda_\text{max}= \frac{2.9 \times 10^{-3}\text{mK}}{7500 \text{K}}\)

\(\lambda_\text{max}= 3.8 \times 10^{-7} \text{m}\)

Q1.15

Лампочка - це чорнийкорпус радіатора. Яка температура потрібна така, що\(\lambda_{max} = \ 400 nm\)?

Рішення

\[T=\dfrac{(2.90 \times 10^{-3}\; m \cdot K)}{400 \times 10^{-9}\; m} = 7250\; K.\nonumber \]

1.16

Невідомий елементарний метал має робочу функцію\( \Phi = 8.01 \times 10^{-19} J\). При освітленні ультрафіолетовим світлом довжиною хвилі 162 нм електрони викидаються зі швидкістю ат\(2.95 \times 10^{3} \frac {m}{s}\). Що таке порогова довжина хвилі? Яка робоча функція в одиницях еВ? Якому металу це відповідає (вам буде потрібно ознайомитися з таблицею В1)?

Рішення

Це питання включає в себе трохи хитрості в тому, що ні довжина хвилі випромінювання, ні швидкість електронів не повинні вирішувати для порогової довжини хвилі або матеріалу, як просили. Для вирішення порогової довжини хвилі ми використовуємо концепцію, що кінетична енергія дорівнює 0 на пороговій частоті, а потім використовуємо рівняння відношення для вирішення порогової довжини хвилі.

\[ \dfrac {1}{2} mv^2 = h \nu - \Phi \tag {2-5}\nonumber \]

Отже,

\[ \nu_{threshold} = \dfrac {\Phi}{h} = 1.21 \times 10^{15} s^{-1}\nonumber \]

і

\[ \lambda_{threshold} = \dfrac {c}{\nu_{threshold}} = 248 nm\nonumber \]

З базовим перетворенням

\[ 1\;J = 6.242 \times 10^{18} eV\nonumber \]

ми бачимо, що робоча функція дорівнює 5 еВ. Використовуючи таблицю B1, ми бачимо, що це значення відповідає Cobalt (виявлений Георгом Брандтом).

1.16

З огляду на робочу функцію натрію 1,87 еВ, знайти кінетичну енергію викидаються електронів, коли світло частотою в 2,3 рази перевищує порогову частоту використовується для збудження електронів.

Рішення

крок 1: перетворення робочої функції з електронвольт в джоулі

\[\phi=1.87 \ eV\nonumber \]

1 еВ =\(1.602 \times 10^{-19}J\)

\(\phi\)=\(1.87 eV \times \dfrac{1.602 \times 10^{-19}J}{1 \ eV}\) =\(2.995 \times 10^{-19}J\)

Крок 2: Вирішіть порогову частоту

\(\phi\)=\(hf\)

\(\dfrac{\phi}{h}=f\)

\(\dfrac{2.995 \times 10^{-19}J}{6.626 \times 10^{-34}Js}=f\)

\(4.5 \times 10^{14}Hz=f\)

Крок 3: Використовуйте порогову частоту для вирішення кінетичної енергії при бажаних умовах

\(KE=h(2.3f-f)\)

\(KE=h(1.3f)\)

\(KE=(6.626 \times 10^{-34}Js)(1.3(4.5 \times 10^{14}Hz))\)

\(KE=3.87 \times 10^{-19}J\)

Q1.17

Знайдіть кінетичну енергію, що випромінюється з поверхні вольфраму, що випромінюється випромінюванням 250 нм. Робоча функція вольфраму 4.50 еВ.

Рішення

Кінетична енергія представлена

\[E = h\nu\nonumber \]

ми тоді використовуємо\(c=\nu\lambda\) for the frequency to find

\[E=\dfrac{hc}{\lambda}\nonumber \]

Потім підставляємо значення, щоб отримати

\[E=\dfrac{(6.626 \times 10^{-34}\; J \cdot s)(3.00 \times 10^8 m/s)}{250 \times 10^{-9}\; m} = 7.95 \times 10^{-19}\; J\nonumber \]

Перетворити на eV, щоб отримати

\[E=(7.95 \times 10^{-19}\; J) \dfrac{1 \;eV}{1.6 \times 10^{-19}\;J} = 4.97\; eV.\nonumber \]

Використовувати\(KE_e=h\nu–\Phi\) to finally get

\[KE_e=h\nu – \Phi = 4.97 \;eV – 4.50 \;eV = 0.47\; eV.\nonumber \]

1.18

Гладке срібне блюдо Подяки і сервірувальна ложка (паломники мали ножі та ложки, але не виделки) опромінюються світлом довжиною хвилі 317 нм. Функція роботи є\(\Phi = 6.825 \times 10^{-19} J\). Яка кінетична енергія викинутих електронів [еВ]? Порогова частота?

