11.E: Застосування векторних функцій (вправи)

11.1: Векторно-значні функції

Терміни та поняття

1. Векторно-значні функції тісно пов'язані з _______ ________ графами.

2. Під час ескізу векторних функцій технічно не графічні точки, а вірніше _______.

3. Може бути корисно думати про _______ як вектор, який вказує від початкової позиції до кінцевої позиції.

Проблеми

У вправах 4-11 намалюйте векторно-значну функцію на заданому інтервалі.

4. \(\vec{r}(t) = \langle t^2,t^2-1 \rangle, \text{ for }-2 \le t \le 2\).

5. \(\vec{r}(t) = \langle t^2,t^3 \rangle, \text{ for }-2 \le t \le 2\).

6. \(\vec{r}(t) = \langle 1/t,t/t^2 \rangle, \text{ for }-2 \le t \le 2\).

7. \(\vec{r}(t) = \langle \frac{1}{10}t^2,\sin t \rangle, \text{ for }-2\pi \le t \le 2\pi\).

8. \(\vec{r}(t) = \langle \frac{1}{10}t^2,\sin t \rangle, \text{ for }-2\pi \le t \le 2\pi\).

9. \(\vec{r}(t) = \langle 3\sin (\pi t),2\cos (\pi t) \rangle, \text{ on }[0,2]\).

10. \(\vec{r}(t) = \langle 3\cos t,2\sin (2t) \rangle, \text{ on }[0,2\pi]\).

11. \(\vec{r}(t) = \langle 2\sec t,\tan t \rangle, \text{ on }[-\pi,\pi]\).

У вправах 12-15 намалюйте векторно-значну функцію на заданому інтервалі в\(\mathbb{R}^3\). Технологія може стати в нагоді при створенні ескізу.

12. \(\vec{r}(t) =\langle 2\cos t, t,2\sin t \rangle , \text{ on }[0,2\pi]\).

13. \(\vec{r}(t) =\langle 3\cos t, \sin t,t/\pi \rangle , \text{ on }[0,2\pi]\).

14. \(\vec{r}(t) =\langle \cos t,\sin t,\sin t \rangle , \text{ on }[0,2\pi]\).

15. \(\vec{r}(t) =\langle \cos t,\sin t,\sin (2t) \rangle , \text{ on }[0,2\pi]\).

У вправах 16-19 знайдіть\(\lVert \vec{r}(t) \rVert \).

16. \(\vec{r}(t) =\langle t,t^2 \rangle\).

17. \(\vec{r}(t) =\langle 5\cos t, 3\sin t \rangle\).

18. \(\vec{r}(t) =\langle 2\cos t, 2\sin t, t \rangle\).

19. \(\vec{r}(t) =\langle \cos t, t, t^2 \rangle\).

У Вправах 20-27 створіть векторну функцію, графік якої відповідає заданому опису.

20. Коло радіусом 2, по центру\((1,2)\), промальовується проти годинникової стрілки один раз\([0,2\pi ] \).

21. Коло радіусом 3, по центру\((5,5)\), простежується за годинниковою стрілкою один раз\([0,2\pi ] \).

22. Еліпс, по центру\((0,0)\) з вертикальною довжиною великої осі 10 і малою віссю довжиною 3, простежується один раз проти годинникової стрілки\([0,2\pi]\).

23. Еліпс, по центру\((3,-2)\) з горизонтальною довжиною великої осі 6 і малою віссю довжини 4, простежується один раз за годинниковою стрілкою\([0,2\pi]\).

24. Лінія\((2,3)\) наскрізна з ухилом 5.

25. Лінія\((1,5)\) наскрізна з ухилом -1/2.

26. Вертикально орієнтована спіраль з радіусом 2, яка починається\((2,0,0)\) і закінчується\((2,0,4\pi)\) після 1 обороту на\([0,2\pi]\).

27. Вертикально орієнтована спіраль з радіусом 3, яка починається\((3,0,0)\) і закінчується\((3,0,3)\) після 2 оборотів на\([0,1]\).

