2.2: Метод поділу змінних
- Page ID
- 27033
- Ввести до методики поділу змінних як метод розв'язаних хвильових рівнянь
Рішення хвильового рівняння передбачає виявлення функцій\(u(x,t)\), які вирішують рівняння з частинними похідними, що представляють амплітуду хвилі в будь-якому положенні\(x\) в будь-який момент часу.\(t\)
\[ \dfrac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} = \dfrac{1}{v^2} \dfrac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} \label{2.1.1} \]
Це хвильове рівняння є типом рівняння з частинними похідними другого порядку (PDE), що включає дві змінні -\(x\) і\(t\). PDE відрізняються від звичайних диференціальних рівнянь (ОДУ), які включають функції лише однієї змінної. Однак ця різниця значно ускладнює вирішення PDE. Насправді переважна більшість PDE не може бути розв'язана аналітично, і ті класи спеціальних PDE, які можуть бути вирішені аналітично незмінно, включають перетворення PDE в один або кілька ОД, а потім рішення самостійно. Одним з таких підходів є метод поділу змінних.
Загальне застосування методу поділу змінних для хвильового рівняння включає три етапи:
- Ми знаходимо всі розв'язки хвильового рівняння із загальною формою\[u(x,t)= X(x)T(t) \nonumber \] для якоїсь функції\(X(x)\), яка залежить від,\(x\) але ні,\(t\) і\(T(t)\) деякої функції, яка залежить тільки від\(t\), але ні\(x\). Звичайно, занадто багато очікувати, що всі розв'язки Рівняння\(\ref{2.1.1}\) мають таку форму, однак, якщо ми знайдемо набір рішень,\(\{X_i(x)T_i(t)\}\) оскільки хвильове рівняння є лінійним рівнянням,\[u(x,t)=\sum_i c_ iX_i(x)T_i(t) \label{gen1} \] це також рішення для будь-якого вибору констант\(c_i\).
- Накладати обмеження на рішення, засновані на знаннях системи. Вони називаються граничними умовами, які задають значення\(u(x,t)\) при крайностях («кордонів»). Це подібне обмеження до розв'язку, як і в задачах початкового значення, умови яких\(x(t_i)\) задаються в певний час\(t_i\). Мета полягає в тому, щоб вибрати константи\(c_i\) в Equation\ ref {gen1} так, щоб граничні умови також були задоволені.
Метод поділу змінних є однією з найбільш широко використовуваних методик розв'язання рівнянь з частинними похідними і заснований на припущенні, що рішення рівняння роздільне, тобто кінцевий розв'язок може бути представлений у вигляді добутку декількох функцій, кожна з яких є лише залежить від однієї незалежної змінної. Якщо це припущення невірно, то явні порушення математичних принципів будуть очевидні з аналізу.
Вібраційна пружина утримується фіксованою між двома точками
Як обговорювалося в розділі 2.1, рішення для прикладу рядка\(u(x,t)\) для всіх\(x\) і\(t\) буде вважатися добутком двох функцій:\(X(x)\) і\(T(t)\), де\(X(x)\) є функція тільки\(x\),\(t\) а не і\(T(t)\) є функцією\(t\), але ні\(x\).
\[u(x,t)= X(x)T(t) \label{2.2.1} \]
Рівняння заміни\(\ref{2.2.1}\) в одновимірне хвильове рівняння (рівняння\(\ref{2.1.1}\)) дає
\[ \dfrac{\partial^2 X(x)T(t)}{\partial x^2} = \dfrac{1}{v^2} \dfrac{\partial^2 X(x)T(t)}{\partial t^2} \label{2.2.2} \]
Оскільки не\( X \) є функцією\(t\) і не\(T\) є функцією\(x\), Рівняння\(\ref{2.2.2}\) можна спростити
\[ T(t) \dfrac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2} = \dfrac{1}{v^2} X(x) \dfrac{\partial^2T(t)}{\partial t^2} \label{2.2.3} \]
Збір виразів, які\(x\) залежать від лівої частини рівняння\(\ref{2.2.3}\) та\(t\) праворуч, призводить до
\[ \dfrac{1}{X(x)} \dfrac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2} = \dfrac{1}{v^2} \dfrac{1}{T(t)} \dfrac{\partial^2T(t)}{\partial t^2} \label{2.2.3a} \]
Рівняння\(\ref{2.2.3a}\) є цікавим рівнянням, оскільки кожна сторона може бути встановлена на фіксовану константу,\(K\) оскільки це єдине рішення, яке працює для всіх значень\(t\) і\(x\). Тому рівняння можна розділити на два звичайних диференціальних рівняння:
\[ \dfrac{d^2T(t)}{dt^2} - Kv^2 T(t) = 0 \label{2.2.4a} \]
\[\dfrac{d^2X(x)}{dx^2} - K X(x) = 0 \label{2.2.4b} \]
Отже, замінивши нову форму розв'язку добутку (Equation\ ref {2.2.1}) у вихідне хвильове рівняння (Equation\(\ref{2.1.1}\)), ми перетворили рівняння з частинними похідними двох змінних (\(x\)і\(t\)) у два звичайних диференціальних рівняння (диференціальне рівняння, що містить функція або функції однієї незалежної змінної та її похідних). Кожне диференціальне рівняння включає лише одну з незалежних змінних (\(x\)або\(t\)).
