1.1: Функції

Що таке функція?

Світ природи сповнений взаємозв'язків між величинами, які змінюються. Коли ми бачимо ці відносини, природно для нас запитати Якщо я знаю одну кількість, чи можу я тоді визначити іншу? Це встановлює ідею вхідної величини, або незалежної змінної, і відповідної вихідної кількості, або залежної змінної. З цього ми отримуємо поняття функціональної залежності, в якій вихід можна визначити за входом.

Для деяких величин, таких як зріст і вік, між цими величинами, безумовно, існують відносини. Враховуючи конкретну людину та будь-який вік, досить легко визначити їх зріст, але якби ми спробували змінити ці стосунки та визначити зріст із заданого віку, це було б проблематично, оскільки більшість людей підтримують однаковий зріст протягом багатьох років.

Функція

Функція є правилом для зв'язку між вхідною або незалежною кількістю і виходом, або залежною, величиною, в якій кожне вхідне значення однозначно визначає одне вихідне значення. Ми говоримо, що вихід є функцією входу.

Приклад$\PageIndex{1}$

У прикладі зростання та віку вище, чи є висота функцією віку? Чи є вік функцією висоти?

Рішення

У прикладі зростання та віку вище було б правильно сказати, що висота - це функція віку, оскільки кожен вік однозначно визначає висоту. Наприклад, на мій 18-й день народження у мене був рівно один зріст 69 дюймів.

Однак вік не є функцією висоти, оскільки один вхід висоти може відповідати більш ніж одному вихідному віку. Наприклад, для вхідної висоти 70 дюймів, є більше одного виходу віку, оскільки я був 70 дюймів у віці 20 і 21 років.

Функція позначення

Для спрощення виписування виразів і рівнянь за участю функцій часто використовують спрощене позначення. Ми також використовуємо описові змінні, щоб допомогти нам запам'ятати значення величин у задачі.

Замість того, щоб писати висота є функцією віку, ми могли б використовувати описову змінну$h$ для представлення висоти, і ми могли б використовувати описову змінну$a$ для представлення віку.

«висота - це функція віку»	якщо ми називаємо функцію, яку$f$ ми пишемо
«$h$$f$є$a$»	або простіше
$h = f(a)$	ми могли б замість цього назвати функцію$h$ і написати
$h(a)$	який читається "$h$з$a$»

Пам'ятайте, що ми можемо використовувати будь-яку змінну, щоб назвати функцію; позначення$h(a)$ показує нам, що$h$ залежить від$a$. Значення $a$необхідно поставити в функцію, $h$щоб отримати результат. Будьте обережні — дужки вказують на те, що у функцію вводиться вік (Примітка: не плутайте ці дужки з множенням!).

Функція позначення

Позначення output =$f$ (input) визначає функцію з ім'ям$f$. Це буде зчитування виводу$f$ з вхідних даних.

Приклад$\PageIndex{2}$

Функція$N = f(y)$ дає кількість поліцейських$N$, у місті на рік$y$. Що нам$f(2005) = 300$ говорить?

Рішення

Коли ми читаємо$f(2005) = 300$, ми бачимо вхідну кількість 2005, що є значенням для вхідної кількості функції, рік ($y$). Вихідне значення 300, кількість поліцейських ($N$), значення для вихідної кількості. Запам'ятайте$N=f(y)$. Це говорить нам про те, що у 2005 році в місті було 300 поліцейських.

Таблиці як функції

Функції можуть бути представлені різними способами: Words (як ми робили в останніх кількох прикладах), таблиці значень, графіки або формули. Представлений у вигляді таблиці, нам представлений список вхідних і вихідних значень.

Ця таблиця відображає вік дітей в роках і відповідні їм висоти. Хоча деякі таблиці показують всю інформацію, яку ми знаємо про функцію, ця конкретна таблиця представляє лише деякі дані, доступні для росту та віку дітей.

(вхід)$a$, вік в роках	4	5	6	7	8	9	10
(вихід)$h$, висота в дюймах	40	42	44	47	50	52	54

Приклад$\PageIndex{3}$

Яка з цих таблиць визначає функцію (якщо така є)?