У вправах 28-31 знайти середню швидкість зміни\(\vec{r}(t)\) на заданому інтервалі.

28. \(\vec{r}(t) = \langle t,t^2 \rangle \text{ on }[-2,2].\)

29. \(\vec{r}(t) = \langle t,t+\sin t \rangle \text{ on }[0,2\pi].\)

30. \(\vec{r}(t) = \langle 3\cos t,2\sin t, t \rangle \text{ on }[0,2\pi].\)

31. \(\vec{r}(t) = \langle t,t^2,t^3 \rangle \text{ on }[-1,3].\)

11.2: Обчислення та векторно-значні функції

Терміни та поняття

1. Межі, похідні та інтеграли векторно-значних функцій оцінюються _______ -мудро.

2. Певний інтеграл функції швидкості зміни дає ________.

3. Чому взагалі не корисно графувати обидва\(\vec{r}(t)\text{ and }\vec{r}'(t)\) на одних і тих же осях?

Проблеми

У вправах 4-7 оцініть заданий ліміт.

4. \(\lim\limits_{t\to 5}\langle 2t+1, 3t^2-1,\sin t \rangle\)

5. \(\lim\limits_{t\to 3}\langle e^t, \frac{t^2-9}{t+3} \rangle\)

6. \(\lim\limits_{t\to 0}\langle \frac{t}{\sin t},(1+t)^{\frac{1}{t}} \rangle\)

7. \(\lim\limits_{h\to 0}\frac{\vec{r}(t+h)-\vec{r}(t)}{h},\text{ where }\vec{r}(t) = \langle t^2,t,1 \rangle\)

У вправах 8-9 визначте інтервал (и), на якому\(\vec{r}(t)\) є безперервним.

8. \(\vec{r}(t) =\langle t^2, 1/t \rangle\)

9. \(\vec{r}(t) =\langle \cos t, e^t, \ln t \rangle\)

У вправах 10-14 знайдіть похідну заданої функції.

10. \(\vec{r}(t) =\langle \cos t,e^t,\ln t \rangle\)

11. \(\vec{r}(t) =\left \langle \frac{1}{t},\frac{2t-1}{3t+1},\tan t \right \rangle\)

12. \(\vec{r}(t) =(t^2) \langle \sin t, 2t+5\rangle\)

13. \(\vec{r}(t) =\langle t^2+1,t-1 \rangle \cdot \langle \sin t,2t+5 \rangle\)

14. \(\vec{r}(t) =\langle t^2+1,t-1,1 \rangle \times \langle \sin t, 2t+5,1\rangle\)

У вправах 15-18 знайдіть\(\vec{r}'(t)\). Ескіз\(\vec{r}(t)\text{ and }\vec{r}'(1)\), з початковою точкою\(\vec{r}'(1)\text{ at }\vec{r}(1)\).

15. \(\vec{r}(t) =\langle t^2+t,t^2-t\rangle \)

16. \(\vec{r}(t) =\langle t^2-2t+2,t^3-3t^2+2t\rangle \)

17. \(\vec{r}(t) =\langle t^2+1,t^3-t\rangle \)

18. \(\vec{r}(t) =\langle t^2-4t+5, t^3-6t^2+11t-6\rangle \)

У вправах 19-22 дати рівняння прямої дотичної до графіка\(\vec{r}(t)\) при заданому значенні t.

19. \(\vec{r}(t) =\langle t^2+t,t^2-t\rangle\text{ at }t=1.\)

20. \(\vec{r}(t) =\langle3\cos t, \sin t\rangle\text{ at }t=\pi/4.\)

21. \(\vec{r}(t) =\langle 3\cos t, 3\sin t, t\rangle\text{ at }t=\pi.\)

22. \(\vec{r}(t) =\langle e^t,\tan t, t\rangle\text{ at }t=0.\)

У вправах 23-26 знайти значення (и) t, для яких не\(\vec{r}(t)\) є гладким.

