10.4: Хрестовий продукт

«Ортогональність» надзвичайно важлива. Швидке сканування вашого поточного середовища, безсумнівно, виявить численні поверхні та краї, які перпендикулярні один одному (включаючи краї цієї сторінки). Точковий добуток забезпечує швидкий тест на ортогональність: вектори\(\vec u\) і\(\vec v\) перпендикулярні якщо, і тільки якщо,\(\vec u \cdot \vec v=0\).

З огляду на два непаралельних, ненульових вектора\(\vec u\) і\(\vec v\) в просторі, дуже корисно знайти вектор\(\vec w\), який перпендикулярний обох\(\vec u\) і\(\vec v\). Існує операція, звана перехресним добутком, яка створює такий вектор. Цей розділ визначає поперечний продукт, потім досліджує його властивості та застосування.

Визначення 61 Хрестовий продукт

\(\vec v = \langle v_1,v_2,v_3\rangle\)Дозволяти\(\vec u =\langle u_1,u_2,u_3\rangle\) і бути вектори в\(\mathbb{R}^3\). Перехресний добуток\(\vec u\) і\(\vec v\), що позначається\(\vec u \times \vec v\), є вектором

\[\vec u \times \vec v = \langle u_2v_3-u_3v_2,-(u_1v_3-u_3v_1),u_1v_2-u_2v_1\rangle.\]

Це визначення може бути трохи громіздким для запам'ятовування. Після прикладу наведемо зручний метод обчислення крос-добутку. На даний момент ретельне вивчення продуктів і відмінностей, наведених у визначенні, повинно виявити закономірність, яку не так вже й складно запам'ятати. (Наприклад, у першому компоненті лише 2 та 3 відображаються як індекси; у другому компоненті лише 1 та 3 відображаються як індекси. Подальше вивчення виявляє порядок, в якому вони з'являються.)

Давайте потренуємося використовувати це визначення, обчислюючи перехресний продукт.

Приклад\(\PageIndex{1}\): Computing a cross product

Нехай\(\vec u = \langle 2,-1,4\rangle\) і\(\vec v = \langle 3,2,5\rangle\). Знайдіть\(\vec u \times \vec v\) і переконайтеся, що він ортогональний обох\(\vec u\) і\(\vec v\).

Рішення
Використовуючи визначення 61, ми маємо

\[\vec u \times \vec v = \langle (-1)5-(4)2,-\left((2)5-(4)3\right) , (2)2-(-1)3\rangle = \langle -13,2,7\rangle.\]

(Ми закликаємо читача обчислити цей продукт самостійно, а потім перевірити їх результат.)

Ми перевіряємо, чи\(\vec u \times \vec v\) є ортогональним до\(\vec u\) точкового\(\vec v\) добутку чи ні:

\[\left(\vec u \times \vec v\right) \cdot \vec u = \langle -13,2,7\rangle \cdot \langle 2,-1,4\rangle = 0,\]

\[\left(\vec u \times \vec v\right) \cdot \vec v = \langle -13,2,7\rangle \cdot \langle 3,2,5 \rangle = 0.\]

Оскільки обидва точкові добутки нульові,\(\vec u \times \vec v\) дійсно ортогональні до обох\(\vec u\) і\(\vec v\).

Зручний метод обчислення перехресного добутку починається з формування певної\(3\times 3\) матриці, або прямокутного масиву. Перший ряд містить стандартні одиничні вектори\(\vec i\)\(\vec j\), і\(\vec k\). Другий і третій ряди - вектори\(\vec u\) і\(\vec v\), відповідно. Використовуючи\(\vec u\) і\(\vec v\) з Прикладу 10.4.1, ми починаємо з:

Тепер повторіть перші два стовпчики після вихідних трьох:

Це дає три повні діагоналі «від верхнього лівого до нижнього правого» та три повні діагоналі «верхнього правого нижнього лівого», як показано на малюнку. Розрахуйте вироби по кожній діагоналі, потім складіть вироби праворуч і відніміть вироби зліва:

\[\vec u \times \vec v = \left(-5\vec i+12\vec j+4\vec k\,\right) - \left(-3\vec k+8\vec i+10\vec j\,\right) = -13\vec i+2\vec j+7\vec k = \langle -13,2,7\rangle.\]

Практикуємо використання цього методу.

