11.4: Одиничний тангенс і нормальний вектори

Одиниця тангенс вектор

З огляду на гладку векторно-значну функцію$\vecs r(t)$, ми визначили у Визначенні 71, що будь-який паралельний вектору$\vecs r^\prime(t_0)$ є дотичним до графа$\vecs r (t)$ at$t=t_0$. Часто корисно враховувати саме напрямок,$\vecs r^\prime(t)$ а не його величину. Тому нас цікавить одиничний вектор в сторону$\vecs r^\prime(t)$. Це призводить до визначення.

Визначення$\PageIndex{1}$: Unit Tangent Vector

$\vecs r (t)$Дозволяти гладкою функцією на відкритому інтервалі$I$. Одиничний тангенс$\vecs T(t)$ вектора

$$\vecs T(t) = \dfrac{1}{\norm{\vecs r^\prime(t)}}\vecs r^\prime(t).$$

Приклад$\PageIndex{1}$: Computing the unit tangent vector

Нехай$\vecs r (t) = \langle 3\cos t, 3\sin t, 4t\rangle$. Знайти$\vecs T(t)$ і обчислити$\vecs T(0)$ і$\vecs T(1)$.

Рішення

Застосовуємо Визначення$\PageIndex{1}$, щоб знайти$\vecs T(t)$.

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ векс T (t) &=\ dfrac {1} {\ норма {\ vecs r^\ прайм (t)}}\ векс r^\ правий (t)\\ [4pt]
&=\ dfrac {1} {\ sqrt {\ лівий (-3\ sin t\ праворуч) ^2+\ лівий (3\ cos t\ правий) ^2+\ лівий (3\ cos t\ правий) 2+ 4^2}}\ ланголь -3\ sin t,3\ cos t, 4\ діапазон\\ [4pt]
&=\ ланголь -\ dfrac35\ sin t,\ dfrac35\ cos t,\ dfrac 45\ діапазон.
\ end {вирівнювати*}\]

Тепер ми можемо легко обчислити$\vecs T(0)$ і$\vecs T(1)$:

$$\begin{align*} \vecs T(0) &= \langle 0,\dfrac35,\dfrac45\rangle\, \\[4pt] \vecs T(1) &= \langle -\dfrac35\sin 1,\dfrac35\cos 1,\dfrac45\rangle \approx \langle -0.505,0.324,0.8\rangle.\end{align*}$$

Вони побудовані на малюнку$\PageIndex{1}$ з їх початковими точками в$\vecs r(0)$ і$\vecs r(1)$, відповідно. (Вони виглядають досить «короткими», оскільки вони мають лише довжину 1.)

Малюнок$\PageIndex{1}$: Побудова одиничних дотичних векторів у прикладі$\PageIndex{1}$.

Вектор дотичної одиниці$\vecs T(t)$ завжди має величину 1, хоча іноді легко сумніватися, що це правда. Ми можемо допомогти зміцнити цю думку в нашій свідомості, обчислюючи$\norm{\vecs T(1)}$:

$$\norm{\vecs T(1)} \approx \sqrt{(-0.505)^2+0.324^2+0.8^2} = 1.000001. \nonumber$$

Ми округлили в нашому обчисленні$\vecs T(1)$, так що ми не отримуємо 1 точно. Ми залишаємо читачеві використовувати точне подання,$\vecs T(1)$ щоб переконатися, що воно має довжину 1.

Багато в чому попередній приклад був «занадто приємним». Виявилося, що завжди$\vecs r^\prime(t)$ була довжини 5. У наступному прикладі довжина змінна, залишаючи нам формулу, яка не така чиста.$\vecs r^\prime(t)$

Приклад$\PageIndex{2}$: Computing the unit tangent vector

Нехай$\vecs r (t)=\langle t^2-t,t^2+t\rangle$. Знайти$\vecs T(t)$ і обчислити$\vecs T(0)$ і$\vecs T(1)$.