23. \(\vec{r}(t)=\langle \cos t, \sin t -t\rangle\)

24. \(\vec{r}(t)=\langle t^2-2t+1,t^3+t^2-5t+3\rangle\)

25. \(\vec{r}(t)=\langle \cos t-\sin t -\cos t, \cos (4t)\rangle\)

26. \(\vec{r}(t)=\langle t^3-3t+2, -\cos (\pi t),\sin^2 (\pi t)\rangle\)

Вправи 27-29 просять вас перевірити частини Теореми 92. У кожному нехай\(f(t)=t^3,\vec{r}(t) = \langle t^2, t-1, 1 \rangle \) і\(\vec{s}(t)=\langle \sin t, e^t, t \rangle \). Обчисліть різні похідні, як зазначено.

27. Спростити\(f(t)\vec{r}(t)\), потім знайти його похідну; показати це те ж саме, що і\(f'(t)\vec{r}'(t) +f(t)\vec{r}'(t)\).

28. Спростити\(\vec{r}(t)\cdot\vec{s}(t)\), потім знайти його похідну; показати це те ж саме, що і\(\vec{r}'(t)\cdot \vec{s}'(t) +\vec{r}(t)\cdot \vec{s}'(t)\).

29. Спростити\(\vec{r}(t)\times \vec{s}(t)\), потім знайти його похідну; показати це те ж саме, що і\(\vec{r}'(t)\times \vec{s}'(t) +\vec{r}(t)\times \vec{s}'(t)\).

У вправах 30-33 оцініть даний певний або невизначений інтеграл.

30. \(\int \langle t^3,\cos t, te^t \rangle \,dt\)

31. \(\int \left \langle \frac{1}{1+t^2},\sec^2 t \right \rangle \,dt\)

32. \(\int_0^{\pi} \langle -\sin t, \cos t \rangle \,dt\)

33. \(\int_{-2}^{2} \langle 2t+1,2t-1 \rangle \,dt\)

У вправах 34-37 розв'яжіть задані завдання початкового значення.

34. Знайти\(\vec{r}(t)\), враховуючи, що\(\vec{r}'(t)=\langle t,\sin t \rangle\) і\(\vec{r}(0) =\langle 2,2 \rangle\).

35. Знайти\(\vec{r}(t)\), враховуючи, що\(\vec{r}'(t)=\langle 1,(t+1),\tan t \rangle\) і\(\vec{r}(0) =\langle 1,2 \rangle\).

36. Знайти\(\vec{r}(t)\), враховуючи\(\vec{r}''(t)=\langle t^2,t,1 \rangle\), що,\(\vec{r}'(0) =\langle 1,2,3 \rangle \text{ and }\vec{r}(0)=\langle 4,5,6 \rangle\).

37. Знайти\(\vec{r}(t)\), враховуючи\(\vec{r}''(t)=\langle \cos t, \sin t, e^t \rangle\), що,\(\vec{r}'(0) =\langle 0,0,0 \rangle \text{ and }\vec{r}(0)=\langle 0,0,0 \rangle\).

У вправах 38-41 знайти довжину дуги\(\vec{r}(t)\) на вказаному інтервалі.

38. \(\vec{r}(t)=\langle 2\cos t,2\sin t,3t \rangle \text{ on }[0,2\pi]\)

39. \(\vec{r}(t)=\langle 5\cos t, 3\sin t, 4\sin t \rangle \text{ on }[0,2\pi]\).

40. \(\vec{r}(t)=\langle t^3,t^2, t^3\rangle \text{ on }[0,1]\).

41. \(\vec{r}(t)=\langle e^{-t}\cos t, e^{-t}\sin t\rangle \text{ on }[0,1]\).

42. Доведіть теорему 93; тобто показати, якщо\(\vec{r}(t)\) має постійну довжину і диференційовний, то\(\vec{r}(t)\cdot \vec{r}'(t)=0\). (Підказка: використовуйте Правило продукту для обчислення\(\frac{d}{dt} (\vec{r}(t)\cdot \vec{r}(t))\).)

11.3: Обчислення руху

Терміни та поняття

1. Чим швидкість відрізняється від швидкості?

2. У чому різниця між зміщенням і пройденою дистанцією?

