3.E: Застосування графічної поведінки функцій (вправи)

3.1: Екстремальні значення

Терміни та поняття

1. Опишіть, що таке «екстремальне значення» функції своїми словами.

2. Намалюйте графік функції\(f\) на (-1,1), яка має як максимальне, так і мінімальне значення.

3. Опишіть різницю між абсолютними і відносними максимумами своїми словами.

4. Намалюйте графік функції,\(f\) де\(f\) має відносний максимум at\(x=1\) і\(f'(1)\) не визначено.

5. T/F: Якщо\(c\) є критичним значенням функції\(f\), то\(f\) має або відносний максимум, або відносний мінімум при\(x=c\).

Проблеми

У вправах 6-7 визначте кожну з позначених точок як абсолютний максимум і мінімум, відносний максимум або мінімум, або жодну з перерахованих вище.

6.

7.

У вправах 8-14 оцінюйте\(f'(x)\) в точках, зазначених на графіку.

8. \(f(x)=\frac{2}{x^2+1}\)

9. \(f(x) = x^2\sqrt{6-x^2}\)

10. \(f(x)=\sin x\)

11. \(f(x) = x^2\sqrt{4-x}\)

12. \(f(x) =\begin{cases} x^2 \quad &x\le 0 \\ x^5 &x>0 \end{cases}\)

13. \(f(x) =\begin{cases} x^2 \quad &x\le 0 \\ x &x>0 \end{cases}\)

14. \(f(x) = \frac{(x-2)^{2/3}}{x}\)

У Вправах 15-24 знайти крайні значення функції на заданому інтервалі.

15. \(f(x) =x^2+x+4\text{ on }[-1,2]\).

16. \(f(x) =x^3-\frac{9}{2}x^2-30x+3\text{ on }[0,6]\).

17. \(f(x) =3\sin x\text{ on }[\pi/4,2\pi/3]\).

18. \(f(x) =x^2\sqrt{4-x^2}\text{ on }[-2,2]\).

19. \(f(x) =x+\frac{3}{x}\text{ on }[1,5]\).

20. \(f(x) =\frac{x^2}{x^2+5}\text{ on }[-3,5]\).

21. \(f(x) =e^x\cos x\text{ on }[0,\pi]\).

22. \(f(x) =e^x\sin x\text{ on }[0,\pi]\).

23. \(f(x) =\frac{\ln x}{x}\text{ on }[1,4]\).

24. \(f(x) =x^{2/3}-x\text{ on }[0,2]\).

Рецензія

25. Знайти\(\frac{dy}{dx}\), де\(x^2y-y^2x=1\).

26. Знайдіть рівняння прямої дотичної до графіка\(x^2+y^2+xy=7\) в точці\((1,2)\).

27. Нехай\(f(x)=x^3+x\). Оцінити\(\lim\limits_{s\to 0} \frac{f(x+s)-f(x)}{s}\).

3.2: Теорема про середнє значення

Терміни та поняття

1. Поясніть своїми словами, що говорить теорема про середнє значення.

2. Поясніть своїми словами, що говорить теорема Ролла.

Проблеми

У вправах 3-10 задано функцію\(f(x)\) та інтервал [a, b]. Перевірте, чи можна застосувати теорему Ролла до\(f\) [a, b]; якщо так, знайдіть\(c\) в [a, b] таке\(f'(c)=0\).

3. \(f(x) =6\text{ on }[-1,1]\).

4. \(f(x) =6x\text{ on }[-1,1]\).

5. \(f(x) =x^2+x-6\text{ on }[-3,2]\).

6. \(f(x) =x^2+x-2\text{ on }[-3,2]\).

7. \(f(x) =x^2+x\text{ on }[-2,2]\).

8. \(f(x) =\sin x \text{ on }[\pi/6,5\pi/6]\).

9. \(f(x) =\cos x\text{ on }[0,\pi]\).

10. \(f(x) =\frac{1}{x^2-2x+1}\text{ on }[0,2]\).

У вправах 11-20 наведено функцію\(f(x)\) та інтервал [a, b]. Перевірте, чи можна застосувати теорему про середнє значення\(f\) на [a, b]; якщо так, знайдіть значення\(c\) в [a, b], гарантованому теоремою про середнє значення.

11. \(f(x) =x^2+3x-1\text{ on }[-2,2]\).

12. \(f(x) =5x^2-6x+8\text{ on }[0,5]\).

13. \(f(x) =\sqrt{9-x^2}\text{ on }[0,3]\).

14. \(f(x) =\sqrt{25-x}\text{ on }[0,9]\).

16. \(f(x) =\ln x\text{ on }[1,5]\).

17. \(f(x) =\tan x\text{ on }[\pi/4, \pi/4]\).

18. \(f(x) =x^3-2x^2+x+1\text{ on }[-2,2]\).

19. \(f(x) =2x^3-5x^2+6x+1\text{ on }[-5,2]\).

20. \(f(x) =\sin^{-1}x\text{ on }[-1,1]\).