Вхідні	Вихід
2	1
5	3
8	6

Вхідні	Вихід
-3	5
0	1
4	5

Вхідні	Вихід
1	0
5	2
5	4

Рішення

Перша і друга таблиці визначають функції. В обох кожному вході відповідає рівно один вихід. Третя таблиця не визначає функцію, оскільки вхідне значення 5 відповідає двом різним вихідним значенням.

Розв'язування та оцінка функцій

Коли ми працюємо з функціями, ми робимо дві типові речі: оцінюємо та вирішуємо. Оцінка функції - це те, що ми робимо, коли знаємо вхід, і використовуємо функцію для визначення відповідного виходу. Оцінювання завжди дасть один результат, оскільки кожен вхід функції відповідає рівно одному виводу.

Рішення рівнянь за участю функції - це те, що ми робимо, коли ми знаємо вихід, і використовуємо функцію для визначення входів, які будуть виробляти цей вихід. Рішення функції може призвести до більш ніж одного рішення, оскільки різні входи можуть давати однаковий вихід.

Приклад$\PageIndex{4}$

Використовуючи наведену таблицю, де$Q=g(n)$

$n$	1	2	3	4	5
$Q$	8	6	7	6	8

1. Оцінити$g(3)$
2. Вирішити$g(n)=6$

Рішення

1. Оцінювати$g(3)$: Оцінка$g(3)$ (читай: g з 3) означає$Q$, що нам потрібно визначити вихідне значення функції g з урахуванням вхідного значення$n=3$. Дивлячись на таблицю, ми бачимо вихід, відповідний$n=3$ is$Q=7$, що дозволяє зробити висновок$g(3) = 7$.
2. Вирішити$g(n)=6$: Рішення$g(n) = 6$ означає, що нам потрібно визначити, які вхідні значення$n$, виробляти вихідне значення 6. Дивлячись на таблицю, ми бачимо, що є два рішення:$n = 2$ і$n = 4$. Коли ми вводимо 2 в функцію$g$, наш вихід є$Q = 6$. Коли ми вводимо 4 в функцію$g$, наш вихід також$Q = 6$.

Графіки як функції

Часто графік зв'язку може бути використаний для визначення функції. За умовністю графіки зазвичай створюються з вхідною величиною вздовж горизонтальної осі та вихідною величиною вздовж вертикалі.

Приклад$\PageIndex{5}$

Який з цих графіків визначає функцію$y=f(x)$?

Рішення

Дивлячись на три графіки вище, перші два визначають функцію$y=f(x)$, так як для кожного вхідного значення вздовж горизонтальної осі є рівно одне відповідне вихідне значення, яке визначається значенням y графіка. Третій графік не визначає функцію,$y=f(x)$ оскільки деякі вхідні значення, наприклад$x=2$, відповідають більш ніж одному вихідному значенню.

Тест вертикальної лінії

Тест вертикальної лінії - це зручний спосіб подумати про те, чи визначає графік вертикальний вихід як функцію горизонтального входу. Уявіть, що ви малюєте вертикальні лінії через графік. Якщо будь-яка вертикальна лінія перетинає графік більше одного разу, то графік не визначає лише один вертикальний вихід для кожного горизонтального входу.

Для оцінки функції за допомогою графіка потрібно взяти заданий вхід і використовувати графік для пошуку відповідного результату. Розв'язування рівняння функції за допомогою графіка вимагає взяття заданого виходу і перегляду графіка для визначення відповідного входу.

Приклад$\PageIndex{6}$

З огляду на наведену нижче графіку,

1. Оцінити$f(2)$.
2. Вирішити$f(x) = 4$.

Рішення

1. Для оцінки$f(2)$ знаходимо вхід по$x=2$ горизонтальній осі. Переміщення вгору до графіка дає точку (2, 1), що дає вихід$y=1$. Отже$f(2) = 1$.
2. Щоб вирішити$f(x) = 4$, ми знаходимо значення 4 на вертикальній осі, тому що якщо$f(x) = 4$ тоді 4 - це вихід. Переміщення по горизонталі по графіку дає дві точки з виходом 4: (-1,4) і (3,4). Вони дають два рішення$f(x) = 4$:$x = -1$ або$x = 3$. Це означає$f(3)=4$,$f(-1)=4$ і, або коли вхід -1 або 3, вихід дорівнює 4.

