3.1: Екстремальні значення

Наше дослідження обмежень призвело до неперервних функцій, які є певним класом функцій, які поводяться особливо приємно. Обмеження тоді дали нам ще приємніший клас функцій, функцій, які диференційовані.

У цьому розділі досліджуються багато способів, якими ми можемо скористатися інформацією, яку надають безперервні та диференційовані функції.

Враховуючи будь-яку величину, описану функцією, нас часто цікавлять найбільші та/або найменші значення, які досягає кількість. Наприклад, якщо функція описує швидкість об'єкта, здається розумним захотіти знати найшвидший/найповільніший об'єкт, який пройшов. Якщо функція описує вартість акцій, ми можемо знати, як найвищий/найнижчий показник запасу, досягнутий за минулий рік. Ми називаємо такі значення екстремальними значеннями.

Визначення$\PageIndex{1}$: Minima and Maxima

$f$Дозволяти визначатися на інтервалі,$I$ що містить$c$.

• $f(c)$є мінімальним (також абсолютним мінімумом) від$f$ on$I$ if$f(c) \leq f(x)$ for all$x$ in$I$.
• $f(c)$є максимумом} (також абсолютним максимумом) від$f$ on$I$$f(c) \geq f(x)$ if for all$x$ in$I$.

Максимальне і мінімальне значення - це крайні значення, або екстремуми,$f$ вкл$I$.

Екстремальними значеннями функції є значення$y$ "", значення, які функція досягає, а не вхідні значення.

Розглянемо Малюнок$\PageIndex{1}$. Функція, що відображається в (a), має максимум, але не мінімальний, оскільки інтервал, протягом якого визначена функція, відкритий. У (b) функція має мінімум, але не максимум; є розрив у «природному» місці, щоб відбувся максимум. Нарешті, функція, показана в (c), має як максимум, так і мінімум; зверніть увагу, що функція є безперервною, а інтервал, на якому вона визначена, закритий.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Графіки функцій з екстремальними значеннями і без них

Можна, щоб переривчасті функції, визначені на відкритому інтервалі, мали як максимальне, так і мінімальне значення, але ми щойно бачили приклади, де їх не було. З іншого боку, безперервні функції на замкнутому інтервалі завжди мають максимальне і мінімальне значення.

Теорема$\PageIndex{1}$: The Extreme Value Theorem

$f$Дозволяти неперервна функція, визначена на замкнутому інтервалі$I$. Потім$f$ має як максимальне, так і мінімальне значення на$I$.

Ця теорема стверджує, що$f$ має екстремальні значення, але вона не дає жодних порад про те, як/де знайти ці значення. Процес може здатися досить легким, як ілюструє наступний приклад. Після прикладу ми будемо спиратися на вивчені уроки, щоб сформувати більш загальний і потужний метод знаходження екстремальних значень.

Приклад$\PageIndex{1}$: Approximating Extreme Values

Розглянемо$f(x) = 2x^3-9x^2$ далі$I=[-1,5]$, як показано на малюнку$\PageIndex{2}$. Орієнтовні крайні значення$f$.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Графік,$f(x) = 2x^3-9x^2$ як у прикладі$\PageIndex{1}$

Рішення

Графік малюється таким чином, щоб привернути увагу до певних моментів. Безумовно, здається, що найменше$y$ значення є$-27$, знайдене коли$x=3$. Також здається, що найбільше$y$ значення дорівнює 25, знайденому в кінцевій точці$I$,$x=5$. Ми використовуємо слово здається, бо лише за графіком ми не можемо бути впевнені, що найменше значення не менше$-27$. Оскільки задача просить наближення, ми наближаємо крайні значення бути$25$ і$-27$.

Зверніть увагу, як мінімальне значення прийшло в «нижній частині пагорба», а максимальне значення прийшло в кінцевій точці. Також зауважте, що хоча$0$ це не екстремальне значення, було б, якби ми звузили наш інтервал до$[-1,4]$. Ідея про те, що точка$(0,0)$ є місцем розташування екстремального значення для деякого інтервалу, є важливою, що веде нас до визначення.

Локальні та відносні екстреми

Терміни локальний мінімум і локальний максимум часто використовуються як синоніми відносного мінімуму і відносного максимуму. Коротко попрактикуємося використовувати ці визначення.

Визначення$\PageIndex{2}$: Relative Minimum and Relative Maximum

$f$Дозволяти визначатися на інтервалі,$I$ що містить$c$.

