2.4E: Вправи для розділу 2.4

Для вправ 1 - 8 визначте точку (и), якщо така є, при якій кожна функція переривається. Класифікуйте будь-який розрив як стрибок, знімний, нескінченний або інший.

1)$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

Відповідь

Функція визначається для всіх$x$ в інтервалі$(0,∞)$.

2)$f(x)=\dfrac{2}{x^2+1}$

3)$f(x)=\dfrac{x}{x^2−x}$

Відповідь

Знімний розрив при$x=0$; нескінченний розрив при$x=1$.

4)$g(t)=t^{−1}+1$

5)$f(x)=\dfrac{5}{e^x−2}$

Відповідь

Нескінченний розрив при$x=\ln 2$

6)$f(x)=\dfrac{|x−2|}{x−2}$

7)$H(x)=\tan 2x$

Відповідь

Нескінченні розриви при$x=\dfrac{(2k+1)π}{4}$, для$k=0,\,±1,\,±2,\,±3,\,…$

8)$f(t)=\dfrac{t+3}{t^2+5t+6}$

Для вправ 9 - 14 вирішите, чи функція безперервна в заданій точці. Якщо він переривчастий, який це тип розриву?

9)$\dfrac{2x^2−5x+3}{x−1}$ при$x=1$

Відповідь

Ні. Являє собою знімний розрив.

10)$h(θ)=\dfrac{\sin θ−\cos θ}{\tan θ}$ в$θ=π$

11)$g(u)=\begin{cases}\dfrac{6u^2+u−2}{2u−1}, & \text{if }u≠ \frac{1}{2} \\ \frac{7}{2}, & \text{if }u= \frac{1}{2} \end{cases}$, в$u=\frac{1}{2}$

Відповідь

Так. Він суцільний.

12)$f(y)=\dfrac{\sin(πy)}{\tan(πy)}$, в$y=1$

13)$f(x)=\begin{cases}x^2−e^x, & \text{if } x<0\\x−1, & \text{if }x≥0\end{cases}$, в$x=0$

Відповідь

Так. Він суцільний.

14)$f(x)=\begin{cases}x\sin(x), & \text{if }x≤π\\ x\tan(x), & \text{if }x>π\end{cases}$, в$x=π$

У вправах 15 - 19 знайдіть значення (и),$k$ що робить кожну функцію безперервною протягом заданого інтервалу.

15)$f(x)=\begin{cases}3x+2, & \text{if }x<k\\2x−3, & \text{if }k≤x≤8\end{cases}$

Відповідь

$k=−5$

16)$f(θ)=\begin{cases}\sin θ, & \text{if }0≤θ<\frac{π}{2}\\ \cos(θ+k), & \text{if }\frac{π}{2}≤θ≤π\end{cases}$

17)$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2+3x+2}{x+2}, & \text{if }x≠−2\\ k, & \text{if }x=−2\end{cases}$

Відповідь

$k=−1$

18)$f(x)=\begin{cases}e^{kx}, & \text{if }0≤x<4\\x+3, & \text{if }4≤x≤8\end{cases}$

19)$f(x)=\begin{cases}\sqrt{kx}, & \text{if }0≤x≤3\\x+1, & \text{if }3<x≤10\end{cases}$

Відповідь

$k=\frac{16}{3}$

У вправах 20 - 21 використовуйте теорему проміжних значень (IVT).

20) Нехай$h(x)=\begin{cases}3x^2−4, & \text{if }x≤2\\5+4x, & \text{if }x>2\end{cases}$ над$[0,4]$ інтервалом немає значення$x$ такого$h(x)=10$, що, хоча$h(0)<10$ і$h(4)>10$. Поясніть, чому це не суперечить IVT.

21) Частинка, що рухається уздовж лінії протягом часу,$t$ має функцію положення$s(t)$, яка є безперервною. Припустимо$s(2)=5$ і$s(5)=2$. Інша частинка рухається таким чином, що її положення задається$h(t)=s(t)−t$. Поясніть, чому має бути значення$c$ для$2<c<5$ такого, що$h(c)=0$.

Відповідь

Оскільки обидва$s$ і$y=t$ є безперервними всюди,$h(t)=s(t)−t$ то всюди безперервно і, зокрема, безперервно протягом замкнутого інтервалу [$2,5$]. Також,$h(2)=3>0$ і$h(5)=−3<0$. Тому за IVT існує$x=c$ таке значення, що$h(c)=0$.

22) [T] Використовуйте твердження «Косинус$t$ дорівнює$t$ кубічному».

