10.E: Застосування векторів (вправи)

10.1: Вступ до декартових координат у просторі

Терміни та поняття

1. Осі, намальовані в просторі, повинні відповідати правилу ________ _________.

2. У площині рівняння\(x=2\) визначає ________; в просторі\(x=2\) визначає ________.

3. У площині рівняння\(y=x^2\) визначає ________; в просторі\(y=x^2\) визначає ________.

4. Яка квадратна поверхня виглядає як чіп Pringles?

5. Розглянемо гіперболу\(x^2-y^2=1\) в площині. Якщо ця гіпербола обертається навколо осі х, яка квадратна поверхня утворюється?

6. Розглянемо гіперболу\(x^2-y^2=1\) в площині. Якщо ця гіпербола обертається навколо осі y, яка квадратна поверхня утворюється?

Проблеми

7. Точки\(A=(1,4,2),\,B=(2,6,3)\text{ and }C=(4,3,1)\) утворюють трикутник в просторі. Знайдіть відстані між кожною парою точок і визначте, чи трикутник є прямокутним трикутником.

8. Точки\(A=(1,1,3),\,B=(3,2,7),\,C=(2,0,8)\text{ and }D=(0,-1,4)\) утворюють чотирикутник ABCD в просторі. Це паралелограм?

9. Знайти центр і радіус сфери, визначеної\(x^2-8x+y^2+2y+z^2+8=0\).

10. Знайти центр і радіус сфери, визначеної\(x^2+y^2+z^2+4x-2y-4z+4=0\).

У вправах 11-14 опишіть область в просторі, визначену нерівностями.

11. \(x^2+y^2+z^2 <1\)

12. \(0\le x \le 3\)

13. \(x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0\)

14. \(y\ge 3\)

У вправах 15-18 накидайте циліндр в просторі.

15. \(z=x^3\)

16. \(y=\cos z\)

17. \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)

18. \(y=\frac{1}{x}\)

У вправах 19-22 наведемо описане рівняння поверхні обертання.

19. Обертаються\(z=\frac{1}{1+y^2}\) навколо осі y.

20. Обертаються\(y=x^2\) навколо осі х.

21. Обертаються\(z=x^2\) навколо осі z.

22. Обертаються\(z=1/x\) навколо осі z.

У Вправах 23-26 робиться начерк квадратної поверхні. Визначте, яке з заданих рівнянь найкраще підходить для графіка.

23.

24.

25.

26.

У вправах 27-32 накидайте квадратну поверхню.

27. \(z-y^2+x^2=0\)

28. \(z^2=x^2+\frac{y^2}{4}\)

29. \(x=-y^2-z^2\)

30. \(16x^2-16y^2-16z^2=1\)

31. \(\frac{x^2}{9}-y^2+\frac{z^2}{25}=1\)

32. \(4x^2+2y^2+z^2=4\)

10.2: Вступ до векторів

Терміни та поняття

1. Назвіть дві різні речі, які не можна описати лише одним числом, а для їх повного опису потрібно 2 або більше чисел.

2. У чому різниця між ними\((1,2)\text{ and }\langle 1,2\rangle\)?

3. Що таке одиничний вектор?

4. Що означає, щоб два вектори були паралельними?

5. Який ефект має множення на вектор на -2?

Проблеми

У вправах 6-9 наведені точки Р і Q. Запишіть вектор\(\vec{PQ}\) у вигляді компонента та використовуючи стандартні одиничні вектори.

6. \(P=(2,-1),\quad Q=(3,5)\)

7. \(P=(3,2),\quad Q=(7,-2)\)

8. \(P=(0,3,-1),\quad Q=(6,2,5)\)

9. \(P=(2,1,2),\quad Q=(4,3,2)\)

10. Нехай\(\vec{u}=\langle 1,-2 \rangle \text{ and }\vec{v} =\langle 1,1 \rangle\).
(а) Знайти\(\vec{u}+\vec{v},\,\vec{u}-\vec{v},\,2\vec{u}-3\vec{v}\).
(b) Намалюйте наведені вище вектори на одних і тих же осях, разом з\(\vec{u}\text{ and }\vec{v}\).
(c) Знайти\(\vec{x}\) де\(\vec{u}+\vec{x}=2\vec{v}-\vec{x}\).