Рішення

Спочатку вирішуємо для порогової частоти.

\[ \dfrac {hc}{\lambda} = \Phi \ = h \nu\nonumber \]

Перевпорядкувати, щоб вирішити для\( \nu\)

\[\begin{align*} \nu &= \dfrac {\Phi}{h} \\[4pt] &= 1.03 \times 10^{15} s^{-1} \end{align*}\nonumber \]

Тепер вирішуємо для кінетичної енергії.

\[ \dfrac {1}{2} mv^2 = h \nu - \Phi \tag {2-5}\nonumber \]

де\[ \nu = \nu_{radiation}\nonumber \] і нагадаємо, що

\[ \nu = \dfrac {c}{\lambda_{radiation}}\nonumber \]

Використовуючи праву частину цього рівняння кінетичної енергії, ми знаходимо результат

\[ {KE} = 2.55 \times 10^{-19}\nonumber \]

Q1.18

При опроміненні чистої поверхні срібла світлом довжиною хвилі 255 нм робоча функція викинутих електронів становить 4,18 еВ. Обчисліть кінетичну енергію в еВ срібла і порогову частоту.

Рішення

Кінетичну енергію електронів можна представити за допомогою формули

\(KE= h\nu - \Phi \)

Ми повинні вирішити для кінетичної енергії в еВ

\(KE= h\nu - \Phi \)

підстановка відомих значень дає

\[ KE= (6.626 \times 10^-34 Js )(\dfrac{3 \times 10^8 m/s}{255 \times 10^-9 m})- 6.69* 10^-19 J\nonumber \]

\[ KE = 1.105 \times 10^-19 J \approx .690 eV\nonumber \]

Друга частина питання просить нас вирішити за порогову частоту

\( \nu_o= \dfrac{\Phi}{h}\)

\( \nu_o= \dfrac{6.69 \times 10^-19 J}{6.626 \times 10^-34 J*s}\)

\( = 1.01 \times 10^{15} Hz\)

Q1.21

Лінія в ряді Пашена водню має довжину хвилі 1,01 х 10 ^-6 м. знайти вихідну енергію електрона.

Рішення

Для ряду Пашена n ₁ = 3. Щоб знайти n ₂, ми повинні використовувати формулу Рідберга:

\[\dfrac{1}{\lambda} = R_H \times \left(\dfrac{1}{n_1^2} + \dfrac{1}{n_2^2}\right)\nonumber \]

підміна наших відомих значень дасть нам

\[\dfrac{1}{1.01 \times 10^{-6} m } = 109677 cm^{-1} \left(\dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{n_2^2}\right)\nonumber \]

перетворення наших одиниць і використання алгебри дає нам

\(0.0903 = \left(\dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{n_2^2}\right)\)

де

\(n_2 = 6.93 \approx 7 \)

Ми наближаємося до 7\(n\), оскільки є цілим числом.

1.22

Як змінюється енергія, коли частинка поглинає і випускає фотон? Покажіть вплив на стан, в якому знаходиться частка, і на саму енергію.

Рішення

Енергія буде збільшуватися, коли фотон поглинається і зменшується, коли фотон вивільняється. У нас є два рівняння

\[E = \dfrac{hc}{\lambda}\nonumber \]

\[\dfrac{1}{\lambda} = 109680\left(\dfrac{1}{n_1} - \dfrac{1}{n_2}\right)\nonumber \]

Коли фотон\(\lambda\) поглинається, позитивний, а при вивільненні фотона\(\lambda\) негативний. З першого рівняння ми бачимо, що залежить\(E\) тільки від знака\(\lambda\). Отже, коли фотон поглинається, енергія позитивна (збільшується), а коли вона вивільняється, енергія негативна (зменшується).

Друге рівняння показує, що коли\(\lambda\) негативний,\(n_1\) повинен бути більшим, ніж\(n_2\) так, кінцевий стан знаходиться в меншому квантовому числі, ніж початкове, і навпаки, коли фотон поглинається.

1.23

Показати, що (а) довжина хвилі 100 нм відбувається в межах серії Лаймана, що (б) довжина хвилі 500 нм відбувається всередині серії Бальмера, і що (c) довжина хвилі 1000 нм відбувається всередині серії Пашена. Визначте спектральні області, яким відповідають ці довжини хвиль.

Рішення

Ми можемо показати, де відбувається довжини хвиль, обчисливши максимальну та мінімальну довжини хвиль кожного ряду за формулою Рідберга.

а) Серія Лиман:

\[Max: \dfrac{1}{\lambda} = 109680\left(1 - \dfrac{1}{2^2}\right)cm^{-1}\nonumber \]

\[\lambda = 121.6 nm\nonumber \]

\[Min: \dfrac{1}{\lambda} = 109680\left(1 - \dfrac{1}{\infty}\right)cm^{-1}\nonumber \]

\[\lambda = 91.2 nm\nonumber \]

Діапазон для серії Lyman від 91,2 нм до 121,6 нм, тому довжина хвилі 100 нм зустрічається всередині серії Лаймана. Це відповідає ультранасильницької області спектра.

