3.2: Теорема про середнє значення

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 3.1: Екстремальні значення
- 3.3: Збільшення та зменшення функцій

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Ми мотивуємо цей розділ наступним питанням: Припустимо, ви виходите з дому та їдете до будинку свого друга в місті за 100 миль, завершуючи поїздку за дві години. У будь-який момент під час поїздки вам обов'язково доведеться їхати 50 миль на годину?

Відповідаючи на це питання, зрозуміло, що середня швидкість за всю поїздку становить 50 миль/год (тобто 100 миль за 2 години), але питання в тому, чи ваша миттєва швидкість коли-небудь рівно 50 миль/год. Простіше кажучи, ваш спідометр коли-небудь читав рівно 50 миль/год?. Відповідь, за деякими дуже розумними припущеннями, є «так».

Давайте тепер розберемося, чому така ситуація полягає в тексті числення, переводячи його в математичні символи.

Спочатку припустимо, що функція $y = f(t)$ дає відстань (в милі), пройдену від вашого будинку в той час $t$ (в годині), де $0\le t\le 2$ . Зокрема, це дає $f(0)=0$ і $f(2)=100$ . Нахил січної лінії, що з'єднує початкову і кінцеву точки $(0,f(0))$ і $(2,f(2))$ тому

$
\ гідророзриву {\ Дельта f} {\ Дельта т} =\ frac {f (2) -f (0)} {2-0} =\ гідророзриву {100-0} {2} = 50\,\ текст {mph}.
\]

Нахил в будь-якій точці самого графіка задається похідною $f'(t)$ . Так, оскільки відповідь на питання вище - «так», це означає, що в якийсь час під час поїздки похідна приймає значення 50 миль/год. Символічно,

$ ф
'(c) =\ frac {f (2) -f (0)} {2-0} = 50
\]

протягом деякого часу $0\le c \le 2.$

Як щодо загалом? Враховуючи будь-яку функцію $y=f(x)$ та діапазон, $a\le x\le b$ чи значення похідної в певній точці між ними $a$ і $b$ повинно відповідати нахилу січної лінії, що з'єднує точки $(a,f(a))$ і $(b,f(b))$ ? Або еквівалентно, робить рівняння

$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

доведеться провести для деяких $a < c < b$ ?

Давайте розглянемо дві функції на прикладі.

Приклад $\PageIndex{1}$ : Comparing average and instantaneous rates of change

Розглянемо функції

$ $ f_1 (x) =\ гідророзриву {1} {x^2}\ квадратний\ текст {і}\ квад f_2 (x) = |x|\]

з $a=-1$ і $b=1$ як показано на малюнку $\PageIndex{1}$ (а) і (b) відповідно. Обидві функції мають значення 1 в $a$ і $b$ . Тому нахил січної лінії, що з'єднує кінцеві точки, є $0$ в кожному конкретному випадку. Але якщо ви подивитеся на графіки кожного, ви можете побачити, що немає точок на будь-якому графіку, де дотичні лінії мають нульовий нахил. Тому ми з'ясували, що немає $c$ в $[-1,1]$ такому, що

$f' (c) =\ фракція {f (1) -f (-1)} {1- (-1)} = 0.\]

$альт$ $альт$

Малюнок $\PageIndex{1}$ : Графік $f_1(x) = 1/x^2$ і $f_2(x) = |x|$ в прикладі $\PageIndex{1}$ .

Так що ж пішло «неправильно"'? Можливо, не дивно виявити, що розрив $f_1$ і кут $f_2$ відіграють певну роль. Якби наші функції були безперервними та диференційованими, чи змогли б ми знайти це особливе значення $c$ ? Це наша мотивація до наступної теореми.

Теорема $\PageIndex{1}$ : The Mean Value Theorem of Differentiation

$y=f(x)$ Дозволяти бути безперервною функцією на замкнутому інтервалі $[a,b]$ і диференційованою на відкритому інтервалі $(a,b)$ . Існує таке значення, таке, що
$f' (c) =\ frac {f (b) -f (a)} {b-a}.$
Тобто існує значення, $c$ в $(a,b)$ якому миттєва швидкість зміни $f$ at $c$ дорівнює середній швидкості зміни $f$ на $[a,b]$ .

Зауважте, що причини того, що функції в Прикладі $\PageIndex{1}$ збій дійсно є те, що $f_1$ має розрив на інтервалі $[-1,1]$ і $f_2$ не диференційований на початку.

Нижче ми наведемо доказ теореми про середнє значення. Для цього ми використовуємо факт, званий теоремою Ролла, викладену тут.

Теорема $\PageIndex{2}$ : Rolle's Theorem

$f$ Дозволяти бути безперервним $[a,b]$ і диференційованим на $(a,b)$ , де $f(a) = f(b)$ . Є деякі $c$ в $(a,b)$ такому, що $f'(c) = 0.$

Розглянемо малюнок, $\PageIndex{2}$ де $f$ задано графік функції, де $f(a) = f(b)$ . Він повинен мати інтуїтивний сенс, $f$ що якщо диференційований (а отже, і безперервний), що там буде значення $c$ , $(a,b)$ де $f'(c)=0$ ; тобто було б відносний максимум або мінімум $f$ in $(a,b)$ . Теорема Ролла гарантує принаймні одну; їх може бути більше.

$альт$

Малюнок $\PageIndex{2}$ : Графік $f(x) = x^3-5x^2+3x+5$ , де $f(a) = f(b)$ . Зверніть увагу на існування $c$ , де $a<c<b$ , де $f'(c)=0$ .