Зверніть увагу, що в той час як графік у попередньому прикладі є функцією, отримання двох вхідних значень для вихідного значення 4 показує нам, що ця функція не один до одного.

Формули як функції

Коли це можливо, дуже зручно визначати відносини за допомогою формул. Якщо є можливість висловити висновок у вигляді формули, що включає вхідну величину, то ми можемо визначити функцію.

Приклад$\PageIndex{7}$

Висловіть відносини$2n + 6p = 12$ як функцію,$p = f(n)$ якщо це можливо.

Рішення

Щоб висловити відносини в цій формі, нам потрібно вміти писати відносини, де$p$ є функція$n$, що означає писати його як$p =$ [щось пов'язане$n$].

$2n + 6p = 12$	відняти$2n$ з обох сторін
$6p = 12 - 2n$	розділити обидві сторони на 6 і спростити

$$p=\frac{12-2n}{6}=\frac{12}{6}-\frac{2n}{6}=2-\frac{1}{3}n\nonumber$$

Переписавши формулу як$p=$, тепер ми можемо висловити$p$ як функцію:$p=f(n)=2-\frac{1}{3}n$

Далеко не кожен зв'язок може бути виражений у вигляді функції за допомогою формули.

Як і у випадку з таблицями та графіками, прийнято оцінювати та вирішувати функції, що включають формули. Оцінка зажадає заміни вхідної змінної в формулі на надане значення і обчислення. Рішення вимагатиме заміни вихідної змінної у формулі на надане значення та рішення для вхідних даних, які б дали цей вихід.

Приклад$\PageIndex{8}$

З огляду на функцію$k(t)=t^3+2$:

1. Оцінити$k(2)$.
2. Вирішити$k(t)=1$.

Рішення

1. Для оцінки$k(2)$ ми вставляємо вхідне значення 2 у формулу всюди, де ми бачимо вхідну змінну$t$, а потім спрощуємо: $$\begin{align*}k(2) & = 2^3+2\\k(2) & = 8+2 \end{align*}\nonumber$$ Отже$k(2) = 10$.
2. Для вирішення задаємо формулу$k(t) = 1$,$k(t)$ рівну 1, і вирішуємо для вхідного значення, яке дасть цей вихід: $$\begin{align*} k(t) & = 1 & \\ t^3+2 & = 1 &\text{substitute the original formula} \\ t^3 & = -1 &\text{subtract 2 from each side} \\ t & = 1 &\text{take the cube root of each side} \end{align*}\nonumber$$

Вирішуючи рівняння за допомогою формул, ви можете перевірити свою відповідь, використовуючи своє рішення у вихідному рівнянні, щоб перевірити, чи правильно розрахована відповідь.

Ми хочемо знати, чи$k(t) = 1$ правда коли$t=-1$: $$\begin{align*}k(-1) & = (-1)^3+2\\ & = -1+2\\ & = 1,\end{align*}\nonumber$$ який був бажаний результат.

Основні функції інструментарію

Є деякі основні функції, які корисно знати назву та форму. Ми називаємо їх основним інструментарієм функцій. Для цих визначень ми будемо використовувати$x$ як вхідну змінну і$f(x)$ як вихідну змінну.

Функції інструментарію

Лінійний
Постійна:	$f(x)=c$, Де$c$ константа (число)
Ідентичність:	$f(x)=x$
Абсолютне значення:	$f(x)=|x|$
Потужність
Квадратичний:	$f(x)=x^2$
Кубічний:	$f(x)=x^3$
Взаємний:	$f(x)=\frac{1}{x}$
Відповідний квадрат:	$f(x)=\frac{1}{x^2}$
Квадратний корінь:	$f(x)=\sqrt[2]{x}=\sqrt{x}$
Кубичний корінь:	$f(x)=\sqrt[3]{x}$

Графіки функцій інструментарію

Константа:$f(x)=c$ (c дорівнює 2 на цій картинці).

