2.4: Безперервність

Цілі навчання

• Поясніть три умови безперервності в точці.
• Опишіть три види розривів.
• Визначте безперервність на інтервалі.
• Створіть теорему для меж композиційних функцій.
• Наведіть приклад теореми про проміжні значення.

Багато функцій мають властивість, що їх графіки можна простежити олівцем, не відриваючи олівець зі сторінки. Такі функції називаються безперервними. Інші функції мають точки, в яких відбувається розрив графіка, але задовольняють цю властивість протягом інтервалів, що містяться в їх областях. Вони безперервні на цих інтервалах і, як кажуть, мають розрив у точці, де відбувається розрив.

Ми починаємо наше дослідження безперервності з вивчення того, що означає функція мати безперервність у точці. Інтуїтивно функція є безперервною в певній точці, якщо немає розриву в її графіку в цій точці.

Безперервність у точці

Перш ніж ми розглянемо формальне визначення того, що це означає для функції, щоб бути безперервною в точці, давайте розглянемо різні функції, які не відповідають нашому інтуїтивному уявленню про те, що означає бути безперервним в точці. Потім ми створюємо список умов, які запобігають подібним збоям.

Наша перша цікава функція показана на малюнку$\PageIndex{1}$. Ми бачимо, що графік$f(x)$ має дірку в$a$. Насправді,$f(a)$ не визначено. По крайней мере, для$f(x)$ того, щоб бути безперервним в$a$, нам потрібна наступна умова:

i.$f(a)$ Визначено

Рисунок$\PageIndex{1}$: Функція не$f(x)$ є$f(a)$ безперервною,$a$ оскільки не визначена.

Однак, як ми бачимо на малюнку$\PageIndex{2}$, лише ця умова недостатня, щоб гарантувати безперервність у точці$a$. Хоча$f(a)$ визначено, функція має розрив при$a$. У цьому прикладі розрив існує, оскільки$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)$ не існує. Ми повинні додати ще одну умову для безперервності в$a$ —а саме:

II. $\displaystyle \lim_{x→a}f(x)$існує

Малюнок$\PageIndex{2}$: Функція не$f(x)$ є безперервною,$a$ оскільки$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)$ не існує.

Однак, як ми бачимо на малюнку$\PageIndex{3}$, ці дві умови самі по собі не гарантують безперервності в точці. Функція на цьому малюнку задовольняє обом нашим першим двом умовам, але все ще не є безперервною при$a$. Ми повинні додати третю умову до нашого списку:

ііі. $\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=f(a)$

Малюнок$\PageIndex{3}$: Функція не$f(x)$ є безперервною$a$, оскільки$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)≠f(a)$.

Тепер ми складаємо наш список умов разом і формуємо визначення безперервності в точці.

Визначення: Безперервна в точці

Функція$f(x)$ є неперервною в точці $a$тоді і лише тоді, коли виконуються наступні три умови:

1. $f(a)$визначено
2. $\displaystyle \lim_{x→a}f(x)$існує
3. $\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=f(a)$

Функція переривається в точці,$a$ якщо вона не може бути безперервною в$a$.

Наступна процедура може бути використана для аналізу неперервності функції в точці, використовуючи це визначення.

Стратегія вирішення проблем: визначення безперервності в точці

1. Перевірте, чи$f(a)$ визначено. Якщо$f(a)$ не визначено, нам не потрібно йти далі. Функція не є безперервною,$a.$ якщо$f(a)$ визначено, перейдіть до кроку 2.
2. Обчислити$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)$. У деяких випадках нам може знадобитися зробити це за допомогою перших обчислень$\displaystyle \lim_{x→a^−}f(x)$ і$\displaystyle \lim_{x→a^+}f(x)$. Якщо$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)$ не існує (тобто це не дійсне число), значить функція не є безперервною at$a$ і проблема вирішена. Якщо$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)$ існує, то перейдіть до кроку 3.
3. Порівняйте$f(a)$ і$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)$. Якщо$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)≠f(a)$, то функція не є безперервною в$a.$ If$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=f(a)$, то функція безперервна при$a.$

Наступні три приклади демонструють, як застосувати це визначення, щоб визначити, чи є функція безперервною в заданій точці. Ці приклади ілюструють ситуації, в яких кожна з умов безперервності у визначенні досягає успіху або невдачі.