б) Бальмер серії:

\[Max: \dfrac{1}{\lambda} = 109680\left(\dfrac{1}{2^2} - \dfrac{1}{3^2}\right)cm^{-1}\nonumber \]

\[\lambda = 656.5 nm\nonumber \]

\[Min: \dfrac{1}{\lambda} = 109680\left(\dfrac{1}{2^2} - \dfrac{1}{\infty}\right)cm^{-1}\nonumber \]

\[\lambda = 364.7 nm\nonumber \]

Діапазон для серії Balmer від 364,7 нм до 656,5 нм, тому довжина хвилі 500 нм зустрічається всередині серії Balmer. Це відповідає близькій ультранасильницькій області спектра.

в) Серія Пашена:

\[Max: \dfrac{1}{\lambda} = 109680\left(\dfrac{1}{3^2} - \dfrac{1}{4^2}\right)cm^{-1}\nonumber \]

\[\lambda = 1875.6 nm\nonumber \]

\[Min: \dfrac{1}{\lambda} = 109680\left(\dfrac{1}{3^2} - \dfrac{1}{\infty}\right)cm^{-1}\nonumber \]

\[\lambda = 820.6 nm\nonumber \]

Діапазон для серії Пашена від 820,6 нм до 1875,6 нм, тому довжина хвилі 1000 нм зустрічається всередині серії Пашена. Це відповідає ближній інфрачервоній області спектра.

1.24

Обчисліть довжину хвилі і енергію фотона, пов'язану з межею рядів Бальмера.

Рішення

Спочатку знайдіть мінімальну довжину хвилі для серії Бальмера.

\[ \begin{align*} \dfrac{1}{\lambda} &= 109,680cm^{-1}\left(\dfrac{1}{2^2} \ - \ \dfrac{1}{\infty}\right) \\[4pt] \lambda &= \ 364.7\, nm \end{align*}\]

Тепер ми можемо використовувати довжину хвилі, щоб знайти енергію.

\[ \begin{align*} E &= \dfrac{hc}{\lambda} \\[4pt] &= \dfrac{(6.626  \times  10^{-34})(3  \times  10^8)}{364.7 \times \ 10^{-9}} \\[4pt] &= 5.45  \times  10^{-19}\,J \end{align*} \]

1,25

Для наступних частинок (а) електрона з кінетичною енергією 50еВ, (б) протон з кінетичною енергією 50еВ і (c) електрон на другій орбіті Бора атома водню, обчислити довжину хвилі де Броля кожного.

Рішення

Використовуємо\(\lambda \ = \dfrac{h}{p}\) у всіх випадках для пошуку\(\lambda\).

а.\[KE \ = \dfrac{mv^2}{2}\nonumber \]

\[50eV\left(\dfrac{1.602 \times 10^{-19}J}{1 eV}\right) \ = \ \dfrac{(v^2)(9.109 \times 10^{-31}kg)}{2}\nonumber \]

\[v = 4.19 \times 10^6\, m\centerdot s^{-1}\nonumber \]

Так

\[\begin{align*} \lambda &= \dfrac{h}{p} \ = \ \dfrac{h}{mv} \\[4pt] &= \dfrac{6.626 \times 10^{-34}J \centerdot s}{(9.109 \times 10^{-31}kg)(4.19 \times 10^6m\centerdot s^{-1})} \\[4pt] &= 1.23 \times 10^{-10}m = 0.123\,nm \end{align*}\]

б\(m_e\) Замініть на\(m_p\) in (a), щоб знайти\(\lambda = 2.86 \times 10^{-3} nm\).

c Треба спочатку визначити швидкість електрона на другій орбіті Бора атома водню. Швидкість електрона задається наступним рівнянням:

\[v = \dfrac{nh}{2(\pi)m_{e}r}\nonumber \]

і ми знаємо

\[r = \dfrac{\epsilon_0h^2n^2}{(\pi)m_ee^2}\nonumber \]

підставляючи два рівняння, ми знаходимо, що

\[v \ = \ \dfrac{e^2}{2nh\epsilon_0}\nonumber \]

Бо\(n = 2\), тому що мова йде про другу орбіту

\[\begin{align*} v &= \ \dfrac{(1.602 \times 10^{-19}C)^2}{2(2)(6.626 \times 10^{-34}J\centerdot s)(8.854 \times 10^{-12}C^2J^{-1}m^{-1})} \\[4pt] &= \ 1.09 \times 10^6m\centerdot s^{-1} \end{align*}\]