1. Якщо є відкритий інтервал, що містить$c$ таке, що$f(c)$ є мінімальним значенням, то$f(c)$ є відносним мінімумом$f$. Ми також говоримо, що$f$ має відносний мінімум при$(c,f(c))$.
2. Якщо є відкритий інтервал, що містить$c$ таке, що$f(c)$ є максимальним значенням, то$f(c)$ є відносним максимумом$f$. Ми також говоримо, що$f$ має відносний максимум при$(c,f(c))$.

Відносні максимальні та мінімальні значення складають відносні екстремуми$f$.

Приклад$\PageIndex{2}$: Approximating Relative Extrema

Розглянемо$f(x) = (3x^4-4x^3-12x^2+5)/5$, як показано на малюнку$\PageIndex{3}$. Наближена відносна крайність$f$. У кожному з цих пунктів оцінюйте$f'$.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Графік$f(x) = (3x^4-4x^3-12x^2+5)/5$, як у прикладі$\PageIndex{2}$.

Рішення

У нас досі немає інструментів для точного пошуку відносних екстремумів, але графік дозволяє нам робити розумні наближення. Здається,$f$ має відносні мінімуми при$x=-1$ і$x=2$, зі значеннями$f(-1)=0$ і$f(2) = -5.4$. Також здається, що$f$ має відносний максимум в точці$(0,1)$.

Ми наближаємо відносні мінімуми бути$0$ і$-5.4$; ми наближаємо відносний максимум бути$1$.

Це просто оцінити$f'(x) =\frac15(12x^3-12x^2-24x)$ в$x=0, 1$ і$2$. У кожному конкретному випадку,$f'(x) = 0$.

Приклад$\PageIndex{3}$: Approximating Relative Extrema

Приблизна відносна крайність$f(x) = (x-1)^{2/3}+2$, показана на рис$\PageIndex{4}$. У кожному з цих пунктів оцінюйте$f'$.

Малюнок$\PageIndex{4}$: Графік$f(x) = (x-1)^{2/3}+2$, як у прикладі$\PageIndex{3}$.

Рішення

Цифра має на увазі, що$f$ не має ніяких відносних максимумів, але має відносний мінімум при$(1,2)$. Насправді графік говорить про те, що не тільки ця точка є відносним мінімумом,$y=f(1)=2$ мінімальним значенням функції.

Обчислюємо$f'(x) = \frac{2}{3}(x-1)^{-1/3}$. Коли$x=1$,$f'$ не визначено.

Що ми можемо дізнатися з попередніх двох прикладів? Ми змогли візуально наблизити відносну крайність, і в кожній такій точці похідна була$0$ або або вона не була визначена. Це спостереження стосується всіх функцій, що призводить до визначення та теореми.

Визначення$\PageIndex{3}$: Critical Numbers and Critical Points

$f$Дозволяти визначатися в$c$. Значення$c$ є критичним числом (або критичним значенням)$f$ якщо$f'(c)=0$ або$f'(c)$ не визначено.

Якщо$c$ критичне число$f$, то точка$(c,f(c))$ є критичною точкою$f$.

Теорема$\PageIndex{1}$: Relative Extrema and Critical Points

Нехай функція$f$ має відносну крайність в точці$(c,f(c))$. Потім$c$ йде критичне число$f$.

Будьте обережні, щоб зрозуміти, що ця теорема говорить: «Всі відносні крайності відбуваються в критичних точках». У ньому не сказано: «Всі критичні числа виробляють відносну крайність». Наприклад, розгляньте$f(x) = x^3$. Так як$f'(x) = 3x^2$, це просто визначити, що$x=0$ є критичним числом$f$. Однак не$f$ має відносних крайнощів, як показано на малюнку$\PageIndex{5}$.

Малюнок$\PageIndex{5}$: Графік$f(x)=x^3$ якого має критичне значення$x=0$, але не відносну крайність.

Теорема$\PageIndex{1}$ стверджує, що безперервна функція на замкнутому інтервалі матиме абсолютну крайність, тобто як абсолютний максимум, так і абсолютний мінімум. Ці крайності виникають або в кінцевих точках, або при критичних значеннях в інтервалі. Ми поєднуємо ці концепції, щоб запропонувати стратегію пошуку екстрем.

Ключова ідея 2: Пошук екстремуми на замкнутому інтервалі

$f$Дозволяти неперервна функція, визначена на замкнутому інтервалі$[a,b]$. Знайти максимальне і мінімальне значення$f$ на$[a,b]$

1. Оцініть$f$ в кінцевих точках$a$ і$b$ інтервалі.
2. Знайдіть критичні числа$f$ in$[a,b]$.
3. Оцінюйте$f$ при кожному критичному числі.
4. $f$Абсолютний максимум - найбільша з цих значень, а абсолютний мінімум$f$ - найменша з цих значень.