Приклад\(\PageIndex{2}\): Computing a cross product

Нехай\(\vec u=\langle 1,3,6\rangle\) і\(\vec v = \langle -1,2,1\rangle\). Обчислити обидва\(\vec u \times \vec v\) і\(\vec v \times \vec u\).

Рішення

Для обчислення формуємо матрицю\(\vec u \times \vec v\), як зазначено вище, в комплекті з повторюваними першими стовпцями:

\[\begin{array}{ccccc} \ \vec i\ &\ \vec j\ &\ \vec k\ &\ \vec i\ &\ \vec j\ \\ 1&3&6&1&3\\-1&2&1&-1&2\end{array}\]

Даємо читачеві обчислювати добуток діагоналей; наводимо результат:

\[\vec u \times \vec v = \left(3\vec i-6\vec j+2\vec k\,\right) - \left(-3\vec k + 12\vec i+\vec j\,\right) = \langle -9,-7,5\rangle.\]

Для обчислення\(\vec v \times \vec u\) переключаємо другий і третій рядки вищевказаної матриці, потім множимо по діагоналям і віднімаємо:

\[\begin{array}{ccccc} \ \vec i\ &\ \vec j\ &\ \vec k\ &\ \vec i\ &\ \vec j\ \\-1&2&1&-1&2\\ 1&3&6&1&3\end{array}\]

Зверніть увагу, як при перемиканні рядків продукти, які колись з'являлися праворуч, тепер з'являються зліва, і навпаки. Таким чином, результат:

\[\vec v \times \vec u = \left(12\vec i+\vec j-3\vec k\,\right) - \left(2\vec k + 3\vec i-6\vec j\,\right) = \langle 9,7,-5\rangle,\]

який є протилежним\(\vec u \times \vec v\). Ми залишаємо це читачеві, щоб переконатися, що кожен з цих векторів ортогональний\(\vec u\) і\(\vec v\).

Властивості перехресного виробу

Це не випадково, що\(\vec v \times \vec u = -(\vec u \times \vec v)\) в попередньому прикладі можна показати за допомогою Definition 61, що це завжди буде так. Наступна теорема викладає кілька корисних властивостей перехресного продукту, кожне з яких можна перевірити, звернувшись до визначення.

ТЕОРЕМА 87 ВЛАСТИВОСТІ ПОПЕРЕЧНОГО ДОБУТУ

Дозволяти\(\vec u\),\(\vec v\) і\(\vec w\) бути вектори в\(\mathbb{R}^3\) і нехай\(c\) бути скалярним. Наступні посвідчення мають:

1. \(\vec u \times \vec v = -(\vec v \times \vec u)\)Антикомутативна власність
2. (a)\((\vec u+\vec v)\times \vec w = \vec u \times \vec w+\vec v \times \vec w\) Розподільні властивості
   (b)\(\vec u \times (\vec v+\vec w) = \vec u \times \vec v+\vec u \times \vec w\)
3. \(c(\vec u \times \vec v) = (c\vec u) \times \vec v = \vec u \times (c\vec v)\)
4. (a)\(\vec u \times \vec v)\cdot \vec u = 0\) Властивості ортогональності
   (b)\((\vec u \times \vec v)\cdot \vec v = 0\)
5. \(\vec u \times \vec u = \vec 0\)
6. \(\vec u \times \vec 0 = \vec 0\)
7. \(\vec u \cdot (\vec v\times\vec w) = (\vec u \times \vec v)\cdot \vec w\)Потрійний скалярний продукт

Ми ввели перехресний добуток як спосіб знайти вектор, ортогональний двом заданим векторам, але ми не дали доказу того, що побудова, наведена в Definition 61, задовольняє цю властивість. Теорема 87 стверджує, що ця властивість має; ми залишаємо це як проблему в розділі Вправа, щоб перевірити це.

Властивість 5 з теореми також залишається читачеві для доведення в розділі Вправа, але воно виявляє щось цікавіше, ніж «перехресний добуток вектора з собою є»\(\vec 0\). \(\vec u\)\(\vec v\)Дозволяти і бути паралельні вектори; тобто, нехай буде скалярний\(c\) такий, що\(\vec v = c\vec u\). Розглянемо їх перехресний твір:

\ [\ begin {align*}
\ vec u\ times\ vec v &=\ vec u\ times (c\ vec u)\ quad &&\
&= c (\ vec u\ times\ vec u)\ quad &&\ text {(за властивістю 3 теореми 87)}\\
&=\ vec 0. \ quad &&\ text {(за властивістю 5 теореми 87)}
\ end {align*}\]

Ми щойно показали, що перехресний добуток паралельних векторів є\(\vec 0\). Це натякає на щось глибше. Теорема 86 пов'язувала кут між двома векторами та їх точковим добутком; існує подібна залежність, що стосується перехресного добутку двох векторів та кута між ними, заданого наступною теоремою.