Так

\[ \begin{align*} \lambda &= \dfrac{h}{p} \ = \ \dfrac{h}{mv} \\[4pt] &= \dfrac{6.626 \times 10^{-34}J\centerdot s}{(9.109 \times 10^{-31}kg)(1.09 \times 10^6m\centerdot s^{-1}} \\[4pt] &= \ 6.64 \times 10^{-10}m = 0.664\,nm \end{align*}\]

Q1.26

1. Яка швидкість і довжина хвилі електрона зі збільшенням напруги 75 В?
2. Який імпульс електрона з довжиною хвилі де Броля 20 нм? (Маса електрона\(9.109 \times 10^{-31}\,kg\))

Рішення

а.

\[ \begin{align*} KE &= \text{(electron charge)} \times \text{(potential}) \\[4pt]&= (1.602 \times 10^{-19}\,C)(75\,V) \\[4pt] &= 1.2 \times 10^{-17}\,J \\[4pt] &= (1/2)mv^2\end{align*}\]

\[v = \sqrt{\dfrac{2(KE)}{m}} = \sqrt{\dfrac{2(1.2 \times 10^{-17}J)}{(9.109 \times 10^{-31}kg)}} = 5.133 \times 10^{6}m*s^{-1}\nonumber \]

\[\begin{align*} \lambda &= \dfrac{h}{mv} \\[4pt] &= \dfrac{6.626 \times 10^{-34}J*S}{(9.109 \times 10^{-31}kg)(5.133 \times 10^{6}m*s^{-1})} \\[4pt] &= 1.2267\, m \end{align*} \]

б.

\[\lambda = \dfrac{h}{p}\nonumber \]

\[\begin{align*} p &= \dfrac{h}{\lambda} \\[4pt] &= \dfrac{6.626 \times 10^{-34}J*S}{20 \times 10^{-6}m} \\[4pt] &= 3.313 \times 10^{-29}kg*m*s^{-1} \end{align*} \]

1.27

Через який потенціал протон повинен спочатку впасти в спокої, так що його довжина хвилі де Броля\(1.83 \times 10^{-10}\, m\)?

Q1.28

Обчисліть енергію і довжину хвилі, пов'язані з\(\beta\) частинкою, яка потрапила через різницю потенціалів 3,2 В. візьміть масу\(\beta\) частинки, яка повинна бути\(9.1 \times 10^{-31}\text{kg}\).

Рішення

Бета-частинка є електроном, тому вона має -1 заряд.

\[KE = (\beta \,\text{particle charge}) \times \, \text{Potential} = \vert-1.602 \times 10^{-19}\text{C}\vert\; \times \; 3.2\text{V}\nonumber \]

\[KE = 5.126 \times 10^{-19}\text{J per }\beta\text{ particle}\nonumber \]

\[\lambda = \dfrac{h}{p}\nonumber \]

\[KE = \dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{p^2}{2m}\nonumber \]

\[p = \sqrt{2\;KE\;m} = \sqrt{2\;\times \;5.126 \times 10^{-19}\text{J}\;\times \;9.1 \times 10^{-31}\text{kg}}\nonumber \]

\[p = 5.66 \times 10^{-25}\text{kg m }s^{-1}\nonumber \]

\[\lambda = \dfrac{6.626 \times 10^{-34}\text{J s}}{5.66 \times 10^{-25}\text{kg m s}^{-1}} = 6.86 \times 10^{-10}\text{m}\nonumber \]

Q1.28

Якщо протон проходить через різницю потенціалів 3,0 В, який імпульс і довжина хвилі пов'язані з цим протоном? (Маса протона дорівнює\(1.6726 \times 10^{-27}\,kg\))

Рішення

\[(charge)*(potential) = KE\nonumber \]

\[charge = 1.602 \times 10^{-19}C\nonumber \]

\[(1.602 \times 10^{-19}C)*(3.0V) = KE\nonumber \]

\[KE = 4.806 \times 10^{-19}J\nonumber \]

\[KE = \dfrac{p^2}{2m} \nonumber \]

\[p= \sqrt{2(KE)m} = \sqrt{2(4.806 \times 10^{-19}J)(1.6726 \times 10^{-27}kg)} = 4.01 \times 10^{-23}kg*m*s^{-1}\nonumber \]

\[\lambda = h/p = \dfrac{6.626 \times 10^{-34}J*S}{4.01 \times 10^{-23} kg*m*s^{-1}} = 1.65 \times 10^{-11}m = 0.165\, pm\nonumber \]

1.29

Нейтронна дифракція - це сучасна методика дослідження структури. У дифракції нейтронів колимований пучок нейтронів при певній температурі генерувався з високоенергетичного нейтронного джерела. Це досягається на декількох акселераторних об'єктах по всьому світу. Якщо швидкість нейтрона\(v_n = (3k_BT/m)^{1/2}\) з\(m\) масою нейтрона. Яка необхідна температура, щоб нейтрони мали довжину хвилі де Броля 200 пм? Маса нейтрона повинна бути\(1.67 \times 10^{－27}\, kg\).

