10.5: Лінії

Щоб знайти рівняння прямої в$y$ площині$x$ -, нам знадобляться два фрагменти інформації: точка і нахил. Ухил передає інформацію про напрямок. Оскільки вертикальні лінії мають невизначений нахил, більш точним є наступне твердження:

Щоб визначити лінію, потрібна точка на лінії і напрямок лінії.

Це справедливо для рядків у просторі.

$P$Дозволяти точка в просторі,$\vec p$ нехай вектор з початковою точкою на початку і кінцевої точки в$P$ (тобто,$\vec p$ «точки» до$P$), і нехай$\vec d$ бути вектор. Розглянемо точки на лінії через$P$ в напрямку$\vec d$.

Зрозуміло, що одна точка на лінії є$P$; можна сказати, що вектор$\vec p$ лежить в цій точці на лінії. Щоб знайти іншу точку на лінії, ми можемо почати$\vec p$ і рухатися в напрямку паралельно$\vec d$. Наприклад, починаючи з$\vec p$ і подорожуючи по одній довжині$\vec d$ місця одна в іншій точці на лінії. Розглянемо малюнок 10.47, де вказані певні точки вздовж лінії.

Малюнок 10.47: Визначення рядка в просторі.

На малюнку показано, як кожну точку на лінії можна отримати, починаючи з$\vec p$ і рухаючись на певну відстань в напрямку$\vec d$. Тобто ми можемо визначити рядок як функцію$t$:
$$\vec\ell(t) = \vec p + t \vec d.\label{eq:lines1}$$

Багато в чому це не нова концепція. Порівняйте рівняння\ ref {eq:lines1} зі знайомим "$y=mx+b$" рівнянням рядка:

Малюнок 10.46: Розуміння векторного рівняння прямої.

Рівняння мають однакову структуру: вони дають початкову точку, визначають напрямок та вказують, наскільки далеко в цьому напрямку потрібно рухатися.

Рівняння\ ref {eq:lines1} є прикладом векторно-значної функції; вхід функції - дійсне число, а вихід - вектор. Ми детально розглянемо векторні функції в наступному розділі.

Існують і інші способи представлення лінії. Нехай$\vec p = \langle x_0,y_0,z_0\rangle$ і нехай$\vec d = \langle a,b,c\rangle$. Тоді рівняння прямої через$\vec p$ в напрямку$\vec d$ дорівнює:
\ [\ begin {align*}
\ vec\ ell (t) &=\ vec p + t\ vec d\\
&=\ кут x_0, y_0, z_0\ rangle + t\ langle a, b, c\ rangle\\
&=\ langle x_0 + at, y_0+bt, z_0+bt +ct\ діапазон.
\ end {вирівнювати*}\]

В останньому рядку зазначено, що$x$ значення рядка задаються$x=x_0+at$,$y$ значення задаються$y = y_0+bt$, а$z$ значення задаються$z = z_0 + ct$. Ці три рівняння, узяті разом, є параметричними рівняннями$\vec p$ прямої через в напрямку$\vec d$.

Нарешті, кожне з$x$ рівнянь для$y$ і$z$ вище містить змінну$t$. Ми можемо вирішити для$t$ кожного рівняння:

\ [\ почати {вирівнювати*}
х = x_0+в\ квадро&\ стрілка вправо\ квад t=\ frac {x-x_0} {a},\\
y=y_0+bt\ quad&\\ стрілка вправо\ quad t =\ frac {y_y_0} {b},\\ z = z_0+ct\ квад &\ правої стрілки\ квад t =\ frac {y_y_0} {b},\\
z = z_0+ct\ квад &\ стрілка вправо\ квад t =\ frac\ c {z-z_0} {c},
\\\ end {align*}\]

припускаючи$a,b,c\neq 0$.

Так як$t$ дорівнює кожному виразу праворуч, ми можемо встановити їх рівними один одному, утворюючи симетричні рівняння$\vec p$ прямої через в напрямку$\vec d$:

$$\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.$$

Кожне представлення має свої переваги, в залежності від контексту. Узагальнюємо ці три форми в наступному визначенні, потім наведемо приклади їх використання.