- Якщо\(K=0\), то рішення є тривіальним\(u(x,y,)=0\) рішенням (тобто жодної хвилі не існує).
- Якщо\(K > 0\), то загальним рішенням Рівняння\(\ref{2.2.4b}\) є\[ X(x) = A e^{\sqrt{K}x} + B e^{-\sqrt{K}x} \label{2.2.5} \]
На цьому етапі Рівняння\(\ref{2.2.5}\) передбачає, що рішення двох звичайних диференціальних хвильових рівнянь буде нескінченною кількістю хвиль без квантування, щоб обмежити ті, які дозволені (тобто будь-які значення\(A\) і\(B\) можливі). Звуження загального рішення до конкретного рішення відбувається при врахуванні граничних умов.
Граничними умовами для цієї задачі є те, що амплітуда хвилі дорівнює нулю на кінцях струни
\[u(0,t) = X(x)T(t) = 0 \label{2.2.6a} \]
\[u(L,t) = X(x)T(t) = 0 \label{2.2.6b} \]
на всі часи\(t\).
Застосування двох граничних умов у рівняннях\(\ref{2.2.6a}\) та\(\ref{2.2.6b}\) в загальному розв'язку Рівняння\(\ref{2.2.5}\) призводить до взаємозв'язків між\(A\) і\(B\):
\[ X(x=0)= A + B = 0 \label{2.2.7a} \]
і
\[ X(x=L)= A e^{\sqrt{K}L} + B e^{-\sqrt{K}L} = 0 \label{2.2.7b} \]
Одне з рішень цього полягає в тому\(A = B = 0\), що, але це тривіальне рішення, яке ми ігноруємо, оскільки воно не забезпечує ніякого фізичного рішення проблеми, крім знань\(0=0\), що не є тим, що надихає результат.\(K=0\)
Обидва рівняння\(\ref{2.2.4a}\) і\(\ref{2.2.4b}\) можуть бути узагальнені в наступні рівняння
\[\dfrac{d^2y(x)}{dx^2} - k^2 y(x) = 0 \label{2.2.8} \]
де\(k\) - реальна константа (тобто не складна). Рівняння\(\ref{2.2.8}\) є однорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку. Загальний розв'язок цих типів диференціальних рівнянь має вигляд
\[ y(x) = e^{\alpha x} \label{2.2.9} \]
де\(\alpha\) - константа, яка визначається обмеженнями системи. Заміна рівняння\(\ref{2.2.9}\) в рівняння\(\ref{2.2.8}\) призводить до
\[ \left( \alpha^2 - k^2 \right)y(x)=0 \label{2.2.10} \]
Щоб це рівняння було задоволено, або
- \(\alpha^2 - k^2 = 0\)або
- \(y(x) = 0\).
Пізніше є тривіальним рішенням і ігнорується і тому
\[\alpha^2 - k^2 = 0 \label{2.2.11} \]
тому
\[\alpha = \pm k \label{2.2.12} \]
Отже, існує два розв'язки загального рівняння\(\ref{2.2.8}\), як очікується для диференціального рівняння другого порядку (диференціальні рівняння першого порядку мають одне рішення), які є результатом підстановки\(\alpha\) значень з Рівняння\(\ref{2.2.12}\) в Рівняння\(\ref{2.2.9}\)
\[ y(x) = e^{k\, x} \nonumber \]
\[ y(x) = e^{-k\, x} \nonumber \]
Загальним рішенням може бути будь-яка лінійна комбінація цих двох рівнянь.