3. У чому різниця між середньою швидкістю і середньою швидкістю?

4. Пройдена відстань така ж, як ______ _______, тільки що розглядається в іншому контексті.

5. Опишіть сценарій, коли середня швидкість об'єкта є великою кількістю, але величина середньої швидкості не велика.

6. Поясніть, чому не можна мати середню швидкість з великою величиною, але малу середню швидкість.

Проблеми

У вправах 7-10\(\vec{r}(t)\) дається функція положення. Знайти\(\vec{v}(t)\) і\(\vec{a}(t)\).

7. \(\vec{r}(t)=\langle 2t+1,5t-2, 7 \rangle\)

8. \(\vec{r}(t)=\langle 3t^2-2t+1, -t^2+t+14 \rangle\)

9. \(\vec{r}(t)=\langle \cos t, \sin t \rangle\)

10. \(\vec{r}(t)=\langle t/10, -\cos t, \sin t \rangle\)

У вправах 11-14\(\vec{r}(t)\) дається функція положення. Ескіз\(\vec{r}(t)\) і\(\vec{a}(t)\), потім додати\(\vec{r}(t_0)\) і\(\vec{a}(t_0)\) до вашого ескізу, з їх початковими точками в\(\vec{r}(t_0)\), для заданого значення\(t_0\).

11. \(\vec{r}(t)=\langle t,\sin t \rangle \text{ on }[0,\pi /2 ];\, t_0=\pi/4 \)

12. \(\vec{r}(t)=\langle t^2,\sin t^2 \rangle \text{ on }[0,\pi /2 ];\, t_0=\sqrt{\pi/4} \)

13. \(\vec{r}(t)=\langle t^2+t,-t^2+2t \rangle \text{ on }[-2,2 ];\, t_0=1 \)

14. \(\vec{r}(t)=\langle \frac{2t+3}{t^2+1},t^2 \rangle \text{ on }[-1,1 ];\, t_0=0 \)

У вправах 15-24 задана позиційна функція\(\vec{r}(t)\) об'єкта. Знайдіть швидкість об'єкта в перерахунку\(t\), і знайдіть, де швидкість мінімізується/максимізується на вказаному інтервалі.

15. \(\vec{r}(t) = \langle t^2,t \rangle \text{ on }[-1,1]\)

16. \(\vec{r}(t) = \langle t^2,t^2-t^3 \rangle \text{ on }[-1,1]\)

17. \(\vec{r}(t) = \langle 5\cos t, 5\sin t \rangle \text{ on }[0,2\pi]\)

18. \(\vec{r}(t) = \langle 2\cos t, 5\sin t \rangle \text{ on }[0,2\pi]\)

19. \(\vec{r}(t) = \langle \sec t, \tan t \rangle \text{ on }[0,\pi/4]\)

20. \(\vec{r}(t) = \langle t+\cos t, 1-\sin t\rangle \text{ on }[0,2\pi]\)

21. \(\vec{r}(t) = \langle 12t, 5\cos t, 5\sin t \rangle \text{ on }[0,4\pi]\)

22. \(\vec{r}(t) = \langle t^2-t,t^2+t,t \rangle \text{ on }[0,1]\)

23. \(\vec{r}(t) = \left \langle t,t^2,\sqrt{1-t^2} \right \rangle \text{ on }[-1,1]\)

24. Рух снаряда:\(\vec{r}(t) = \left \langle (v_0 \cos \theta )t, -\frac{1}{2}gt^2+(v_0 \sin \theta )t\right \rangle \text{ on } \left [ 0,\frac{2v_0 \sin \theta}{g}\right ]\).

У вправах 25-28 дані функції положення\(\vec{r}_1 (t)\) і\(\vec{r}_2 (s)\) для двох об'єктів, які слідують однаковим шляхом на відповідних інтервалах.
(а) Показати, що позиції однакові при зазначених\(t_0\) і\(s_0\) значеннях; тобто показати\(\vec{r}_1 (t_0)=\vec{r}_2 (s_0)\).
(b) Знайти швидкість, швидкість і прискорення двох об'єктів при\(t_0\) і\(s_0\), відповідно.