Приклад$\PageIndex{1A}$: Determining Continuity at a Point, Condition 1

Використовуючи визначення, визначте, чи$f(x)=\dfrac{x^2−4}{x−2}$ є функція безперервною в$x=2$. Обгрунтуйте висновок.

Рішення

Почнемо з того, що спробуємо обчислити$f(2)$. Ми бачимо$f(2)=0/0$, що, що не визначено. Тому$f(x)=\dfrac{x^2−4}{x−2}$ є переривчастим в$2$ тому$f(2)$, що не визначено. Графік$f(x)$ показаний на рис$\PageIndex{4}$.

Малюнок$\PageIndex{4}$: Функція$f(x)$ є переривчастою в$2$$f(2)$ тому, що не визначена.

Приклад$\PageIndex{1B}$: Determining Continuity at a Point, Condition 2

Використовуючи визначення, визначте, чи$f(x)=\begin{cases}−x^2+4, & \mathrm{if} \; x≤3 \\ 4x−8, & \mathrm{if} \; x>3\end{cases}$ є функція безперервною в$x=3$. Обгрунтуйте висновок.

Рішення

Почнемо з того, що спробуємо обчислити$f(3)$.

$f(3)=−(3^2)+4=−5$.

Таким чином,$f(3)$ визначається. Далі проводимо розрахунок$\displaystyle \lim_{x→3}f(x)$. Для цього ми повинні обчислити$\displaystyle \lim_{x→3^−}f(x)$ і$\displaystyle \lim_{x→3^+}f(x)$:

$\displaystyle \lim_{x→3^−}f(x)=−(3^2)+4=−5$

і

$\displaystyle \lim_{x→3^+}f(x)=4(3)−8=4$.

Тому$\displaystyle \lim_{x→3}f(x)$ не існує. Таким чином, не$f(x)$ є безперервним при 3. Графік$f(x)$ показаний на рис$\PageIndex{5}$.

3. Існує відкрите коло в кінці рядка, де х буде 3." src="https://math.libretexts.org/@api/dek...2347/2.4.2.png">

Малюнок$\PageIndex{5}$: Функція не$f(x)$ є безперервною на 3, оскільки$\displaystyle \lim_{x→3}f(x)$ не існує.

Приклад$\PageIndex{1C}$: Determining Continuity at a Point, Condition 3

Використовуючи визначення, визначте, чи$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & \text{if } x≠0\\1, & \text{if } x=0\end{cases}$ є функція безперервною в$x=0$.

Рішення

По-перше, зауважте, що

$f(0)=1$

Наступний,

$\displaystyle \lim_{x→0}f(x)=\lim_{x→0}\frac{\sin x}{x}=1$.

Останній,$f(0)$ порівняємо і$\displaystyle \lim_{x→0}f(x)$. Ми бачимо, що

$\displaystyle f(0)=1=\lim_{x→0}f(x)$.

Так як всі три умови при визначенні безперервності задовольняються,$f(x)$ є безперервним при$x=0$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Використовуючи визначення, визначте, чи$f(x)=\begin{cases}2x+1, & \text{if }x<1\\2, & \text{if }x=1\\ −x+4, & \text{if }x>1\end{cases}$ є функція безперервною в$x=1$. Якщо функція не є безперервною в 1, вкажіть умову безперервності в точці, яка не вдається утримувати.

Підказка

Перевірте кожну умову визначення.

Відповідь

$f$не є безперервним,$1$ тому що$\displaystyle f(1)=2≠3=\lim_{x→1}f(x)$.

Застосовуючи визначення неперервності і раніше встановлені теореми, що стосуються оцінки меж, можна констатувати наступну теорему.

Теорема$\PageIndex{1}$: Continuity of Polynomials and Rational Functions

Поліноми та раціональні функції є неперервними в кожній точці своїх областей.

Доказ

Раніше ми показали, що якщо$p(x)$ і$q(x)$ є поліномами,$\displaystyle \lim_{x→a}p(x)=p(a)$ для кожного многочлена$p(x)$ і до тих$\displaystyle \lim_{x→a}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p(a)}{q(a)}$ пір, поки$q(a)≠0$. Тому поліноми і раціональні функції є неперервними за своїми областями.