Визначення 62 Рівняння ліній у просторі

Розглянемо лінію в просторі, яка проходить$\vec p = \langle x_0,y_0,z_0\rangle$ в напрямку$\vec d = \langle a,b,c\rangle.$

1. Векторне рівняння прямої $$\vec \ell(t) = \vec p+t\vec d.$$
2. Параметричні рівняння прямої
   $$x = x_0+at, \quad y=y_0+bt, \quad z = z_0+ct .$$
3. Симетричні рівняння прямої
   $$\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.$$

Приклад$\PageIndex{1}$: Finding the equation of a line

Дайте всі три рівняння, як зазначено в Визначенні 62, прямої прохідної$P = (2,3,1)$ в напрямку$\vec d = \langle -1,1,2\rangle$. Чи$Q=(-1,6,6)$ лежить точка на цій лінії?

Рішення.
Виявляємо точку$P=(2,3,1)$ з вектором$\vec p =\langle 2,3,1\rangle$. Слідуючи визначенню, ми маємо

1. векторне рівняння прямої дорівнює$\vec\ell(t) = \langle 2,3,1\rangle + t\langle -1,1,2\rangle$;
2. параметричні рівняння прямої
   $$x = 2-t,\quad y = 3+t,\quad z = 1+2t; \text{ and}$$
3. симетричні рівняння прямої
   $$\frac{x-2}{-1}=\frac{y-3}{1} = \frac{z-1}{2}.$$

Малюнок 10.48: Графік лінії в прикладі 10.5.1.

Перші два рівняння прямої корисні, коли задано$t$ значення: можна відразу знайти відповідну точку на прямій. Ці форми гарні при обчисленні за допомогою комп'ютера; більшість програмних програм легко обробляють рівняння в цих форматах. (Наприклад, щоб зробити рис. 10.48, певну графічну програму було надано вхідні дані$\texttt{(2-x,3+x,1+2*x)}$. Ця програма вимагає, щоб змінна завжди була$x$ "" замість "$t$«).

Чи$Q = (-1,6,6)$ лежить точка на лінії? Графік на малюнку 10.48 дає зрозуміти, що це не так. Ми можемо відповісти на це питання без графіка, використовуючи будь-яку з трьох форм рівняння. З трьох симетричні рівняння, ймовірно, найкраще підходять для цього завдання. Просто підключіть значення$y$$z$ та подивіться$x$, чи підтримується рівність:
$$\frac{-1-2}{-1} \stackrel{?}{=} \frac{6-3}{1} \stackrel{?}{=} \frac{6-1}{2} \quad \Rightarrow \quad 3=3\neq2.5.$$
Ми бачимо, що$Q$ не лежить на лінії, оскільки вона не задовольняє симетричні рівняння.

Приклад$\PageIndex{2}$: Finding the equation of a line through two points

Знайдіть параметричні рівняння прямої через точки$P=(2,-1,2)$ і$Q = (1,3,-1)$.

Рішення
Згадайте твердження, зроблене на початку цього розділу: щоб знайти рівняння прямої, нам потрібна точка і напрямок. У нас є два пункти; або одного вистачить. Напрямок прямої можна знайти по вектору з початковою точкою$P$ і кінцевою точкою$Q$:$\vec{PQ} = \langle -1,4,-3\rangle$.

Параметричні рівняння$\ell$$P$ прямої в напрямку$\vec{PQ}$ є:
$$\ell: \quad x= 2-t\quad y=-1+4t \quad z=2-3t.$$

Малюнок 10.49: Графік лінії в прикладі 10.5.2.

Графік точок і лінії наведено на малюнку 10.49. Зверніть увагу, як в даній параметризації пряма,$t=0$ відповідає точці$P$, і$t=1$ відповідає точці$Q$. Це стосується розуміння векторного рівняння прямої, описаного на малюнку 10.46. Параметричні рівняння «починаються» в точці$P$, і$t$ визначають, наскільки далеко в напрямку$\vec{PQ}$ рухатися. Коли$t=0$, ми подорожуємо 0 довжини$\vec{PQ}$; коли$t=1$, ми подорожуємо одну довжину$\vec{PQ}$, в результаті чого точка$Q$.

Паралельні, пересічні та перекісні лінії

У площині дві чіткі лінії можуть бути або паралельними, або вони будуть перетинатися точно в одній точці. У просторі, заданому рівняннями двох рядків, іноді буває важко визначити, відмінні чи ні лінії (тобто одна і та ж лінія може бути представлена по-різному). Задані рядки$\vec\ell_1(t) = \vec p_1 + t\vec d_1$ і$\vec \ell_2(t) = \vec p_2+t\vec d_2$, у нас є чотири можливості:$\vec \ell_1$ і$\vec \ell_2$ є

Наступні два приклади досліджують ці можливості.