25.
\(\vec{r}_1 (t) =\langle t, t^2 \rangle \text{ on }[0,1]; t_0 =1\)
\(\vec{r}_2 (t) =\langle s^2, s^4 \rangle \text{ on }[0,1]; s_0 =1\)

26.
\(\vec{r}_1 (t) =\langle 3\cos t,3\sin t \rangle \text{ on }[0,2\pi]; t_0 =\pi/2\)
\(\vec{r}_2 (t) =\langle 3\cos (4s),3\sin (4s) \rangle \text{ on }[0,\pi/2]; s_0 =\pi/8\)

27.
\(\vec{r}_1 (t) =\langle 3t,2t \rangle \text{ on }[0,2]; t_0 =2\)
\(\vec{r}_2 (t) =\langle 6t-6,4t-4 \rangle \text{ on }[1,2]; s_0 =2\)

28.
\(\vec{r}_1 (t) =\langle t, \sqrt{t} \rangle \text{ on }[0,1]; t_0 =1\)
\(\vec{r}_2 (t) =\langle \sin t,\sqrt{\sin t} \rangle \text{ on }[0,\pi/2]; s_0 =\pi/2\)

У вправах 29-32 знайдіть функцію положення об'єкта, враховуючи його прискорення та початкову швидкість та положення.

29. \(\vec{a}(t) =\langle 2,3\rangle; \quad \vec{v}(0)=\langle 1,2\rangle,\quad \vec{r}(0) = \langle 5,-2 \rangle \)

30. \(\vec{a}(t) =\langle 2,3\rangle; \quad \vec{v}(1)=\langle 1,2\rangle,\quad \vec{r}(1) = \langle 5,-2 \rangle \)

31. \(\vec{a}(t) =\langle \cos t,-\sin t \rangle; \quad \vec{v}(0)=\langle 0,1 \rangle,\quad \vec{r}(0) = \langle 0,0 \rangle \)

32. \(\vec{a}(t) =\langle 0,-32\rangle; \quad \vec{v}(0)=\langle 10,50 \rangle,\quad \vec{r}(0) = \langle 0,0 \rangle \)

У вправах 33-36 знайдіть зміщення, пройдену відстань, середню швидкість і середню швидкість описуваного об'єкта на заданому інтервалі.

33. Об'єкт з функцією положення\(\vec{r}(t) =\langle 2\cos t,2\sin t,3t\rangle \), де відстані вимірюються в футах, а час у секундах, на\([0,2\pi ]\).

34. Об'єкт з функцією положення\(\vec{r}(t) =\langle 5\cos t, -5\sin t\rangle \), де відстані вимірюються в футах, а час у секундах, на\([0,\pi ]\).

35. Об'єкт з функцією швидкості\(\vec{v}(t) =\langle \cos t, \sin t \rangle \), де відстані вимірюються в футах, а час - в секундах, на\([0,2\pi ]\).

36. Об'єкт з функцією швидкості\(\vec{r}(t) =\langle 1,2,-1\rangle \), де відстані вимірюються в футах, а час - в секундах, на\([0,10 ]\).

Вправи 37-42 просять вирішити найрізноманітніші завдання, засновані на принципах руху снаряда.

37. Хлопчик крутить м'яч, прикріплений до 3-футової струни, над головою в колі проти годинникової стрілки. Куля робить 2 обороти в секунду.
При яких t -значеннях хлопчик повинен звільнити струну так, щоб м'яч голів прямо для дерева, що стоїть 10ft перед ним?

38. Давид стикається з Голіафом лише каменем у 3-футовому стропу, який він крутить над головою зі швидкістю 4 обороти в секунду. Вони стоять на відстані 20 футів один від одного.
(а) При яких t -значеннях повинен Давид звільнити камінь у своїй пращі, щоб вдарити Голіафа?
(б) Яка швидкість, з якою камінь рухається при звільненні?
(c) Припустимо, що Давид випускає камінь з висоти 6 футів, а лоб Голіафа знаходиться на 9 футів над землею. Який кут піднесення повинен застосувати Давид до каменю, щоб вдарити голову Голіафа?

