2.4: Загальне рішення - це суперпозиція нормальних режимів
- Page ID
- 27025
- Розділіть хвильове рівняння на окремі просторові та часові задачі і вирішуйте їх.
- Продемонструйте, що загальним рішенням може бути накладання розв'язків (нормальних режимів)
Як обговорювалося раніше, рішення для рядка приклад\(u(x,t)\) для всіх\(x\) і\(t\) буде прийнято бути добутком двох функцій:\(X(x)\) і\(T(t)\), де\(X(x)\) є функція тільки\(x\), not\(t\) і\(T(t)\) є функцією\(t\), але не \(x\).
\[u(x,t)= X(x)T(t) \nonumber \]
Підставляючи форму розв'язку нового продукту у вихідне хвильове рівняння, можна отримати два звичайних диференціальних рівняння (диференціальне рівняння, що містить функцію або функції однієї незалежної змінної та її похідних). Кожне диференціальне рівняння включало б лише одну з незалежних змінних (\(x\)або\(t\)).
Просторова залежність рішення:\(X(x)\)
Граничні умови для рядка, що утримується до нуля на обох кінцях, стверджують, що\(u(x,t)\) руйнується до нуля в крайності рядка. На жаль\(K>0\), коли загальне розв'язання хвильового рівняння призводить до суми експоненціальних розпадів і наростів, які не можуть досягти граничних умов (крім тривіального розв'язку, що\(u(x,t)=0\)); отже\(K<0\). Це означає, що ми повинні ввести комплексні числа через члени\(\sqrt{K}\) в Рівнянні 2.2.5. Таким чином, ми можемо переписати\(K\):
\[K = - p^2 \label{2.4.1} \]
і рівняння 2.2.4b може бути
\[\dfrac{d^2X(x)}{dx^2} +p^2 X(x) = 0 \label{2.4.2} \]
Загальним розв'язком диференціальних рівнянь у вигляді рівняння\(\ref{2.4.2}\) є рівняння 2.2.5
\[X(x) = A e^{\sqrt{K}x} + B e^{-\sqrt{K}x} \label{2.4.3} \]
що при заміні рівняння\(\ref{2.4.1}\) дають
\[X(x) = A e^{ipx} + B e^{-ipx} \label{2.4.4} \]
Комплексні експоненціальні можуть бути виражені у вигляді тригонометричних функцій за формулою Ейлера (\(e^{i \theta} = \cos \theta + i\sin \theta\))
\[X(x) = A \left[\cos (px) + i \sin (px) \right] + B \left[ \cos (px) - i \sin (px) \right] \nonumber \]
збір подібних термінів
\[X(x) = (A + B ) \cos (px) + i (A - B) \sin (px) \label{2.4.6} \]
Ввести нові комплексні константи\(C=A+B\) і\(D=i(A-B)\) так, щоб загальний розв'язок у Рівнянні\(\ref{2.4.6}\) можна було виражати як коливальні функції
\[X(x) =C \cos (px) + D \sin (px) \label{2.4.7} \]
Переконайтеся, що рівняння\ ref {2.4.3} є загальною формою для диференціальних рівнянь у вигляді Рівняння\(\ref{2.4.2}\).
- Відповідь
-
Для того, щоб показати, що
\[X(x)=A e^{\sqrt{x} x}+B e^{-\sqrt{x} x} \label{2.2.4} \]
є загальним рішенням диференціального рівняння
\[\frac{d^{2} X(x)}{d x^{2}}+p^{2} X(x)=0. \nonumber \]
Потім ми повинні взяти другу похідну від Equation\ ref {2.2.4} і підставити її та вихідну функцію у відповідні місця в Equation\ ref {2.4.3} і перевірити, що вона насправді дорівнює\(0\).
