3.4: Антипохідні формул

Тепер ми можемо скласти ідеї областей та антипохідних, щоб отримати спосіб оцінки певних інтегралів, який є точним і часто легким. Щоб оцінити певний інтеграл$\int\limits_a^b f(t)\, dt$, ми можемо знайти будь-яке антипохідне$F(t)$$f(t)$ і оцінити$F(b) - F(a)$. Проблема знаходження точного значення певного інтеграла зводиться до знаходження деякого (будь-якого)$F$ антипохідного цілого і подальшої оцінки$F(b) - F(a)$. Навіть знайти одне антидериватив може бути важко, і ми будемо дотримуватися функцій, які мають легкі антипохідні.

Будівельні блоки

Антидиференціація йде назад через похідний процес. Отже, найпростіші антидеривативні правила - це просто зворотні версії найпростіших похідних правил. Нагадаємо з глави 2:

Похідні правила: Будівельні блоки

У чому випливає,$f$ і$g$ диференційовані функції$x$.

Постійне множинне правило

$$\frac{d}{dx}\left( kf\right)=kf'\nonumber$$

Правило суми та різниці

$$\frac{d}{dx}\left(f\pm g\right)=f' \pm g'\nonumber$$

Правило влади

$$\frac{d}{dx}\left(x^n\right)=nx^{n-1}\nonumber$$

Особливі випадки:\[\frac{d}{dx}\left(k\right)=0 \quad \text{(Because $k=kx^0$.)}\nonumber \]\[\frac{d}{dx}\left(x\right)=1 \quad \text{(Because $x=x^1$.)}\nonumber \]

Експоненціальні функції

$$\frac{d}{dx}\left(e^x\right)=e^x\nonumber$$ $$\frac{d}{dx}\left(a^x\right)=\ln(a)\,a^x\nonumber$$

Натуральний логарифм

$$\frac{d}{dx}\left(\ln(x)\right)=\frac{1}{x}\nonumber$$

Думати над цими основними правилами було те, як ми придумали антипохідні$2x$ і$e^x$ раніше.

Відповідні правила для антипохідних наступні — кожне з антидеривативних правил просто переписує похідне правило. Всі ці антипохідні можна перевірити шляхом диференціації.

Є одна несподіванка —$\frac{1}{x}$ антипохідне насправді не просто$\ln(x)$, це$\ln|x|$. Це добре - антидериватив має домен, який відповідає домену$\frac{1}{x}$, який більше, ніж домен$\ln(x)$, тому нам не доведеться турбуватися про те, чи є наші$x$ позитивні чи негативні. Але ми повинні бути обережними, щоб включити ці абсолютні значення - інакше ми могли б закінчитися проблемами домену.

Антидеривативні правила: Будівельні блоки

У чому випливає,$f$ і$g$ знаходяться диференційовані функції$x$$k$, і$n$, і$C$ є константами.

Постійне множинне правило

$$\int k\cdot f(x)\, dx=k\cdot\int f(x)\, dx\nonumber$$

Правило суми та різниці

$$\int \left(f(x)\pm g(x)\right)\, dx=\int f(x)\, dx \pm \int g(x)\, dx\nonumber$$

Правило влади

$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C, \text{ provided that } n\neq -1\nonumber$$

Особливий випадок:\[ \int k\, dx =kx+C \quad \text{(Because $k=kx^0$.)}\nonumber \] (Інший спеціальний випадок ($n=-1$) охоплюється далі.)

Натуральний логарифм

$$\int x^{-1}\, dx =\int\frac{1}{x}\, dx = \ln|x|+C\nonumber$$

Експоненціальні функції

$$\int e^x\, dx=e^x +C \nonumber$$ $$\int a^x\, dx = \frac{a^x}{\ln(a)}+C \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{1}$

Знайдіть антипохідне від$y=3x^7-15\sqrt{x}+\frac{14}{x^2}$.

Рішення

$$\begin{align*} \int\left( 3x^7-15\sqrt{x}+\frac{14}{x^2} \right)\, dx & = \int\left( 3x^7-15x^{1/2}+14x^{-2} \right)\, dx \\ & = 3\frac{x^8}{8}-15\frac{x^{3/2}}{3/2}+14\frac{x^{-1}}{-1}+C \\ & = \frac{3}{8}x^8-10x^{3/2}-14x^{-1}+C \end{align*} \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайти$\int\left(e^x+12-\frac{16}{x}\right)\, dx$.

Рішення

$$\int\left(e^x+12-\frac{16}{x}\right)\, dx =e^x+12x-16\ln|x|+C\nonumber$$

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайти$F(x)$ так, щоб$F'(x)=e^x$ і$F(0)=10$.

Рішення

Цього разу ми шукаємо певну антипохідну; нам потрібно знайти саме потрібну константу. Почнемо з пошуку антидериватива: $$\int e^x\, dx=e^x+C \nonumber$$

Отже, ми знаємо$F(x)=e^x+\text{(some constant)}$, що, тепер нам просто потрібно знайти, який з них. Для цього ми використаємо іншу частину інформації (початкова умова): $$\begin{align*} F(x) & = e^x+C \\ F(0) & = e^0+C=1+C=10 \\ C & = 9 \end{align*} \nonumber$$

Особлива константа, яка нам потрібна, - 9; таким чином,$F(x)=e^x+9$.

Причина, по якій ми зараз дивимося на антипохідні, полягає в тому, щоб ми могли точно оцінити певні інтеграли. Нагадаємо фундаментальну теорему числення:

Фундаментальна теорема числення

Якщо$F(x)$ є функцією де$F'(x) = f(x)$, то

$$\int\limits_a^b f(x)\, dx = F(b)-F(a) \nonumber$$

Якщо ми можемо знайти антипохідне для integrand, ми можемо використовувати це для оцінки певного інтеграла. Оцінка$F(b) - F(a)$ представлена у вигляді$\left.F(x)\right]_a^b$ або$\left.F(x)\right|_a^b$.