Рішення

Ми знаходимо$\vecs r^\prime(t) = \langle 2t-1,2t+1\rangle$, і

$$\norm{\vecs r^\prime(t)} = \sqrt{(2t-1)^2+(2t+1)^2} = \sqrt{8t^2+2}.$$

Тому

$$\vecs T(t) = \dfrac{1}{\sqrt{8t^2+2}}\langle 2t-1,2t+1\rangle = \langle \dfrac{2t-1}{\sqrt{8t^2+2}},\dfrac{2t+1}{\sqrt{8t^2+2}}\rangle.$$

Коли$t=0$, ми маємо$\vecs T(0) = \langle -1/\sqrt{2},1/\sqrt{2}\rangle$; коли$t=1$, ми маємо Ми$\vecs T(1) = \langle 1/\sqrt{10}, 3/\sqrt{10}\rangle.$ залишаємо це читачеві, щоб переконатися, що кожен з них є одиничним вектором. Вони нанесені на рис$\PageIndex{2}$.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Побудова одиничних дотичних векторів у прикладі$\PageIndex{2}$.

Одиниця нормального вектора

Подібно до того, як важливо знати напрямок дотичної до шляху, важливо знати напрямок, ортогональний до шляху. При роботі з реальними функціями ми визначили нормальну лінію в точці бути лінією через точку, яка була перпендикулярна дотичній лінії в цій точці. Ми можемо зробити подібну річ з векторно-значними функціями. Задано$\vecs r (t)$ в$\mathbb{R}^2$, ми маємо 2 напрямки, перпендикулярні дотичному вектору, як показано на малюнку$\PageIndex{3}$. Добре задатися питанням: «Чи є один з цих двох напрямків кращим перед іншим?»

Малюнок$\PageIndex{3}$: Враховуючи напрямок у площині, завжди є два ортогональні до нього напрямки.

Задано$\vecs r (t)$ в$\mathbb{R}^3$, є нескінченні вектори, ортогональні дотичному вектору в заданій точці. Знову ж таки, ми можемо задатися питанням: «Чи є один з цих нескінченних варіантів кращим перед іншими? Чи є один з них «правильний» вибір?»

Відповідь в обох$\mathbb{R}^2$ і$\mathbb{R}^3$ є «Так, є один вектор, який є не тільки кращим, це «правильний» вибір». Нагадаємо Теорему 93, яка стверджує, що якщо$\vecs r (t)$ має постійну довжину,$\vecs r (t)$ то$\vecs r^\prime(t)$ ортогональна для всіх$t$. Ми знаємо$\vecs T(t)$, що одиничний тангенс вектор, має постійну довжину. Тому$\vecs T(t)$ є ортогональним до$\vecs T\,'(t)$.

Ми побачимо, що$\vecs T\,'(t)$ це більше, ніж просто зручний вибір вектора, який ортогональний$\vecs r^\prime(t)$; скоріше, це «правильний» вибір. Оскільки все, що нас хвилює, - це напрямок, ми визначаємо цей щойно знайдений вектор як одиничний вектор.

Примітка:$\vecs T(t)$ це одиничний вектор, за визначенням. Це не означає, що$\vecs T\,'(t)$ це також одиничний вектор.

Визначення$\PageIndex{2}$: Unit Normal Vector

$\vecs r (t)$Дозволяти векторно-значна функція, де дотичний вектор одиниці$\vecs T(t)$, гладкий на відкритому інтервалі$I$. Одиничний$\vecs N(t)$ нормальний вектор

$$\vecs N(t) = \dfrac1{\norm{\vecs T\,'(t)}}\vecs T\,'(t).$$

Приклад$\PageIndex{3}$: Computing the unit normal vector

Нехай$\vecs r (t) = \langle 3\cos t, 3\sin t, 4t\rangle$ як у прикладі 11.4.1. Намалюйте обидва$\vecs T(\pi/2)$ і$\vecs N(\pi/2)$ з початковими точками на$\vecs r(\pi/2)$.

Рішення

У$\PageIndex{1}$ прикладі ми знайшли$\vecs T(t) = \langle (-3/5)\sin t,(3/5)\cos t,4/5\rangle$. Тому

$$\vecs T\,'(t) = \langle -\dfrac35\cos t,-\dfrac35\sin t,0\rangle\quad \text{and} \quad \norm{\vecs T\,'(t)} = \dfrac35.$$

Таким чином

$$\vecs N(t) = \dfrac{\vecs T\,'(t)}{3/5} = \langle -\cos t,-\sin t,0\rangle.$$

Обчислюємо$\vecs T(\pi/2) = \langle -3/5,0,4/5\rangle$ і$\vecs N(\pi/2) = \langle 0,-1,0\rangle$. Вони намальовані на малюнку$\PageIndex{4}$.