1.29

Вивчаючи квантову механіку одного дня, ви замислювалися, яка температура буде потрібно для Jumbo Jawbreaker, який ви збиралися з'їсти, щоб мати довжину хвилі\(1.9 \times 10^{-24}\) метрів де Броля? Припускаючи, що швидкість Jumbo Jawbreaker можна обчислити з рівняння\(\nu_n = (\dfrac{3k_BT}{m})^{\dfrac{1}{2}}\). Ви швидко виміряєте масу вашого Jumbo Jawbreaker і знайшли його\(0.1kg\).

Рішення

Знаючи, що довжина хвилі де Броля має вигляд,

\[ \lambda = \dfrac{h}{m\nu_n}\nonumber \]

ми можемо підставити задане рівняння швидкості в рівняння довжини хвилі де Броля

\[ \lambda = \dfrac{h}{\sqrt{3mk_BT}} \nonumber \]

переставити, щоб вирішити температуру

\[ T = \dfrac{h^2}{3mk_B\lambda^2}\nonumber \]

Підставляючи в константи, ми можемо вирішити температуру в Кельвіні. Використання\(h = 6.626 \times 10^{-34} J*s\),,\(m = 0.1kg\)\(k_B = 1.381 \times 10^{-21} J*K^{-1}\), і\(\lambda = 1.9 \times 10^{-24}\) лічильники.

Ми знаходимо, що

\[ T = \dfrac{(6.626 \times 10^{-34} J*s)^2}{3(0.1kg)(1.381 \times 10^{-21} J*K^{-1})(1.9 \times 10^{-24})^2}\nonumber \]

Тому

\[\begin{align*} T &= 293.5K \\[4pt] &=20.35^\circ C \end{align*}\]

1.30

Для лінійного руху, показати, що невелика зміна імпульсу\(\Delta\text{p}\),, змінюється зміна кінетичної енергії\(\Delta\text{KE}\),

\[\Delta\text{KE} = \dfrac{p_{0}}{m}\Delta\text{p}\nonumber \]

де\(p_{0}\) початковий імпульс.

Рішення

Так як\(\Delta\text{p} = dp\) і\(\Delta\text{KE} = dKE\),

\[KE = \dfrac{p^2}{2m}\nonumber \]

\[dKE = \dfrac{p_{0}}{m}dp\nonumber \]

\[\Delta\text{KE} = \dfrac{p_{0}}{m}\Delta\text{p}\nonumber \]

1.31

Виведіть формулу Бора\(\dfrac{1}{\lambda_{vac}}\) для багатопротонного та одиночного атома електронів, таких як\(\ce{He^{+}}\) або\(\ce{Li^{2+}}\).

Рішення

Число протонів (Z) в ядрі взаємодіють з єдиним електроном з однаковою кулонівською силою\((f)\). Сумарну силу ядра із зарядом Z можна записати як суму кожного протона, окремо взаємодіючого з електроном.

\[ f_{Total} = \displaystyle\sum\limits_{i=0}^Z \dfrac{e^2}{4r^2\pi\epsilon_\circ}\nonumber \]

Спрощуючи цей вираз, ми виявляємо, що

\[f_{Total} = \dfrac{Ze^2}{4r^2\pi\epsilon_\circ}\nonumber \]

Щоб електрон не спіралізувався в ядро або від нього,\(f = \dfrac{m_ev^2}{r}\) відцентрова сила дорівнює кулонівській силі. Тому

\[ \dfrac{Ze^2}{4r^2\pi\epsilon_\circ}=\dfrac{m_e\nu^2}{r}\nonumber \]

Для цілей стабільності умова вимагає, щоб електрони мали задану кількість повних довжин хвиль по окружності орбіти або

\[2\pi r = n\lambda \ , \ where \ n = 1,2,3...\nonumber \]

використовуючи формулу довжини хвилі де Броля,\(\lambda = \dfrac{h}{p} = \dfrac{h}{m\nu}\) ми знаходимо, що\[m_e\nu r = \dfrac{nh}{2\pi}\nonumber \] Розв'язування\(\nu\) та підставляючи в наші силові відносини\( \dfrac{Ze^2}{4r^2\pi\epsilon_\circ}=\dfrac{m_e\nu^2}{r}\) Ми знаходимо, що

\[r = \dfrac{n^2h^2\epsilon_\circ}{m_ee^2Z\pi}\nonumber \]

Тепер рішення для загальної енергії системи

\[E = KE +V(r) \\ = \dfrac{1}{2}m_e\nu^2 - \dfrac{Ze^2}{4r\pi\epsilon_\circ}\nonumber \]

