10.6: Літаки

Будь-яка плоска поверхня, така як стіна, стільниця або жорсткий шматок картону, можна розглядати як частину площини. Розглянемо шматок картону з$P$ позначеним на ньому точкою. Можна взяти цвях і встромити його в картон при$P$ такому, щоб цвях був перпендикулярний картону; див. Рис.

Малюнок 10.54: Ілюстрація визначення площини листом картону і цвяхом.

Цей цвях забезпечує «ручку» для картону. Переміщення картону по всьому переміщається$P$ в різні місця в просторі. Нахиляючи цвях (але тримаючи$P$ нерухомим) нахиляє картон. Як переміщення, так і нахил картону визначає іншу площину в просторі. По суті, ми можемо визначити площину по: 1) розташуванню$P$ в просторі, а 2) напрямку нігтя.

Попередній розділ показав, що можна визначити пряму, задану точку на лінії та напрямок прямої (зазвичай задається вектором). Можна зробити подібне твердження щодо площин: ми можемо визначити площину в просторі, задану точку на площині і напрямок площини «гранями» (використовуючи опис вище, напрямок цвяха). Знову ж таки, інформація про напрямок буде подаватися вектором, званим нормальним вектором, тобто ортогональним до площини.

Що саме означає «ортогональний площині»? Вибираємо будь-які дві точки$P$ і$Q$ в площині, і враховуємо вектор$\vec{PQ}$. Ми говоримо,$\vec n$ що вектор ортогональний до площини, якщо$\vec n$ перпендикулярно$\vec{PQ}$ для всіх варіантів$P$ і$Q$; тобто, якщо$\vec n\cdot \vec{PQ}=0$ для всіх$P$ і$Q$.

Це дає нам спосіб написання рівняння, що описує площину. $P=(x_0,y_0,z_0)$Дозволяти точка в площині і$\vec n = \langle a,b,c\rangle$ нехай нормальний вектор до площини. Точка$Q = (x,y,z)$ лежить у площині,$P$ визначеній і$\vec n$ якщо, і тільки якщо,$\vec{PQ}$ ортогональна до$\vec n$. Знаючи$\vec{PQ} = \langle x-x_0,y-y_0,z-z_0\rangle$, враховуйте:

\ [\ begin {вирівнювання}
\ vec {PQ}\ cdot\ vec n &= 0\ notag\\ лангове\
\ кут x_0, y-y_0, z-z_0\ діапазон\ cdot\ langle a, b, c\ діапазон &= 0\ notag\\ a (x-x_0) +b (y-y_0) +c (z-z_0) +c (z-z_0) +c (z-z_0) &c (z-z_0) &c (z-z_0) &c (z-z_0) 0\ етикетка {eq:planes1}\ end {вирівнювання}\]
Рівняння\ ref {eq:planes1}
визначає неявну функцію, що описує площину. Більше алгебри виробляє:

$$ax+by+cz = ax_0+by_0+cz_0. \notag$$

Права сторона - це просто цифра, тому ми замінюємо її на$d$:

$$ax+by+cz = d\label{eq:planes2}.$$

До тих пір$c\neq 0$, поки ми можемо вирішити для$z$:

$$z = \frac1c(d-ax-by).\label{eq:planes3}$$

Equation\ ref {eq:planes3} є особливо корисним, оскільки багато комп'ютерних програм можуть виконувати графіки функцій у такому вигляді. Рівняння\ ref {eq:planes1} і\ ref {eq:planes2} мають конкретні імена, наведені далі.

Визначення 63 Рівняння площини у стандартній та загальній формах

$$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0) =0;$$

загальна форма рівняння

$$ax+by+cz = d.$$

Ключ, який слід пам'ятати протягом цього розділу, полягає в наступному: щоб знайти рівняння площини, нам потрібна точка та нормальний вектор. Наведемо кілька прикладів знаходження рівняння площини, і в кожному з них наведені різні типи інформації. У кожному конкретному випадку нам потрібно використовувати задану інформацію, щоб знайти точку на площині і нормальний вектор.

Приклад$\PageIndex{1}$: Finding the equation of a plane.

Запишіть рівняння площини, яка проходить через точки$P=(1,1,0)$,$Q = (1,2,-1)$ причому$R = (0,1,2)$ в стандартному вигляді.