Теорема Ролла насправді є лише окремим випадком теореми про середнє значення. Якщо $f(a) = f(b)$ , то середня швидкість зміни на $(a,b)$ є $0$ , а теорема гарантує деяке $c$ де $f'(c)=0$ . Доведемо теорему Ролла, а потім використаємо її для доведення теореми про середнє значення.

Доказ теореми Ролла

$f$ Дозволяти диференціюватися на $(a,b)$ де $f(a)=f(b)$ . Розглянемо два випадки.

Випадок 1: Розглянемо випадок, коли $f$ є постійним $[a,b]$ ; тобто $f(x) = f(a) = f(b)$ для всіх $x$ в $[a,b]$ . Тоді $f'(x) = 0$ для всіх $x$ в $[a,b]$ , показуючи, що є принаймні одне значення $c$ в $(a,b)$ де $f'(c)=0$ .

Випадок 2: Тепер припустимо, що $f$ це не постійна $[a,b]$ . Теорема про екстремальні значення гарантує, що $f$ має максимальне та мінімальне значення на $[a,b]$ , знайдені або в кінцевих точках, або в критичному значенні в $(a,b)$ . Оскільки $f(a)=f(b)$ і не $f$ є постійним, зрозуміло, що максимум і мінімум не можна знайти в кінцевих точках. Припустимо, без втрати спільності, що максимум не $f$ зустрічається в кінцевих точках. Тому є $c$ в $(a,b)$ такому, що $f(c)$ є максимальним значенням $f$ . За теоремою 3.1.2, $c$ має бути критичним числом $f$ ; оскільки $f$ диференційований, ми маємо це $f'(c) = 0$ , завершуючи доказ теореми.

$\square$

Тепер ми можемо довести теорему про середнє значення.

Доказ теореми про середнє значення

Визначаємо функцію

$ $ г (х) = ф (х) -\ фракція {ф (б) -ф (а)} {б-а} х.\]

Ми знаємо, $g$ що є $(a,b)$ диференційованим і безперервним $f$ , $[a,b]$ оскільки є. Ми можемо показати $g(a)=g(b)$ (насправді простіше показати $g(b)-g(a)=0$ , чого вистачає). Потім ми можемо застосувати теорему Ролла, щоб гарантувати існування $c \in (a,b)$ такого, що $g'(c) = 0$ . Але зверніть увагу, що

$0= г '(c) = f' (c) -\ frac {f (b) -f (a)} {б-а}\;\]

відтак

$f' (c) =\ гідророзриву {f (b) -f (a)} {б-а},\]

що ми прагнули довести.

$\square$

Повертаючись до самого початку розділу, ми бачимо, що єдине припущення, яке нам знадобиться щодо нашої функції відстані, $f(t)$ - це те, що вона буде безперервною та диференційованою протягом $t$ від 0 до 2 годин (обидва розумні припущення). За теоремою про середнє значення ми гарантуємо час під час поїздки, коли наша миттєва швидкість становить 50 миль/год. Цей факт використовується на практиці. Деякі правоохоронні органи стежать за швидкістю руху, перебуваючи в літаках. Вони не вимірюють швидкість за допомогою радара, а скоріше, синхронізуючи окремі автомобілі, коли вони проходять лінії, намальовані на шосе, відстані яких відомі. Офіцер здатний виміряти середню швидкість автомобіля між намальованими лініями; якщо ця середня швидкість перевищує розміщену швидкість, офіцер запевняється, що водій перевищив обмеження швидкості в певний час.

Зауважте, що теорема про середнє значення є теоремою існування. У ньому зазначено, що особливе значення $c$ існує, але воно не дає жодних вказівок про те, як його знайти. Виявляється, коли нам потрібна теорема про середнє значення, існування - це все, що нам потрібно

Приклад $\PageIndex{2}$ : Using the Mean Value Theorem

Розглянемо $f(x) = x^3+5x+5$ далі $[-3,3]$ . Знайти $c$ в $[-3,3]$ тому, що задовольняє теоремі середнього значення.

Рішення

Середня швидкість зміни $f$ на $[-3,3]$ становить:

$\frac{f(3)-f(-3)}{3-(-3)} = \frac{84}{6} = 14.$

Ми хочемо знайти $c$ таке, що $f'(c) = 14$ . Знаходимо $f'(x) = 3x^2+5$ . Ставимо це рівним 14 і вирішуємо для $x$ .

$\begin{align*} f'(x) &= 14 \\ 3x^2 +5 &= 14\\ x^2 &= 3\\ x &= \pm \sqrt{3} \approx \pm 1.732 \end{align*}$

Ми знайшли 2 значення, $c$ в $[-3,3]$ яких миттєва швидкість зміни дорівнює середній швидкості зміни; Теорема про середнє значення гарантувала принаймні одне. На малюнку $\PageIndex{3}$ $f$ зображено пунктирною лінією, що представляє середню швидкість зміни; також $x=\pm \sqrt{3}$ наведені лінії, дотичні до $f$ at. Зверніть увагу, як ці лінії паралельні (тобто мають однаковий нахил), що і пунктирна лінія.

$альт$

Рисунок $\PageIndex{3}$ : Демонстрація теореми про середнє значення на прикладі $\PageIndex{2}$ .

Хоча теорема про середнє значення має практичне використання (наприклад, згадане раніше додаток для моніторингу швидкості), вона в основному використовується для просування іншої теорії. Ми будемо використовувати його в наступному розділі, щоб пов'язати форму графіка з його похідною.