Підставляючи\(m_e\nu^2\) знайдену вище частину кінетичної енергії, ми знаходимо

\[ E = \dfrac{Ze^2}{8r\pi\epsilon_\circ} - \dfrac{Ze^2}{4r\pi\epsilon_\circ} = -\dfrac{Ze^2}{8r\pi\epsilon_\circ}\nonumber \]

Підставляючи\(r\) зверху, ми квантуємо енергію таку, що

\[E_n = \dfrac{-Z^2m_ee^4}{8n^2h^2\epsilon_\circ^2}\nonumber \]

Оскільки ця енергія квантована, зміна енергетичних станів відбуватиметься там, де електрони збуджуються світлом або\(h\nu\) у вищі квантові стани. Тому

\[\Delta E = \dfrac{-Z^2m_ee^4}{8h^2\epsilon_\circ^2} \big(\dfrac{1}{n_1^2}-\dfrac{1}{n_2^2}\big)=h\nu\nonumber \]

Нарешті вирішіть для\(\dfrac{1}{\lambda_{vac}}\)\(c\) запам'ятовування того,\(h\nu = \dfrac{hc}{\lambda_{vac}}\) де швидкість світла. Отримуємо остаточне рішення

\[\boxed{\dfrac{1}{\lambda_{vac}} = \dfrac{-Z^2m_ee^4}{8h^3c\epsilon_\circ^2} \big(\dfrac{1}{n_1^2}-\dfrac{1}{n_2^2}\big)}\nonumber \]

1.32

Ряд в\(\ce{He^{+}}\) спектрі, який відповідає набору переходів, де електрон падає з більш високого рівня в стан n = 4, називається серією Пікерінга, важливою серією в сонячній астрономії. Вивести формулу довжин хвиль спостережуваних ліній у цьому ряду. В якій області спектра вона зустрічається?

Рішення

Якщо вивести формулу Бора для\(\tilde{v} = Z^2R_H \left(\dfrac{1}{(n^2)_1} - \dfrac{1}{(n^2)_2}\right)\)

У серії Пікерінга спектр гелію знаходиться в\(Z = 2\) і\(n_2 = 4\)

\[\tilde{v} = 4(109,680 cm^-1)\left(\dfrac{1}{4^2} - \dfrac{1}{n^2_1}\right)\]

де\ (n_1 = 5, 6, 7, 8...\]).

\[ n_1 = 5, \tilde{v}\ = 9871\, \text{cm}^-1 \nonumber \]

або

\[\lambda = 1.013 * 10^{-6} meters \nonumber \]

1,33 А

Використовуючи модель Бора, знайдіть третю енергію іонізації атома літію в еВ і в J.

Рішення

Енергетичні переходи для воднеподібного атома задаються ΔE = Z ² R _y (1/n _i ² - 1/n _f ²)

де Z - атомний номер, а R _y - 13,6 еВ

Коли атом, подібний до водню, іонізується, електрон переходить у найвищий зв'язаний стан, при n = нескінченності, тому його квантове число nf переходить до нескінченності, роблячи 1/n _f ² = 0.

Так Е _{іонізація} = (3) ² (13,6) (1/ (1) ² - 0) = 122,9 еВ.

122,9 еВ* 1,6 *10 ^-19 = 1,96*10 ^-17 Дж

1,33 Б

Знайти енергію іонізації в еВ та\(kJ \centerdot mol^{-1}\) одноіонізованого гелію в\(n=3\) стані за допомогою теорії Бора

Рішення

Щоб знайти енергію іонізації гелію, розглянемо випадок, коли ми переміщаємо електрон з\(n=3\) state to an infinite distance from the nucleus.

Використання формули Бора для\(\tilde{v}\).

\[\tilde{v}=Z^2R_H(\dfrac{1}{n_1^2}-\dfrac{1}{n_2^2})\nonumber \]

\[\tilde{v}=2^2(109680 \,cm^{-1})\left(\dfrac{1}{3^2}-\dfrac{1}{\infty^2}\right)\nonumber \]

\[\tilde{v}=4.87467 \times 10^4 cm^{-1}\nonumber \]

Потім підключіть до\(E=hc \tilde{v}\)

\[E= (6.626 \times 10^{-34} J \centerdot s)(2.998 \times 10^8 m \centerdot s^{-1})(4.87467 \times 10^6 m^{-1})\nonumber \]

\[E=9.68 \times 10^{-19} J = 583 kJ \centerdot mol^{-1} = 6 eV\nonumber \]

1,34 А

Швидкість електрона на орбіті Бора задається рівнянням:

\[v = \dfrac{e^2}{2\epsilon_0nh}\nonumber \]

Сила, що діє між електроном і протоном на відстані один\(r\) від одного, задається законом Кулона:

\[f = \dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0{r^2}}\nonumber \]

Відцентрова сила діє на противагу кулонівській силі і задається рівнянням:

\[f = \dfrac{mv^2}{r}\nonumber \]

Знайдіть значення\(v\) для орбіт Бора n = 4, n = 5, а n = 6 і знайдіть загальну силу в атомі між протоном і електроном на відстані 5 х 10 ^-11 м один від одного, при цьому електрон рухається зі швидкістю 2 х 10 ⁶ м/с.