Рішення.
Нам потрібен вектор$\vec n$, ортогональний площині. Оскільки$P$,$Q$ і$R$ знаходяться в площині, так$\vec{PQ}$ і вектори і$\vec{PR}$;$\vec{PQ}\times\vec{PR}$ є ортогональним до$\vec{PQ}$ і, отже,$\vec{PR}$ і самої площини.

Це просто обчислити$\vec n = \vec{PQ}\times\vec{PR} = \langle 2,1,1\rangle$. Ми можемо використовувати будь-яку точку, яку ми хочемо в площині (будь-який з$P$,$Q$ або$R$ буде робити) і ми довільно вибираємо$P$. Після визначення 63 рівняння площини в стандартному вигляді дорівнює

$$2(x-1) + (y-1)+z = 0.$$

Площина начерчена на малюнку 10.55.

Малюнок 10.55: Ескіз площини в прикладі 10.6.1

Ми щойно продемонстрували той факт, що будь-які три неколінеарні точки визначають площину. (Ось чому триногий табурет не «качає»; це три ноги завжди лежать в площині. Чотириногий табурет буде качати, якщо всі чотири фути не лежать в одній площині. )\\

Приклад$\PageIndex{2}$: Finding the equation of a plane.

Переконайтеся, що лінії$\ell_1$ і$\ell_2$, параметричні рівняння яких наведені нижче, перетинаються, потім дайте рівняння площини, яка містить ці два рядки в загальному вигляді.

\ [\ ell_1:\ почати {масив} {ccc} х & = &-5+2s\\ y&=&1+s\\ z&=&-4+2s\ кінець {масив}\ qquad\ qquad
\ ell_2:\ begin {масив} {ccc} х &= & 2+3t\ y&=1-2t\ z&=1&&1 +t\ end {масив}\]

Рішення. Лінії чітко не паралельні. Якщо вони не перетинаються, вони перекошені, тобто немає площини, яка містить їх обох. Якщо вони все-таки перетинаються, є така площина.

Щоб знайти їх точку перетину, задаємо$z$ рівняння$x$,$y$ і рівні один одному і вирішимо для$s$ і$t$:

$$\begin{array}{ccc} -5+2s &=&2+3t \\ 1+s &=& 1-2t \\ -4+2s &=& 1+t \end{array}\quad \Rightarrow \quad s=2,\quad t=-1.$$

Коли$s=2$ і$t=-1$, лінії перетинаються в точці$P= (-1,3,0)$.

$\vec d_1 = \langle 2,1,2\rangle$$\vec d_2=\langle 3,-2,1\rangle$Дозволяти і бути напрямки ліній$\ell_1$ і$\ell_2$, відповідно. Нормальний вектор до площини, що містить ці два рядки, також буде ортогональним до$\vec d_1$ і$\vec d_2$. Таким чином, ми знаходимо нормальний вектор$\vec n$ шляхом обчислень$\vec n = \vec d_1 \times \vec d_2= \langle 5,4-7\rangle$.

Ми можемо вибрати будь-яку точку на площині, з якою написати наше рівняння; кожен рядок дає нам нескінченний вибір точок. Вибираємо$P$, точку перетину. Ми слідуємо Визначенню 63, щоб записати рівняння площини в загальному вигляді:

\ [\ почати {вирівнювати*}
5 (х+1) +4 (y-3) -7z &= 0\\
5x + 5 + 4y-12 -7z &= 0\\
5x+4y-7z &= 7.
\ end {вирівнювати*}\]

Рівняння площини в загальному вигляді є$5x+4y-7z=7$; воно намальовано на малюнку 10.56.

Малюнок 10.56: Ескіз площини в прикладі 10.6.2

Приклад$\PageIndex{3}$: Finding the equation of a plane

Дайте рівняння в стандартній формі площині, яка проходить через точку$P=(-1,0,1)$ і ортогональна до прямої з векторним рівнянням$\vec \ell(t) = \langle -1,0,1\rangle + t\langle 1,2,2\rangle$.

Рішення

Оскільки площина повинна бути ортогональною до лінії, площина повинна бути ортогональною до напрямку лінії, заданої$\vec d = \langle 1,2,2\rangle$. Ми використовуємо це як наш нормальний вектор. Таким чином, рівняння площини, в стандартній формі, є

$$(x+1) +2y+2(z-1)=0.$$

Лінія і площину начерчені на малюнку 10.57.

