10.2: Вступ до векторів
Багато величин, про які ми думаємо щодня, можна описати єдиним числом: температура, швидкість, вартість, вага і зріст. Є також багато інших понять, з якими ми стикаємося щодня, які не можна описати лише одним числом. Наприклад, прогнозатор погоди часто описує вітер з його швидкістю та напрямком («…з вітрами з південного сходу поривом до 30 миль/год…»). Застосовуючи силу, ми стурбовані як величиною, так і напрямком цієї сили. В обох цих прикладах важливе значення має напрямок. Через це ми вивчаємо вектори, математичні об'єкти, які передають як величину, так і інформацію про напрямок.
Одне визначення вектора «голі кістки» базується на тому, що ми писали вище: «вектор - це математичний об'єкт з параметрами величини та напрямку». Це визначення залишає бажати кращого, оскільки воно не дає жодних вказівок щодо того, як слід використовувати такий об'єкт. Існує кілька інших визначень; тут ми вибираємо визначення, яке корениться в геометричній візуалізації векторів. Це дуже спрощено, але з готовністю дозволяє подальше розслідування.
Визначення 51 Вектор
Вектор - це спрямований відрізок лінії.
Задані точкиP іQ (або в площині, або в просторі) позначаємо вектором відP доQ.→PQ ТочкаP, як кажуть, є початковою точкою вектора, а точкаQ - кінцевою точкою.
Величина, довжина або →PQнорма - довжина відрізка лінії¯PQ:
‖→PQ‖=‖¯PQ‖.
Два вектора рівні, якщо вони мають однакову величину і напрямок.
На малюнку 10.18 показано кілька екземплярів одного вектора. Кожен спрямований відрізок лінії має однаковий напрямок і довжину (величину), отже, кожен є одним і тим же вектором.
Ми використовуємоR2 (вимовляється «r two») для представлення всіх векторів на площині, і використовуємоR3 (вимовляється «r три») для представлення всіх векторів у просторі.
Розглянемо вектори→PQ і→RS як показано на малюнку 10.19. Вектори виглядають рівними; тобто вони, здається, мають однакову довжину і напрямок. Дійсно, вони є. Обидва вектори рухаються на 2 одиниці вправо і на 1 одиницю вгору від початкової точки, щоб досягти кінцевої точки. Можна проаналізувати цей рух, щоб виміряти величину вектора, а сам рух дає інформацію про напрямок (можна також виміряти нахил лінії, що проходить черезPQ і/абоR іS). Оскільки вони мають однакову довжину і напрямок, ці два вектори рівні.
Це демонструє, що за своєю суттю все, про що ми дбаємо, - це зміщення; тобто, наскільки далеко вx,y і, можливо,z напрямках кінцева точка знаходиться від початкової точки. Обидва вектори→PQ і→RS на малюнку 10.19 маютьx -зсув 2 і ay -зміщення 1. Це говорить про стандартний спосіб опису векторів в площині. Вектор,x -зміщення якого єa і чиєy -зміщенняb буде мати кінцеву точку,(a,b) коли початковою точкою є початок,(0,0). Це призводить нас до визначення стандартного і стислого способу звернення до векторів.
Визначення 52 Компонентна форма вектора
- Компонентна форма вектора→v вR2, кінцева точка якого,(a,b) коли його початкова точка(0,0), є⟨a,b⟩.
- Компонентна форма вектора→v вR3, кінцева точка якого,(a,b,c) коли його початкова точка(0,0,0), є⟨a,b,c⟩.
Цифриa,b (іc, відповідно) є складовими→v.
З визначення випливає, що складова форма вектора→PQ, деP=(x1,y1) іQ=(x2,y2) є
→PQ=⟨x2−x1,y2−y1⟩;
в просторі, деP=(x1,y1,z1) іQ=(x2,y2,z2), складовою формою→PQ є
→PQ=⟨x2−x1,y2−y1,z2−z1⟩.
Ми практикуємо використання цього позначення в наступному прикладі.