\[ y(x) = c_1 e^{k\, x} + c_2 e^{-k\, x} \label{2.2.14} \]
Вирішити
\[ y'' + 3y' - 4y = 0 \nonumber \]
Рішення
Стратегія полягає в пошуку рішення форми
\[ y = e^{\alpha t } \nonumber \]
Причиною цього є те, що давно деякі генії розібралися з цим матеріалом, і це працює. Тепер обчислюємо похідні
\[ y' = \alpha e^{\alpha t } \nonumber \]
\[y'' = \alpha^2e^{\alpha t} \nonumber \]
Підстановка в диференціальне рівняння дає
\[ \begin{align*} \alpha ^2e^{\alpha t} + 3(\alpha e^{\alpha t}) - 4(e^{\alpha t}) &= 0 \\[4pt] ( \alpha ^2 + 3\alpha - 4)e^{\alpha t} &= 0 \end{align*} \nonumber \]
Тепер розділіть на\(e^{\alpha t}\), щоб отримати
\[ \begin{align*} \alpha ^2 + 3\alpha - 4 &= 0 \\[4pt] (\alpha - 1)(\alpha + 4) &= 0 \\[4pt] \alpha &= 1 \end{align*} \nonumber \]
і
\[\alpha = -4 \nonumber \]
Можна зробити висновок, що два рішення
\[ y_1 = e^t \nonumber \]
і
\[y_2 = e^{-4t} \nonumber \]
Тепер нехай
\[ L(y) = y'' + 3y' - 4y \nonumber \]
Легко переконатися, що якщо\( y_1\) і\(y_2\) є рішеннями
\[ L(y) = 0 \nonumber \]
потім
\[ y= c_1y_1 + c_2y_2 \nonumber \]
також є рішенням. Більш конкретно можна зробити висновок, що
\[ y = c_1e^t + c_2e^{-4t } \nonumber \]
Представляє двовимірне сімейство (векторний простір) розв'язків. Пізніше доведемо, що це найбільш загальний опис простору рішення.
Вирішити
\[ y'' - y' - 6y = 0 \nonumber \]
з\(y(0) = 1\) і\(y'(0) = 2 \).
Рішення
Як і раніше, ми шукаємо рішення форми
\[ y = e^{rt} \nonumber \]
Тепер обчислюємо похідні
\[ \begin{align*} y' &= re^{rt} \\[4pt] y'' &= r^2e^{rt} \end{align*} \nonumber \]
Підстановка в диференціальне рівняння дає
\[ \begin{align*} r^2e^{rt} + (re^{rt}) - 6(e^{rt}) &= 0 \\[4pt] ( r^2 - r - 6 )e^{rt} &= 0 \end{align*} \nonumber \]
Тепер розділіть на\(e^{rt}\), щоб отримати
\[ \begin{align*} r^2 - r - 6 &= 0 \\[4pt] (r - 3)(r + 2) &= 0 \end{align*} \nonumber \]
Можна зробити висновок, що два рішення
\[ y_1 = e^{3t} \nonumber \]
і
\[y_2 = e^{-2t} \nonumber \]
Можна зробити висновок, що
\[ y = c_1e^{3t} + C_2e^{-2t} \nonumber \]
Представляє двовимірне сімейство («векторний простір») розв'язків. Тепер використовуйте початкові умови, щоб знайти це
\[ 1 = c_1 + c_2 \nonumber \]
У нас це
\[ y' = 3C_1e^{3t} - 2C_2e^{-2t}\nonumber \]
Заглушка в початковому стані з\(y'\), дає
\[ 2 = 3c_1 - 2c_2 \nonumber \]
Це система з двох рівнянь і двох невідомих. Ми можемо використовувати лінійну алгебру, щоб досягти
\[ c_1 = \dfrac{4}{5}\nonumber \]
і
\[C_2 = \dfrac {1}{5}\nonumber \]
Остаточним рішенням є
\[ y = \dfrac{4}{5} e^{3t } + \dfrac{1}{5}e^{-2t} \nonumber \]
Коли\(K > 0\), загальні розв'язки рівнянь\(\ref{2.2.4a}\) і\(\ref{2.2.4b}\) є коливальними в часі і просторі відповідно, як розглянуто в наступному розділі.
Автори та авторства
- Дельмар Ларсен (UC Девіс)