11. Нехай\(\vec{u}=\langle 1,1,-1 \rangle \text{ and }\vec{v}=\langle 2,1,2 \rangle\).
(а) Знайти\(\vec{u}+\vec{v},\,\vec{u}-\vec{v},\,\pi \vec{u}-\sqrt{2}\vec{v}\).
(b) Намалюйте наведені вище вектори на одних і тих же осях, разом з\(\vec{u}\text{ and }\vec{v}\).
(c) Знайти\(\vec{x}\) де\(\vec{u}+\vec{x}=\vec{v}+2\vec{x}\).

У вправах 12-15 зробіть ескіз\(\vec{u},\vec{v},\vec{u}+\vec{v} \text{ and }\vec{u}-\vec{v}\) на однакових осях.

12.

13.

14.

15.

У вправах 16-19 знайдіть\(\lVert \vec{u}\rVert,\lVert \vec{v}\rVert,\lVert \vec{u}+\vec{v}\rVert \text{ and }\lVert \vec{u}-\vec{v}\rVert\).

16. \(\vec{u}=\langle 2,1 \rangle,\quad \vec{v}=\langle 3,-2\rangle\)

17. \(\vec{u}=\langle -3,2,2 \rangle,\quad \vec{v}=\langle 1,-1,1\rangle\)

18. \(\vec{u}=\langle 1,2 \rangle,\quad \vec{v}=\langle -3,-6\rangle\)

19. \(\vec{u}=\langle 2,-3,6 \rangle,\quad \vec{v}=\langle 10,-15,30\rangle\)

20. За яких умов знаходиться\(\lVert \vec{u}\rVert+\lVert \vec{v}\rVert=\lVert \vec{u}+\vec{v} \rVert\)?

У вправах 21-24 знайдіть вектор одиниці\(\vec{u}\) в напрямку\(\vec{v}\).

21. \(\vec{v} = \langle 3,7 \rangle\)

22. \(\vec{v} = \langle 6,8 \rangle\)

23. \(\vec{v} = \langle 1,-2,2 \rangle\)

24. \(\vec{v} = \langle 2,-2,2 \rangle\)

25. Знайдіть одиничний вектор у першому квадранті\(\mathbb{R}^2\), який робить\(50^\circ\) кут з віссю x.

26. Знайдіть одиничний вектор у другому квадранті\(\mathbb{R}^2\), який робить\(30^\circ\) кут з віссю y.

27. Перевірте, з Key Idea 48, що\(\vec{u}=\langle \sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi, \cos \theta \rangle \) це одиничний вектор для всіх кутів\(\theta \text{ and }\phi\).

Вага 100 фунтів підвішується на двох ланцюгах, роблячи кути з вертикаллю,\(\theta\text{ and }\phi\) як показано на малюнку нижче.

У вправах 28-31\(\theta \text{ and }\phi\) наведені кути. Знайдіть зусилля, прикладене до кожного ланцюга.

28. \(\theta =30^\circ,\quad \phi=30^\circ\)

29. \(\theta =60^\circ,\quad \phi=60^\circ\)

30. \(\theta =20^\circ,\quad \phi=15^\circ\)

31. \(\theta =0^\circ,\quad \phi=0^\circ\)

Вага\(p\) фунтів підвішується на ланцюжку довжини,\(l\) тоді як постійна сила\(\vec{F}_w\) штовхає вагу вправо, роблячи кут\(\theta\) з вертикаллю, як показано на малюнку нижче.

У вправах 32-35 дається сила\(\vec{F}_w\)\(l\) і довжина. Знайдіть кут\(\theta\) і висоту, яку вага піднімається, коли він рухається вправо.

32. \(\vec{F}_w=1\text{lb},\quad l=1\text{ft},\quad p=1\text{lb}\)

33. \(\vec{F}_w=1\text{lb},\quad l=1\text{ft},\quad p=10\text{lb}\)

34. \(\vec{F}_w=1\text{lb},\quad l=10\text{ft},\quad p=1\text{lb}\)

35. \(\vec{F}_w=10\text{lb},\quad l=10\text{ft},\quad p=1\text{lb}\)

10.3: Точковий продукт

Терміни та поняття

1. Точковий добуток двох векторів - це __________, а не вектор.