□

Тепер ми застосуємо теорему$\PageIndex{1}$ для визначення точок, в яких задана раціональна функція є безперервною.

Приклад$\PageIndex{2}$:Continuity of a Rational Function

Для яких значень х є$f(x)=\dfrac{x+1}{x−5}$ безперервним?

Рішення

Раціональна функція$f(x)=\dfrac{x+1}{x−5}$ є безперервною для кожного значення$x$ except$x=5$.

Вправа$\PageIndex{2}$

Для яких значень$x$ є$f(x)=3x^4−4x^2$ безперервним?

Підказка

Використовуйте неперервність поліномів і раціональних функцій, зазначених вище.

Відповідь

$f(x)$є безперервним при кожному дійсному числі.

види розривів

Як ми бачили в$\PageIndex{1A}$ прикладі та прикладі$\PageIndex{1B}$, розриви набувають кілька різних виступів. Ми класифікуємо типи розривів, які ми бачили до цього часу, як знімні розриви, нескінченні розриви або розриви стрибків. Інтуїтивно знімний розрив - це розрив, для якого в графіку є дірка, стрибок розриву - це ненескінченний розрив, для якого ділянки функції не зустрічаються, а нескінченний розрив - це розрив, розташований на вертикальна асимптота. Малюнок$\PageIndex{6}$ ілюструє відмінності в цих типах розривів. Хоча ці терміни забезпечують зручний спосіб опису трьох поширених типів розривів, майте на увазі, що не всі розриви чітко вписуються в ці категорії.

0, є відкрите коло на прямій і замкнуте коло на кілька одиниць над лінією. Другий - стрибок розриву. Тут є дві лінії з позитивним нахилом. Перший рядок існує для x<=a, а другий існує для x>a, де a> 0. Перший рядок закінчується суцільним колом, де x = a, а другий починається на кілька одиниць вгору з відкритою окружністю при x=a. Третій тип розриву - нескінченний розрив. Тут функція має дві частини, розділені асимптотою x = a. Перший відрізок - це крива, що тягнеться вздовж осі x до 0, коли x йде до негативної нескінченності і вздовж осі y до нескінченності, коли x йде до нуля. Другий відрізок - це крива, що тягнеться вздовж осі y до негативної нескінченності, коли x йде до нуля і вздовж осі x до 0, коли x йде до нескінченності." style="width: 975px; height: 315px;" width="975px" height="315px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_04_006.jpeg">

Малюнок$\PageIndex{6}$: Розриви класифікуються як (а) знімний, (б) стрибок або (в) нескінченний.

Ці три розриви формально визначаються наступним чином:

Визначення

Якщо$f(x)$ переривчастий в$a,$ то

1. $f$має знімний розрив$a$ при$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)$ наявності. (Примітка: Коли ми стверджуємо, що$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)$ існує, ми маємо на увазі$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=L$, що, де$L$ є дійсне число.)

2. $f$має стрибок розриву при$a$ якщо$\displaystyle \lim_{x→a^−}f(x)$ і$\displaystyle \lim_{x→a^+}f(x)$ обидва існують, але$\displaystyle \lim_{x→a^−}f(x)≠lim_{x→a^+}f(x)$. (Примітка: Коли ми заявляємо, що$\displaystyle \lim_{x→a^−}f(x)$ і$\displaystyle \lim_{x→a^+}f(x)$ обидва існують, ми маємо на увазі, що обидва є реальними і що ні приймають значення$±∞$.)

3. $f$має нескінченний розрив при$a$ if$\displaystyle \lim_{x→a^−}f(x)=±∞$ або$\displaystyle \lim_{x→a^+}f(x)=±∞$.

Приклад$\PageIndex{3}$: Classifying a Discontinuity

У прикладі$\PageIndex{1A},$ ми показали, що$f(x)=\dfrac{x^2−4}{x−2}$ є переривчастим в$x=2$. Класифікуйте цей розрив як знімний, стрибок або нескінченний.