Приклад$\PageIndex{3}$: Comparing lines

Розглянемо лінії$\ell_1$ і$\ell_2$, наведені в параметричній формі рівняння:
$$\ell_1: \begin{array}{ccc} x&=&1+3t \\ y&=&2-t\\z&=&t\end{array}\qquad\qquad \ell_2:\begin{array}{ccc} x&=&-2+4s\\y&=&3+s\\z&=&5+2s.\end{array}$$
Визначте, чи$\ell_2$ є$\ell_1$ і є однаковою лінією, перетином, паралельною або косою.

Рішення

Починаємо з того, що дивимося на напрямки кожної лінії. Лінія$\ell_1$ має напрямок, заданий$\vec d_1=\langle 3,-1,1\rangle$ і лінія$\ell_2$ має напрямок, заданий$\vec d_2 = \langle 4,1,2\rangle$. Повинно бути зрозуміло, що$\vec d_1$ і$\vec d_2$ не паралельні, отже$\ell_1$ і не$\ell_2$ є однаковими лініями, а також вони не паралельні. Малюнок 10.50 перевіряє цей факт (де ідентифікуються точки і напрямки, зазначені рівняннями кожної прямої).

Малюнок 10.50: Начерки ліній з прикладу 10.5.3

Далі ми перевіряємо, чи перетинаються вони (якщо їх немає, вони є косими лініями). Щоб знайти, чи перетинаються вони, шукаємо$t$ і$s$ значення такі, що відповідні$x$,$y$ і$z$ значення однакові. Тобто ми хочемо$s$ і$t$ такого, щоб:

\ [\ begin {масив} {ccc}
1+3t &=&-2+4s\\
2-t&=&3+s\\
t&=&5+2s. \ end {масив}\]

Це відносно проста система лінійних рівнянь. Оскільки останнє рівняння вже вирішено для$t$, підставляємо це значення$t$ в рівняння над ним:

$$2-(5+2s) = 3+s \quad \Rightarrow \quad s=-2,\ t=1.$$

Ключ, який слід пам'ятати, полягає в тому, що у нас є три рівняння; нам потрібно перевірити, чи$s=-2,\ t=1$ задовольняє також перше рівняння:

$$1+3(1) \neq -2+4(-2).$$

Це не так. Тому робимо висновок, що лінії$\ell_1$ і$\ell_2$ є косими.

Приклад$\PageIndex{4}$: Comparing lines

Розглянемо лінії$\ell_1$ і$\ell_2$, наведені в параметричному вигляді рівняння:

$$\ell_1: \begin{array}{ccc} x&=&-0.7+1.6t \\ y&=&4.2+2.72t\\z&=&2.3-3.36t\end{array}\qquad\qquad \ell_2:\begin{array}{ccc} x&=&2.8-2.9s\\y&=&10.15-4.93s\\z&=&-5.05+6.09s.\end{array}$$

Визначте, чи$\ell_2$ є$\ell_1$ і однакові лінії, перетинаються, є паралельними, або перекіс.

Рішення
Очевидно, дуже важко просто подивитися на ці рівняння і розрізнити що-небудь. Це робиться навмисно. У «реальному світі» більшість рівнянь, які використовуються, не мають приємних, цілочисельних коефіцієнтів. Швидше за все, є багато цифр після десяткової і рівняння можуть виглядати «безладно».

Ми знову починаємо з вирішення того, чи кожна лінія має однаковий напрямок. Напрямок$\ell_1$ задається$\vec d_1 = \langle 1.6,2.72,-3.36\rangle$ і напрямок$\ell_2$ задається$\vec d_2 = \langle -2.9,-4.93,6.09\rangle$. Коли через спостереження не зрозуміло, паралельні чи ні два вектори, стандартним способом визначення цього є порівняння відповідних одиничних векторів. За допомогою калькулятора знаходимо:

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ vec u_1 &=\ розрив {\ vec d_1} {\ норма {\ vec d_1}} =\ кут 0.3471,0.5901, -0.7289\ діапазон\
\ vec u_2 &=\ frac {\ vec d_2} {\ vec d_2}} =\ лангл -0.3471, -0.3471, -0.5901,0.7289\ діапазон.
\ end {вирівнювати*}\]