Рецензія

21. Знайдіть крайні значення\(f(x)=x^2-3x+9\text{ on }[-2,5]\).

22. Опишіть критичні точки\(f(x) =\cos x\).

23. Опишіть критичні точки\(f(x)=\tan x\).

3.3: Збільшення та зменшення функцій

Терміни та поняття

1. Своїми словами опишіть, що означає для функції, яка збільшується.

2. Як «виглядає» спадна функція?

3. Намалюйте графік функції на [0,2], яка збільшується, але не суворо збільшується.

4. Наведіть приклад функції, яка описує ситуацію, коли «погано» збільшуватися, а «добре» - зменшуватися.

5. Функція f має похідну\(f ′ (x) = (\sin x + 2)e^{x^2+1}\), де\(f ′ (x) > 1\) для всіх\(x\). \(f\)Збільшується, зменшується, чи ми можемо не сказати з наданої інформації?

Проблеми

У вправах 6-13\(f(x)\) дається функція.
(а) Обчислення\(f'(x)\).
(б) Графік\(f\) і\(f'\) на одних і тих же осях (використання технології дозволено) і перевірити теорему 29.

6. \(f(x) =3x+4\)

7. \(f(x) =x^2-3x+5\)

8. \(f(x) =\cos x\)

9. \(f(x) =\tan x\)

10. \(f(x) =x^3-5x^2+7x-1\)

11. \(f(x) =2x^3-x^2+x-1\)

12. \(f(x) =x^4-5x^2+4\)

13. \(f(x) =\frac{1}{x^2+1}\)

У вправах 14-23\(f(x)\) дається функція.
(a) Дайте домен домену\(f\).
(b) Знайти критичні числа\(f\).
(c) Створіть числовий рядок для визначення інтервалів, на яких\(f\) збільшується і зменшується.
(d) Використовуйте тест першої похідної, щоб визначити, чи є кожна критична точка відносним максимумом, мінімумом чи ні.

14. \(f(x) =x^2+2x-3\)

15. \(f(x) =x^3+3x^2+3\)

16. \(f(x) =2x^3+x^2+3\)

17. \(f(x) =x^3-3x^2+3x-1\)

18. \(f(x) =\frac{1}{x^2-2x+2}\)

19. \(f(x) =\frac{x^2-4}{x^2-1}\)

20. \(f(x) =\frac{x}{x^2-2x-8}\)

21. \(f(x) =\frac{(x-2)^{2/3}}{x}\)

22. \(f(x) =\sin x\cos x\text{ on }(-\pi,\pi)\)

23. \(f(x) = 5x^2-5x\)

Рецензія

24. Розглянемо\(f(x)=x^2-3x+5\) на [-1,2]; знайти\(c\) гарантовано теоремою про середнє значення.

25. Розглянемо\(f(x)=\sin x\text{ on }[-\pi/2, \pi/2]\); знайти\ (c) гарантовано теоремою про середнє значення.

3.4: Увігнутість і друга похідна

Терміни та поняття

1. Намалюйте графік функції\(f(x)\), яка увігнута вгору на (0,1) і увігнута вниз на (1,2).

2. Намалюйте графік функції,\(f(x)\) яка є:
(а) зростаючою, увігнутою вгору на (0,1),
(b) збільшенням, увігнутою вниз на (1,2),
(в) зменшенням, увігнутою вниз на (2,3) і
(d) збільшенням, увігнутою вниз на (3,4).

3. Чи можливо, щоб функція збільшувалася і увігнута вниз\((0,\infty)\) з горизонтальною асимптотою\(y=1\)? Якщо так, то дайте ескіз такої функції.

4. Чи можливо, щоб функція збільшувалася і увігнута\((0,\infty)\) при горизонтальній асимптоті\(y=1\)? Якщо так, то дайте ескіз такої функції.

Проблеми

У вправах 5-15\(f(x)\) дається функція.
(а) Обчислення\(f''(x)\).
(б) Графік\(f \text{ and }f''\) на одних і тих же осях (допускається використання технології) і перевірити теорему 31.

5. \(f(x)=-7x+3\)

6. \(f(x)=-4x^2+3x-8\)

7. \(f(x)=4x^2+3x-8\)

8. \(f(x)=x^3-3x^2+x-1\)

9. \(f(x)=-x^3+x^2-2x+5\)

10. \(f(x)=\cos x\)

11. \(f(x)=\sin x\)

12. \(f(x) =\tan x\)

13. \(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\)

14. \(f(x) =\frac{1}{x}\)

15. \(f(x) = \frac{1}{x^2}\)

У вправах 16-28\(f(x)\) дається функція.
(а) Знайти можливі точки перегину\(f\)
(b) Створіть числову лінію для визначення інтервалів, на яких\(f\) увігнуті вгору або увігнуті вниз.