2. Як пов'язані поняття точкового добутку та величини вектора?

3. Як швидко визначити, гострий чи тупий кут між двома векторами?

4. Дайте синонім «ортогональний».

Проблеми

У Вправах 5-10 знайдіть крапковий добуток заданих векторів.

5. \(\vec{u}=\langle 2,-4 \rangle, \vec{v}=\langle 3,7 \rangle \)

6. \(\vec{u}=\langle 5,3 \rangle, \vec{v}=\langle 6,1 \rangle \)

7. \(\vec{u}=\langle 1,-1,2 \rangle, \vec{v}=\langle 2,5,3 \rangle \)

8. \(\vec{u}=\langle 3,5,-1 \rangle, \vec{v}=\langle 4,-1,7 \rangle \)

9. \(\vec{u}=\langle 1,1 \rangle, \vec{v}=\langle 1,2,3 \rangle \)

10. \(\vec{u}=\langle 1,2,3 \rangle, \vec{v}=\langle 0,0,0 \rangle \)

11. Створіть власні вектори\(\vec{u},\vec{v},\text{ and }\vec{w}\text{ in }\mathbb{R}^2\) і покажіть, що\(\vec{u}\cdot (\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{u}\cdot \vec{w}\).

12. Створіть свої власні вектори\(\vec{u}\text{ and }\vec{v}\text{ in }\mathbb{R}^3\) і скалярний c і покажіть, що\(c(\vec{u}\cdot \vec{v})=\vec{u}\cdot (c\vec{v})\).

У вправах 13-16 знайдіть міру кута між двома векторами як в радіанах, так і в градусах.

13. \(\vec{u}=\langle 1,1 \rangle,\,\vec{v}=\langle 1,2 \rangle\)

14. \(\vec{u}=\langle -2,1 \rangle,\,\vec{v}=\langle 3,5 \rangle\)

15. \(\vec{u}=\langle 8,1,-4 \rangle,\,\vec{v}=\langle 2,2,0 \rangle\)

16. \(\vec{u}=\langle 1,7,2 \rangle,\,\vec{v}=\langle 4,-2,5 \rangle\)

У вправах 17-20\(\vec{v}\) наведено вектори. Дайте два вектори, які є ортогональними до\(\vec{v}\).

17. \(\vec{v}=\langle 4,7 \rangle\)

18. \(\vec{v}=\langle -3,5 \rangle\)

19. \(\vec{v}=\langle 1,1,1 \rangle\)

20. \(\vec{v}=\langle 1,-2,3 \rangle\)

У вправах 21-26\(\vec{u}\text{ and }\vec{v}\) наведені вектори. Знайдіть\(\text{proj}_{\vec{v}}\vec{u}\), ортогональну проекцію\(\vec{u}\) на\(\vec{v}\), і намалюйте всі три вектори на однакових осях.

21. \(\vec{u}=\langle 1,2 \rangle , \vec{v}=\langle -1,3 \rangle\)

22. \(\vec{u}=\langle 5,5 \rangle , \vec{v}=\langle 1,3 \rangle\)

23. \(\vec{u}=\langle -3,2 \rangle , \vec{v}=\langle 1,1 \rangle\)

24. \(\vec{u}=\langle -3,2 \rangle , \vec{v}=\langle 2,3 \rangle\)

25. \(\vec{u}=\langle 1,5,1 \rangle , \vec{v}=\langle 1,2,3 \rangle\)

26. \(\vec{u}=\langle 3,-1,2 \rangle , \vec{v}=\langle 2,2,1 \rangle\)

У вправах 27-32\(\vec{u}\) наведені\(vec{v}\) вектори і. Запишіть\(\vec{u}\) як суму двох векторів, один з яких паралельний\(\vec{v}\) і один з яких перпендикулярний\(\vec{v}\). Примітка: це ті ж пари векторів, що і у Вправи 21-26.