Приклад10.2.1: Using component form notation for vectors
- Намалюйте вектор,→v=⟨2,−1⟩ починаючи зP=(3,2) і знайдіть його величину.
- Знайдіть складову форму→w вектора, початковою точкою якого єR=(−3,−2) і кінцева точка якогоS=(−1,2).
- Намалюйте вектор,→u=⟨2,−1,3⟩ починаючи з точки,Q=(1,1,1) і знайдіть його величину.
Рішення
- ВикористовуючиP як початкову точку, ми рухаємо 2 одиниці вx позитивному напрямку та−1 одиниці вy позитивному напрямку, щоб прийти до кінцевої точкиP′=(5,1), як показано на малюнку 10.20 (a).
Величина→v визначається безпосередньо з складової форми:
‖→v‖=√22+(−1)2=√5.
- Використовуючи примітку після визначення 52, ми
→RS=⟨−1−(−3),2−(−2)⟩=⟨2,4⟩.
можемо легко побачити з малюнка 10.20 (а), щоx - іy -зміщення→RS є 2 і 4 відповідно, як випливає з форми компонента.
- ВикористовуючиQ як початкову точку, ми рухаємо 2 одиниці в позитивномуx напрямку,−1 одиницю в позитивномуy -напрямку та 3 одиниці в позитивномуz напрямку, щоб прийти до кінцевої точкиQ′=(3,0,4), проілюстровано на малюнку 10.20 (b).
Величина→u дорівнює:‖→u‖=√22+(−1)2+32=√14.
Тепер, коли ми визначили вектори і створили приємні позначення, за допомогою яких можна їх описати, ми починаємо розглядати, як вектори взаємодіють один з одним. Тобто ми визначаємо алгебру на векторах.
Визначення 53 ВЕКТОРНА АЛГЕБРА
- →u=⟨u1,u2⟩→v=⟨v1,v2⟩Дозволяти і бути вектори вR2, і нехайc бути скалярним.
(а) Додавання або сума векторів→u і→v є вектором→u+→v=⟨u1+v1,u2+v2⟩.
(b) Скалярний добутокc і→v є векторомc→v=c⟨v1,v2⟩=⟨cv1,cv2⟩.
- →u=⟨u1,u2,u3⟩→v=⟨v1,v2,v3⟩Дозволяти і бути вектори вR3, і нехайc бути скалярним.
(а) Додавання або сума векторів→u і→v є вектором→u+→v=⟨u1+v1,u2+v2,u3+v3⟩.
(b) Скалярний добутокc і→v є векторомc→v=c⟨v1,v2,v3⟩=⟨cv1,cv2,cv3⟩.
Коротше кажучи, ми говоримо, що додавання та скалярне множення обчислюються «компонентно-мудрим».
Приклад10.2.2: Adding vectors
Намалюйте вектори→u=⟨1,3⟩,→v=⟨2,1⟩ і→u+→v все з початковою точкою в початковій точці.
Рішення
Спочатку обчислюємо→u+→v.
\ [\ begin {align*}
\ vec u+\ vec v &=\ лангове 1,3\ діапазон +\ ланголь 2,1\ діапазон\\
&=\ лангель 3,4\ діапазон.
\ end {align*}\] Всі
вони намальовані на малюнку 10.21.
Оскільки вектори передають інформацію про величину та напрямок, сума векторів також передають інформацію про довжину та величину. Додавання→u+→v передбачає наступну ідею:
\[\text{"Starting at an initial point, go out →u, then go out →v."}\]
Ця ідея намальована на малюнку 10.22, де початковою точкою→v є кінцева точка→u. Це відоме як «Правило від голови до хвоста» додавання векторів. Векторне додавання дуже важливо. Наприклад, якщо вектори→u і→v представляють сили, що діють на тіло, сума→u+→v дає отриману силу. Через різних фізичних застосувань векторного додавання суму часто→u+→v називають результуючим вектором, або просто «результуючим».