39. Мисливець спрямований на оленя, який знаходиться за 40 метрів від готелю. Її арбалет знаходиться на висоті 5 футів, і вона прагне до місця на олені 4 фути над землею. Арбалет стріляє стрілами на 300 футів/с.
(а) Під яким кутом підйому вона повинна тримати арбалет, щоб вразити свою ціль?
(b) Якщо олень рухається перпендикулярно до її прямої видимості зі швидкістю 20 миль/год, приблизно, скільки вона повинна вести оленя, щоб вдарити в потрібному місці?

40. Бейсболіст б'є м'яч на 100 миль/год, з початковою висотою 3ft і кутом підйому 20\(^\circ\), в Бостонському парку Фенвей. М'яч летить до знаменитого «Зеленого монстра», стіни висотою 37 футів, розташованої на 310 футів від домашньої плити.
(а) Показати, що як удар, м'яч потрапляє в стіну.
(б) Показати, що якщо кут піднесення дорівнює 21\(^\circ\), м'яч очищає Зеленого монстра.

41. Cessna летить на 1000 футів на 150 миль/год і скидає коробку поставок професору (і його дружині) на острові. Ігноруючи опір вітру, наскільки горизонтально будуть проїжджати запаси, перш ніж вони приземляться?

42. Футбольний захисник кидає пас з висоти 6ft, маючи намір вдарити його приймач 20yds геть на висоті 5ft.
(а) Якщо м'яч кидається зі швидкістю 50 км/год, який кут підйому потрібен, щоб вразити його передбачувану ціль?
(б) Якщо м'яч кидається під кутом підйому 8\(^\circ\), яка початкова швидкість м'яча потрібна, щоб вразити його ціль?

11.4: Одиничний тангенс і нормальний вектори

Терміни та поняття

1. Якщо\(\vec{T}(t)\) є одиничним дотичним вектором, що таке\(\lVert \vec{T}(t)\rVert \)?

2. Якщо\(\vec{N}(t)\) є одиничним нормальним вектором, що таке\(\vec{N}(t)\cdot \vec{r}'(t) \)?

3. Вектор прискорення\(\vec{a}(t)\) лежить в площині, визначеній якими двома векторами?

4. \(a_T\)вимірює, наскільки прискорення впливає на _______ об'єкта.

Проблеми

У вправах 5-8, наведені\(\vec{r}(t)\), знайти\(\vec{T}(t)\) і оцінити його за вказаною величиною t.

5. \(\vec{r}(t) = \langle 2t^2,t^2-1 \rangle ,\quad t=1\)

6. \(\vec{r}(t) = \langle t,\cos t \rangle ,\quad t=\pi/4\)

7. \(\vec{r}(t) = \langle \cos^3 t,\sin^3 t \rangle ,\quad t=\pi/4\)

8. \(\vec{r}(t) = \langle \cos t, \sin t \rangle ,\quad t=\pi\)

У вправах 9-12 знайдіть рівняння прямої дотичної до кривої при вказаному t -значенні за допомогою вектора дотичної одиниці. Примітка: це ті ж проблеми, що і в Вправи 5-8.

9. \(\vec{r}(t) = \langle 2t^2,t^2-1 \rangle ,\quad t=1\)

10. \(\vec{r}(t) = \langle t,\cos t \rangle ,\quad t=\pi/4\)

11. \(\vec{r}(t) = \langle \cos^3 t,\sin^3 t \rangle ,\quad t=\pi/4\)

12. \(\vec{r}(t) = \langle \cos t, \sin t \rangle ,\quad t=\pi\)

У Вправи 13-16 знайти\(\vec{N}(t)\) за допомогою визначення 75. Підтвердіть результат за допомогою теореми 97.