27. \(\vec{u}=\langle 1,2 \rangle , \vec{v}=\langle -1,3 \rangle\)

28. \(\vec{u}=\langle 5,5 \rangle , \vec{v}=\langle 1,3 \rangle\)

29. \(\vec{u}=\langle -3,2 \rangle , \vec{v}=\langle 1,1 \rangle\)

30. \(\vec{u}=\langle -3,2 \rangle , \vec{v}=\langle 2,3 \rangle\)

31. \(\vec{u}=\langle 1,5,1 \rangle , \vec{v}=\langle 1,2,3 \rangle\)

32. \(\vec{u}=\langle 3,-1,2 \rangle , \vec{v}=\langle 2,2,1 \rangle\)

33. Коробка 10 фунтів сидить на рампі, яка піднімається 4 фути на відстань 20 футів. Скільки сил потрібно, щоб коробка не ковзала вниз по пандусу?

34. Коробка 10 фунтів сидить на рампі 15 футів, яка робить\(^\circ\) кут 30 з горизонталлю. Скільки сил потрібно, щоб коробка не ковзала вниз по пандусу?

35. Скільки роботи виконується при переміщенні коробки по горизонталі 10 футів із силою 20lb, прикладеною під кутом 45\(^\circ\) до горизонталі?

36. Скільки роботи виконується при переміщенні коробки по горизонталі 10 футів із силою 20lb, прикладеною під кутом 10\(^\circ\) до горизонталі?

37. Скільки робіт виконується при переміщенні коробки вгору по довжині пандуса, який піднімається 2ft на відстань 10 футів, із зусиллям 50 фунтів, застосованим горизонтально?

38. Скільки роботи виконується в переміщенні коробки вгору по довжині пандуса, який піднімається 2ft на відстань 10ft, з силою 50lb прикладається під кутом 45\(^\circ\) до горизонталі?

39. Скільки робіт виконується при переміщенні коробки вгору по довжині 10-футового пандуса, який робить\(^\circ\) кут 5 з горизонталлю, з 50 фунтів сили, прикладеної у напрямку пандуса?

10.4: Хрестовий продукт

Терміни та поняття

1. Перехресний добуток двох векторів - це ________, а не скаляр.

2. Можна візуалізувати напрямок\(\vec{u}\times \vec{v}\) використання _______ ________ ________.

3. Дайте синонім «ортогональний».

4. T/F: Основним принципом перехресного добутку\(\vec{u}\times\vec{v}\) є ортогональний\(\vec{u}\) і\(\vec{v}\).

5. _______ - міра сили повороту, прикладеної до предмета.

Проблеми

У вправах 6-14\(\vec{u}\) наведені\(\vec{v}\) вектори і. Обчислити\(\vec{u}\times \vec{v}\) і показати, що це ортогонально обох\(\vec{u}\) і\(\vec{v}\).

6. \(\vec{u}=\langle 3,2,-2 \rangle ,\, \vec{v}=\langle 0,1,5 \rangle \)

7. \(\vec{u}=\langle 5,-4,3 \rangle ,\, \vec{v}=\langle 2,-5,1 \rangle \)

8. \(\vec{u}=\langle 4,-5,-5 \rangle ,\, \vec{v}=\langle 3,3,4 \rangle \)

9. \(\vec{u}=\langle -4,7,-10 \rangle ,\, \vec{v}=\langle 4,4,1 \rangle \)

10. \(\vec{u}=\langle 1,0,1 \rangle ,\, \vec{v}=\langle 5,0,7 \rangle \)

11. \(\vec{u}=\langle 1,5,-4 \rangle ,\, \vec{v}=\langle -2,-10,8 \rangle \)

12. \(\vec{u}=\vec{i} ,\, \vec{v}=\vec{j} \)

13. \(\vec{u}=\vec{i} ,\, \vec{v}=\vec{k} \)

14. \(\vec{u}=\vec{j} ,\, \vec{v}=\vec{j} \)

15. Виберіть будь-які вектори\(\vec{u},\vec{v}\) і\(\vec{w}\) в\(\mathbb{R}^3\) і показати, що\(\vec{u}\times (\vec{v}+\vec{w}=\vec{u}\times \vec{v} +\vec{u}\times \vec{w}\).

16. Виберіть будь-які вектори\(\vec{u},\vec{v}\) і\(\vec{w}\) в\(\mathbb{R}^3\) і показати, що\(\vec{u}\cdot (\vec{v}\times\vec{w}=(\vec{u}\times \vec{v}) \cdot \vec{w}\).

