2.1: Одновимірне хвильове рівняння
- Page ID
- 27034
- Ввести хвильове рівняння, включаючи залежність від часу та положення
У найзагальнішому сенсі хвилі - це частинки або інші середовища з хвилеподібними властивостями і структурою (наявність гребенів і жолобів).
Найпростішою хвилею є (просторово) одновимірна синусоїда (рис. Template:Index) з різною амплітудою,\(A\) описаною рівнянням:
\[ A(x,t) = A_o \sin (kx - \omega t + \phi) \nonumber \]
де
- \(A_o\)- максимальна амплітуда хвилі, максимальна відстань від найвищої точки порушення в середовищі (гребені) до точки рівноваги протягом одного хвильового циклу. На рисунку Template:index, це максимальна вертикальна відстань між базовою лінією і хвилею.
- \(x\)координата простору
- \(t\)координата часу
- \(k\)це хвильовий номер
- \(\omega\)це кутова частота
- \(\phi\)є фазовою постійною.
Можна класифікувати «хвилі» на дві різні групи: біжучі хвилі та нерухомі хвилі.
Подорожуючі хвилі
Подорожуючі хвилі, такі як океанські хвилі або електромагнітне випромінювання, - це хвилі, які «рухаються», що означає, що вони мають частоту і поширюються через час і простір. Інший спосіб опису цієї властивості «хвильового руху» полягає в передачі енергії — хвиля рухається, або передає енергію, на задану відстань. Найважливішими видами хвиль, що подорожують у повсякденному житті, є електромагнітні хвилі, звукові хвилі та, можливо, водні хвилі, залежно від того, де ви живете. Важко аналізувати хвилі, що поширюються в трьох вимірах, відбиваючись від об'єктів тощо, тому ми починаємо з найпростіших цікавих прикладів хвиль, які обмежені рухатися вздовж лінії. Почнемо з мотузки, як мотузка для одягу, натягнута між двома гачками. Ви знімаєте один кінець з гачка, тримаючи мотузку, і, тримаючи її розтягнутою досить щільно, махаєте рукою вгору і назад один раз. Якщо ви зробите це досить швидко, ви побачите одну шишку по мотузці:
Це найпростіший приклад біжить хвилі. Ви можете робити хвилі різної форми, рухаючи рукою вгору і вниз різними візерунками, наприклад, вгору шишка з подальшим зануренням, або двома ударами. Ви побачите, що біжить хвиля тримає таку ж форму, як вона рухається вниз по мотузці. Взявши мотузку, яка буде натягнута досить щільно, щоб ми могли взяти її горизонтальною, ми будемо використовувати її положення спокою як нашу осі x (Рисунок Template:index). \(y\)Вісь -приймається вертикально вгору, і ми махаємо мотузкою лише вгору-вниз, тому насправді\(y(x,t)\) буде, наскільки далеко мотузка знаходиться від її місця спокою\(x\) в той час\(t\): тобто Рисунок Template:index показує, де мотузка знаходиться за один раз\(t\).
Тепер ми можемо висловити спостереження, що хвиля «тримає ту ж форму» точніше. Беручи для зручності час\(t = 0\), який буде моментом, коли пік хвилі проходить\(x = 0\), ми графуємо тут положення мотузки при t = 0 і деякі пізніше\(t\) як фільм (Рисунок Template:index). Позначаючи першу функцію по\(y(x,0) = f(x)\), потім другу\(y(x,t) = f(x- v t)\): це та ж функція з «тією ж формою», але тільки що переміщена повз\(v t\), де\(v\) знаходиться швидкість хвилі.
Підводячи підсумок: при відправці біжить хвилі вниз по мотузці шляхом ривків кінцем вгору-вниз, від спостереження хвиля рухається з постійною швидкістю і зберігає свою форму, тому зміщення у мотузки при будь-якому горизонтальному положенні\(x\) в момент часу\(t\) має вигляд
\[y(x,t)=f(x-v t) \label{2.1.0} \]
Ми нехтуємо фрикційними ефектами - у реальному мотузці шишка поступово зменшується, коли рухається вздовж.
стоячі хвилі
На відміну від біжучих хвиль, стоячі хвилі або нерухомі хвилі залишаються в постійному положенні з гребенями і западинами в фіксовані проміжки часу. Одним із способів створення різноманітних стоячих хвиль є вищипування мелодії на наборі гітари або скрипкових струн. Поклавши палець на частину струни, а потім вищипуючи її іншим, один створив стоячу хвилю. Розв'язки цієї задачі передбачають, що струна коливається в синусоїдальній схемі (рис. Template:index) без вібрації на кінцях. Вібрація також відсутня в ряді рівнорозташованих точок між торцями; ці «тихі» місця є вузлами. Місцями максимального коливання є антиноди.