13. \(\vec{r}(t) = \langle 3\cos t,3\sin t \rangle \)

14. \(\vec{r}(t) = \langle t,t^2 \rangle \)

15. \(\vec{r}(t) = \langle \cos t,2\sin t \rangle \)

16. \(\vec{r}(t) = \langle e^t, e^{-t} \rangle \)

У Вправах 17-20\(\vec{r}(t)\) задається позиційна функція разом з її одиничним тангенсом вектора, що\(\vec{T}(t)\) \(t=a\)обчислюється при, для деякого значення\(a\).
(a) Підтвердьте, що\(\vec{T}(a)\) це так, як зазначено.
(б) Використовуючи граф\(\vec{r}(t)\) і теорему 97, знайти\(\vec{N}(a)\).

17. \(\vec{r}(t) = \langle 3\cos t, 5\sin t \rangle;\quad \vec{T}(\pi/4)=\left \langle -\frac{3}{\sqrt{34}},\frac{5}{\sqrt{34}}\right \rangle\)

18. \(\vec{r}(t) = \left \langle t,\frac{1}{t^2+1} \right \rangle;\quad \vec{T}(1)=\left \langle \frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right \rangle\)

19. \(\vec{r}(t) = (1+2\sin t)(\cos t, \sin t);\quad \vec{T}(0)=\left \langle \frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right \rangle\)

20. \(\vec{r}(t) = \left \langle \cos^3 t,\sin^3 t \right \rangle;\quad \vec{T}(\pi/4)=\left \langle -\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right \rangle\)

У Вправи 21-24 знайдіть\(\vec{N}(t)\).

21. \(\vec{r}(t)=\langle 4t, 2\sin t, 2\cos t \rangle\)

22. \(\vec{r}(t)=\langle 5\cos t ,3\sin t,4\sin t \rangle\)

23. \(\vec{r}(t)=\langle a\cos t, a\sin t,bt \rangle\)

24. \(\vec{r}(t)=\langle \cos (at),\sin (at),t \rangle\)

У вправах 25-30 знайти\(a_T\) і\(a_N\) дати\(\vec{r}(t)\). Намалюйте\(\vec{r}(t)\) на вказаному інтервалі і прокоментуйте відносні розміри\(a_T\) і\(a_N\) при зазначених t значеннях.

25. \(\vec{r}(t) = \langle t,t^2 \rangle \text{ on }[-1,1];\text{ consider }t=0\text{ and }t=1\).

26. \(\vec{r}(t) = \langle t,1/t \rangle \text{ on }(0,4;\text{ consider }t=1\text{ and }t=2\).

27. \(\vec{r}(t) = \langle 2\cos t, 2\sin t\rangle \text{ on }[0,2\pi];\text{ consider }t=1\text{ and }t=\pi/2\).

28. \(\vec{r}(t) = \langle \cos (t^2),\sin (t^2)\rangle \text{ on }(0,2\pi];\text{ consider }t=\sqrt{\pi/2}\text{ and }t=\sqrt{\pi}\).

29. \(\vec{r}(t) = \langle a\cos t, a\sin t ,bt\rangle \text{ on }[0,2\pi];\text{ where }a,b>0;\text{ consider }t=0 \text{ and }t=\pi/2\).

30. \(\vec{r}(t) = \langle 5\cos t, 4\sin t, 3\sin t \rangle \text{ on }[0,2\pi];\text{ consider }t=0\text{ and }t=\pi/2\).

11.5: Параметр довжини дуги та кривизна

Терміни та поняття

1. Загальноприйнято описувати позицію в терміні як ______ та/або _______.

2. Міра «кривизни» кривої - ________.

3. Надайте дві форми з постійною кривизною.

4. Опишіть своїми словами, що таке «оскулюючий коло».

5. Заповніть особистість:\(\vec{T}'(s)=\) _________\(\vec{N}(s)\).

6. Враховуючи функцію положення\(\vec{r}(t)\), як\(a_N\) впливає\(a_T\) і впливає на кривизну?

Проблеми

У Вправах 7-10\(\vec{r}(t)\) задається функція позиції, де\(t=0\) corresponds to the initial position. Find the arc length parameter \(s\), і переписувати\(\vec{r}(t)\) в терміні\(s\); тобто знайти\(\vec{r}(s)\).