Два вектора здаються паралельними (принаймні, їх складові рівні 4 знакам після коми). У більшості ситуацій досить зробити висновок, що лінії хоча б паралельні, якщо не однакові. Один із способів бути впевненим - переписувати$\vec d_1$ і з$\vec d_2$ точки зору дробів, а не десяткових знаків. У нас є

$$\vec d_1 =\langle \frac{16}{10},\frac{272}{100},-\frac{336}{100}\rangle \qquad \vec d_2 = \langle -\frac{29}{10},-\frac{493}{100},\frac{609}{100}\rangle.$$

Потім можна знайти величини кожного вектора через дроби, а потім обчислити одиничні вектори аналогічно. Після великої кількості ручної арифметики (або після короткого використання системи комп'ютерної алгебри), можна виявити, що

$$\vec u_1 = \langle \sqrt{\frac{10}{83}},\frac{17}{\sqrt{830}},-\frac{21}{\sqrt{830}}\rangle \qquad \vec u_2 = \langle -\sqrt{\frac{10}{83}},-\frac{17}{\sqrt{830}},\frac{21}{\sqrt{830}}\rangle.$$

Тепер ми можемо без сумніву сказати, що ці лінії паралельні.

Вони одна і та ж лінія? Параметричні рівняння для прямої описують одну точку, яка лежить на лінії, тому ми знаємо, що точка$P_1 = (-0.7,4.2,2.3)$ лежить на$\ell_1$. Щоб визначити, чи лежить ця точка$\ell_2$, підключіть$z$ значення$y$ та до симетричних рівнянь для$\ell_2$:$x$$P_1$
$$\frac{(-0.7)-2.8}{-2.9} \stackrel{?}{=} \frac{(4.2)-10.15}{-4.93} \stackrel{?}{=} \frac{(2.3)-(-5.05)}{6.09} \quad \Rightarrow \quad 1.2069=1.2069=1.2069.$$

Малюнок 10.51: Графік ліній у прикладі 10.5.4

Точка$P_1$ лежить на обох лініях, тому ми робимо висновок, що це одна і та ж лінія, просто параметризована по-різному. На малюнку 10.51 графіки цієї лінії разом з точками і векторами, описаними параметричними рівняннями. Зверніть увагу, як$\vec d_1$ і$\vec d_2$ паралельні, хоча точки в протилежних напрямках (як зазначено їх одиничними векторами вище).

Відстані

З огляду на точку$Q$ і лінію$\vec\ell(t) = \vec p+t\vec d$ в просторі, часто корисно знати відстань від точки до лінії. (Тут ми використовуємо стандартне визначення «відстані», тобто довжини найкоротшого відрізка лінії від точки до прямої.) Ідентифікуючись$\vec p$ з точкою$P$, малюнок 10.52 допоможе встановити загальний метод обчислення цієї відстані$h$.

Малюнок 10.52: Встановлення відстані від точки до прямої.

З тригонометрії ми знаємо$h = \norm{\vec{PQ}}\sin\theta$. Ми маємо подібну ідентичність за участю перехресного добутку:$\norm{\vec{PQ}\times \vec d} = \norm{\vec{PQ}}\, \norm{d}\sin\theta.$ Розділіть обидві сторони цього останнього рівняння на$\norm{d}$, щоб отримати$h$:

$$h = \frac{\norm{\vec{PQ}\times \vec d}}{\norm{d}}.\label{eq:lines2}$$

Малюнок 10.53: Встановлення відстані між лініями.

Також корисно визначити відстань між лініями, яку ми визначаємо як довжину найкоротшого відрізка лінії, що з'єднує дві лінії (аргумент з геометрії показує, що відрізки цієї лінії перпендикулярні обом лініям). Нехай рядки$\vec\ell_1(t) = \vec p_1 + t\vec d_1$ і$\vec\ell_2(t) = \vec p_2 + t\vec d_2$ бути задані, як показано на малюнку 10.53. Щоб знайти напрямок ортогональне обом$\vec d_1$ і$\vec d_2$, беремо перехресний твір:$\vec c = \vec d_1\times \vec d_2$. Величина ортогональної проекції$\vec{P_1P_2}$ на$\vec c$ - це відстань, яку$h$ ми шукаємо:

\ [\ почати {align*}
h & =\ норма {\ текст {proj}\, _ {\ vec c}\,\ vec {P_1P_2}}\\
&=\ норма {\ frac {\ vec {P_1P_2}\ cdot\ vec c} {\ vec c}\ vec c}\\\
=\ frac {\ vec {P_1P_2}\ cdot\ vec c|} {\ норма с^2}\ норма c\\
&=\ розриву {|\ vec {P_1P_2}\ cdot\ vec c|} {\ норма c}.
\ end {вирівнювати*}\]

Проблема в розділі «Вправа» полягає в тому, щоб показати, що ця відстань дорівнює 0, коли лінії перетинаються. Зверніть увагу на використання потрійного скалярного добутку:$\vec{P_1P_2}\cdot c = \vec{P_1P_2}\cdot (\vec d_1\times \vec d_2).$

Наступна ключова ідея повторює ці дві формули відстані.