Малюнок 10.57: Лінія і площина в прикладі 10.6.3

Приклад$\PageIndex{4}$: Finding the intersection of two planes

Дайте параметричні рівняння прямої, яка є перетином площин$p_1$ і$p_2$, де:

\ [\ почати {вирівнювати*}
p_1&: х- (y-2) + (z-1) =0\\
p_2&: -2 (x-2) + (y+1) + (z-3) =0
\ кінець {align*}\]

Рішення.
Щоб знайти рівняння прямої, нам потрібна точка на прямій і напрямок прямої.

Ми можемо знайти точку на прямій, вирішивши кожне рівняння площин для$z$:

\ [\ почати {вирівнювати*}
p_1&: z = -x+y-1\\
p_2&: z = 2x-y-2
\ end {align*}\]

Тепер ми можемо встановити ці два рівняння рівні один одному (тобто ми знаходимо значення$x$ і$y$ де площини мають однакове$z$ значення):

\ [\ почати {вирівнювати*}
-x+y-1 &= 2x-y-2\\
2y &= 3x-1\\
y &=\ frac12 (3x-1)
\ end {вирівнювати*}\]

Ми можемо вибрати будь-яке значення для$x$; ми вибираємо$x=1$. Це визначає, що$y=1$. Тепер ми можемо використовувати рівняння будь-якої площини, щоб знайти$z$: коли$x=1$ і$y=1$,$z=-1$ на обох площинях. Ми знайшли точку$P$ на лінії:$P= (1,1,-1)$.

Нам тепер потрібно напрямок лінії. Оскільки лінія лежить в кожній площині, її напрямок ортогонально вектору нормалі для кожної площини. Розглядаючи рівняння для$p_1$ і$p_2$, ми можемо швидко визначити їх нормальні вектори. Для$p_1$,$\vec n_1 = \langle 1,-1,1\rangle$ і для$p_2$,$\vec n_2 = \langle -2,1,1\rangle.$ напрямок, ортогональне обом цим напрямкам є їх перехресний твір:$\vec d = \vec n_1\times \vec n_2 = \langle -2,-3,-1\rangle.$

Параметричні рівняння прямої$P=(1,1,-1)$ прохідної в напрямку$d=\langle -2,-3,-1\rangle$ дорівнює:

$$\ell: \quad x= -2t+1\quad y = -3t+1\quad z=-t-1.$$

Площини та лінії зображені на малюнку 10:58.

Малюнок 10.58: Графік площин та їх лінії перетину у прикладі 10.6.4

Приклад$\PageIndex{5}$: Finding the intersection of a plane and a line

Знайти точку перетину, якщо така є, прямої$\ell(t) = \langle 3,-3,-1\rangle +t\langle -1,2,1\rangle$ і площини з рівнянням в загальному вигляді$2x+y+z=4$.

Рішення Рівняння площини показує, що вектор$\vec n = \langle 2,1,1\rangle$ є нормальним вектором до площини, а рівняння прямої показує, що пряма рухається паралельно$\vec d = \langle -1,2,1\rangle$. Оскільки вони не ортогональні, ми знаємо, що є точка перетину. (Якби були ортогональні, це означало б, що площина і лінія були паралельні один одному, або ніколи не перетинаються, або лінія була в самій площині.)

Щоб знайти точку перетину, нам потрібно знайти таку$t$ величину, яка$\ell(t)$ задовольняє рівнянню площини. Переписати рівняння прямої параметричними рівняннями допоможе:

$$\ell(t) = \left\{\begin{aligned} x&= 3-t\\ y&=-3+2t\\ z&= -1+t \end{aligned}\right..$$

Заміна$x$,$y$ а$z$ в рівнянні площини виразами, що містять$t$ знайдені в рівнянні прямої, дозволяє визначити$t$ величину, яка вказує на точку перетину:

\ [\ почати {вирівнювати*}
2x+y+z &= 4\\
2 (3-т) + (-3+2t) + (-1+t) &= 4\\
t&= 2.
\ end {вирівнювати*}\]

Коли$t=2$ точка на прямій задовольняє рівнянню площини; ця точка є$\ell(2) = \langle 1,1,1\rangle$. Таким чином, точка$(1,1,1)$ є точкою перетину між площиною і лінією, проілюстрована на малюнку 10.59.

