Processing math: 100%
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.4: Хрестовий продукт

«Ортогональність» надзвичайно важлива. Швидке сканування вашого поточного середовища, безсумнівно, виявить численні поверхні та краї, які перпендикулярні один одному (включаючи краї цієї сторінки). Точковий добуток забезпечує швидкий тест на ортогональність: векториu іv перпендикулярні якщо, і тільки якщо,uv=0.

З огляду на два непаралельних, ненульових вектораu іv в просторі, дуже корисно знайти векторw, який перпендикулярний обохu іv. Існує операція, звана перехресним добутком, яка створює такий вектор. Цей розділ визначає поперечний продукт, потім досліджує його властивості та застосування.

Визначення 61 Хрестовий продукт

v=v1,v2,v3Дозволятиu=u1,u2,u3 і бути вектори вR3. Перехресний добутокu іv, що позначаєтьсяu×v, є вектором

u×v=u2v3u3v2,(u1v3u3v1),u1v2u2v1.

Це визначення може бути трохи громіздким для запам'ятовування. Після прикладу наведемо зручний метод обчислення крос-добутку. На даний момент ретельне вивчення продуктів і відмінностей, наведених у визначенні, повинно виявити закономірність, яку не так вже й складно запам'ятати. (Наприклад, у першому компоненті лише 2 та 3 відображаються як індекси; у другому компоненті лише 1 та 3 відображаються як індекси. Подальше вивчення виявляє порядок, в якому вони з'являються.)

Давайте потренуємося використовувати це визначення, обчислюючи перехресний продукт.

Приклад10.4.1: Computing a cross product

Нехайu=2,1,4 іv=3,2,5. Знайдітьu×v і переконайтеся, що він ортогональний обохu іv.

Рішення
Використовуючи визначення 61, ми маємо

u×v=(1)5(4)2,((2)5(4)3),(2)2(1)3=13,2,7.

(Ми закликаємо читача обчислити цей продукт самостійно, а потім перевірити їх результат.)

Ми перевіряємо, чиu×v є ортогональним доu точковогоv добутку чи ні:

(u×v)u=13,2,72,1,4=0,

(u×v)v=13,2,73,2,5=0.

Оскільки обидва точкові добутки нульові,u×v дійсно ортогональні до обохu іv.

Зручний метод обчислення перехресного добутку починається з формування певної3×3 матриці, або прямокутного масиву. Перший ряд містить стандартні одиничні векториij, іk. Другий і третій ряди - векториu іv, відповідно. Використовуючиu іv з Прикладу 10.4.1, ми починаємо з:

one.PNG

Тепер повторіть перші два стовпчики після вихідних трьох:

2.PNG

Це дає три повні діагоналі «від верхнього лівого до нижнього правого» та три повні діагоналі «верхнього правого нижнього лівого», як показано на малюнку. Розрахуйте вироби по кожній діагоналі, потім складіть вироби праворуч і відніміть вироби зліва:

three.PNG

u×v=(5i+12j+4k)(3k+8i+10j)=13i+2j+7k=13,2,7.

Практикуємо використання цього методу.

Приклад10.4.2: Computing a cross product

Нехайu=1,3,6 іv=1,2,1. Обчислити обидваu×v іv×u.

Рішення

Для обчислення формуємо матрицюu×v, як зазначено вище, в комплекті з повторюваними першими стовпцями:

 i  j  k  i  j 1361312112

Даємо читачеві обчислювати добуток діагоналей; наводимо результат:

u×v=(3i6j+2k)(3k+12i+j)=9,7,5.

Для обчисленняv×u переключаємо другий і третій рядки вищевказаної матриці, потім множимо по діагоналям і віднімаємо:

 i  j  k  i  j 1211213613

Зверніть увагу, як при перемиканні рядків продукти, які колись з'являлися праворуч, тепер з'являються зліва, і навпаки. Таким чином, результат:

v×u=(12i+j3k)(2k+3i6j)=9,7,5,

який є протилежнимu×v. Ми залишаємо це читачеві, щоб переконатися, що кожен з цих векторів ортогональнийu іv.

Властивості перехресного виробу

Це не випадково, щоv×u=(u×v) в попередньому прикладі можна показати за допомогою Definition 61, що це завжди буде так. Наступна теорема викладає кілька корисних властивостей перехресного продукту, кожне з яких можна перевірити, звернувшись до визначення.