У вправах 17-20 задано величину векторів\(\vec{u}\) і\(\vec{v}\) в\(\mathbb{R}^3\) разом з кутом\(\theta\) між ними. Використовуйте цю інформацію, щоб знайти величину\(\vec{u}\times \vec{v}\).

17. \(\lVert \vec{u} \rVert=2 , \quad \lVert \vec{v}\rVert = 5,\quad \theta =30^\circ\)

18. \(\lVert \vec{u} \rVert=3 , \quad \lVert \vec{v}\rVert = 7,\quad \theta =\pi/2\)

19. \(\lVert \vec{u} \rVert=3 , \quad \lVert \vec{v}\rVert = 4,\quad \theta =\pi\)

20. \(\lVert \vec{u} \rVert=2 , \quad \lVert \vec{v}\rVert = 5,\quad \theta =5\pi /6\)

У вправах 21-24 знайдіть площу паралелограма, визначену заданими векторами.

21. \(\vec{u}=\langle 1,1,2 \rangle ,\, \vec{v}=\langle 2,0,3 \rangle\)

22. \(\vec{u}=\langle -2,1,5 \rangle ,\, \vec{v}=\langle -1,3,1 \rangle\)

23. \(\vec{u}=\langle 1,2 \rangle ,\, \vec{v}=\langle 2,1 \rangle\)

24. \(\vec{u}=\langle 2,0 \rangle ,\, \vec{v}=\langle 0,3 \rangle\)

У вправах 25-28 знайдіть площу трикутника з заданими вершинами.

25. Вершини:\((0,0,0), (1,3,-1)\text{ and }(2,1,1)\).

26. Вершини:\((5,2,-1), (3,6,2)\text{ and }(1,0,4)\).

27. Вершини:\((1,1), (1,3)\text{ and }(2,2)\).

28. Вершини:\((3,1), (1,2)\text{ and }(4,3)\).

У вправах 29-30 знайдіть площу чотирикутника з заданими вершинами. (Підказка: розбийте чотирикутник на 2 трикутника.)

29. Вершини:\((0,0),(1,2),(3,0)\text{ and }(4,3)\).

30. Вершини:\((0,0,0),(2,1,1),(-1,2,-8)\text{ and }(1,-1,5)\).

У вправах 31-32 знайдіть обсяг паралелепіпеда, який визначається заданими векторами.

31. \(\vec{u}=\langle 1,1,1 \rangle,\quad \vec{v}=\langle 1,2,3 \rangle,\quad \vec{w}=\langle 1,0,1 \rangle\)

32. \(\vec{u}=\langle -1,2,1 \rangle,\quad \vec{v}=\langle 2,2,1 \rangle,\quad \vec{w}=\langle 3,1,3 \rangle\)

У Вправи 33-36 знайдіть одиничний вектор, ортогональний обом\(\vec{u}\) і\(\vec{v}\).

33. \(\vec{u}=\langle 1,1,1 \rangle ,\quad \vec{v}=\langle 2,0,1 \rangle \)

34. \(\vec{u}=\langle 1,-2,1 \rangle ,\quad \vec{v}=\langle 3,2,1 \rangle \)

35. \(\vec{u}=\langle 5,0,2 \rangle ,\quad \vec{v}=\langle -3,0,7 \rangle \)

36. \(\vec{u}=\langle 1,-2,1 \rangle ,\quad \vec{v}=\langle -2,4,-2 \rangle \)

37. Велосипедний вершник застосовує 150 фунтів сили, прямо вниз, на педаль, яка простягається in горизонтально від колінчастого вала. Знайдіть величину крутного моменту, прикладеного до колінчастого вала.

38. Велосипедний райдер застосовує 150 фунтів сили, прямо вниз, на педаль, яка простягається 7in від колінчастого вала, роблячи\(^\circ\) кут 30 з горизонталлю. Знайдіть величину крутного моменту, прикладеного до колінчастого вала.

39. Щоб повернути впертий болт, 80 фунтів сили прикладається до гайкового ключа 10 дюймів. Яка максимальна величина крутного моменту, який можна застосувати до болта?

