14: Диференціація функцій декількох змінних
- Page ID
- 61784
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
При роботі з функцією більш ніж однієї незалежної змінної, природно виникає кілька питань. Наприклад, як обчислити межі функцій більш ніж однієї змінної? Визначення похідної, яку ми використовували раніше, включало обмеження. Чи включає нове визначення похідної також обмеження? Чи застосовуються в цьому контексті правила диференціації? Чи можна знайти відносні екстремуми функцій за допомогою похідних? На всі ці питання ви знайдете відповіді в цьому розділі.
- 14.0: Прелюдія до диференціації функцій декількох змінних
- Припустимо, однак, що у нас є величина, яка залежить від більш ніж однієї змінної. Наприклад, температура може залежати від місця розташування та часу доби, або модель прибутку компанії може залежати від кількості проданих одиниць та кількості коштів, витрачених на рекламу. Залежно від характеру обмежень змінюється і спосіб вирішення, і сам розчин.
- 14.1: Функції декількох змінних
- Наш перший крок - пояснити, що таке функція більш ніж однієї змінної, починаючи з функцій двох незалежних змінних. Цей крок включає визначення області та діапазону таких функцій та навчання їх графіку. Також розглянуто способи співвіднесення графіків функцій у трьох вимірах до графіків більш звичних плоских функцій.
- 14.2: Межі та безперервність
- Зараз ми розглянули функції більш ніж однієї змінної і побачили, як їх графікувати. У цьому розділі ми бачимо, як взяти межу функції більш ніж однієї змінної, і що це означає, щоб функція більше однієї змінної була безперервною в точці своєї області. Виявляється, ці поняття мають аспекти, які просто не зустрічаються з функціями однієї змінної.
- 14.3: Часткові похідні
- Пошук похідних функцій двох змінних є ключовим поняттям у цій главі, з такою кількістю застосувань у математиці, науці та техніці, як диференціація однозмінних функцій. Однак ми вже бачили, що межі та безперервність багатоваріантних функцій мають нові проблеми і вимагають нової термінології та ідей для їх вирішення. Це також переходить у диференціацію.
- 14.4: Дотичні площини та лінійні наближення
- У цьому розділі розглядається задача знаходження дотичної площини до поверхні, що аналогічно знаходженню рівняння дотичної лінії до кривої, коли крива визначається графіком функції однієї змінної, y=f (x). Нахил дотичної лінії в точці x=ax=a задається m=f' (a); який нахил дотичної площини? Ми дізналися про рівняння площини в рівняннях ліній і площин у просторі; в цьому розділі ми бачимо, як його можна застосувати до проблеми.
- 14.5: Правило ланцюга для багатоваріантних функцій
- В однозмінному численні ми виявили, що одним з найбільш корисних правил диференціації є правило ланцюга, яке дозволяє знайти похідну від складу двох функцій. Те ж саме справедливо і для багатоваріантного обчислення, але на цей раз нам доводиться мати справу з більш ніж однією формою правила ланцюга. У цьому розділі ми вивчимо розширення правила ланцюга і дізнаємося, як приймати похідні композицій функцій більш ніж однієї змінної.
- 14.6: Спрямовані похідні та градієнт
- Функція\(z=f(x,y)\) має дві часткові похідні:\(∂z/∂x\) і\(∂z/∂y\). Ці похідні відповідають кожній з незалежних змінних і можуть інтерпретуватися як миттєві швидкості зміни (тобто як нахили дотичної лінії). Аналогічно\(∂z/∂y\) представляє нахил дотичної лінії, паралельної осі y. Тепер розглянемо можливість дотичної лінії, паралельної ні одній осі.
- 14.8: Множники Лагранжа
- Розв'язування задач оптимізації функцій двох і більше змінних може бути аналогічним вирішенню таких задач в однозмінному численні. Однак методи боротьби з декількома змінними дозволяють нам вирішувати більш різноманітні задачі оптимізації, для яких нам потрібно мати справу з додатковими умовами або обмеженнями. У цьому розділі ми розглянемо один з найбільш поширених і корисних методів вирішення задач оптимізації з обмеженнями.
Мініатюра: Реальна функція двох реальних змінних. (Громадське надбання; Машен).