ТЕОРЕМА 88 ПЕРЕХРЕСНИЙ ДОБУТОК І КУТИ

\(\vec v\)Дозволяти\(\vec u\) і бути вектори в\(\mathbb{R}^3\). Тоді

\[\norm{\vec u \times \vec v} = \norm u\, \norm v \sin\theta,\]

де\(\theta\),\(0\leq \theta \leq \pi\), - кут між\(\vec u\) і\(\vec v\).

Примітка: Визначення 58 (через теорему 86) визначає\(\vec u\) і\(\vec v\) бути ортогональним, якщо\(\vec u\cdot\vec v=0\). Ми могли б використовувати теорему 88 для визначення\(\vec u\) і\(\vec v\) паралельні, якщо\(\vec u\times \vec v = 0\). За таким визначенням,\(\vec 0\) буде як ортогональним, так і паралельним кожному вектору. Такі явні парадокси, як це, не рідкість в математиці і можуть бути дуже корисними.

Відзначимо, що ця теорема робить твердження про величину перехресного добутку. Коли кут між\(\vec u\) і\(\vec v\) дорівнює 0 або\(\pi\) (тобто вектори паралельні), величина перехресного добутку дорівнює 0. Єдиним вектором з величиною 0 є\(\vec 0\) (див. Властивість 9 Теореми 84), отже, перехресний добуток паралельних векторів є\(\vec 0\).

Істинність цієї теореми ми демонструємо в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{3}\): The cross product and angles

Нехай\(\vec u = \langle 1,3,6\rangle\) і\(\vec v = \langle -1,2,1\rangle\) як у прикладі 10.4.2. Перевірте теорему 88 шляхом знаходження\(\theta\), кут між\(\vec u\) і\(\vec v\), і величина\(\vec u \times \vec v\).

Рішення

Ми використовуємо теорему 86, щоб знайти кут між\(\vec u\) і\(\vec v\).

\ почати {вирівнювати*}
\ тета &=\ cos^ {-1}\ лівий (\ frac {\ vec u\ cdot\ vec v} {\ норма u\,\ норма v}\ праворуч)\\
&=\ cos^ {-1}\ ліворуч (\ frac {11} {\ sqrt {46}\ sqrt {6}}\ праворуч)\\\\\\ приблизно 0.8471 = 48.54^\ коло.

\ end {вирівнювати*}

Наша робота в прикладі 10.4.2 показала\(\vec u \times \vec v = \langle -9,-7,5\rangle\), що, отже,\(\norm{\vec u \times \vec v} = \sqrt{155}.\) є\(\norm{\vec u \times \vec v} = \norm u\, \norm v\sin\theta\)? Використовуючи числові наближення, знаходимо:

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ норма {\ vec u\ times\ vec v} &=\ sqrt {155} &\ норма u\,\ норма v\ sin\ тета & =\ sqrt {46}\ sqrt {6}\ sin 0.8471\\
&\ приблизно 12.45. &\ прибл. 12,45.
\ end {вирівнювати*}\]

Чисельно вони здаються рівними. Використовуючи прямокутний трикутник, можна показати, що

\[\sin\left(\cos^{-1}\left(\frac{11}{\sqrt{46}\sqrt{6}}\right)\right) = \frac{\sqrt{155}}{\sqrt{46}\sqrt{6}},\]
|що дозволяє точно перевірити теорему.

Правило правої руки

Антикомутативна властивість перехресного добутку демонструє, що\(\vec u \times \vec v\) і\(\vec v \times \vec u\) відрізняються лише знаком — ці вектори мають однакову величину, але вказують у зворотному напрямку. При пошуку вектора перпендикулярно\(\vec u\) і\(\vec v\), ми по суті маємо два напрямки на вибір, один у напрямку\(\vec u \times \vec v\) і один у напрямку\(\vec v \times \vec u\). Чи має значення, який ми виберемо? Як ми можемо сказати, який з них ми отримаємо без графіків тощо?