а. написати математичне рівняння твердження.

b. довести, що рівняння в частині a. має принаймні одне дійсне рішення.

c Використовуйте калькулятор, щоб знайти інтервал довжини$0.01$, який містить розв'язок.

23) Застосуйте IVT, щоб визначити, чи$2^x=x^3$ має рішення в одному з інтервалів [$1.25,1.375$] або [$1.375,1.5$]. Коротко поясніть свою відповідь на кожен інтервал.

Відповідь

Функція$f(x)=2^x−x^3$ є безперервною протягом інтервалу [$1.25,1.375$] і має протилежні ознаки в кінцевих точках.

24) Розглянемо графік функції,$y=f(x)$ показаний на наступному графіку.

a. знайти всі значення, для яких функція є переривчастою.

б Для кожного значення в частині а., вкажіть, чому формальне визначення безперервності не застосовується.

c Класифікувати кожен розрив як стрибок, знімний або нескінченний.

25) Нехай$f(x)=\begin{cases}3x, & \text{if }x>1\\ x^3, & \text{if }x<1\end{cases}$.

а. ескіз графіка$f$.

б Чи можна знайти$k$ таке значення$f(1)=k$, яке робить$f(x)$ безперервним для всіх дійсних чисел? Коротко поясніть.

Відповідь

а.

1. Це істоти з відкритим колом в (1,3)." style="width: 423px; height: 431px;" width="423px" height="431px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_04_202.jpeg">

b. неможливо перевизначити,$f(1)$ оскільки розрив є розривом стрибка.

26) Нехай$f(x)=\dfrac{x^4−1}{x^2−1}$ за$x≠−1,1$.

а. ескіз графіка$f$.

б Чи можна знайти значення$k_1$ і$k_2$ такі, що і$f(1)=k_2$,$f(−1)=k$ і що робить$f(x)$ безперервним для всіх дійсних чисел? Коротко поясніть.

27) Намалюйте графік функції$y=f(x)$ з властивостями i. через vii.

i. домен$f$ is ($−∞,+∞$).

II. $f$має нескінченний розрив при$x=−6$.

iii. $f(−6)=3$

IV. $\displaystyle \lim_{x→−3^−}f(x)=\lim_{x→−3^+}f(x)=2$

v.$f(−3)=3$

vi. $f$лівий безперервний, але не правий безперервний в$x=3$.

vii. $\displaystyle \lim_{x→−∞}f(x)=−∞$і$\displaystyle \lim_{x→+∞}f(x)=+∞$

Відповідь

Відповіді можуть відрізнятися; див. наступний приклад:

3." style="width: 419px; height: 422px;" width="419px" height="422px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_04_207.jpeg">

28) Намалюйте графік функції$y=f(x)$ з властивостями i. через iv.

i. Домен$f$ є [$0,5$].

II. $\displaystyle \lim_{x→1^+}f(x)$і$\displaystyle \lim_{x→1^−}f(x)$ існують і рівні.

iii. $f(x)$лівий безперервний, але не безперервний на$x=2$, і правий безперервний, але не безперервний при$x=3$.

IV. $f(x)$має знімний розрив при$x=1$, стрибок розриву при$x=2$, а наступні межі утримують:$\displaystyle \lim_{x→3^−}f(x)=−∞$ і$\displaystyle \lim_{x→3^+}f(x)=2$.

У вправах 29 - 30,$y=f(x)$ припустимо визначено для всіх$x$. Для кожного опису накидайте графік із зазначеною властивістю.

29) Переривчастий при$x=1$ з$\displaystyle \lim_{x→−1}f(x)=−1$ і$\displaystyle \lim_{x→2}f(x)=4$

Відповідь

Відповіді можуть відрізнятися; див. наступний приклад:

1. Починається з (1,3)." style="width: 423px; height: 431px;" width="423px" height="431px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_04_205.jpeg">

30)$x=2$ Переривчастий в, але безперервний в іншому місці з$\displaystyle \lim_{x→0}f(x)=\frac{1}{2}$

Визначте, чи відповідає дійсності кожне з заданих тверджень. Обгрунтуйте свою відповідь поясненням або зустрічнимприкладом.

31)$f(t)=\dfrac{2}{e^t−e^{−t}}$ безперервна всюди.

Відповідь

Помилкові. Це безперервно над ($−∞,0$) ($0,∞$).

32) Якщо ліві та праві межі$f(x)$ як$x→a$ існують і рівні, то$f$ не можуть бути переривчастими при$x=a$.

33) Якщо функція не є безперервною в точці, то вона не визначена в цій точці.