ТЕОРЕМА 87 ВЛАСТИВОСТІ ПОПЕРЕЧНОГО ДОБУТУ

Дозволятиu,v іw бути вектори вR3 і нехайc бути скалярним. Наступні посвідчення мають:

  1. u×v=(v×u)Антикомутативна власність
  2. (a)(u+v)×w=u×w+v×w Розподільні властивості
    (b)u×(v+w)=u×v+u×w
  3. c(u×v)=(cu)×v=u×(cv)
  4. (a)u×v)u=0 Властивості ортогональності
    (b)(u×v)v=0
  5. u×u=0
  6. u×0=0
  7. u(v×w)=(u×v)wПотрійний скалярний продукт

Ми ввели перехресний добуток як спосіб знайти вектор, ортогональний двом заданим векторам, але ми не дали доказу того, що побудова, наведена в Definition 61, задовольняє цю властивість. Теорема 87 стверджує, що ця властивість має; ми залишаємо це як проблему в розділі Вправа, щоб перевірити це.

Властивість 5 з теореми також залишається читачеві для доведення в розділі Вправа, але воно виявляє щось цікавіше, ніж «перехресний добуток вектора з собою є»0. uvДозволяти і бути паралельні вектори; тобто, нехай буде скалярнийc такий, щоv=cu. Розглянемо їх перехресний твір:

\ [\ begin {align*}
\ vec u\ times\ vec v &=\ vec u\ times (c\ vec u)\ quad &&\
&= c (\ vec u\ times\ vec u)\ quad &&\ text {(за властивістю 3 теореми 87)}\\
&=\ vec 0. \ quad &&\ text {(за властивістю 5 теореми 87)}
\ end {align*}\]

Ми щойно показали, що перехресний добуток паралельних векторів є0. Це натякає на щось глибше. Теорема 86 пов'язувала кут між двома векторами та їх точковим добутком; існує подібна залежність, що стосується перехресного добутку двох векторів та кута між ними, заданого наступною теоремою.

ТЕОРЕМА 88 ПЕРЕХРЕСНИЙ ДОБУТОК І КУТИ

vДозволятиu і бути вектори вR3. Тоді

u×v=uvsinθ,

деθ,0θπ, - кут міжu іv.

Примітка: Визначення 58 (через теорему 86) визначаєu іv бути ортогональним, якщоuv=0. Ми могли б використовувати теорему 88 для визначенняu іv паралельні, якщоu×v=0. За таким визначенням,0 буде як ортогональним, так і паралельним кожному вектору. Такі явні парадокси, як це, не рідкість в математиці і можуть бути дуже корисними.

Відзначимо, що ця теорема робить твердження про величину перехресного добутку. Коли кут міжu іv дорівнює 0 абоπ (тобто вектори паралельні), величина перехресного добутку дорівнює 0. Єдиним вектором з величиною 0 є0 (див. Властивість 9 Теореми 84), отже, перехресний добуток паралельних векторів є0.

Істинність цієї теореми ми демонструємо в наступному прикладі.

Приклад10.4.3: The cross product and angles

Нехайu=1,3,6 іv=1,2,1 як у прикладі 10.4.2. Перевірте теорему 88 шляхом знаходженняθ, кут міжu іv, і величинаu×v.

Рішення

Ми використовуємо теорему 86, щоб знайти кут міжu іv.

\ почати {вирівнювати*}
\ тета &=\ cos^ {-1}\ лівий (\ frac {\ vec u\ cdot\ vec v} {\ норма u\,\ норма v}\ праворуч)\\
&=\ cos^ {-1}\ ліворуч (\ frac {11} {\ sqrt {46}\ sqrt {6}}\ праворуч)\\\\\\ приблизно 0.8471 = 48.54^\ коло.

\ end {вирівнювати*}

Наша робота в прикладі 10.4.2 показалаu×v=9,7,5, що, отже,u×v=155. єu×v=uvsinθ? Використовуючи числові наближення, знаходимо:

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ норма {\ vec u\ times\ vec v} &=\ sqrt {155} &\ норма u\,\ норма v\ sin\ тета & =\ sqrt {46}\ sqrt {6}\ sin 0.8471\\
&\ приблизно 12.45. &\ прибл. 12,45.
\ end {вирівнювати*}\]

Чисельно вони здаються рівними. Використовуючи прямокутний трикутник, можна показати, що

sin(cos1(11466))=155466,
|що дозволяє точно перевірити теорему.

Правило правої руки

Антикомутативна властивість перехресного добутку демонструє, щоu×v іv×u відрізняються лише знаком — ці вектори мають однакову величину, але вказують у зворотному напрямку. При пошуку вектора перпендикулярноu іv, ми по суті маємо два напрямки на вибір, один у напрямкуu×v і один у напрямкуv×u. Чи має значення, який ми виберемо? Як ми можемо сказати, який з них ми отримаємо без графіків тощо?