Рішення

Для пошуку\(v\) просто підставляємо значення для n в рівняння:

\[v = \dfrac{e^2}{2\epsilon_0nh}\nonumber \]

Для значень\(v\) at n = 4, n = 5, n = 6 отримуємо

п = 1

\(v_1= 546,923 \,m \cdot s^{-1}\)

п = 2

\(v_2 = 437,538 \,m \cdot s^{-1}\)

п = 3

\(v_3 = 364,615 \,m \cdot s^{-1}\)

Щоб знайти силу між протоном і електроном, просто відніміть кулонову силу з відцентрової сили і підмініть відповідні значення для констант:

\[f = \dfrac{mv^2}{r} - \dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0{r^2}}\nonumber \]

Для чого ми досягаємо:

\[f = 7.2875 \times 10^{-8} N\nonumber \]

1,34 Б

Довести, що швидкість електрона на орбіті Бора дорівнює\(v = \dfrac{e^2}{2\epsilon_0nh}\)

Потім знайдіть перші кілька значень\(v\) орбіти Бора.

Рішення

Спочатку ми повинні знати, що кутовий момент електрона, що обертається на\(n\) орбіті Бора, квантується, тоді

\(mvr = \dfrac{nh}{2\pi}\)

де\(r\) - радіус орбіти Бора.\(n\)

Кінетична енергія електрона задається як\(\dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{e^2}{2(4\pi\epsilon_0)r}\)

Таким чином, радіус, r повинен дорівнювати\(r = \dfrac{e^2}{(4\pi\epsilon_0)mv^2}\)

Тепер після підстановки значення вище в перше рівняння отримуємо

\(mv(\dfrac{e^2}{(4\pi\epsilon_0)mv^2} = \dfrac{nh}{2\pi}\)

Таким чином, швидкість електрона на орбіті\(n\) Бора дорівнює

\(v = \dfrac{e^2}{2\epsilon_0nh}\)

Для перших кількох значень\(v\) в\(n\) орбіті Бора отримаємо

п = 1

\(v= 2.188 \times  10^{6} m*s{^-1}\)

п = 2

\(v_2 = 1.094 \times  10^{6} m*s{^-1}\)

п = 3

\(v_3 = 7.292 \times   10^{5} m*s{^-1}\)

1.35

Яка невизначеність в положенні електрона, якщо невизначеність вимірювання його швидкості дорівнює 5\(m \cdot s^{-1}\).

Рішення

Відповідно до принципу невизначеності Гейзенбурга

\[\Delta x \Delta p \geq \dfrac{\hbar}{2}\nonumber \]

\[\Delta x \geq \dfrac{\hbar}{2\Delta p}\nonumber \]

Тоді за визначенням\(\Delta p = m \Delta v\)

\[\Delta x \geq \dfrac{\hbar}{2m \Delta v}\nonumber \]

\[\Delta x \geq \dfrac{6.626 \times 10^{-34} J \centerdot s}{4\pi (9.109 \times 10^{-31} kg)(5 m \centerdot s^{-1})}\nonumber \]

\[\Delta x \geq 1.16 \times 10^{-5}m\nonumber \]

1.35

Яка невизначеність швидкості електрона, якщо ми знаходимо його в межах 50 вечора?

Рішення

Відомо, що невизначеність імпульсу дається виразом

\[\Delta{p} = m\Delta{v} \nonumber\]

і Принцип невизначеності Гейзенберга стверджує, що

\[\Delta{x}\Delta{p} \ge h \nonumber\]

Тоді

\[\begin{align*} \Delta{x}(m\Delta{v}) &\ge h \\[4pt] \Delta{v} &\ge \frac{h}{m\Delta{x}} \\[4pt] &\ge \frac{6.626 \cdot 10^{-34} J \cdot s}{(9.109 \cdot 10^{-31} kg)(50 \cdot 10^{-12} m)} \\[4pt] &\ge 1.45 \cdot 10^7 m \cdot s \end{align*}\]

1.35

Якщо ми знаємо швидкість електрона всередині\(3.5 \times 10^{7}\dfrac{m}{s}\), то яка невизначеність в його положенні?