Спочатку ми повинні взяти першу, а потім другу похідну рівняння\ ref {2.2.4}
\ [\ почати {масив} {l}
{\ dfrac {d} {d x}\ ліворуч (A e^ {\ sqrt {k x}} +Б е^ {-\ sqrt {k} х}) =\ sqrt {k} А е^ {\ sqrt {k x}} -\ sqrt {k} B e^ {\ sqrt {k}\\
{\ dfrac {d^ {2}} {d x^ {2}}\ ліворуч (А е^ {\ sqrt {k x}} +Б е^ {-\ sqrt {k} x}\ праворуч) =k A e^ {\ sqrt {k x}} +k B e^ {-\ sqrt {k x}}
\ кінець { масив}\ nonumber\]Тепер, коли ми маємо другу похідну від Equation\ ref {2.2.4}, ми підключаємо відповідні значення до Equation\ ref {2.4.2}
\[\begin{align*} \dfrac{d^{2} X(x)}{d x^{2}}+p^{2} X(x)=0 \\ k A e^{\sqrt{k} x}+k B e^{-\sqrt{k} x}+p^{2}\left(A e^{\sqrt{k} x}+B e^{-\sqrt{k} x}\right) \overset{?}{=} 0 \end{align*} \nonumber \]
Ми задані в рівнянні\ ref {2.4.2} що
\[ k=-p^{2} \nonumber \]
Так
\[p^{2}=-k \nonumber \]
Тепер ми можемо підключити це до нашого диференціального рівняння, щоб спростити
\[\begin{align*} k A e^{\sqrt{k} x}+k B e^{-\sqrt{k} x} - k\left(A e^{\sqrt{k} x}+B e^{-\sqrt{k} x} \right) &\overset{?}{=} 0 \\[4pt] \bcancel{ k A e^{\sqrt{k x}}} + \cancel{k B e^{-\sqrt{k x}}} - \bcancel{k A e^{\sqrt{k x}}} - \cancel{k B e^{-\sqrt{k x}}} & \overset{\checkmark}{=} 0 \end{align*} \nonumber \]
Оскільки всі ці члени скасовуються до рівних 0, доведено, що даний розв'язок є загальним розв'язком диференціального рівняння. Важливо пам'ятати, що це не єдине рішення диференціального рівняння.
Тепер застосуємо граничні умови з Рівняння 2.2.7 для визначення констант\(C\) і\(D\). Підстановка першої граничної умови (\(X(x=0)=0\)) в загальні розв'язки рівняння\(\ref{2.4.7}\) призводить до
\[\begin{align} X(x=0) &= 0 \\[4pt] C \cos (0) + D \sin (0) &=0 \label{2.4.8a} \\[4pt] C + 0 &= 0 \label{2.4.8b} \\[4pt] C&=0 \label{2.4.8c} \end{align} \]
і підстановка другої граничної умови (\(X(x=L)=0\)) в загальні розв'язки Рівняння\(\ref{2.4.7}\) призводить до
\[ X(x=L) = C \cos (pL) + D \sin (pL) = 0 \label{2.4.9} \]
ми вже знаємо, що\(C=0\) з першої граничної умови тому рівняння\(\ref{2.4.9}\) спрощує
\[ D \sin (pL) = 0 \label{2.4.10} \]
Враховуючи властивості синусів, рівняння\ ref {2.4.9} спрощує
\[ pL= n\pi \label{2.4.11} \]
з\(n=0\) - це тривіальне рішення, яке ми так ігноруємо\(n = 1, 2, 3...\).
\[ p = \dfrac{n\pi}{L} \label{2.4.12} \]
Заміна рівнянь\(\ref{2.4.12}\) і\(\ref{2.4.8c}\) в рівняння\(\ref{2.4.7}\) призводить до
\[X(x) = D \sin \left(\dfrac{n\pi x}{L} \right) \label{2.4.13} \]
Рівняння\(\ref{2.4.13}\) являє собою набір розв'язків просторової частини розв'язку хвильового рівняння з урахуванням граничних умов (Рисунок Template:index). Ця сукупність розв'язків нескінченно велика з окремими розв'язками, які відрізняються один від одного\(n\) параметром, введеним для обліку граничних умов. Це число є прикладом «квантового числа», які повсюдно зустрічаються в квантовій механіці і однозначно визначені для кожної системи.
Часова залежність рішення:\(T(t)\)
Аналогічний аргумент застосовується до іншої половини ансац (\(T(t)\)), спочатку запропонованого для класичного хвильового рівняння, отриманого при розв'язанні Рівняння 2.2.4a, яке якісно нагадує вихідне просторове диференціальне рівняння, розв'язане вище (Equation 2.2.4b).
\[ \dfrac{d^2T(t)}{dt^2} - Kv^2 T(t) = 0 \nonumber \]
Однак обмеження, витягнуті з розв'язання просторової залежності, застосовуються до часової залежності. Коли рівняння\(\ref{2.4.1}\) і\(\ref{2.4.12}\) підставляються в Рівняння 2.2.4a, виходить більш спрощений вираз
\[ \dfrac{d^2T(t)}{dt^2} + p^2v^2 T(t) = \dfrac{d^2T(t)}{dt^2} + \left(\dfrac{n v \pi}{L}\right)^2 T(t) = 0 \label{2.4.14} \]
Визначте нову константу:\(\omega_n\)
\[\omega_n= \left(\dfrac{n v \pi}{L}\right) \label{2.4.15} \]
і підставити в Рівняння\(\ref{2.4.14}\)
\[ \dfrac{d^2T(t)}{dt^2} + \omega_n^2 T(t) = 0 \label{2.4.16} \]
Це та сама функціональна форма Рівняння\(\ref{2.4.2}\)
\[ T(t) = E \cos (\omega_n t) + F \sin (\omega_n t) \label{2.4.17} \]
На відміну від рішення просторової залежності, ми не маємо граничних умов для ідентифікації констант\(E\) і\(F\).