Рисунок$\PageIndex{4}$: Побудова одиничних дотичних і нормальних векторів у прикладі$\PageIndex{3}$.

Попередній приклад знову був «занадто приємним». Загалом, вираз for$\vecs T(t)$ містить частки квадратних коренів, отже, вираз$\vecs T\,'(t)$ дуже безладно. Ми демонструємо це в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{4}$: Computing the unit normal vector

Нехай$\vecs r (t)=\langle t^2-t,t^2+t\rangle$ як у прикладі$\PageIndex{2}$. Знайдіть$\vecs N(t)$ і намалюйте$\vecs r (t)$ з одиничними дотичними і нормальними векторами в$t=-1,0$ і 1.

Рішення

У$\PageIndex{2}$ прикладі ми знайшли

$$\vecs T(t) = \langle \dfrac{2t-1}{\sqrt{8t^2+2}},\dfrac{2t+1}{\sqrt{8t^2+2}}\rangle.$$

Пошук$\vecs T\,'(t)$ вимагає двох застосувань правила частки:

\ [\ почати {вирівнювати*}
T (t) &=\ ланголь\ dfrac {\ sqrt {8t^2+2} (2) - (2t-1)\ ліворуч (\ dfrac12 (8t^2+2) ^ {-1/2} (16t)\ праворуч)} {8t^2+2},\\ [4pt]
&\ quad\ dfrac {\ sqrt 8t^2+2} (2) - (2т+1)\ ліворуч (\ dfrac12 (8t^2+2) ^ {-1/2} (16t)\ праворуч)} {8t^2+2}\ діапазон\\ [4pt]
&=\ кут\ dfrac {4 (2 t+1)} {\ ліворуч (8 t^2+2\ праворуч) ^ {3/2}},\ dfrac {4 (1-2 т)} {\ ліворуч (8 t^2+2\ праворуч) ^ {3/2}}\ діапазон
\ end {align*}\]

Це не одиничний вектор; щоб знайти$\vecs N(t)$, нам потрібно розділити$\vecs T\,'(t)$ на його величину.

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ норма {\ векс Т\, '(t)} &=\ sqrt {\ dfrac {16 (2т+1) ^2} {(8т^2+2) ^3} +\ dfrac {16 (1-2t) ^2} {(8t^2+2) ^3}}\ [4pt]
&=\ sqrt {\ dфракція {16 (8t^2+2)} {(8t^2+2) ^3}}\\ [4pt]
&=\ dfrac {4} {8t^2+2}.
\ end {вирівнювати*}\]

Нарешті,

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ векс N (t) &=\ dfrac1 {4/ (8t^2+2)}\ кут\ dfrac {4 (2 t+1)} {\ лівий (8 t^2+2\ праворуч) ^ {3/2}},\ dfrac {4
(1-2 т)} {\ лівий (8 t^2+2\ праворуч) ^ {3/2}}\ діапазон\\ [4pt]
&=\ кут\ dfrac {2t+1} {\ sqrt {8t^2+2}}, -\ dfrac {2t-1} {\ sqrt {8t^2+2}}\ діапазон.
\ end {вирівнювати*}\]

Використовуючи цю формулу для$\vecs N(t)$, обчислюємо одиничний тангенс і нормальний вектори для$t=-1,0$ і 1 і намалюємо їх на рис$\PageIndex{5}$.

Рисунок$\PageIndex{5}$: Побудова одиничних дотичних і нормальних векторів у прикладі$\PageIndex{4}$.

Кінцевий результат для$\vecs N(t)$ в Приклад$\PageIndex{4}$ підозріло схожий на$\vecs T(t)$. Для цього є чітка причина. Якщо$\vecs u = \langle u_1,u_2\rangle$ є одиничним вектором в$\mathbb{R}^2$, то єдиними одиничними векторами,$\vecs u$ ортогональними є$\langle -u_2,u_1\rangle$ і$\langle u_2,-u_1\rangle$. З огляду на$\vecs T(t)$, ми можемо швидко визначити,$\vecs N(t)$ чи знаємо ми, на який термін помножити$(-1)$.