Ще одна чудова властивість хрестового виробу, як визначено, полягає в тому, що воно слідує правилу правої руки. Заданоu іv вR3 з тією ж початковою точкою, наведіть вказівний палець правої руки в напрямкуu і нехай ваш середній палець вказує в напрямкуv (так само, як ми робили при встановленні правила правої руки для 3-мірної системи координат). Великий палець, природно, витягнеться в напрямкуu×v. Можна «практикувати» це за допомогою малюнка 10.39. Якщо перемкнути, і навести вказівний шукач у напрямку,v а середній палець у напрямкуu, великий палець тепер буде вказувати в протилежну сторону, дозволяючи «візуалізувати» антикомутативну властивість перехресного продукту.

10.39, ПНГ
Малюнок 10.39: Ілюстрація правила правої руки хрестового виробу.

Застосування крос-продукту

Існує ряд способів, за допомогою яких перехресний добуток корисний в математиці, фізиці та інших областях науки, крім «просто» знаходження вектора, перпендикулярного двом іншим. Ми виділимо кілька тут.

Площа паралелограма

Це стандартний факт геометрії, що площа паралелограма дорівнюєA=bh, деb довжина основи іh висота паралелограма, як показано на малюнку 10.40 (а). Як показано при визначенні Паралелограма закону векторного складання, два векториu іv визначають паралелограм при проведенні з тієї ж початкової точки, як показано на малюнку 10.40 (б). Тригонометрія говорить намh=usinθ, що, отже, площа паралелограма є

A=uvsinθ=u×v,

де друга рівність походить від теореми 88.

10.40 ПІНГ
Малюнок 10.40: За допомогою перехресного добутку знайти площу паралелограма.

Ми проілюструємо використання Equation\ eqref {eq:crossp1} у наступному прикладі.

Приклад10.4.4: Finding the area of a parallelogram

  1. Знайти площу паралелограма, визначену векторамиu=2,1 іv=1,3.
  2. ПереконайтесяA=(1,1,1), що точкиB=(2,3,2),C=(4,5,3) іD=(3,3,2) є вершинами паралелограма. Знайти площу паралелограма.

Рішення

  1. На малюнку 10.41 (а) замальовується паралелограм, заданий векторамиu іv. У нас є невелика проблема в тому, що наші вектори існують вR2R3, а перехресний добуток визначається тільки на векторах вR3. Ми підшиваємо це питання, переглядаючиu іv як вектори вxy площиніR3, і переписуємо їх якu=2,1,0 іv=1,3,0. Тепер ми можемо обчислити перехресний продукт. Це легко показатиu×v=0,0,5; тому площа паралелограма єA=u×v=5.
  2. Щоб показати, що чотирикутникABCD - це паралелограм (показаний на рис. 10.41 (б)), нам потрібно показати, що протилежні сторони паралельні. Ми можемо швидко показати, щоAB=DC=1,2,1 іBC=AD=2,2,1. Знаходимо площу шляхом обчислення величини перехресного добуткуAB іBC:
    AB×BC=0,1,2AB×BC=52.236.
10.41 ПНГ
Малюнок 10.41: Ескіз паралелограмів у прикладі 10.4.4.

Ця програма, мабуть, більш корисна при знаходженні площі трикутника (коротше, трикутники використовуються частіше, ніж паралелограми). Ми проілюструємо це в наступному прикладі.

Приклад10.4.5: Area of a triangle

Знайдіть площу трикутника з вершинамиA=(1,2),B=(2,3) іC=(3,1), як показано на малюнку 10.42.

Рішення

Ми виявили, що площа цього трикутника в попередньому прикладі1.5 використовує інтеграцію. Там ми обговорювали той факт, що знаходження площі трикутника може бути незручним за допомогою "12bh" формули, оскільки доводиться обчислювати висоту, яка, як правило, передбачає пошук кутів тощо Використання перехресного добутку набагато більш пряме.

10.42 ПНГ
Малюнок 10.42: Пошук площі трикутника в прикладі 10.4.5

Ми можемо вибрати будь-які дві сторони трикутника для використання для формування векторів; ми вибираємоAB=1,1 іAC=2,1. Як і в попередньому прикладі, ми перепишемо ці вектори з третім компонентом 0, щоб ми могли застосувати перехресний добуток. Площа трикутника дорівнює

12AB×AC=121,1,0×2,1,0=120,0,3=32.

Ми приходимо до тієї ж відповіді, що і раніше, з меншою роботою.

Обсяг паралелепіпеда

Тривимірний аналог паралелограма - паралелепіпед. Кожна грань паралельна обличчю протилежної грані, як показано на малюнку 10.43. Перетинаючиv іw, один отримує вектор, величина якого є площею підстави. Пунктування цього вектораu обчислює об'єм паралелепіпеда! (До знака; візьміть абсолютне значення.)

10.43 ПНГ
Малюнок 10.43: Паралелепіпед - це тривимірний аналог паралелограма.