40. Щоб повернути впертий болт, 80 фунтів сили прикладається до гайкового ключа 10 дюймів у обмеженому просторі, де напрямок прикладеної сили становить\(^\circ\) кут 10 за допомогою гайкового ключа. Скільки крутного моменту згодом прикладається до гайкового ключа?

41. Показати, використовуючи визначення перехресного добутку, що\(\vec{u}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})=0\); тобто\(\vec{u}\) тобто ортогонально до перехресного добутку\(\vec{u}\) і\(\vec{v}\).

42. Покажіть, використовуючи визначення перехресного продукту, що\(vec{u}\times\vec{u}=\vec{0}\).

10.5: Лінії

Терміни та поняття

1. Щоб знайти рівняння прямої, які дві частини інформації потрібні?

2. Дві чіткі лінії в площині можуть перетинатися або бути _______.

3. Дві різні лінії в просторі можуть перетинатися, бути _________ або бути __________.

4. Використовуйте власні слова, щоб описати, що означає для двох рядків у просторі, щоб бути косими.

Проблеми

У вправах 5-14 запишіть векторні, параметричні і симетричні рівняння описаних ліній.

5. Проходить наскрізь\(P=(2,-4,1)\), паралельно\(\vec{d}=\langle 9,2,5\rangle\).

6. Проходить наскрізь\(P=(6,1,7)\), паралельно\(\vec{d}=\langle -3,2,5 \rangle\).

7. Проходить через\(P=(2,1,5)\) і\(Q=(7,-2,4)\).

8. Проходить через\(P=(1,-2,3)\) і\(Q=(5,5,5)\).

9. Проходить\(P=(0,1,2)\) наскрізний і ортогональний до обох\(\vec{d}_1 = \langle 2,-1,7 \rangle\) і\(\vec{d}_2 = \langle 7,1,3 \rangle\).

10. Проходить\(P=(5,1,9)\) наскрізний і ортогональний до обох\(\vec{d}_1 = \langle 1,0,1 \rangle\) і\(\vec{d}_2 = \langle 2,0,3\rangle\).

11. Проходить через точку перетину\(\vec{l}_1 (t)\) і\(\vec{l}_2 (t)\) і ортогональна до обох ліній, де
\(\vec{l}_1 (t) = \langle 2,1,1 \rangle + t\langle 5,1,-2 \rangle\) і
\(\vec{l}_2 (t) = \langle -2,-1,2 \rangle + t\langle 3,1,-1 \rangle \).

12. Проходить через точку перетину\(\vec{l}_1 (t)\text{ and }\vec{l}_2 (t)\) і ортогональна до обох ліній, де
\(l_1 = \begin{cases} x=t \\ y=-2+2t \\ z=1+t \end{cases}\text{ and }l_2 = \begin{cases}x=2+t \\ y=2-t \\ z=1+t \end{cases}\)

13. Проходить наскрізь\(P=(1,1)\), паралельно\(\vec{d}=\langle 2,3 \rangle\).

14. Проходить наскрізь\(P=(-2,5)\), паралельно\(\vec{d}=\langle 0,1 \rangle\).

У вправах 15-22 визначте, чи є описані лінії однаковою лінією, паралельними лініями, пересічними або косими лініями. Якщо перетинаються, дайте точку перетину.

15.
\ (\ vec {l} _1 (t) =\ кут 1,2,1\ діапазон +t\ ланголь 2, -1,1\ діапазон,
\ vec {l} _2 (t) =\ кут 3,3,3\ діапазон +t\ лангель -4,2, -2\ діапазон\).

16.
\ (\ vec {l} _1 (t) =\ кут 2,1,1\ діапазон +t\ ланголь 5,1,3\ діапазон,
\ vec {l} _2 (t) =\ кут 14,5,9\ діапазон +t\ лангель 1,1,1\ діапазон\).

17.
\ (\ vec {l} _1 (t) =\ кут 3,4,1\ діапазон +t\ ланголь 2, -3,4
\ діапазон,\ vec {l} _2 (t) =\ кут -3,3, -3\ діапазон +t\ кут 3, -2,4\ діапазон\).