Ще одна чудова властивість хрестового виробу, як визначено, полягає в тому, що воно слідує правилу правої руки. Задано\(\vec u\) і\(\vec v\) в\(\mathbb{R}^3\) з тією ж початковою точкою, наведіть вказівний палець правої руки в напрямку\(\vec u\) і нехай ваш середній палець вказує в напрямку\(\vec v\) (так само, як ми робили при встановленні правила правої руки для 3-мірної системи координат). Великий палець, природно, витягнеться в напрямку\(\vec u \times \vec v\). Можна «практикувати» це за допомогою малюнка 10.39. Якщо перемкнути, і навести вказівний шукач у напрямку,\(\vec v\) а середній палець у напрямку\(\vec u\), великий палець тепер буде вказувати в протилежну сторону, дозволяючи «візуалізувати» антикомутативну властивість перехресного продукту.

Малюнок 10.39: Ілюстрація правила правої руки хрестового виробу.

Застосування крос-продукту

Існує ряд способів, за допомогою яких перехресний добуток корисний в математиці, фізиці та інших областях науки, крім «просто» знаходження вектора, перпендикулярного двом іншим. Ми виділимо кілька тут.

Площа паралелограма

Це стандартний факт геометрії, що площа паралелограма дорівнює\(A = bh\), де\(b\) довжина основи і\(h\) висота паралелограма, як показано на малюнку 10.40 (а). Як показано при визначенні Паралелограма закону векторного складання, два вектори\(\vec u\) і\(\vec v\) визначають паралелограм при проведенні з тієї ж початкової точки, як показано на малюнку 10.40 (б). Тригонометрія говорить нам\(h = \norm u \sin \theta\), що, отже, площа паралелограма є

\[A = \norm u\,\norm v\sin\theta = \norm{\vec u \times \vec v},\label{eq:crossp1}\]

де друга рівність походить від теореми 88.

Малюнок 10.40: За допомогою перехресного добутку знайти площу паралелограма.

Ми проілюструємо використання Equation\ eqref {eq:crossp1} у наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{4}\): Finding the area of a parallelogram

1. Знайти площу паралелограма, визначену векторами\(\vec u = \langle 2,1\rangle\) і\(\vec v = \langle 1,3\rangle\).
2. Переконайтеся\(A = (1,1,1)\), що точки\(B = (2,3,2)\),\(C = (4,5,3)\) і\(D = (3,3,2)\) є вершинами паралелограма. Знайти площу паралелограма.

Рішення

1. На малюнку 10.41 (а) замальовується паралелограм, заданий векторами\(\vec u\) і\(\vec v\). У нас є невелика проблема в тому, що наші вектори існують в\(\mathbb{R}^2\)\(\mathbb{R}^3\), а перехресний добуток визначається тільки на векторах в\(\mathbb{R}^3\). Ми підшиваємо це питання, переглядаючи\(\vec u\) і\(\vec v\) як вектори в\(x-y\) площині\(\mathbb{R}^3\), і переписуємо їх як\(\vec u = \langle 2,1,0\rangle\) і\(\vec v =\langle 1,3,0\rangle\). Тепер ми можемо обчислити перехресний продукт. Це легко показати\(\vec u \times \vec v = \langle 0,0,5\rangle\); тому площа паралелограма є\(A = \norm{\vec u \times \vec v} = 5\).
   
2. Щоб показати, що чотирикутник\(ABCD\) - це паралелограм (показаний на рис. 10.41 (б)), нам потрібно показати, що протилежні сторони паралельні. Ми можемо швидко показати, що\(\vec{AB} =\vec{DC} = \langle 1,2,1\rangle\) і\(\vec{BC} = \vec{AD} = \langle 2,2,1\rangle\). Знаходимо площу шляхом обчислення величини перехресного добутку\(\vec{AB}\) і\(\vec{BC}\):
   \[\vec{AB} \times \vec{BC} = \langle 0,1,-2\rangle \quad \Rightarrow \quad \norm{\vec{AB}\times\vec{BC}} = \sqrt{5} \approx 2.236.\]

Малюнок 10.41: Ескіз паралелограмів у прикладі 10.4.4.