Принцип суперпозиції
Тепер повернемося до оригінального рішення ансаца до класичного хвильового рівняння (Equation 2.2.1), яке можна замінити рівняннями\(\ref{2.4.13}\) та\(\ref{2.4.17}\)
\[\begin{align} u(x,t) &= X(x)T(t) \label{2.4.19a}\ \\[4pt] &= \left[D \sin \left(\dfrac{n\pi x}{L} \right) \right] \left( E \cos (\omega_n t) + F \sin (\omega_n t) \right) \end{align} \label{2.4.18b} \]
ми можемо збирати константи знову з\(G=DE\)\(H=DF\) і вводити\(n\) залежність для кожного, так як\(E\) і\(F\) може бути\(n\) залежністю.
\[u_n(x,t) = \left[ G_n \cos (\omega_n t) + H_n \sin (\omega_n t) \right] \sin \left(\dfrac{n\pi x}{L} \right) \label{2.4.19} \]
Функції, представлені в\(\ref{2.4.19}\) Рівнянні, є сукупністю розв'язків, що включають як просторові, так і часові особливості, які вирішують хвильове рівняння рядка, утримуваної щільно на двох кінцях.
Хвильове рівняння має дуже важливу властивість: якщо у нас є два рішення рівняння, то сума двох також є рішенням рівняння. Перевірити це нескладно:
\[ \dfrac{\partial^2 (f+g)}{\partial x^2} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 g}{\partial x^2} = \dfrac{1}{v^2} \dfrac{\partial^2f}{\partial t^2} +\dfrac{1}{v^2} \dfrac{\partial^2g}{\partial t^2} = \dfrac{1}{v^2} \dfrac{\partial^2(f+g)}{\partial t^2} \nonumber \]
Будь-яке диференціальне рівняння, для якого ця властивість має назву лінійного диференціального рівняння. Також зверніть увагу, що\(af(x,t) + bg(x,t)\) це також рішення рівняння if\(a\),\(b\) є константами. Таким чином, ви можете скласти разом — суперпози-кратні для будь-яких двох розв'язків хвильового рівняння, щоб знайти нову функцію, яка задовольняє рівнянню.
Це важливе властивість легко інтерпретувати візуально: якщо ви можете намалювати два\(u_n(x,t)\) хвильових рішення, то в кожній точці на струні просто додайте зміщення однієї хвилі до іншої\(u_m(x,t)\) —сума двох хвиль разом є рішенням. Так, наприклад, коли дві біжучі хвилі, що рухаються уздовж струни в протилежних напрямках, зустрічаються один з одним, зміщення струни в будь-якій точці в будь-який момент - це лише сума переміщень, які вона мала б від двох хвиль поодинці.
Це просте додавання переміщень є перешкодою, безсумнівно, оскільки якщо хвилі, що зустрічаються, мають зміщення в протилежних напрямках, струна буде зміщена менше, ніж однією хвилею. Це ще називають Принципом суперпозиції.
Принцип суперпозиції - це сума двох або більше розв'язків також є розв'язком.
Оскільки хвильове рівняння є лінійним однорідним диференціальним рівнянням, загальний розв'язок може бути виражений у вигляді суми всіх можливих розв'язків, описаних рівнянням\(\ref{2.4.19}\).
\[\begin{align} u(x,t) &= \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x,t) \label{2.4.20} \\[4pt] & = \sum_{n=1}^{\infty} \left( G_n \cos (\omega_n t) + H_n \sin (\omega_n t) \right) \sin \left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) \label{2.4.21} \end{align} \]
Кожне\(u_n(x,t)\) рішення називається нормальним режимом роботи системи і може бути охарактеризовано за допомогою відповідних частот\(\dfrac{n\pi}{L}\) с\(n=1,2,3...\). Просторова залежність перших семи нормальних режимів показана на рисунку Template:index і є стоячими хвилями. Перший термін з зазвичай\(n=1\) називається фундаментальним, а кожен наступний режим називається обертоном або гармонікою. Тимчасова залежність нормальних режимів синусоїдальна з кутовими частотами\(\omega_n\), які можуть бути розширені до власних частот\(\nu_n\) за допомогою
\[ \nu_n = \dfrac{\omega_n}{2 \pi} = \dfrac{nv}{2L} \label{2.4.22} \]
Отже, у міру збільшення просторової кривизни нормального режиму тимчасове коливання цього режиму також збільшується. Це загальна риса в квантових механічних системах і є прямим наслідком хвильового рівняння.