7. \(\vec{r}(t) = \langle 2t, t, -2t \rangle\)

8. \(\vec{r}(t) = \langle 7\cos t, 7\sin t \rangle\)

9. \(\vec{r}(t) = \langle 3\cos t, 3\sin t, 2t \rangle\)

10. \(\vec{r}(t) = \langle 5\cos t, 13\sin t,12\cos t \rangle\)

У вправах 11-22 крива С описується разом з 2 точками на С.
(а) За допомогою ескізу визначте, в якій з цих точок кривизна більша.
(b) Знайти\(\kappa\) кривизну C і оцінити\(\kappa\) в кожній з 2 заданих точок.

11. \(C\)визначається\(y=x^3-x\); точки,\(x=0\) наведені в і\(x=1/2\).

12. \(C\)визначається\(y=\frac{1}{x^2+1}\); точки,\(x=0\) наведені в і\(x=2\).

13. \(C\)визначається\(y=\cos x\); точки,\(x=0\) наведені в і\(x=\pi /2\).

14. \(C\)визначається\(y=\sqrt{1-x^2}\) на\((-1,1)\); точки,\(x=0\) наведені при і\(x=1/2\).

15. \(C\)визначається\(\vec{r}(t)=\langle \cos t, \sin (2t) \rangle\); точки,\(t=0\) наведені в і\(t=\pi/4\).

16. \(C\)визначається\(\vec{r}(t)=\langle \cos^2 (t),\sin t\cos t \rangle\); точки,\(t=0\) наведені в і\(t=\pi/3\).

17. \(C\)визначається\(\vec{r}(t)=\langle t^2-1,t^3-t \rangle\); точки,\(t=0\) наведені в і\(t=\pi/6\).

18. \(C\)визначається\(\vec{r}(t)=\langle \tan t,\sec t \rangle\); точки,\(t=0\) наведені в і\(t=\pi/6\).

19. \(C\)визначається\(\vec{r}(t)=\langle 4t+2,3t-1,2t+5\rangle\); точки,\(t=0\) наведені в і\(t=1\).

20. \(C\)визначається\(\vec{r}(t)=\langle t^3-t,t^3-4,t^2-1 \rangle\); точки,\(t=0\) наведені в і\(t=1\).

21. \(C\)визначається\(\vec{r}(t)=\langle 3\cos t, 3\sin t, 2t \rangle\); точки,\(t=0\) наведені в і\(t=\pi/2\).

22. \(C\)визначається\(\vec{r}(t)=\langle 5\cos t, 13\sin t, 12\cos t \rangle\); точки,\(t=0\) наведені в і\(t=\pi/2\).

У вправах 23-26 знайдіть значення x або t, де кривизна максимізована.

23. \(y=\frac{1}{6}x^3\)

24. \(y=\sin x\)

25. \(\vec{r}(t) =\langle t^2+2t, 3t-t^2 \rangle\)

26. \(\vec{r}(t) = \langle t, 4/t, 3/t \rangle \)

У вправах 27-30 знайдіть радіус кривизни за вказаною величиною.

27. \(y=\tan x , \text{ at }x=\pi/4 \)

28. \(y=x^2+x-3 , \text{ at }x=\pi/4 \)

29. \(\vec{r}(t) = \langle \cos t ,\sin (3t) \rangle , \text{ at }t=0 \)

30. \(\vec{r}(t) = \langle 5\cos (3t),t \rangle , \text{ at }t=0 \)

У вправах 31-34 знайдіть рівняння оскулюлюючої окружності до кривої при зазначеному t -значенні.

31. \(\vec{r}(t) = \langle t,t^2 \rangle ,\text{ at }t=0.\)

32. \(\vec{r}(t) = \langle 3\cos t, \sin t \rangle ,\text{ at }t=0.\)

33. \(\vec{r}(t) = \langle 3\cos t,\sin t \rangle ,\text{ at }t=\pi/2.\)

34. \(\vec{r}(t) = \langle t^2-t,t^2+t \rangle ,\text{ at }t=0.\)