16. \(f(x)=x^2-2x+1\)

17. \(f(x)=-x^2-5x+7\)

18. \(f(x)=x^3-x+1\)

19. \(f(x)=2x^3-3x^2+9x+5\)

20. \(f(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-2x+3\)

21. \(f(x)=-3x^4+8x^3+6x^2-24x+2\)

22. \(f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1\)

23. \(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\)

24. \(f(x)=\frac{x}{x^2-1}\)

25. \(f(x)=\sin x+\cos x\text{ on }(-\pi,\pi)\)

26. \(f(x)=x^2e^x\)

27. \(f(x)=x^2\ln x\)

28. \(f(x)=e^{-x^2}\)

У вправах 29-41\(f(x)\) дана функція. Знайдіть критичні точки\(f\) і використовуйте Другий тест похідної, коли це можливо, для визначення відносної крайності. (Примітка: це ті ж функції, що і у вправах 16-28.)

29. \(f(x)=x^2-2x+1\)

30. \(f(x)=-x^2-5x+7\)

31. \(f(x)=x^3-x+1\)

32. \(f(x)=2x^3-3x^2+9x+5\)

33. \(f(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-2x+3\)

34. \(f(x)=-3x^4+8x^3+6x^2-24x+2\)

35. \(f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1\)

36. \(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\)

37. \(f(x)=\frac{x}{x^2-1}\)

38. \(f(x)=\sin x+\cos x\text{ on }(-\pi,\pi)\)

39. \(f(x)=x^2e^x\)

40. \(f(x)=x^2\ln x\)

41. \(f(x)=e^{-x^2}\)

У вправах 42-54\(f(x)\) дана функція. Знайдіть значення x, де\(f'(x)\) є відносний максимум або мінімум. (Примітка: це ті ж функції, що і у вправах 16-28.)

42. \(f(x)=x^2-2x+1\)

43. \(f(x)=-x^2-5x+7\)

44. \(f(x)=x^3-x+1\)

45. \(f(x)=2x^3-3x^2+9x+5\)

46. \(f(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-2x+3\)

47. \(f(x)=-3x^4+8x^3+6x^2-24x+2\)

48. \(f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1\)

49. \(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\)

50. \(f(x)=\frac{x}{x^2-1}\)

51. \(f(x)=\sin x+\cos x\text{ on }(-\pi,\pi)\)

52. \(f(x)=x^2e^x\)

53. \(f(x)=x^2\ln x\)

54. \(f(x)=e^{-x^2}\)

3.5: Ескіз кривої

Терміни та поняття

1. Чому ескіз кривих вручну вигідний, хоча технологія є повсюдною?

2. Що означає «всюдисущий»?

3. T/F: При замальовуванні графіків функцій корисно знайти критичні точки.

4. T/F: При замальовуванні графіків функцій корисно знайти можливі точки перегину.

5. T/F: При замальовуванні графіків функцій корисно знайти горизонтальні та вертикальні асимптоти.

Проблеми

У вправах 6-11 практикуйтеся використовувати Key Idea 4, застосовуючи принципи до заданих функцій зі знайомими графіками.

6. \(f(x) =2x+4\)

7. \(f(x) =-x^2+1\)

8. \(f(x) =\sin x\)

9. \(f(x) =e^x\)

10. \(f(x) =\frac{1}{x}\)

11. \(f(x) =\frac{1}{x^2}\)

У Вправах 12-25 намалюйте графік заданої функції за допомогою Key Idea 4. Покажіть всі роботи; перевірте свою відповідь технологією.

12. \(f(x) =x^3-2x^2+4x+1\)

13. \(f(x) =-x^3+5x^2-3x+2\)

14. \(f(x) =x^3+3x^2+3x+1\)

15. \(f(x) =x^3-x^2-x+1\)

16. \(f(x) =(x-2)\ln (x-2)\)

17. \(f(x) =(x-2)^2\ln (x-2)\)

18. \(f(x) =\frac{x^2-4}{x^2}\)

19. \(f(x) =\frac{x^2-4x+3}{x^2-6x+8}\)

20. \(f(x) =\frac{x^2-2x+1}{x^2-6x+8}\)

21. \(f(x) =x\sqrt{x+1}\)

22. \(f(x) =x^2e^x\)

23. \(f(x) =\sin x\cos x \text{ on }[-\pi,\pi]\)

24. \(f(x) =(x-3)^{2/3}+2\)

25. \(f(x) =\frac{(x-1)^{2/3}}{x}\)

У вправах 26-28\(a\)\(b\) наведені функції з параметрами і. Опишіть критичні точки і можливі точки перегину з\(f\) точки зору\(a\) і\(b\).

26. \(f(x) =\frac{a}{x^2+b^2}\)

27. \(f(x) =\sin (ax+b)\)

28. \(f(x) = (x-a)(x-b)\)

29. Враховуючи\(x^2+y^2=1\), використовуйте неявну диференціацію, щоб знайти\(frac{dy}{dx}\) і\(\frac{d^2y}{dx^2}\). Використовуйте цю інформацію для обґрунтування ескізу одиничного кола.