Рішення

Для класифікації розриву на$2$ ми повинні оцінити$\displaystyle \lim_{x→2}f(x)$:

\ (\ стиль відображення\ почати {вирівнювати*}\ lim_ {x → 2} f (x) &=\ lim_ {x→2}\ розрив {x^2−4} {x−2}\ [4pt]
&=\ lim_ {x → 2}\ frac {(x−2) (x+2)} {x−2}\\ [4pt]
&=\ lim_ {x→2} (x+2)\\ [4пт]
&=4. \ end {вирівнювати*}\)

Так як$f$ є переривчастим при$2$ і$\displaystyle \lim_{x→2}f(x)$ існує,$f$ має знімний розрив при$x=2$.

Приклад$\PageIndex{4}$: Classifying a Discontinuity

У прикладі ми показали$\PageIndex{1B}$, що$f(x)=\begin{cases}−x^2+4, &\text{if }x≤3\\4x−8, &\text{if }x>3\end{cases}$ є переривчастим в$x=3$. Класифікуйте цей розрив як знімний, стрибок або нескінченний.

Рішення

Раніше ми показали, що$f$ є переривчастим в$3$ тому, що$\displaystyle \lim_{x→3}f(x)$ не існує. Однак, оскільки$\displaystyle \lim_{x→3^−}f(x)=−5$ і те, і$\displaystyle \lim_{x→3^+}f(x)=4$ інше існують, ми робимо висновок, що функція має стрибок розриву при$3$.

Приклад$\PageIndex{5}$: Classifying a Discontinuity

Визначте$f(x)=\dfrac{x+2}{x+1}$, чи є безперервним при$−1$. Якщо функція переривається в$−1$, класифікуйте розрив як знімний, стрибок або нескінченний.

Рішення

Значення функції$f(−1)$ undefined. Тому функція не є безперервною при$−1$. Щоб визначити тип розриву, треба визначити межу при$−1$. Ми бачимо, що$\displaystyle \lim_{x→−1^−}\frac{x+2}{x+1}=−∞$ і$\displaystyle \lim_{x→−1^+}\frac{x+2}{x+1}=+∞$. Тому функція має нескінченний розрив при$−1$.

Вправа$\PageIndex{3}$

Для$f(x)=\begin{cases}x^2, &\text{if }x≠1\\3, & \text{if }x=1\end{cases}$, вирішити, чи$f$ є безперервним на$1$. Якщо не$f$ є безперервним при$1$, класифікуйте розрив як знімний, стрибок або нескінченний.

Підказка

Розглянемо описані вище визначення різного роду розривів. Якщо функція переривається$1$, подивіться на$\displaystyle \lim_{x→1}f(x)$

Відповідь

Переривчастий ат$1$; знімний

Безперервність протягом інтервалу

Тепер, коли ми вивчили концепцію безперервності в точці, ми поширюємо цю ідею на безперервність протягом певного інтервалу. Коли ми розвиваємо цю ідею для різних типів інтервалів, може бути корисно мати на увазі інтуїтивну ідею про те, що функція є безперервною протягом інтервалу, якщо ми можемо використовувати олівець, щоб простежити функцію між будь-якими двома точками інтервалу, не піднімаючи олівець з паперу. Готуючись до визначення безперервності на інтервалі, ми починаємо з визначення того, що означає функція бути безперервною справа в точці і безперервною зліва в точці.

Визначення: Безперервність справа і зліва

$f(x)$Функція, як кажуть, безперервна справа,$a$ якщо$\displaystyle \lim_{x→a^+}f(x)=f(a)$.

$f(x)$Функція, як кажуть, безперервна зліва,$a$ якщо$\displaystyle \lim_{x→a^−}f(x)=f(a)$

Функція є безперервною протягом відкритого інтервалу, якщо вона безперервна в кожній точці інтервалу. Функція$f(x)$ є безперервною протягом замкнутого інтервалу форми,$[a,b]$ якщо вона безперервна в кожній точці в$(a,b)$$a$ і безперервна справа в і безперервна зліва в$b.$ Аналогічно, функція$f(x)$ безперервна протягом інтервалу форми $(a,b]$якщо він безперервний над$(a,b)$ і безперервний зліва при$b.$ Безперервність над іншими типами інтервалів визначаються аналогічним чином.