Ми практикуємо ці ідеї в наступних прикладах.

Приклад$\PageIndex{4}$: Finding Extreme Values

Знайдіть крайні значення$f(x) = 2x^3+3x^2-12x$ on$[0,3]$, зображені на малюнку$\PageIndex{6}$.

Ми слідуємо крокам, описаним у Key Idea 2. Спочатку оцінюємо$f$ в кінцевих точках:

$$f(0) = 0 \quad \text{and}\quad f(3) =45.$$

Малюнок$\PageIndex{6}$: Графік$f(x) = 2x^3+3x^2-12x$ на$[0,3]$, як у прикладі$\PageIndex{4}$.

Далі знаходимо критичні значення$f$ on$[0,3]$. $f'(x) = 6x^2+6x-12 = 6(x+2)(x-1)$; тому критичні значення$f$ є$x=-2$ і$x=1$. Так як$x=-2$ не лежить в проміжку$[0,3]$, ми його ігноруємо. Оцінка$f$ за єдиним критичним числом в нашому інтервалі дає:$f(1) = -7$.

Таблиця$\PageIndex{1}$ дає$f$ оцінені за «важливими»$x$ значеннями в$[0,3]$. Ми можемо легко побачити максимальне і мінімальне значення$f$: максимальне значення є$45$ і мінімальне значення є$-7$.

Таблиця$\PageIndex{1}$: Пошук екстремальних значень$f$ у прикладі$\PageIndex{4}$

$x$	$f(x)$
\ (x\) ">0	\ (f (x)\) ">0
\ (x\) ">1	\ (f (x)\) ">-7
\ (x\) ">3	\ (f (x)\) ">45

Зауважте, що все це було зроблено без допомоги графіка; ця робота слідувала аналітичному алгоритму і не залежала від будь-якої візуалізації. Малюнок$\PageIndex{6}$ показує$f$ і ми можемо підтвердити свою відповідь, але важливо розуміти, що ці відповіді можна знайти без графічної допомоги.

Знову практикуємося.

Приклад$\PageIndex{5}$: Finding Extreme Values

Знайти максимальне і мінімальне значення$f$ on$[-4,2]$, де

$$f(x) = \left\{\begin{array}{cc} (x-1)^2 & x\leq 0 \\ x+1 & x>0 \end{array}\right. .$$

Рішення

$f$Ось фрагментарно визначено, але ми все ще можемо застосувати Ключ Ідея 2. Оцінка$f$ в кінцевих точках дає:

$$f(-4) = 25 \quad \text{and} \quad f(2) = 3.$$

Тепер ми знаходимо критичні цифри$f$. Ми повинні визначити$f'$ по кусковому порядку; це

$$f'(x) =\left\{\begin{array}{cc} 2(x-1) & x < 0 \\ 1 & x>0 \end{array}\right. .$$

Зверніть увагу, що while$f$ визначається для всіх$[-4,2]$, не$f'$ є, оскільки похідна від$f$ не існує, коли$x=0$. (Зліва наближається похідна$-2$; праворуч похідна - 1.) Таким чином, одним критичним числом$f$ є$x=0$.

Ми тепер встановили$f'(x) = 0$. Коли$x >0$, ніколи не$f'(x)$ дорівнює 0. Коли$x<0$,$f'(x)$ також ніколи не дорівнює 0. (Ми можемо спокуситися сказати, що$f'(x) = 0$ коли$x=1$. Однак це безглуздо, бо ми враховуємо лише$f'(x) = 2(x-1)$ коли$x<0$, тому ми будемо ігнорувати рішення, яке говорить$x=1$.)

Отже, ми маємо три важливі$x$ значення, які слід враховувати:$x= -4, 2$ і$0$. Оцінка$f$ у кожного дає, відповідно,$3$ і$25$$1$, наведено в табл$\PageIndex{2}$. Таким чином, абсолютний мінімум$f$ дорівнює 1; абсолютний максимум$f$ є$25$. Наша відповідь підтверджується графіком$f$ на рис$\PageIndex{7}$.

Таблиця$\PageIndex{2}$: Пошук екстремальних значень$f$ у прикладі$\PageIndex{5}$

$x$	$f(x)$
-4	25
0	1
2	3

Малюнок$\PageIndex{7}$: Графік$f(x)$ на$[-4,2]$, як у прикладі$\PageIndex{5}$.

Приклад$\PageIndex{6}$: Finding Extreme Values

Знайдіть крайність$f(x) = \cos (x^2)$ на$[-2,2]$.