Аналітично це легко помітити→u+→v=→v+→u. Малюнок 10.22 також дає графічне представлення цього, використовуючи сірі вектори. Зверніть увагу→v, що вектори→u і при розташуванні, як на малюнку, утворюють паралелограм. Через це правило «Голова до хвоста» також відоме як Закон паралелограма: вектор→u+→v визначається формуванням паралелограма, визначеного векторами,→u і→v; початкова точка→u+→v - загальна початкова точка паралелограма, а кінцевою точкою суми є загальна кінцева точка паралелограма.
Хоча це не ілюстровано тут, правило «Голова до хвоста» та закон паралелограма тримаютьR3 також вектори.
З властивостей дійсних чисел і визначення 53 випливає, що→u−→v=→u+(−1)→v.
Закон паралелограма дає нам хороший спосіб візуалізувати це віднімання. Ми демонструємо це в наступному прикладі.
Приклад10.2.3: Vector Subtraction
Нехай→u=⟨3,1⟩ і→v=⟨1,2⟩. обчислюйте і ескіз→u−→v.
Рішення
Обчислення→u−→v є простим, і ми показуємо всі кроки нижче. Зазвичай формальний крок множення на(−1) опущений, і ми «просто віднімаємо».
\ [\ begin {align*}
\ vec u-\ vec v &=\ vec u + (-1)\ vec v\\
&=\ лангове 3,1\ діапазон +\ кут -1, -2\ діапазон\\
&=\ лангл 2, -1\ діапазон.
\ end {вирівнювати*}\]
Малюнок 10.23 ілюструє, використовуючи правило від голови до хвоста, як віднімання можна розглядати як суму→u+(−→v). На малюнку також показано, як→u−→v можна отримати, дивлячись лише на кінцеві точки→u і→v (коли їх початкові точки однакові).
Приклад10.2.4: Scaling vectors
- Намалюйте вектори→v=⟨2,1⟩ і2→v з початковою точкою в початковій точці.
- Обчислити величини→v і2→v.
Рішення
- Ми обчислюємо2→v:
2→v=2⟨2,1⟩=⟨4,2⟩.
Обидва→v і2→v намальовані на рис. 10.24. Зверніть увагу, що починається2→v не в кінцевій точці→v; скоріше, його початкова точка також є початком. - Цифра говорить про2→v те, що в два рази довше→v. Ми обчислюємо їх величини, щоб підтвердити це.
‖→v‖=√22+12=√5.‖2→v‖=√42+22=√20=√4⋅5=2√5.
Як ми підозрювали2→v, в два рази довше→v.
Нульовий вектор - це вектор, початкова точка якого також є його кінцевою точкою. Позначається вона за допомогою→0. Його складова форма, вR2, є⟨0,0⟩; вR3, це⟨0,0,0⟩. Зазвичай контекст дає зрозуміти, чи→0 має на увазі вектор в площині або в просторі.
Наші приклади проілюстрували ключові принципи векторної алгебри: як додавати та віднімати вектори та як множити вектори на скаляр. Наступна теорема формально викладає властивості цих операцій.
ТЕОРЕМА 84 ВЛАСТИВОСТІ ВЕКТОРНИХ ОПЕРАЦІЙ
Нижче вірно для всіх скалярівc іd, і для всіх векторів→u→w,→v і→u, де,→v і→w всі вR2 або де→u,→v і→w всі вR3:
- →u+→v=→v+→u⏟CommutativeProperty
- →u+→v)+→w=→u+(→v+→w)⏟AssociativeProperty
- →v+→0=→v⏟AdditiveIdentity
- (cd)→v=c(d→v)
- c(→u+→v)=c→u+c→v⏟DistributiveProperty
- (c+d)→v=c→v+d→v⏟DistributiveProperty
- 0→v=→0
- ‖c→v‖=|c|⋅‖→v‖
- ‖u‖=0якщо, і тільки якщо,→u=→0.