Розглянемо ще раз малюнок 11.24, де ми побудували деякі одиничні дотичні і нормальні вектори. Зверніть увагу, як$\vecs N(t)$ завжди вказує «всередині» кривої, або на увігнуту сторону кривої. Це не випадковість, це вірно в цілому. Знання напрямку, яке$\vecs r(t)$ «повертає», дозволяє нам швидко знайти$\vecs N(t)$.

ТЕОРЕМА$\PageIndex{1}$: Unit Normal Vectors in $\mathbb{R}^2$

$\vecs r(t)$Дозволяти векторної функції в$\mathbb{R}^2$ де$\vecs T\,'(t)$ є гладкою на відкритому інтервалі$I$. Дозвольте$t_0$ бути в,$I$ а$\vecs T(t_0) = \langle t_1,t_2\rangle$ потім$\vecs N(t_0)$ є або

$$\vecs N(t_0) = \langle -t_2,t_1\rangle \quad \text{or}\quad \vecs N(t_0) = \langle t_2,-t_1\rangle,$$

залежно від того, що є вектором, який вказує на увігнуту сторону графа$\vecs r$.

Додаток до прискорення

$\vecs r (t)$Дозволяти функція положення. Це факт (викладено пізніше в теоремі$\PageIndex{2}$), що прискорення,\ vecs a (t), лежить в площині, визначеній$\vecs T$ і$\vecs N$. Тобто існують скаляри$a_{\text{T}}$ і$a_{\text{N}}$ такі, що

$$\vecs a (t) = a_{\text{T}}\vecs T(t) + a_{\text{N}}\vecs N(t).$$

Скаляр$a_{\text{T}}$ вимірює «скільки» прискорення в напрямку руху, тобто вимірює складову прискорення, що впливає на швидкість. Скаляр$a_{\text{N}}$ вимірює «скільки» прискорення перпендикулярно напрямку руху, тобто вимірює складову прискорення, що впливає на напрямок руху.

Ми можемо знайти,$a_{\text{T}}$ використовуючи ортогональну проекцію$\vecs a(t)$ onto$\vecs T(t)$ (огляд Визначення 59 в розділі 10.3, якщо це необхідно).

Згадуючи, що так як$\vecs T(t)$ є одиничним вектором$\vecs T(t)\cdot\vecs T(t)=1$, тому ми маємо

$$\text{proj}_{T(t)}\vecs a(t) = \dfrac{\vecs a(t)\cdot\vecs T(t)}{\vecs T(t)\cdot\vecs T(t)}\vecs T(t) = \underbrace{\left(\vecs a(t)\cdot\vecs T(t)\right) }_{a_{\text{T}}}\vecs T(t).$$

Таким чином, сума$\vecs a (t)$ в напрямку$\vecs T(t)$ є$a_{\text{T}}=\vecs a (t)\cdot\vecs T(t)$. Та ж логіка дає$a_{\text{N}} = \vecs a (t)\cdot\vecs N(t)$.

Хоча це прекрасний спосіб обчислення$a_{\text{T}}$, існують простіші способи пошуку$a_{\text{N}}$ (оскільки пошук$\vecs N$ себе може бути складним). Наступна теорема дає альтернативні формули для$a_{\text{T}}$ і$a_{\text{N}}$.

Примітка: Майте на увазі, що обидва$a_\text{T}$ і$a_\text{N}$ є функціями$t$; тобто скалярні зміни в залежності від$t$. Це умовність відкинути позначення$(t)$ ""$a_\text{T}(t)$ і просто написати$a_\text{T}$.

ТЕОРЕМА$\PageIndex{2}$: Acceleration in the Plane Defined by $\vecs T$ and $\vecs N$

$\vecs r (t)$Дозволяти позиційна функція з прискорення$\vecs a (t)$ і одиниці тангенса і нормальних векторів$\vecs T(t)$ і$\vecs N(t)$. Потім$\vecs a (t)$ лежить в площині,$\vecs T(t)$ визначеній і$\vecs N(t)$; тобто існують скаляри$a_\text{T}$ і$a_\text{N}$ такі, що

$$\vecs a (t) = a_\text{T}\vecs T(t) + a_\text{N}\vecs N(t).$$

Більш того,

\ [\ почати {вирівнювати*}
a_\ текст {T} &=\ векс a (t)\ cdot\ vecs T (t) =\ dfrac {d} {dt}\ лівий (\ норма {\ vecs v (t)}\ вправо)\\ [4pt]
a_\ текст {N} &=\ vecs a (t)\ cdot\ vecs N (t) =\ sqrt {\ норма {\ vecs a (t)} ^2-a_\ текст {T} ^2} =\ dfrac {\ norm {\ vecs a (t)\ times\ vecs v (t)}} {\ norm {\ vecs v (t)} =\ норма {\ vecs v (t)}\,\ норма {\ vecs T\, '(t)}
\ end {align*}\]