18.
\ (\ vec {l} _1 (t) =\ кут 1,1,1\ діапазон +t\ ланголь 3,1,3
\ діапазон,\ vec {l} _2 (t) =\ кут 7,3,7\ діапазон +t\ лангель 6,2,6\ діапазон\).

19.
\(l_1 = \begin{cases}x=1+2t \\ y=3-2t \\ z=t \end{cases}\text{ and }l_2 = \begin{cases}x=3-t \\ y=2+5t \\ z=2+7t \end{cases}\)

20.
\(l_1 = \begin{cases}x=1.1+0.6t \\ y=3.77+0.9t \\ z=-2.3+1.5t \end{cases}\text{ and }l_2 = \begin{cases}x=3.11+3.4t \\ y=2+5.1t \\ z=2.5+8.5t \end{cases}\)

21.
\(l_1 = \begin{cases}x=-0.2+0.6t \\ y=1.33-0.45t \\ z=-4.2+1.05t \end{cases}\text{ and }l_2 = \begin{cases}x=0.86+9.2t \\ y=0.835+9.2t \\ z=-3.045+16.1t\end{cases}\)

22.
\(l_1 = \begin{cases}x=0.1+1.1t \\ y=2.9-1.5t \\ z=3.2+1.6t \end{cases}\text{ and }l_2 = \begin{cases}x=4-2.1t \\ y=1.8+7.2t \\ z=3.1+1.1t \end{cases}\)

У вправах 23-26 знайдіть відстань від точки до лінії.

23. \(P=(1,1,1),\quad \vec{l}(t) = \langle 2,1,3 \rangle +t\langle 2,1,-2 \rangle\)

24. \(P=(2,5,6),\quad \vec{l}(t) = \langle -1,1,1 \rangle +t\langle 1,0,1 \rangle\)

25. \(P=(0,3),\quad \vec{l}(t) = \langle 2,0 \rangle +t\langle 1,1 \rangle\)

26. \(P=(1,1),\quad \vec{l}(t) = \langle 4,5 \rangle +t\langle -4,3 \rangle\)

У вправах 27-28 знайдіть відстань між двома лініями.

27.
\ (\ vec {l} _1 (t) =\ лангель 1,2,1\ діапазон +t\ ланголь 2, -1,1\ діапазон,
\ vec {l} _2 (t) =\ лангель 3,3,3\ діапазон +t\ лангель 4,2, -2\ діапазон\).

28.
\ (\ vec {l} _1 (t) =\ кут 0,0,1\ діапазон +t\ кут 1,0,0\ діапазон,
\ vec {l} _2 (t) =\ кут 0,0,3\ діапазон +t\ лангель 0,1,0\ діапазон\).

Вправи 29-31 вивчають окремі випадки формул відстані, знайдених у Key Idea 50.

29. \(Q\)Дозволяти бути точкою на лінії\(l(t)\). Покажіть, чому формула відстані правильно дає відстань від точки до прямої як 0.

30. Нехай лінії\(l_1(t)\text{ and } l_2(t)\) перетинаються. Показати, чому формула відстані правильно дає відстань між цими рядками як 0.

31. Нехай лінії\(l_1(t)\text{ and }l_2(t)\) будуть паралельні.
(a) Показати, чому формула відстані для відстані між рядками не може бути використана, як зазначено, щоб знайти відстань між лініями.
(b) Показати, чому дозволяючи\(c=(\vec{P_1P_2}\times \vec{d_2})\times \vec{d_2}\) дозволяє використовувати формулу.
(c) Покажіть, як можна використовувати формулу відстані між точкою та лінією, щоб знайти відстань між паралельними лініями.

10.6: Літаки

Терміни та поняття

1. Для того, щоб знайти рівняння площини, які два фрагменти інформації повинні мати?

2. Яка залежність між площиною і одним з її нормальних векторів?

Проблеми

У вправах 3-6 дати будь-які дві точки в заданій площині.

3. \(2x-4y+7z=2\)

4. \(3(x+2)+5(y-9)-4z=0\)

5. \(x=2\)

6. \(4(y+2)-(z-6)=0\)

У вправах 7-20 наведіть рівняння описуваної площини в стандартній і загальній формах.

7. Проходить наскрізь\((2,3,4)\) і має нормальний вектор\(\vec{n}=\langle 3,-1,7\rangle\).