Як зазначено раніше, кожен вектор→v передає інформацію про величину і напрямок. У нас є метод вилучення величини, який ми записуємо як‖→v‖. Одиничні вектори - це спосіб вилучення інформації про напрямок з вектора.
Визначення 54 одиниці вектора
Одиничний вектор - це вектор→v з величиною 1; тобто
‖→v‖=1.
Розглянемо такий сценарій: вам дано вектор→v і вам кажуть створити вектор довжиною 10 в напрямку→v. Як це зробити? Якби ми→u знали, що це вектор одиниці в напрямку→v, відповідь була б простою:10→u. Отже, як ми знаходимо→u?
Властивість 8 теореми 84 тримає ключ. Якщо розділити→v на його величину, він стає вектором довжини 1. Розглянемо:
\ [\ begin {align*}
\ Big\ |\ frac {1} {\ norm {\ vec v}}\ vec v\ Big\ | &=\ frac {1} {\ norm {\ vec v}}\ norm {\ vec v} &\ text {(ми можемо витягнути1‖→v‖ як скаляр)}\\
&= 1.
\ end {вирівнювати*}\]
Так вектор довжини 10 в напрямку→v є101‖→v‖→v. Приклад зробить це більш зрозумілим.
Приклад10.2.5: Using Unit Vectors
Нехай→v=⟨3,1⟩ і нехай→w=⟨1,2,2⟩.
- Знайти вектор одиниці виміру в напрямку→v.
- Знайти вектор одиниці виміру в напрямку→w.
- Знайти вектор в напрямку→v з величиною 5.
Рішення
- Знаходимо‖→v‖=√10. Таким чином, вектор одиниці→u в напрямку→v є→u=1√10→v=⟨3√10,1√10⟩.
- Знаходимо‖→w‖=3, тому→z одиничний вектор в напрямку→w є
→u=13→w=⟨13,23,23⟩. - Для створення вектора з величиною 5 в напрямку множимо одиничний вектор→u на 5.→v Таким5→u=⟨15/√10,5/√10⟩ є вектор, який ми шукаємо. Це намальовано на малюнку 10.25.
Основне формування одиничного вектора→u в напрямку вектора→v призводить до цікавого рівняння. Це:
→v=‖→v‖1‖→v‖→v.
Ми перепишемо рівняння з дужками, щоб зробити крапку:
Це рівняння ілюструє той факт, що вектор має як величину, так і напрямок, де ми розглядаємо одиничний вектор як подає лише інформацію про напрямок. Ідентифікація одиничних векторів з напрямком дозволяє визначити паралельні вектори.
Визначення 55 Паралельні вектори
- Одиниці векторів→u1 і→u2 паралельні, якщо→u1=±→u2.
- Ненульові вектори→v1 і→v2 паралельні, якщо їх відповідні одиничні вектори паралельні.
Це еквівалентно сказати, що вектори→v1 і→v2 паралельні, якщо є скалярc≠0 такий, що→v1=c→v2 (див. граничну примітку).
Примітка:→0 є безнаправленим; тому що‖0‖=0, немає одиничного вектора в «напрямку»→0.
Деякі тексти визначають два вектори як паралельні, якщо один скалярний кратний іншому. За цим визначенням,→0 паралельно всім векторам як→0=0→v для всіх→v.
Ми віддаємо перевагу даному визначенню паралелі, оскільки воно ґрунтується на тому, що одиничні вектори надають інформацію про напрямок. Можна прийняти конвенцію, яка→0 паралельна всім векторам, якщо вони бажають.
Якщо графувати всі одиничні векториR2 з початковою точкою в початковій точці, то кінцеві точки будуть лежати на одиничному колі. Виходячи з того, що ми знаємо з тригонометрії, ми можемо потім сказати, що складова форма всіх одиничних векторів вR2 є⟨cosθ,sinθ⟩ для деякого кутаθ.