Ця програма, мабуть, більш корисна при знаходженні площі трикутника (коротше, трикутники використовуються частіше, ніж паралелограми). Ми проілюструємо це в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{5}\): Area of a triangle

Знайдіть площу трикутника з вершинами\(A=(1,2)\),\(B=(2,3)\) і\(C=(3,1)\), як показано на малюнку 10.42.

Рішення

Ми виявили, що площа цього трикутника в попередньому прикладі\(1.5\) використовує інтеграцію. Там ми обговорювали той факт, що знаходження площі трикутника може бути незручним за допомогою "\(\frac12bh\)" формули, оскільки доводиться обчислювати висоту, яка, як правило, передбачає пошук кутів тощо Використання перехресного добутку набагато більш пряме.

Малюнок 10.42: Пошук площі трикутника в прикладі 10.4.5

Ми можемо вибрати будь-які дві сторони трикутника для використання для формування векторів; ми вибираємо\(\vec{AB} = \langle 1,1\rangle\) і\(\vec{AC}=\langle 2,-1\rangle\). Як і в попередньому прикладі, ми перепишемо ці вектори з третім компонентом 0, щоб ми могли застосувати перехресний добуток. Площа трикутника дорівнює

\[\frac12\norm{\vec{AB}\times\vec{AC}} = \frac12\norm{\langle 1,1,0\rangle \times \langle 2,-1,0\rangle} = \frac12\norm{\langle 0,0,-3\rangle} = \frac32.\]

Ми приходимо до тієї ж відповіді, що і раніше, з меншою роботою.

Обсяг паралелепіпеда

Тривимірний аналог паралелограма - паралелепіпед. Кожна грань паралельна обличчю протилежної грані, як показано на малюнку 10.43. Перетинаючи\(\vec v\) і\(\vec w\), один отримує вектор, величина якого є площею підстави. Пунктування цього вектора\(\vec u\) обчислює об'єм паралелепіпеда! (До знака; візьміть абсолютне значення.)

Малюнок 10.43: Паралелепіпед - це тривимірний аналог паралелограма.

Таким чином обсяг паралелепіпеда визначається векторами\(\vec u\),\(\vec v\) і\(\vec w\) є\[V = |\vec u\cdot (\vec v \times \vec w)|.\label{eq:crossp2}\]
Примітка, як це Потрійний скалярний добуток, вперше розглянутий в теоремі 87. Застосування тотожностей, наведених у теоремі, показує, що ми можемо застосувати Потрійний скалярний добуток у будь-якому «порядку», який ми обираємо для пошуку обсягу. Тобто,
\[V = |\vec u\cdot(\vec v \times \vec w)| = |\vec u\cdot (\vec w \times \vec v)| = |(\vec u \times \vec v)\cdot \vec w|,\quad \text{etc.}\]

Приклад\(\PageIndex{6}\): Finding the volume of parallelepiped

Знайти обсяг паралелепіпеда, визначеного векторами\(\vec u = \langle 1,1,0\rangle\),\(\vec v = \langle -1,1,0\rangle\) і\(\vec w = \langle 0,1,1\rangle\).

Рішення

Застосовуємо рівняння\ eqref {eq:crossp2}. Спочатку знаходимо\(\vec v \times \vec w =\langle 1,1,-1\rangle\). Тоді

\[|\vec u\cdot(\vec v \times \vec w)| = |\langle 1,1,0\rangle \cdot \langle1,1,-1\rangle| = 2.\]

Так обсяг паралелепіпеда дорівнює 2 кубічним одиницям.

Малюнок 10.44: Паралелепіпед у прикладі 10.4.6

Хоча це застосування потрійного скалярного продукту цікаве, воно використовується не так часто: паралелепіпеди не є загальною формою у фізиці та техніці. Останнє застосування поперечного вироби дуже застосовно в машинобудуванні.

Крутний момент

Крутний момент - це міра сили повороту, прикладеної до об'єкта. Класичним сценарієм, що передбачає крутний момент, є нанесення гайкового ключа на болт. При прикладанні зусилля до гайкового ключа болт повертається. Коли ми представляємо силу і гайковий ключ з векторами\(\vec F\) і\(\vec \ell\), ми бачимо, що болт рухається (через різьблення) в напрямку, ортогональному до\(\vec F\) і\(\vec \ell\). Крутний момент зазвичай представлений грецькою літерою\(\tau\), або тау, і має одиниці N\(\cdot\) м, ньютон-метр, або\(\cdot\) фут-фунт, фут-фунт.