КЛЮЧОВА ІДЕЯ 50 ВІДСТАНЬ ДО ЛІНІЙ

1. $P$Дозволяти точка на лінії$\ell$, яка паралельна$\vec d$. Відстань$h$ від точки$Q$ до лінії$\ell$ дорівнює:
   $$h =\frac{\norm{\vec{PQ}\times \vec d}}{\norm{d}}.$$
2. $P_1$Дозволяти точка на лінії,$\ell_1$ яка паралельна$\vec d_1$, і$P_2$ нехай точка на лінії$\ell_2$ паралельно$\vec d_2$, і нехай$\vec c = \vec d_1\times \vec d_2$, де лінії$\ell_1$ і$\ell_2$ не паралельні. Відстань$h$ між двома лініями:
   $$h=\frac{|\vec{P_1P_2}\cdot \vec c|}{\norm c}.$$

Приклад$\PageIndex{5}$: Finding the distance from a point to a line

Знайти відстань від точки$Q=(1,1,3)$ до лінії$\vec\ell(t) = \langle 1,-1,1\rangle+t\langle 2,3,1\rangle.$

Рішення
Рівняння прямої дає нам точку$P=(1,-1,1)$, яка лежить на прямій, отже$\vec{PQ} = \langle 0,2,2\rangle$. Рівняння також дає$\vec d= \langle 2,3,1\rangle$. Після ключової ідеї 50, ми маємо відстань як
\ [\ begin {align*}
h &=\ frac {\ norm {\ vec {PQ}\ раз\ vec d}} {\ norm {d}}\\
&=\ frac {\ norm {\ langle -4,4, -4\ rangle}} {\ sqrt {14}}\
&=\ frac {4\ sqrt {3}} {\ sqrt {14}}\ приблизно 1,852.
\ end {align*}\]
Точка$Q$ знаходиться приблизно в$1.852$ одиницях від лінії$\vec\ell(t)$.

Приклад$\PageIndex{6}$: Finding the distance between lines

Знайти відстань між лініями $$\ell_1: \begin{array}{ccc} x&=&1+3t \\ y&=&2-t\\z&=&t\end{array}\qquad\qquad \ell_2:\begin{array}{ccc} x&=&-2+4s\\y&=&3+s\\z&=&5+2s.\end{array}$$

Рішення
Це ті самі лінії, що наведено в прикладі 10.5.3, де ми показали, що вони є перекосами. Рівняння дозволяють виділити наступні точки і вектори:

$$P_1 = (1,2,0)\quad P_2 = (-2,3,5) \quad \Rightarrow \quad \vec{P_1P_2} = \langle -3,1,5\rangle.$$

$$\vec d_1 = \langle 3,-1,1\rangle \quad \vec d_2 = \langle 4,1,2\rangle \quad \Rightarrow \quad \vec c = \vec d_1\times \vec d_2 = \langle -3,-2,7\rangle.$$

Від Key Idea 50 ми маємо відстань$h$ між двома лініями

\ [\ почати {вирівнювати*}
h &=\ frac {|\ vec {P_1P_2}\ cdot\ vec c|} {\ норма c}\\
&=\ FRAC {42} {\ sqrt {62}}\ приблизно 5.334.
\ end {вирівнювати*}\]

Лінії приблизно 5.334 одиниць один від одного.

Один з ключових моментів, які слід зрозуміти з цього розділу, полягає в наступному: щоб описати лінію, нам потрібна точка і напрямок. Всякий раз, коли проблема ставиться стосовно лінії, потрібно взяти будь-яку інформацію, яка пропонується, і glean точки і напрямок інформації. Багато питань можна задати (і задаються в розділі «Вправа»), відповідь яких відразу випливає з цього розуміння.

Лінії є одним з двох фундаментальних об'єктів дослідження в просторі. Іншим основним об'єктом є площина, яку ми детально вивчаємо в наступному розділі. Багато складні тривимірні об'єкти вивчаються шляхом наближення їх поверхонь лініями і площинами.