Вимагаючи цього$\displaystyle \lim_{x→a^+}f(x)=f(a)$ і$\displaystyle \lim_{x→b^−}f(x)=f(b)$ гарантує, що ми можемо простежити графік функції від точки$(a,f(a))$ до точки,$(b,f(b))$ не піднімаючи олівець. Якщо, наприклад$\displaystyle \lim_{x→a^+}f(x)≠f(a)$, нам потрібно буде підняти наш олівець, щоб перейти від$f(a)$ до графіка решти функції над$(a,b]$.

Приклад$\PageIndex{6}$: Continuity on an Interval

Вкажіть інтервал (и), протягом якого функція$f(x)=\dfrac{x−1}{x^2+2x}$ є безперервною.

Рішення

Оскільки$f(x)=\dfrac{x−1}{x^2+2x}$ є раціональною функцією, вона є безперервною в кожній точці своєї області. Домен$f(x)$ - це набір$(−∞,−2)∪(−2,0)∪(0,+∞)$. Таким чином,$f(x)$ відбувається безперервний над кожним з інтервалів$(−∞,−2),(−2,0)$, і$(0,+∞)$.

Приклад$\PageIndex{7}$: Continuity over an Interval

Вкажіть інтервал (и), протягом якого функція$f(x)=\sqrt{4−x^2}$ є безперервною.

Рішення

З граничних законів ми знаємо, що$\displaystyle \lim_{x→a}\sqrt{4−x^2}=\sqrt{4−a^2}$ для всіх значень a in$(−2,2)$. Ми також знаємо, що$\displaystyle \lim_{x→−2^+}\sqrt{4−x^2}=0$ існує і$\displaystyle \lim_{x→2^−}\sqrt{4−x^2}=0$ існує. Тому$f(x)$ відбувається безперервно протягом інтервалу$[−2,2]$.

Вправа$\PageIndex{4}$

Вкажіть інтервал (и), протягом якого функція$f(x)=\sqrt{x+3}$ є безперервною.

Підказка

Використовуйте$\PageIndex{7}$ Example як орієнтир.

Відповідь

$[−3,+∞)$

Теорема$\PageIndex{2}$ дозволяє розширити нашу здатність обчислювати межі. Зокрема, ця теорема в кінцевому підсумку дозволяє продемонструвати, що тригонометричні функції є неперервними над своїми областями.

Теорема$\PageIndex{2}$: Composite Function Theorem

Якщо$f(x)$ безперервний при$L$ і$\displaystyle \lim_{x→a}g(x)=L$, то

$\displaystyle \lim_{x→a}f\big(g(x)\big)=f\big(\lim_{x→a}g(x)\big)=f(L).$

Перш ніж перейти до Прикладу$\PageIndex{8},$ нагадаємо, що раніше, в розділі про граничні закони, ми показали$\displaystyle \lim_{x→0}\cos x=1=\cos(0)$. Отже, ми знаємо, що$f(x)=\cos x$ є безперервним в$0$. У прикладі$\PageIndex{8},$ ми бачимо, як поєднати цей результат з теоремою складеної функції.

Приклад$\PageIndex{8}$: Limit of a Composite Cosine Function

Оцінити$\displaystyle \lim_{x→π/2}\cos\left(x−\frac{π}{2}\right)$.

Рішення

Дана функція є складовою$\cos x$ і$x−\frac{π}{2}$. Оскільки$\displaystyle \lim_{x→π/2}\left(x−\frac{π}{2}\right)=0$ і$\cos x$ є неперервним at$0$, ми можемо застосувати теорему про складену функцію. Таким чином,

$\displaystyle \lim_{x→π/2}\cos\left(x−\frac{π}{2}\right)=\cos\left(\lim_{x→π/2}\left(x−\frac{π}{2}\right)\right)=\cos(0)=1.$

Вправа$\PageIndex{4}$:

Оцінити$\displaystyle \lim_{x→π}\sin(x−π)$.

Підказка

$f(x)=\sin x$є безперервним при$0$. Використовуйте$\PageIndex{8}$ Example як орієнтир.

Відповідь

$0$

Доказ наступної теореми використовує теорему композитних функцій, а також неперервність$f(x)=\sin x$ і$g(x)=\cos x$ в точці,$0$ щоб показати, що тригонометричні функції є неперервними по всій їх області.