Приклад$\PageIndex{4}$

$\int\limits_1^3 x\, dx$Оцінювати можна двома способами:

1. Шляхом замальовки графіка$y = x$ і геометрично знаходячи площу.
2. За допомогою знаходження антидериватива$F(x)$ цілісного і оцінюючи$F(3)-F(1)$.

Рішення

1. Графік$y = x$ показаний нижче, а затінена область, що відповідає інтегралу, має площу 4.

   

2. Одне$x$ антипохідне є$F(x)=\frac{1}{2}x^2$, і $$\begin{align*} \int\limits_1^3 x\, dx & = \left[\frac{1}{2}x^2\right]_1^3 \\ & = \left(\frac{1}{2}(3)^2\right) - \left(\frac{1}{2}(1)^2\right) \\ & = \frac{9}{2}-\frac{1}{2} \\ & = 4. \end{align*} \nonumber$$ Зверніть увагу, що ця відповідь узгоджується з відповіддю, яку ми отримали геометрично.

   Якщо ми використовували інше антипохідне від х, скажімо$F(x)=\frac{1}{2}x^2+7$, то $$\begin{align*} \int\limits_1^3 x\, dx & = \left[\frac{1}{2}x^2+7\right]_1^3 \\ & = \left(\frac{1}{2}(3)^2+7\right) - \left(\frac{1}{2}(1)^2+7\right) \\ & = \frac{9}{2}+7-\frac{1}{2}-7 \\ & = 4. \end{align*} \nonumber$$

   Загалом, незалежно від константи, яку ми вибираємо, віднімається під час оцінки, тому ми могли б також завжди вибрати найпростіший, де константа дорівнює 0.

Приклад$\PageIndex{5}$

Знайдіть площу між графіком$y = 3x^2$ і горизонтальною віссю для$x$ між 1 і 2.

Рішення

Це $$\int\limits_1^2 3x^2\, dx = \left.x^3\right|_1^2 = 2^3-1^3 = 7. \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{6}$

Робот був запрограмований так, що коли він почне рухатися, його швидкість через$t$ секунди становитиме$3t^2$ фути/секунду.

1. Як далеко проїде робот протягом перших 4 секунд руху?
2. Як далеко робот проїде протягом наступних 4 секунд руху?

Рішення

1. Відстань протягом перших 4 секунд буде областю під графіком швидкості, від$t = 0$ до$t = 4$.

   

   Ця область є певним інтегралом$\int\limits_0^4 3t^2\, dt$. Антипохідне від$3t^2$ є$t^3$, так$\int\limits_0^4 3t^2\, dt =\left. t^3 \right]_0^4 =4^3-0^3 = 64$ ноги.

2. $\int\limits_4^8 3t^2\, dt =\left. t^3 \right]_4^8=8^3-4^3 =512 - 64 = 448$стопи.

Приклад$\PageIndex{7}$

Припустимо, що через$t$ хвилини після покладання 1000 бактерій на тарілку Петрі швидкість росту популяції становить$6t$ бактерії в хвилину.

1. Скільки нових бактерій додається в популяцію протягом перших 7 хвилин?
2. Яка загальна чисельність населення через 7 хвилин?

Рішення

1. Кількість нових бактерій - це площа під графіком швидкості росту, а одна антипохідна$6t$ - це$3t^2$.

   

   Так $$\text{new bacteria}=\int\limits_0^7 6t\, dt= \left. 3t^2\right|_0^7=3(7)^2-3(0)^2=147\nonumber$$

2. Нова популяція = (стара популяція) + (нові бактерії) = 1000 + 147 = 1147 бактерій.

Приклад$\PageIndex{8}$

Компанія визначає їх граничні витрати на виробництво, в доларах за одиницю, є$MC(x)=\frac{4}{\sqrt{x}}+2$ при виробництві$x$ тисячі найменувань. Знайдіть витрати на збільшення виробництва з 4 тисяч найменувань до 5 тисяч найменувань.

Рішення

Пам'ятайте, що гранична вартість - це швидкість зміни вартості, і тому фундаментальна теорема говорить нам про це$\int\limits_a^b MC(x)\, dx = \int\limits_a^b C'(x)\, dx = C(b)-C(a)$. Іншими словами, інтеграл граничної вартості дасть нам чисту зміну вартості. Щоб знайти вартість збільшення виробництва з 4 тис. найменувань до 5 тисяч найменувань, нам потрібно інтегрувати$\int\limits_4^5 MC(x)\, dx$.

Ми можемо написати граничну вартість як$MC(x)=4x^{-1/2}+2$. Потім ми можемо використовувати основні правила, щоб знайти антидериватив: $$C(x)=4\frac{x^{1/2}}{1/2}+2x=8\sqrt{x}+2x.\nonumber$$

Використовуючи це, $$\begin{align*} \text{Net change in cost } & = \int\limits_4^5 \left(4x^{-1/2}+2\right)\, dx \\ & = \left[ 8\sqrt{x}+2x \right]_4^5 \\ & = \left( 8\sqrt{5}+2(5) \right)-\left( 8\sqrt{4}+2(4) \right) \\ & \approx 3.889 \end{align*} \nonumber$$

Це обійдеться в 3,889 тисячі доларів, щоб збільшити виробництво з 4 тисяч найменувань до 5 тисяч найменувань. (Остаточна відповідь буде краще написана як $3889.)