Рішення

Використовуючи принцип невизначеності Гейзенберга,

\[\Delta x \Delta p \geq h = \Delta x \times m\Delta v \geq h\nonumber \]

і перестановки для вирішення невизначеності в швидкості,

\[\Delta x \geq \dfrac{h}{m\Delta v}\nonumber \]

ми можемо використовувати\(h = 6.626 \times 10^{-34} J \cdot s\)\(m = 9.109 \times 10^{-31} kg\),\(\Delta v = 3.5 \times 10^{7}\dfrac{m}{s}\) і знайти, що

\[ \Delta x \geq \dfrac{(6.626 \times 10^{-34} J \cdot s)}{(9.109 \times 10^{-31} kg)(3.5 \times 10^{7}\dfrac{m}{s})}\nonumber \]

і таким чином

\[\Delta x \geq 2.078 \times 10^{-11} meters\nonumber \]

1.35

Якщо протон розташований з точністю до 1 ангстрема, яка його невизначеність у швидкості?

Рішення

Принцип невизначеності Гейзенберга стверджує

Δ ΔP = ч/4 π

ΔхмΔV = ч/4π

Δv = h/ (4m _p πΔx) де m _p - маса протона

x ~ Δx невизначеність у положенні знаходиться в тому ж порядку, що і місце, до якого вона обмежена, тут 1 ангстрем

Δv = ч/ (4м _р πх) = (6,626* 10 ^-34)/(4* (1,67* 10 ^-27) * 3,14* 10 ^-10)

= 315,7 м/с

1.36

Якщо положення електрона знаходиться в межах інтервалу 10 вечора, яка невизначеність імпульсу? Це значення подібне до значення електрона на першій орбіті Бора?

Рішення

Відповідно до принципу невизначеності позиції та імпульсу,

\[ \begin{align*} ∆x∆p &≥ h \\[4pt] \Delta p &≥ \dfrac{h}{∆x} \end{align*}\]

підставивши відповідні значення, ми отримуємо,

\[\begin{align*} \Delta p &≥ \dfrac{6.626 \times 10^{-34} J.s}{10.0 \times 10^{-12} m} \\[4pt] &≥ 2.9 \times 10^{-23} kg.m.s^-1 \end{align*}\]

Тому невизначеність в імпульсі електрона буде\(2.9 \times 10^{-23} kg.m.s^-1\).

Ми можемо обчислити імпульс електрона в першому радіусі Бора, використовуючи,\(v\) оскільки ми знаємо, що

\[\begin{align*} p &= m_ev \\[4pt] &= (9.109 \times 10^{-31} kg)(2.188 \times 10^{6} m \cdot s^{-1}) \\[4pt] &= (1.992 \times 10^{-24} kg \cdot m \cdot s^{-1}) \end{align*}\]

Невизначеність імпульсу електрона десь у інтервалі 10 вечора більша, ніж імпульс електрона в першому радіусі Бора.

1.37

Принцип невизначеності Гейзенберга

\[\Delta x\Delta p \ge \dfrac{h}{4 \pi}\nonumber \]

Показати обидві сторони мають однакові одиниці

Рішення

\[\Delta x = meters\nonumber \]

\[\Delta p = m \Delta v\nonumber \]

Константа Планка має одиниці\[J \cdot s\nonumber \]

і

\[J= \dfrac{kg \cdot m^2}{s^2}\nonumber \]

тому застосовуємо ці рівняння ми отримуємо

\[m \dfrac{kg\cdot m}{s} \ge \dfrac{kg \cdot m^2\cdot s}{s^2}\nonumber \]

і спростити

\[\dfrac{kg \cdot m^2}{s} \ge \dfrac{kg \cdot m^2}{s}\nonumber \]

Тому обидві сторони мають однакові одиниці.

1.38

Взаємозв'язок між енергією та часом можна побачити через наступний принцип невизначеності:\(∆E∆t ≥ h\). Через це співвідношення можна інтерпретувати, що частка маси\(m\), енергія (\(E\)=\(m\) c ²) може надходити з нічого і повернутися ні до чого протягом часу Δt ≤\(h\)/(\(m\)c ²). Реальна частинка - це та, яка триває протягом часу (\(\Delta t\)) або більше; так само частинки, які тривають менше часу (\(\Delta t\)), називаються віртуальними частинками. Для зарядженої субатомної частинки, півонії, маса становить\(2.5 \times 10^{-28} kg\). Щоб півонія вважалася справжньою частинкою, який його мінімальний термін служби?

Рішення

Виходячи з принципу невизначеності енергії і часу:

\[∆E∆t ≥ h \nonumber\]

\[\Delta t≥ \dfrac{h}{mc^2}\nonumber \]

тому\(E=mc^2\). Підключивши значення, ви отримуєте

\[ \begin{align*} \Delta t &≥ \dfrac{6.626 \times 10^{-34} Js}{(2.5 \times 10^{-28} kg)(2.998 \times 10^{8} ms^-1) ^2} \\[4pt] &≥ 2.9 \times 10^{-23} s \end{align*}\]

Тому мінімальний термін служби, якщо півонія вважатися реальною частинкою, буде\(2.9 \times 10^{-23} s\).