Відповідь

Помилкові. Розглянемо$f(x)=\begin{cases}x, & \text{if }x≠0\\ 4, & \text{if }x=0\end{cases}$.

34) Відповідно до IVT,$\cos x−\sin x−x=2$ має рішення через інтервал [$−1,1$].

35) Якщо$f(x)$ суцільний такий, що$f(a)$ і$f(b)$ має протилежні ознаки, то$f(x)=0$ має рівно одне рішення в [$a,b$].

Відповідь

Помилкові. Розглянемо$f(x)=\cos(x)$ на [$−π,2π$].

36) Функція$f(x)=\dfrac{x^2−4x+3}{x^2−1}$ є безперервною протягом інтервалу [$0,3$].

37) Якщо$f(x)$ є безперервним скрізь і$f(a),f(b)>0$, то немає кореня$f(x)$ в інтервалі [$a,b$].

Відповідь

Помилкові. IVT не працює в зворотному напрямку! Розглянемо$(x−1)^2$ над інтервалом [$−2,2$].

[T] Наступні задачі розглядають скалярну форму закону Кулона, яка описує електростатичну силу між двома точковими зарядами, такими як електрони. Він задається рівнянням$F(r)=k_e\dfrac{|q_1q_2|}{r^2}$, де$k_e$ константа Кулона,$q_i$ є величинами зарядів двох частинок, і$r$ відстань між двома частинками.

38) Щоб спростити розрахунок моделі з безліччю взаємодіючих частинок, після деякого порогового значення$r=R$ наближаємо$F$ як нуль.

а Поясніть фізичні міркування, що стоять за цим припущенням.

б Що таке рівняння сили?

c Оцінити силу,$F$ використовуючи як закон Кулона, так і наше наближення, припускаючи, що два протони з величиною заряду$1.6022×10^{−19}$ кулонів (C), а константа Кулона$k_e=8.988×10^9Nm^2/C^2$ знаходяться на відстані 1 м один від одного. Крім того, припустимо$R<1$ м Скільки неточності породжує наше наближення? Чи є наше наближення розумним?

d Чи існує якесь кінцеве значення R, для якого ця система залишається безперервною при R?

39) Замість того, щоб зробити силу$0$$R$, ми дозволяємо силі бути$10−20$ для$r≥R$. Припустимо два протони, які мають величину заряду$1.6022×10^{−19}\;C$, і кулонівську константу$k_e=8.988×10^9\;Nm^2/C^2$. Чи є значення$R$, яке може зробити цю систему безперервною? Якщо так, знайдіть його.

Відповідь

$R=0.0001519$м

Нагадаємо, обговорення космічних кораблів з глави відкривачки. Наступні проблеми розглядає запуск ракети з поверхні Землі. Сила тяжіння на ракеті задається тим$F(d)=−mk/d^2$, де m - маса ракети,$d$ є відстанню ракети від центру Землі, і$k$ є постійною.

40) [Т] Визначте величину і$k$ одиниці виміру, що маса ракети на Землі становить 3 млн кг. (Підказка: Відстань від центру Землі до її поверхні становить 6378 км.)

41) [T] Після того, як$D$ пройшла певна відстань, гравітаційний ефект Землі стає досить незначним, тому ми можемо наблизити силову функцію по$F(d)=\begin{cases}−\dfrac{mk}{d^2}, & \text{if }d<D\\ 10,000, & \text{if }d≥D\end{cases}$. Знайдіть необхідну умову$D$ таке, щоб силова функція залишалася безперервною.

Відповідь

$D=63.78$км

42) Коли ракета рухається від поверхні Землі, існує відстань D, де ракета проливає частину своєї маси, оскільки вона більше не потребує надлишкового зберігання палива. Ми можемо написати цю функцію як$F(d)=\begin{cases} −\dfrac{m_1k}{d^2}, & \text{if }d<D \\ −\dfrac{m_2k}{d^2}, & \text{if }d≥D\end{cases}$. Чи існує$D$ таке значення, що ця функція є безперервною, припускаючи$m_1≠m_2$?

У вправах 43 - 44, довести, що кожна функція безперервна всюди.

43)$f(θ)=\sin θ$

Відповідь

Для всіх значень$a$,$f(a)$ визначено,$\displaystyle \lim_{θ→a}f(θ)$ існує, і$\displaystyle \lim_{θ→a}f(θ)=f(a)$. Тому$f(θ)$ безперервно всюди.

44)$g(x)=|x|$

45) Де$f(x)=\begin{cases} 0, & \text{if } x \text{ is irrational}\\ 1, & \text{if }x\text{ is rational}\end{cases}$ суцільний?

Відповідь

Ніде