2.E: Класичне хвильове рівняння (вправи)
- Page ID
- 27020
Рішення для вибору питань можна знайти в Інтернеті.
2.1A
Знайдіть загальні розв'язки наступних диференціальних рівнянь:
- \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} - 4y = 0 \)
- \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} - 3\dfrac{dy}{dx} - 54y = 0\)
- \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 9y = 0 \)
2.1Б
Знайдіть загальні розв'язки наступних диференціальних рівнянь:
- \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} - 16y = 0 \)
- \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} - 6\dfrac{dy}{dx} + 27y = 0\)
- \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 100y = 0 \)
2.1C
Знайдіть загальні розв'язки наступних диференціальних рівнянь:
- \(\dfrac{dy}{dx} - 4\sin(x)y = 0 \)
- \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} - 5\dfrac{dy}{dx}+6y = 0\)
- \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = 0 \)
2.2A
Практика розв'язання цих однорідних диференціальних рівнянь першого та другого порядку із заданими граничними умовами:
- \(\dfrac{dy}{dx} = ay\)з\(y(0) = 11\)
- \(\dfrac{d^2y}{dt^2} = ay\)з\(y(0) = 6\) і\(y'(0) = 4\)
- \(\dfrac{d^2y}{dt^2} + \dfrac{dy}{dt} - 42y = 0\)з\(y(0) = 2\) і\(y'(0) = 0\)
2.3А
Доведіть, що\(x(t)\) =\(\cos(\theta\)) коливається з частотою
\[\nu = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}} \nonumber\]
Доведіть, що\(x(t)\) =\(\cos(\theta\)) також має період
\[T = {2\pi}\sqrt{\dfrac{m}{k}} \nonumber\]
де\(k\) - постійна сила і\(m\) маса тіла.
2,3Б
Спробуйте показати, що
\[x(t)=\sin(\omega t)\nonumber \]
коливається з частотою
\[\nu = \omega/2\pi\nonumber \]
Поясніть свої міркування. Чи можете ви дати іншу функцію x (t), які мають таку ж частоту.
2.3C
Які дві функції коливаються з однаковою частотою?
- \(x(t)=\cos( \omega t)\)
- \(x(t)=\sin (2 \omega t)\)
- \(x(t)=A\cos( \omega t)+B\sin( \omega t)\)
2.3D
Доведіть, що\(x(t) = \cos(\omega(t))\) коливається з частотою
\[\nu = \dfrac{\omega}{2\pi} \nonumber.\]
Доведіть, що\(x(t) = A \cos(\omega(t) + B \sin(\omega(t))\) коливається з однаковою частотою:
\[\nu = \dfrac{\omega}{2\pi}. \nonumber\]
2.4
Показати, що диференціальне рівняння:
\[\dfrac{d^2y}{dx^2} + y(x) = 0\nonumber \]
має рішення
\[ y(x)= 2\sin x + \cos x \nonumber \]
2.7
Для класичного гармонічного осцилятора зміщення задається
\[ \xi (t)=v_0 \sqrt{\dfrac{m}{k}} \sin \sqrt{\dfrac{k}{m}} t\ \nonumber \]
де\(\xi=x-x_0\). Derive an expression for the velocity as a function of time, and determine the times at which the velocity of the oscillator is zero.
2.11
Переконайтеся, що
\[Y(x,t) = A \sin \left(\dfrac{2\pi }{\lambda}(x-vt) \right)\nonumber \]
має частоту\(\nu\) =\(v\)/\(\lambda\)і довжину хвилі, що\(\lambda\) рухається вправо зі швидкістю\(v\).
2.13А
Поясніть (словами), як розширити гамільтоніан на два виміри і використовувати його для вирішення енергії
2.13 Б
Враховуючи, що рівняння Шредінгера для двовимірної коробки, зі сторонами\(a\) і\(b\), дорівнює
\[\dfrac{∂^2 Ψ}{∂x^2} + \dfrac{∂^2 Ψ}{∂y^2} +\dfrac{(8π^2mE) }{h^2}Ψ(x,y) = 0 \nonumber \]
і він має граничні умови
\(Ψ(0,y)= Ψ (a,y)=0\)і\(Ψ(o,x)= Ψ(x,b)=0\)
для всіх\(x\) і\(y\) цінностей, показати, що
\[E_{2,2}=\left(\dfrac{h^2}{2ma^2}\right)+\left(\dfrac{h^2}{2mb^2}\right). \nonumber\]
2.14
Поясніть словами, як розширити рівняння Шредінгера в тривимірну коробку
2.18
Розв'язування диференціального рівняння для маятника дає нам наступне рівняння,
\[\phi(x)= c_1\cos {\sqrt{\dfrac{g}{L}}} +c_2\sin {\sqrt{\dfrac{g}{L}}} \nonumber \]
Припускаючи\(c_1=2\)\(c_3= 5\)\(L=3\),\(g=7\) і, яке положення маятника спочатку? Чи має це сенс в реальному світі. Чому чи чому ні? (Ми можемо ігнорувати одиниці для цієї проблеми).
2.23
Розглянемо частинку маси\(m\) в одновимірній коробці довжини\(a\). Його середня енергія дається
\[\langle{E}\rangle = \dfrac{1}{2m}\langle p^2\rangle\nonumber \]
Тому що
\[\langle{p}\rangle\ = 0\nonumber \]
\[\langle p^2\rangle = \sigma^{2}_{p}\nonumber \]
де\(\sigma_p\) можна назвати невизначеність в\(p\). Використовуючи принцип невизначеності, показати, що енергія повинна бути принаймні такою ж великою, як\(\hbar/8ma^2\) тому\(\sigma_x\), що невизначеність в\(x\), не може бути більшою, ніж\(a\).
2.33
Доведіть\(y(x, t) = A\cos[2π/λ(x - vt)]\) - це хвиля, що рухається вправо зі швидкістю\(v\)\(λ\), довжиною хвилі та періодом\(λ/v\).