Таким чином обсяг паралелепіпеда визначається векторамиu,v іw єV=|u(v×w)|.
Примітка, як це Потрійний скалярний добуток, вперше розглянутий в теоремі 87. Застосування тотожностей, наведених у теоремі, показує, що ми можемо застосувати Потрійний скалярний добуток у будь-якому «порядку», який ми обираємо для пошуку обсягу. Тобто,
V=|u(v×w)|=|u(w×v)|=|(u×v)w|,etc.

Приклад10.4.6: Finding the volume of parallelepiped

Знайти обсяг паралелепіпеда, визначеного векторамиu=1,1,0,v=1,1,0 іw=0,1,1.

Рішення

Застосовуємо рівняння\ eqref {eq:crossp2}. Спочатку знаходимоv×w=1,1,1. Тоді

|u(v×w)|=|1,1,01,1,1|=2.

Так обсяг паралелепіпеда дорівнює 2 кубічним одиницям.

10.44 ПНГ
Малюнок 10.44: Паралелепіпед у прикладі 10.4.6

Хоча це застосування потрійного скалярного продукту цікаве, воно використовується не так часто: паралелепіпеди не є загальною формою у фізиці та техніці. Останнє застосування поперечного вироби дуже застосовно в машинобудуванні.

Крутний момент

Крутний момент - це міра сили повороту, прикладеної до об'єкта. Класичним сценарієм, що передбачає крутний момент, є нанесення гайкового ключа на болт. При прикладанні зусилля до гайкового ключа болт повертається. Коли ми представляємо силу і гайковий ключ з векторамиF і, ми бачимо, що болт рухається (через різьблення) в напрямку, ортогональному доF і. Крутний момент зазвичай представлений грецькою літероюτ, або тау, і має одиниці N м, ньютон-метр, або фут-фунт, фут-фунт.

Хоча повне розуміння крутного моменту виходить за рамки цілей цієї книги, коли силаF прикладається до важеля важеля, отриманий крутний момент

τ=×F.

Приклад10.4.7: Computing torque

Важіль довжиною 2ft робить кут з горизонталлю45. Знайдіть отриманий крутний момент, коли сила 10lb прикладена до кінця рівня, де:

  1. сила перпендикулярна важелю, а
  2. зусилля складає кут60 з важелем, як показано на малюнку 10.45.
10.45 ПІНГ
Малюнок 10.45: Показ сили, прикладеної до важеля в прикладі 10.4.7.

Рішення

  1. Почнемо з визначення векторів для сили і важеля важеля. Оскільки важіль важеля робить45 кут з горизонталлю і має довжину 2 фути, ми можемо стверджувати, що=2cos45,sin45=2,2.

    Оскільки вектор сили перпендикулярний важелю (як видно на лівій стороні малюнка 10.45), ми можемо зробити висновок, що це робить кут45 з горизонтальним. Оскільки він має величину 10 фунтів, ми можемо констатуватиF=10cos(45),sin(45)=52,52.

    Використання рівняння 10.45 для пошуку крутного моменту вимагає крос-продукту. Ми знову дозволимо третьому компоненту кожного вектора дорівнює 0 і обчислюємо перехресний добуток:
    τ=×F=2,2,0×52,52,0=0,0,20
    Це явно має величину 20 ft-lb.

    Ми можемо розглядати вектори сили та важіль, як лежать «на сторінці»; наш розрахунокτ показує, що крутний момент йде «на сторінку». Це слідує правилу правої руки поперечного виробу, і це також добре поєднується з прикладом гайкового ключа, що повертає болт. Поворот болта за годинниковою стрілкою переміщує його всередину.
  2. Наш важіль важеля ще може бути представлений=2,2. Оскільки наш вектор сили робить60 кут з, ми можемо бачити (посилаючись на праву частину фігури), щоF робить15 кут з горизонталлю. Таким чином,
    F=10cos15,sin15=5(1+3)2,5(1+3)29.659,2.588.
    ми знову робимо третю складову 0 і беремо перехресний твір, щоб знайти крутний момент:
    τ=×F=2,2,0×5(1+3)2,5(1+3)2,0=0,0,1030,0,17.321.
    Як можна було очікувати, коли вектори сили і важіль руки ортогональні, величина сили більша ніж коли вектори не ортогональні.

Хоча перехресний твір має різноманітні програми (як зазначається в цьому розділі), його фундаментальне використання полягає у знаходженні вектора, перпендикулярного двом іншим. Знання вектора ортогонально двом іншим має неймовірне значення, оскільки дозволяє нам знаходити рівняння ліній та площин у різних контекстах. Важливість перехресного продукту, в деякому сенсі, спирається на важливість ліній і площин, які бачать широке застосування в техніці, фізиці та математиці. Вивчаємо лінії і площини в наступних двох розділах.

  • Was this article helpful?