Подібна конструкція вR3 показує, що кінцеві точки все лежать на одиничній сфері. Ці вектори також мають певну складову форму, але його виведення не настільки просте, як для одиничних векторів вR2. Важливі поняття про одиничні вектори наведені в наступній Key Idea.
КЛЮЧОВІ ІДЕЯ 48 БЛОК ВЕКТОРІВ
- Вектор одиниці в напрямку→v є→u=1‖→v‖→v.
- Вектор→u inR2 є одиничним вектором, якщо і тільки якщо, його складова форма⟨cosθ,sinθ⟩ для деякого кутаθ.
- Вектор→u inR3 - це одиничний вектор, якщо, і тільки якщо, його складова форма⟨sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ⟩ для деяких кутівθ іφ.
Ці формули можуть стати в нагоді в самих різних ситуаціях, особливо формула для одиничних векторів в площині.
Приклад10.2.6: Finding Component Forces
Розглянемо вагу 50 фунтів, що висить з двох ланцюгів, як показано на малюнку 10.26. Один ланцюг робить кут30∘ з вертикаллю, а інший кут45∘. Знайдіть зусилля, прикладене до кожного ланцюга.
Рішення
Знаючи, що гравітація тягне вагу 50 фунтів прямо вниз, ми можемо створити вектор→F для представлення цієї сили.
→F=50⟨0,−1⟩=⟨0,−50⟩.
Ми можемо розглядати кожен ланцюг як «тягне» вагу вгору, запобігаючи його падінню. Ми можемо зобразити силу від кожного ланцюга вектором. →F1Дозволяти представляють силу від ланцюга, що робить кут30∘ з вертикаллю, і нехай→F2 представляють силу утворюють інший ланцюг. Перетворіть всі кути, які потрібно виміряти, від горизонталі (як показано на малюнку 10.27), і застосуйте Key Idea 48. Оскільки ми ще не знаємо величини цих векторів (це проблема під рукою), ми використовуємоm1 таm2 представляємо їх.
→F1=m1⟨cos120∘,sin120∘⟩
→F2=m2⟨cos45∘,sin45∘⟩
Оскільки вага не рухається, ми знаємо, що сума сил є→0. Це дає:
\ [\ почати {вирівнювати*}
\ vec F +\ vec F_1 +\ vec F_2 & =
\ vec 0\\\ лангл 0, -50\ діапазон + m_1\ лангл\ cos 120^\ коло,\ sin120^\ коло\ коло + m_2\ лангель\ cos 45^\ коло,\ sin45^\ коло\ коло &=\ 0
\ end {вирівнювати*}\]
Сума записів у першому компоненті дорівнює 0, а сума записів у другому компоненті також дорівнює 0. Це призводить нас до наступних двох рівнянь:
\ [\ begin {align*}
m_1\ cos120^\ circ + m_2\ cos45^\ circ &=0\
m_1\ sin120^\ circ + m_2\ sin45^\ circ &=50
\ end {align*}\]
Це просте 2-рівняння, 2-невідома система лінійних рівнянь. Ми залишаємо це читачеві, щоб переконатися, що рішення
m1=50(√3−1)≈36.6;m2=50√21+√3≈25.88.
Може здатися дивним, що сума сил, прикладених до ланцюгів, становить більше 50 фунтів. Ми залишаємо це на уроці фізики, щоб обговорити повні деталі, але пропонуємо це коротке пояснення. Наші рівняння були встановлені так, що вертикальні складові кожної сили складають 50 фунтів, підтримуючи тим самим вагу. Так як ланцюги знаходяться під кутом, вони також тягнуться один до одного, створюючи «додаткову» горизонтальну силу, утримуючи вагу на місці.
Одиничні вектори були дуже важливими в попередньому обчисленні; вони дозволили нам визначити вектор у правильному напрямку, але з невідомою величиною. Наші обчислення потім обчислювалися компонентно. Оскільки такі обчислення часто необхідні, стандартні одиничні вектори можуть бути корисними.