Зверніть увагу на другу формулу для$a_\text{T}$:$\dfrac{d}{dt}\left(\norm{\vecs v (t)}\right)$. Це вимірює швидкість зміни швидкості, яка знову-таки є величиною прискорення в напрямку руху.

Приклад$\PageIndex{5}$: Computing $a_\text{T}$ and $a_\text{N}$

Нехай$\vecs r (t) = \langle 3\cos t, 3\sin t, 4t\rangle$ як у прикладах 11.4.1 і 11.4.3. Знайти$a_\text{T}$ і$a_\text{N}$.

Рішення

Попередні приклади наводимо$\vecs a (t) = \langle -3\cos t,-3\sin t,0\rangle$ і

$$\vecs T(t) = \langle -\dfrac35\sin t,\dfrac35\cos t,\dfrac45\rangle \quad \text{and}\quad \vecs N(t) = \langle -\cos t,-\sin t,0\rangle.$$

Ми можемо знайти$a_\text{T}$ та$a_\text{N}$ безпосередньо з точковими продуктами:

\ [\ почати {вирівнювати*}
a_\ текст {T} &=\ векс а (т)\ cdot\ векс T (t) =\ dfrac95\ cos t\ dfrac95\ cos t\ sin t+0 = 0.\\ [4pt]
a_\ text {N} &=\ vecs a (t)\ cdot\ vecs N (t) = 3\ cos^2t+3\ sin^2t + 0 = 3.
\ end {вирівнювати*}\]

Таким чином$\vecs a (t) = 0\vecs T(t) + 3\vecs N(t) = 3\vecs N(t)$, що явно так.

Яке практичне тлумачення цих чисел? $a_\text{T}=0$означає, що об'єкт рухається з постійною швидкістю, а значить, все прискорення відбувається у вигляді зміни напрямку.

Приклад$\PageIndex{6}$: Computing $a_\text{T}$ and $a_\text{N}$

Нехай$\vecs r (t)=\langle t^2-t,t^2+t\rangle$ як в прикладах$\PageIndex{2}$ і$\PageIndex{4}$. Знайти$a_\text{T}$ і$a_\text{N}$.

Рішення

Попередні приклади наводимо$\vecs a(t) = \langle 2,2\rangle$ і

$$\vecs T(t) = \langle \dfrac{2t-1}{\sqrt{8t^2+2}},\dfrac{2t+1}{\sqrt{8t^2+2}}\rangle \nonumber$$

і

$$\vecs N(t) = \langle \dfrac{2t+1}{\sqrt{8t^2+2}},-\dfrac{2t-1}{\sqrt{8t^2+2}}\rangle. \nonumber$$

Хоча ми можемо обчислювати$\vecs N(t)$,$a_\text{N}$ використовуючи, ми замість цього демонструємо, використовуючи іншу формулу з теореми$\PageIndex{2}$.

\ [\ почати {вирівнювати*}
a_\ текст {T} &=\ векс а (т)\ cdot\ векс T (t) =\ dfrac {4t-2} {\ sqrt {8t^2+2}} +\ dfrac {4t+2} {\ sqrt {8t^2+2}} =\ dfrac {8t} {\ sqrt {8t} ^2+2}}.\\ [4pt]
a_\ текст {N} &=\ sqrt {\ норма {\ vecs a (t)} ^2-a_\ текст {T} ^2} =\ sqrt {8-\ ліворуч (\ dfrac {8t} {8t^2+2}}\ праворуч) ^2} =\ dfrac {4} {квадратний {8 t^2+2}}
\ end {вирівнювати*}\]

Коли$t=2$,$a_\text{T} = \dfrac{16}{\sqrt{34}}\approx 2.74$ і$a_\text{N} = \dfrac{4}{\sqrt{34}} \approx 0.69$. Ми інтерпретуємо це так, щоб означати$t=2$, що частинка прискорюється здебільшого за рахунок збільшення швидкості, а не за рахунок зміни напрямку. Оскільки шлях поруч$t=2$ є відносно прямим, це повинно мати інтуїтивний сенс. Рисунок$\PageIndex{6}$ дає графік шляху для довідки.