Хоча повне розуміння крутного моменту виходить за рамки цілей цієї книги, коли сила\(\vec F\) прикладається до важеля важеля\(\vec \ell\), отриманий крутний момент

\[\vec \tau = \vec \ell \times \vec F.\label{eq:crossp3}\]

Приклад\(\PageIndex{7}\): Computing torque

Важіль довжиною 2ft робить кут з горизонталлю\(45^\circ\). Знайдіть отриманий крутний момент, коли сила 10lb прикладена до кінця рівня, де:

1. сила перпендикулярна важелю, а
2. зусилля складає кут\(60^\circ\) з важелем, як показано на малюнку 10.45.

Малюнок 10.45: Показ сили, прикладеної до важеля в прикладі 10.4.7.

Рішення

1. Почнемо з визначення векторів для сили і важеля важеля. Оскільки важіль важеля робить\(45^\circ\) кут з горизонталлю і має довжину 2 фути, ми можемо стверджувати, що\(\vec \ell = 2\langle \cos 45^\circ,\sin 45^\circ\rangle = \langle \sqrt2,\sqrt2\rangle.\)
   
   Оскільки вектор сили перпендикулярний важелю (як видно на лівій стороні малюнка 10.45), ми можемо зробити висновок, що це робить кут\(-45^\circ\) з горизонтальним. Оскільки він має величину 10 фунтів, ми можемо констатувати\(\vec F = 10\langle \cos (-45^\circ), \sin(-45^\circ)\rangle = \langle 5\sqrt2,-5\sqrt2\rangle.\)
   
   Використання рівняння 10.45 для пошуку крутного моменту вимагає крос-продукту. Ми знову дозволимо третьому компоненту кожного вектора дорівнює 0 і обчислюємо перехресний добуток:
   \[\begin{align*}\vec\tau &= \vec \ell \times \vec F \\&= \langle \sqrt2,\sqrt2,0\rangle \times \langle 5\sqrt2,-5\sqrt2,0\rangle \\&= \langle 0,0,-20\rangle\end{align*}\]
   Це явно має величину 20 ft-lb.
   
   Ми можемо розглядати вектори сили та важіль, як лежать «на сторінці»; наш розрахунок\(\vec\tau\) показує, що крутний момент йде «на сторінку». Це слідує правилу правої руки поперечного виробу, і це також добре поєднується з прикладом гайкового ключа, що повертає болт. Поворот болта за годинниковою стрілкою переміщує його всередину.
   
2. Наш важіль важеля ще може бути представлений\(\vec \ell = \langle \sqrt2,\sqrt2\rangle\). Оскільки наш вектор сили робить\(60^\circ\) кут з\(\vec \ell\), ми можемо бачити (посилаючись на праву частину фігури), що\(\vec F\) робить\(-15^\circ\) кут з горизонталлю. Таким чином,
   \[\begin{align*}\vec F = 10\langle \cos-15^\circ,\sin-15^\circ\rangle &= \langle \frac{5(1+\sqrt3)}{\sqrt2},-\frac{5(1+\sqrt3)}{\sqrt2}\rangle \\&\approx \langle 9.659,-2.588\rangle.\end{align*}\]
   ми знову робимо третю складову 0 і беремо перехресний твір, щоб знайти крутний момент:
   \[\begin{align*}\vec\tau &= \vec \ell \times \vec F\\&= \langle \sqrt2,\sqrt2,0\rangle \times \langle \frac{5(1+\sqrt3)}{\sqrt2},-\frac{5(1+\sqrt3)}{\sqrt2},0\rangle\\&= \langle 0,0,-10\sqrt3\rangle\\&\approx \langle 0,0,-17.321\rangle.\end{align*}\]
   Як можна було очікувати, коли вектори сили і важіль руки ортогональні, величина сили більша ніж коли вектори не ортогональні.

Хоча перехресний твір має різноманітні програми (як зазначається в цьому розділі), його фундаментальне використання полягає у знаходженні вектора, перпендикулярного двом іншим. Знання вектора ортогонально двом іншим має неймовірне значення, оскільки дозволяє нам знаходити рівняння ліній та площин у різних контекстах. Важливість перехресного продукту, в деякому сенсі, спирається на важливість ліній і площин, які бачать широке застосування в техніці, фізиці та математиці. Вивчаємо лінії і площини в наступних двох розділах.