8. Проходить наскрізь\((1,3,5)\) і має нормальний вектор\(\vec{n}=\langle 0,2,4\rangle\).

9. Проходить через точки\((1,2,3),(3,-1,4)\text{ and }(1,0,1)\).

10. Проходить через точки\((5,3,8),(6,4,9)\text{ and }(3,3,3)\).

11. Містить пересічні лінії
\(l_1(t) = \langle 2,1,2 \rangle +t\langle 1,2,3 \rangle\) і
\(l_2(t) = \langle 2,1,2 \rangle +t\langle 2,5,4 \rangle \).

12. Містить пересічні лінії
\(l_1(t) = \langle 5,0,3 \rangle +t\langle -1,1,1 \rangle\) і
\(l_2(t) = \langle 1,4,7 \rangle +t\langle 3,0,-3 \rangle \).

13. Містить паралельні лінії
\(l_1(t) = \langle 1,1,1 \rangle +t\langle 1,2,3 \rangle\) і
\(l_2(t) = \langle 1,1,2 \rangle +t\langle 1,2,3 \rangle \).

14. Містить паралельні лінії
\(l_1(t) = \langle 2,1,2 \rangle +t\langle 1,2,3 \rangle\) і
\(l_2(t) = \langle 2,1,2 \rangle +t\langle 2,5,4 \rangle \).

15. Містить точку\((2,-6,1)\) та лінію
\(l(t) = \begin{cases}x=2+5t \\ y=2+2t \\ z=-1+2t \end{cases}\)

16. Містить точку\((5,7,3)\) та лінію
\(l(t) = \begin{cases}x=t \\ y=t \\ z=t \end{cases}\)

17. Містить точку\((5,7,3)\) і є ортогональною до прямої\(l(t) = \langle 4,5,6 \rangle +t\langle 1,1,1 \rangle\).

18. Містить точку\((4,1,1)\) і є ортогональною до прямої
\(l(t) = \begin{cases}x=4+4t \\ y=1+1t \\ z=1+1t \end{cases}\)

19. Містить точку\((-4,7,2)\) і паралельна площині\(3(x-2)+8(y+1)-10z=0\).

20. Містить точку\((1,2,3)\) і паралельна площині\(x=5\).

У вправах 21-22 наведіть рівняння прямої, яка є перетином заданої площини.

21.
\(p1: \, 3(x-2)+(y-1)+4z=0,\text{ and }\)
\(p2:\,2(x-1)-2(y+3)+6(z-1)=0\).

22.
\(p1: \, 5(x-5)+2(y+2)+4(z-1)=0,\text{ and }\)
\(p2:\,3x-4(y-1)+2(z-1)=0\).

У вправах 23-26 знайдіть точку перетину між прямою і площиною.

23.
лінія:\(\langle 5,1,-1 \rangle +t\langle 2,2,1 \rangle ,\)
площина:\(5x-y-z=-3\)

24.
лінія:\(\langle 4,1,0 \rangle +t\langle 1,0,-1 \rangle ,\)
площина:\(3x+y-2x=8\)

25.
лінія:\(\langle 1,2,3 \rangle +t\langle 3,5,-1 \rangle ,\)
площина:\(3x-2y-z=4\)

26.
лінія:\(\langle 1,2,3 \rangle +t\langle 3,5,-1 \rangle ,\)
площина:\(3x-2y-z=-4\)

У Вправах 27-30 знайдіть задані відстані.

27. Відстань від точки\((1,2,3)\) до площини
\(3(x-1)+(y-2)+5(z-2)=0\).

28. Відстань від точки\((2,6,2)\) до площини
\(2(x-1)-y+4(z+1)=0\).

29. Відстань між паралельними площинами
\(x+y+z=0\text{ and }\)
\((x-2)+(y-3)+(z+4)=0\).

30. Відстань між паралельними площинами
\(2(x-1)+2(y+1)+(z-2)=0\text{ and}\)
\(2(x-3)+2(y-1)+(z-3)=0\)

31. Показати, чому якщо точка Q лежить в площині, то формула відстані правильно дає відстань від точки до площини як 0.

32. Як вправу 30 у розділі 10.5 легше відповісти, коли ми маємо розуміння площин?