Малюнок 10.59: Ілюстрація перетину прямої та площини у прикладі 10.6.5

Відстані

Подібно до того, як було корисно знаходити відстані між точками та лініями в попередньому розділі, також часто потрібно знайти відстань від точки до площини.

Розглянемо рис. 10.60, де$\vec n$ замальована площина з нормальним вектором$Q$, що містить точку$P$ і задана точка, а не на площині. Вимірюємо відстань від$Q$ до площини, виміряючи довжину проекції$\vec{PQ}$ на$\vec n$. Тобто ми хочемо:

$$\norm{\text{proj}_{\,\vec n}\,{\vec{PQ}}} = \norm{\frac{\vec n\cdot \vec{PQ}}{\norm n^2}\vec n} = \frac{|\vec n\cdot \vec{PQ}|}{\norm n}\label{eq:plane_dist}$$

Рівняння\ ref {eq:plane_dist} є важливим, оскільки воно робить більше, ніж просто відстань між точкою та площиною. Ми побачимо, як це дозволяє нам знайти ще кілька відстаней: відстань між паралельними площинами та відстань від лінії та площини. Оскільки рівняння\ ref {eq:plane_dist} є важливим, ми повторюємо його як ключову ідею.

Малюнок 10.60: Ілюстрація знаходження відстані від точки до площини.

KEY IDEA 51 Відстань від точки до площини

Нехай площина з нормальним вектором$\vec n$ буде задана, і нехай$Q$ точка. Відстань$h$ від літака$Q$ до

$$h = \frac{|\vec n\cdot \vec{PQ}|}{\norm n},$$

де$P$ знаходиться будь-яка точка в площині.

Приклад$\PageIndex{6}$: Distance between a point and a plane

Знайдіть відстань між точкою$Q = (2,1,4)$ і площиною за допомогою рівняння$2x-5y+6z=9$.

Розв'язок. Використовуючи рівняння площини, знаходимо вектор нормалі$\vec n = \langle 2,-5,6\rangle$. Щоб знайти точку на площині, ми можемо дозволити$x$ і$y$ бути все, що ми виберемо, то$z$ нехай все, що задовольняє рівняння. $x$Дозволити і$y$ бути 0 здається простим; це робить$z = 1.5$. Таким чином ми пустимо$P = \langle 0,0,1.5\rangle$, і$\vec{PQ} = \langle 2,1,2.5\rangle.$

Відстань$h$ від$Q$ площини задається Key Idea 51:

\ [\ почати {вирівнювати*}
h &=\ frac {|\ vec n\ cdot\ vec {PQ} |} {\ норма n}\\
&=\ frac {|\ лангл 2, -5,6\ діапазон\ cdot\ langle 2,1,2.5\ діапазон|} {\ норма {\ лангель 2, -5,6\ діапазон}\
&=\ frac |14|} {\ sqrt {65}}\\
&\ приблизно 1,74.
\ end {вирівнювати*}\]

Ми можемо використовувати Key Idea 51, щоб знайти інші відстані. З огляду на дві паралельні площини, ми можемо знайти відстань між цими площинами, дозволяючи$P$ бути точкою на одній площині і$Q$ точкою на іншій. Якщо$\ell$ це лінія, паралельна площині, ми можемо використовувати Ключ Ідея знайти відстань між ними, а також: знову ж таки, нехай$P$ буде точка в площині і нехай$Q$ бути будь-якою точкою на лінії. (Можна також використовувати Key Idea 50.) Розділ «Вправа» містить проблеми цих типів.

Ці минулі два розділи не досліджували лінії та площини в просторі як вправу математичної цікавості. Однак існує багато-багато застосувань цих фундаментальних понять. Складні фігури можна моделювати (або, наближати) за допомогою площин. Наприклад, частина екстер'єру літака може мати складну, але гладку форму, і інженери захочуть знати, як повітря протікає через цей шматок, а також як тепло може накопичуватися через тертя повітря. Багато рівнянь, які допомагають визначити повітряний потік і тепловіддачу, важко застосувати до довільних поверхонь, але прості в застосуванні до площин. Наближаючи поверхню мільйонами малих площин, можна легше моделювати необхідну поведінку.