Малюнок$\PageIndex{6}$: Графік$\vecs{r}(t)$ у прикладі$\PageIndex{6}$.

Контрастуйте це з$t=0$ тим, де$a_\text{T} = 0$ і$a_\text{N} = 4/\sqrt{2}\approx 2.82$. Тут швидкість частинки не змінюється і все прискорення відбувається у вигляді зміни напрямку.

Приклад$\PageIndex{7}$: Analyzing projectile motion

М'яч кидається з висоти 240ft з початковою швидкістю 64ft/s і кутом підйому$30^\circ$. Знайдіть функцію$\vecs r (t)$ положення м'яча і проаналізуйте$a_\text{T}$ і$a_\text{N}$.

Рішення

За допомогою Key Idea 53 розділу 11.3 формуємо позиційну функцію м'яча:

$$\vecs r (t) = \langle \left(64\cos 30^\circ\right) t, -16t^2+\left(64\sin 30^\circ\right) t+240\rangle,$$

які ми збудуємо на рис$\PageIndex{7}$.

Малюнок$\PageIndex{7}$: Побудова положення кинутого м'яча з кроком 1s показано.

З цього знаходимо$\vecs v (t) = \langle 64\cos 30^\circ, -32t+64\sin 30^\circ\rangle$ і$\vecs a (t) = \langle 0,-32\rangle$. Обчислення не$\vecs T(t)$ складно, і з деяким спрощенням ми знаходимо

$$\vecs T(t) = \langle \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{t^2-2t+4}}, \dfrac{1-t}{\sqrt{t^2-2t+4}}\rangle.$$

З$\vecs a (t)$ таким же простим, як це є, знайти$a_\text{T}$ також просто:

$$a_\text{T} = \vecs a (t)\cdot \vecs T(t) = \dfrac{32t-32}{\sqrt{t^2-2t+4}}.$$

Вибираємо не знайти$\vecs N(t)$ і знаходимо$a_\text{N}$ через формулу$a_\text{N} = \sqrt{\norm{\vecs a (t)}^2-a_\text{T}^2\,}$:

$$a_\text{N} = \sqrt{32^2-\left(\dfrac{32t-32}{\sqrt{t^2-2t+4}}\right)^2} = \dfrac{32\sqrt{3}}{\sqrt{t^2-2t+4}}.$$

На малюнку$\PageIndex{8}$ наведено таблицю значень$a_\text{T}$ і$a_\text{N}$. Коли$t=0$, ми бачимо, що швидкість м'яча зменшується; коли$t=1$ швидкість м'яча незмінна. Це відповідає тому, що$t=1$ на кулі досягає своєї найвищої точки.

Після$t=1$ ми бачимо, що$a_\text{N}$ зменшується в ціні. Це пов'язано з тим, що коли м'яч падає, його шлях стає прямішим, і більша частина прискорення відбувається у вигляді прискорення м'яча, а не в зміні його напрямку.

Малюнок$\PageIndex{8}$: Таблиця значень$a_T$ і$a_N$ в прикладі$\PageIndex{7}$.

Наше розуміння одиничного тангенса і нормальних векторів сприяє нашому розумінню руху. Робота в прикладі$\PageIndex{7}$ дала кількісний аналіз того, що ми інтуїтивно знали.

Наступний розділ містить ще два важливі кроки на шляху до цього аналізу. Наразі ми описуємо позицію лише з точки зору часу. Однак у повсякденному житті ми часто описуємо положення з точки зору відстані («АЗС знаходиться приблизно на 2 милі попереду, зліва.»). Параметр довжини дуги дозволяє нам орієнтуватися на позицію з точки зору пройденої відстані.

Ми також інтуїтивно знаємо, що деякі шляхи пряміші за інші - а деякі «кривіші», ніж інші, але нам не вистачає вимірювання «кривизни». Параметр довжини дуги забезпечує нам спосіб обчислення кривизни, кількісного виміру того, наскільки крива крива.