Теорема$\PageIndex{3}$: Continuity of Trigonometric Functions

Тригонометричні функції є безперервними по всій їх області.

Доказ

Ми починаємо з демонстрації, що$\cos x$ є безперервним у кожному дійсному числі. Для цього треба показати, що$\displaystyle \lim_{x→a}\cos x=\cos a$ для всіх значень$a$.

\ (\ стиль відображення\ почати {вирівнювати*}\ lim_ {x→a}\ cos x &=\ lim_ {x→a}\ cos ((x−a) +a) &\ текст {Переписати} x = x−a+a.\\ [4pt]
&=\ lim_ {x → a} (\ cos (x−a)\ cos a−\ sin (x−a)\ sin a) &\ text {Застосувати ідентичність для косинуса суми двох кутів.}\\ [4pt]
&=\ cos (\ lim_ {x→a} (x−a) ))\ cos a−\ sin (\ lim_ {x→a} (x−a))\ sin a &\ text {Оскільки}\ lim_ {x→a} (x−a) =0,\ text {і}\ sin x\ text {і}\ cos x\ text {безперервні в} 0.\\ [4pt]
&=\ cos (0)\ cos a−\ sin (0)\ sin a &\ text {Оцінити}\ cos (0)\ текст {і}\ sin (0)\ текст {і спростити.}\\ [4pt]
&= 1⋅\ cos a −0⋅\ sin a=\ cos a.\ end {align*}\)

Доказ, який$\sin x$ є безперервним у кожному дійсному числі, є аналогічним. Оскільки інші тригонометричні функції можуть бути виражені через$\sin x$ і$\cos x$, їх неперервність випливає з часткового граничного закону.

□

Як бачите, теорема складеної функції є неоціненною для демонстрації неперервності тригонометричних функцій. Продовжуючи вивчення числення, ми переглядаємо цю теорему багато разів.

Теорема про проміжні значення

Функції, які є безперервними над інтервалами форми$[a,b]$, де$a$ і$b$ є дійсними числами, проявляють безліч корисних властивостей. Протягом нашого вивчення числення ми зіткнемося з багатьма потужними теоремами, що стосуються таких функцій. Перша з цих теорем - теорема про проміжні значення.

Теорема про проміжні значення

$f$Дозволяти бути безперервним протягом замкнутого, обмеженого інтервалу$[a,b]$. Якщо$z$ будь-яке дійсне число між$f(a)$ і$f(b)$, то є число$c$$f(c)=z$ в$[a,b]$ задоволенні на малюнку$\PageIndex{7}$.

Малюнок$\PageIndex{7}$: Існує число$c ∈ [a,b]$, яке задовольняє$f(c)=z$.

Приклад$\PageIndex{9}$: Application of the Intermediate Value Theorem

Показати, що$f(x)=x−\cos x$ має принаймні один нуль.

Рішення

Оскільки$f(x)=x−\cos x$ безперервний над$(−∞,+∞)$, він безперервний протягом будь-якого замкнутого інтервалу форми$[a,b]$. Якщо ви можете знайти інтервал$[a,b]$ такий, що$f(a)$ і$f(b)$ мають протилежні ознаки, ви можете використовувати теорему про проміжні значення, щоб зробити висновок, що має бути дійсне число$c$$(a,b)$, яке задовольняє$f(c)=0$. Зауважте, що

$f(0)=0−\cos(0)=−1<0$

і

$f(\frac{π}{2})=\frac{π}{2}−\cos\frac{π}{2}=\frac{π}{2}>0$.

Використовуючи теорему про проміжні значення, ми можемо побачити, що має бути дійсне число$c$$[0,π/2]$, яке задовольняє$f(c)=0$. Тому$f(x)=x−\cos x$ має хоча б один нуль.

Приклад$\PageIndex{10}$: When Can You Apply the Intermediate Value Theorem?

Якщо$f(x)$ безперервно закінчено$[0,2],f(0)>0$ і$f(2)>0$, чи можемо ми використовувати теорему проміжних значень, щоб зробити висновок,$f(x)$ що в інтервалі немає нулів$[0,2]$? Поясніть.