Визначення 56 СТАНДАРТНІ ВЕКТОРИ ОДИНИЦІ
- ВR2, стандартними одиничними векторами є
→i=⟨1,0⟩and→j=⟨0,1⟩. - ВR3, стандартними одиничними векторами є
→i=⟨1,0,0⟩and→j=⟨0,1,0⟩and→k=⟨0,0,1⟩.
Приклад10.2.7: Using standard unit vectors
- Перепишіть→v=⟨2,−3⟩ за допомогою стандартних одиничних векторів.
- Перепишіть→w=4→i−5→j+2→k в складовій формі.
Рішення
- →v=⟨2,−3⟩=⟨2,0⟩+⟨0,−3⟩=2⟨1,0⟩−3⟨0,1⟩=2→i−3→j
- →w=4→i−5→j+2→k=⟨4,0,0⟩+⟨0,−5,0⟩+⟨0,0,2⟩=⟨4,−5,2⟩
Ці два приклади демонструють, що перетворення між формою компонента та стандартними векторами одиниць є досить простим. Багато математиків вважають за краще компонентну форму, і саме вона є кращою позначенням в цьому тексті. Багато інженерів вважають за краще використовувати стандартні одиничні вектори, і багато інженерних текстів використовують ці позначення.
Приклад10.2.8: Finding Component Force
Вага 25 фунтів підвішується на ланцюзі довжиною 2 фути, тоді як вітер штовхає вагу вправо з постійною силою 5 фунтів, як показано на малюнку 10.28. Який кут зробить ланцюг з вертикаллю в результаті натискання вітру? Наскільки вище буде вага?
Рішення. Сила вітру представлена вектором→Fw=5→i. Сила тяжіння на вазі представлена→Fg=−25→j. Напрямок і величина вектора, що представляє силу на ланцюзі, обидва невідомі. Ми представляємо цю силу з→Fc=m⟨cosφ,sinφ⟩=mcosφ→i+msinφ→j деякою величиноюm і деяким кутом з горизонталлюφ. (θПримітка: кут ланцюга робить з вертикаллю;φ кут з горизонталлю.)
Оскільки вага знаходиться при рівновазі, сума сил дорівнює→0:
\ [\ begin {align*}
\ vec f_c +\ vec f_w +\ vec f_g &=\ vec 0\
m\ cos\ varphi\,\ vec i + m\ sin\ varphi\,\ vec j + 5\ vec i - 25\ vec j &=\ vec 0
\ end {align*}\]
Таким чином, сума→i і→j складових дорівнює 0, що призводить нас до наступної системи рівнянь:
5+mcosφ=0
−25+msinφ=0
Цього достатньо, щоб визначити→Fc вже, як ми знаємоmcosφ=−5 іmsinφ=25. Таким чином,Fc=⟨−5,25⟩. ми можемо використовувати це, щоб знайти величинуm: Потім
m=√(−5)2+252=5√26≈25.5lb.
ми можемо використовувати або рівність з Equation\ ref {eq:vect8} для вирішенняφ. Ми вибираємо першу рівність, оскільки використання арккосинуса поверне кут у2nd квадранті:
5+5√26cosφ=0⇒φ=cos−1(−55√26)≈1.7682≈101.31∘.
Віднімання90∘ від цього кута дає нам кут11.31∘ з вертикаллю.
Тепер ми можемо використовувати тригонометрію, щоб з'ясувати, наскільки велика вага піднімається. Діаграма показує, що прямокутний трикутник утворюється з 2-футовим ланцюгом як гіпотенуза з внутрішнім кутом11.31∘. Довжина прилеглої сторони (на схемі пунктирна вертикальна лінія) -2cos11.31∘≈1.96 фути. Таким чином вага піднімається приблизно на0.04 фут, майже 1/2 дюйма.
Алгебра, яку ми застосували до векторів, вже демонструє себе дуже корисною. Є ще дві основні операції, які ми можемо виконати з векторами, точковим добутком та перехресним добутком. Наступні два розділи досліджуйте кожен по черзі.