Ідентичність:$f(x)=x$

Абсолютне значення:$f(x)=|x|$

Квадратичний:$f(x)=x^2$

Кубічний:$f(x)=x^3$

Взаємний:$f(x)=\frac{1}{x}$

Відповідний квадрат:$f(x)=\frac{1}{x^2}$

Квадратний корінь:$f(x)=\sqrt[2]{x}=\sqrt{x}$

Кубичний корінь:$f(x)=\sqrt[3]{x}$

Однією з наших головних цілей в математиці є моделювання реального світу за допомогою математичних функцій. При цьому важливо пам'ятати про обмеження тих моделей, які ми створюємо.

Ця таблиця показує залежність між окружністю і висотою дерева в міру його зростання.

Окружність,$c$	1.7	2.5	5.5	8.2	13,7
Висота,$h$	24.5	31	45.2	54.6	92.1

Хоча між ними існує сильний зв'язок, безумовно, було б смішно говорити про дерево з окружністю -3 футів або висотою 3000 футів. Коли ми виявляємо обмеження на входи та виходи функції, ми визначаємо область та діапазон функції.

Домен і діапазон

• Домен: набір можливих вхідних значень функції.
• Діапазон: множина можливих вихідних значень функції

Приклад$\PageIndex{9}$

Використовуючи таблицю дерева вище, визначте розумний домен і діапазон.

Рішення

Ми могли б об'єднати надані дані з власним досвідом та розумом, щоб наблизити область та діапазон функції$h = f(c)$. Для домену можливі значення для вхідної окружності c, немає сенсу мати негативні значення, так що$c > 0$. Ми могли б зробити освічене припущення при максимально розумному значенні, або подивитися, що максимальна вимірювана окружність становить близько 119 футів. З цією інформацією ми б сказали, що розумним доменом є ноги.

Аналогічно для діапазону, не має сенсу мати негативні висоти, і максимальна висота дерева може бути розглянута до 379 футів, тому розумний діапазон - це ноги.

Більш компактною альтернативою позначенню нерівності є інтервальні позначення, в яких інтервали значень позначаються початковим і кінцевим значеннями. Вигнуті дужки використовуються для строго менше, а квадратні дужки використовуються для менше або рівні. Оскільки нескінченність не є числом, ми не можемо включити її в інтервал, тому ми завжди використовуємо вигнуті дужки з$\infty$ і$-\infty$. Таблиця нижче допоможе вам побачити, як нерівності відповідають інтервальним позначенням:

Нерівність	Інтервальні позначення
$5 \lt h \leq10$	(5, 10]
$5\leq h \lt10$	[5, 10)
$5 \lt h \lt 10$	(5, 10)
$h \lt10$	$(-\infty,10)$
$h\geq10$	$[10,\infty)$
Усі дійсні числа ($\mathbb{R}$)	$(-\infty,\infty)$

Приклад$\PageIndex{10}$

Опишіть інтервали значень, показані на лінійному графіку нижче, використовуючи конструктор множини та інтервальні позначення:

Рішення

Для опису значень$x$, які лежать в інтервалах, показаних вище, ми б сказали, $x$є дійсним числом більше або дорівнює 1 і менше або дорівнює 3, або дійсне число більше 5. Як нерівність це $1\leq x\leq 3$або$x \gt 5$. У інтервальних позначеннях він є $[1,3]\cup(5,\infty)$.

Приклад$\PageIndex{11}$

Знайдіть домен кожної функції:

1. $f(x)=2\sqrt{x+4}$
2. $g(x)=\dfrac{3}{6-3x}$

Рішення

1. Оскільки ми не можемо взяти квадратний корінь від'ємного числа, нам потрібно, щоб внутрішня частина квадратного кореня була невід'ємною. $x+4\geq 0$коли$x\geq -4$, так домен$f(x)$ є$[-4,\infty)$.
2. Ми не можемо розділити на нуль, тому нам потрібно, щоб знаменник був ненульовим. $6-3x=0$коли$x = 2$, тому ми повинні виключити 2 з домену. Домен$g(x)$ is$(-\infty,2)\cup(2,\infty)$.