Рішення

Ні. Теорема про проміжні значення дозволяє лише зробити висновок, що ми можемо знайти значення між$f(0)$ і$f(2)$; це не дозволяє нам зробити висновок, що ми не можемо знайти інші значення. Щоб побачити це більш наочно, розглянемо функцію$f(x)=(x−1)^2$. Це задовольняє$f(0)=1>0,f(2)=1>0$, і$f(1)=0$.

Приклад$\PageIndex{11}$: When Can You Apply the Intermediate Value Theorem?

Для$f(x)=1/x,f(−1)=−1<0$ і$f(1)=1>0$. Чи можна зробити висновок, що$f(x)$ має нуль в інтервалі$[−1,1]$?

Рішення

Ні. Функція не є безперервним над$[−1,1]$. Теорема про проміжні значення тут не застосовується.

Вправа$\PageIndex{5}$

Показати, що$f(x)=x^3−x^2−3x+1$ має нуль за інтервал$[0,1]$.

Підказка

Знайти$f(0)$ і$f(1)$. Застосуйте теорему про проміжні значення.

Відповідь

$f(0)=1>0,\;f(1)=−2<0;\;f(x)$безперервно закінчується$[0,1]$. Вона повинна мати нуль на цьому проміжку.

Ключові концепції

• Щоб функція була безперервною в точці, вона повинна бути визначена в цій точці, її межа повинна існувати в точці, а значення функції в цій точці повинно дорівнювати значенню межі в цій точці.
• Розриви можуть бути класифіковані як знімні, стрибки або нескінченні.
• Функція є безперервною протягом відкритого інтервалу, якщо вона безперервна в кожній точці інтервалу. Він безперервний протягом замкнутого інтервалу, якщо він безперервний у кожній точці його внутрішньої частини і є безперервним у своїх кінцевих точках.
• Теорема складеної функції стверджує: Якщо$f(x)$ неперервна при L і$\displaystyle \lim_{x→a}g(x)=L$, то$\displaystyle \lim_{x→a}f\big(g(x)\big)=f\big(\lim_{x→a}g(x)\big)=f(L)$.

• Теорема проміжних значень гарантує, що якщо функція є безперервною протягом замкнутого інтервалу, функція приймає кожне значення між значеннями у своїх кінцевих точках.

Глосарій

безперервність в точці

Функція$f(x)$ є неперервною в точці$a$ тоді і лише тоді, коли виконуються наступні три умови: (1)$f(a)$ визначено, (2)$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)$ існує та (3)$\displaystyle \lim{x→a}f(x)=f(a)$

безперервність зліва

Функція є безперервною ліворуч при$b$ if$\displaystyle \lim_{x→b^−}f(x)=f(b)$

спадкоємність з правого

Функція є безперервною праворуч,$a$ якщо$\displaystyle \lim_{x→a^+}f(x)=f(a)$

безперервність протягом інтервалу

функція, яку можна простежити за допомогою олівця, не піднімаючи олівець; функція є безперервною протягом відкритого інтервалу, якщо вона безперервна в кожній точці інтервалу; функція$f(x)$ є безперервною протягом замкнутого інтервалу форми [$a,b$] якщо вона безперервна в кожній точці в ($a,b$), і він безперервний з правого$a$ і ліворуч на$b$

розрив у точці

Функція є переривчастою в точці або має розрив у точці, якщо вона не є безперервною в точці

нескінченний розрив

Нескінченний розрив відбувається в точці,$a$ якщо$\displaystyle \lim_{x→a^−}f(x)=±∞$ або$\displaystyle \lim_{x→a^+}f(x)=±∞$

Теорема про проміжні значення

$f$Дозволяти бути безперервним протягом замкнутого обмеженого інтервалу [$a,b$] якщо$z$ будь-яке дійсне число між$f(a)$ і$f(b)$, то є число$c$ в [$a,b$] задовольняє$f(c)=z$

стрибок розриву

Розрив стрибка відбувається в точці,$a$ якщо$\displaystyle \lim_{x→a^−}f(x)$ і$\displaystyle \lim_{x→a^+}f(x)$ обидва існують, але$\displaystyle \lim_{x→a^−}f(x)≠\lim_{x→a^+}f(x)$

знімний розрив

Знімний розрив відбувається в точці,$a$ якщо$f(x)$ є переривчастим в$a$, але$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)$ існує