Подорожуючі хвилі демонструють рух і поширюються через час і простір, а нерухомі хвилі мають гребені і жолоби через фіксовані проміжки часу, розділені вузлами. «Вільні» частинки, такі як фотоелектрон, обговорюваний у фотоелектронному ефекті, демонструють властивості, що біжать хвилі. На відміну від цього, електрони, які є «пов'язаними» хвилями, виявлять нерухомі хвильові властивості. Останній був викликаний для атома Бора для квантування кутового моменту електронного зв'язаного всередині атома водню.
Хвильове рівняння
Математичний опис одновимірних хвиль (як біжучих, так і стоячих) можна виразити як
\[ \dfrac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} = \dfrac{1}{v^2} \dfrac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} \label{2.1.1} \]
з\(u\) - амплітуда хвилі в положенні\(x\) і часі\(t\), а\(v\) також швидкість хвилі (Рисунок Template:index).
Рівняння\(\ref{2.1.1}\) називається класичним хвильовим рівнянням в одному вимірі і є лінійним рівнянням з частинними похідними. Він розповідає нам, як зміщення\(u\) може змінюватися як функція положення та часу та функції. Розв'язки хвильового рівняння (\(u(x,t)\)) отримані відповідними методами інтеграції. Не дивно, що не всі можливі хвилі задовольнятимуть рівнянню,\(\ref{2.1.1}\) а хвилі, які роблять, повинні задовольняти як початковим умовам, так і граничним умовам, тобто від того, як виробляється хвиля і що відбувається на кінцях струни.
Наприклад, для стоячої хвилі рядка, довжина якої\(L\) тримається натягнутою на двох кінцях (рис. Template:index) граничними умовами є
\[u(0,t)=0\ \label{2.1.3a} \]
і
\[u(L,t)=0 \label{2.1.3b} \]
для всіх значень\(t\). Як і очікувалося, різна система матиме різні граничні умови і, отже, різні рішення.
Початкові умови та граничні умови, що використовуються для розв'язання хвильового рівняння, призведуть до обмежень «дозволених» хвиль існувати подібним чином, що існують лише певні розв'язки для електронів в атомі Бора.
Перші шість хвильових\(u(x,t)\) розв'язків рівняння\(\ref{2.1.1}\) підпорядковуються граничним умовам у Рівняннях\(\ref{2.1.3a}\) і\(\ref{2.1.3b}\) (докладно розглянуто пізніше) призводить до отримання хвилі на рисунку Template:index. Це стоячі хвилі, які існують з частотами на основі кількості вузлів (0, 1, 2, 3,...), які вони демонструють (докладніше обговорюється в наступному розділі).
Оскільки прискорення амплітуди хвилі (права сторона рівняння\(\ref{2.1.1}\)) пропорційно\(\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}\), більша кривизна в матеріалі створює більше прискорення, тобто більшу швидкість зміни хвилі (рис. Template:Index) і більшу частоту коливань. Як обговорювалося пізніше, хвилі вищої частоти (тобто більше вузлів) є більш високими енергетичними рішеннями; це, як і очікувалося від експериментів, розглянутих у розділі 1, включаючи рівняння Планка\(E=h\nu\).
Резюме
Хвилі, які демонструють рух і поширюються через час і простір. Два основних типи хвиль - це біжучі та стаціонарні. Обидва проявляють хвилеподібні властивості та структуру (наявність гребенів та жолобів), які математично можуть бути описані хвильовою функцією або амплітудною функцією. Обидва типи хвиль відображають рух (зміщення вгору і вниз), але по-різному. Подорожуючі хвилі мають гребені та жолоби, які постійно рухаються з однієї точки в іншу, коли вони рухаються по довжині або відстані. Таким чином енергія передається по довжині біжить хвилі. На відміну від цього, стоячі хвилі мають вузли у фіксованих положеннях; це означає, що гребені і западини хвилі також розташовані з фіксованими інтервалами. Тому стоячі хвилі відчувають коливальний рух (зміщення вгору і вниз) лише на цих встановлених інтервалах - жоден рух або енергія не подорожує по довжині стоячої хвилі.