Рішення

Ми знову використовуємо Key Idea 3. Оцінка$f$ в кінцевих точках інтервалу дає: Тепер$f(-2) = f(2) = \cos (4) \approx -0.6536.$ ми знаходимо критичні значення$f$.

Застосовуючи правило ланцюга, знаходимо$f'(x) = -2x\sin (x^2)$. Встановіть$f'(x) = 0$ і вирішуйте$x$ для пошуку критичних значень$f$.

У нас є$f'(x) = 0$ коли$x = 0$ і коли$\sin (x^2) = 0$. Загалом,$\sin t = 0$ коли$t = \ldots -2\pi, -\pi, 0, \pi, \ldots$ Таким чином,$\sin (x^2) = 0$ коли$x^2 = 0, \pi, 2\pi, \ldots$ ($x^2$завжди позитивно$-\pi$, тому ми ігноруємо тощо) Так$\sin (x^2)=0$ коли$x= 0, \pm \sqrt{\pi}, \pm\sqrt{2\pi}, \ldots$. Єдині значення, що потрапляють у заданий інтервал,$[-2,2]$ є$-\sqrt{\pi}$ і$\sqrt{\pi}$, приблизно$\pm 1.77$.

Ми знову будуємо таблицю важливих значень в табл$\PageIndex{3}$. У цьому прикладі ми маємо 5 значень для розгляду:$x= 0, \pm 2, \pm\sqrt{\pi}$.

Таблиця$\PageIndex{3}$: Знаходження крайності$f(x)= \cos (x^2)$ в прикладі$\PageIndex{5}$

$x$	$f(x)$
\ (x\) ">-2	\ (f (x)\) ">-0,65
\ (x\) ">$-\sqrt{\pi}$	\ (f (x)\) ">-1
\ (x\) ">0	\ (f (x)\) ">1
\ (x\) ">$\sqrt{\pi}$	\ (f (x)\) ">-1
\ (x\) ">2	\ (f (x)\) ">-0,65

З таблиці видно, що максимальне значення$f$ включення$[-2,2]$ дорівнює 1; мінімальне значення -$-1$. Графік на малюнку$\PageIndex{8}$ підтверджує наші результати.

Малюнок$\PageIndex{8}$: Графік$f(x)=\cos(x^2)$ на$[-2,2]$, як у прикладі$\PageIndex{5}$.

Розглянемо ще один приклад.

Приклад$\PageIndex{7}$: Finding Extreme Values

Знайдіть крайні значення$f(x) = \sqrt{1-x^2}$.

Рішення

Замкнутий інтервал не задано, тому знаходимо крайні значення$f$ на його області. $f$визначається всякий раз$1-x^2\geq 0$; таким чином домен$f$ є$[-1,1]$. Оцінювання$f$ в будь-якій кінцевій точці повертає$0$.

Використовуючи правило ланцюга, знаходимо$f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$. Критичні точки$f$ знаходять, коли$f'(x) = 0$ або коли$f'$ не визначено. Це просто знайти, що$f'(x) = 0$ коли$x=0$, і$f'$ не визначено$x=\pm 1$, коли, кінцеві точки інтервалу. Таблиця важливих значень наведена в табл$\PageIndex{4}$.

Таблиця$\PageIndex{4}$: Знаходження крайності півкола в прикладі$\PageIndex{7}$

$x$	$f(x)$
\ (x\) ">-1	\ (f (x)\) ">0
\ (x\) ">0	\ (f (x)\) ">1
\ (x\) ">1	\ (f (x)\) ">0

Максимальне значення дорівнює 1, а мінімальне - 0.

Малюнок$\PageIndex{9}$: Графік$f(x)=\sqrt{1-x^2}$ увімкнення$[-1,1]$, як у прикладі$\PageIndex{7}$

Примітка: Ми неявно знайшли похідну$x^2+y^2=1$ одиничного кола в розділі про неявну диференціацію як$\frac{dy}{dx} = -x/y$. У$\PageIndex{7}$ прикладі половина одиничного кола задається як$y=f(x) = \sqrt{1-x^2}$. Ми знайшли$f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$. Визнайте, що знаменник цього дробу є$y$; тобто ми знову знайшли$f'(x) = \frac{dy}{dx} = -x/y.$

Ми бачили, що безперервні функції на замкнутих інтервалах завжди мають максимальне та мінімальне значення, і ми також розробили методику пошуку цих значень. У наступному розділі ми продовжимо наше вивчення інформації, яку ми можемо отримати з «приємних» функцій з теоремою про середнє значення. На замкнутому інтервалі ми можемо знайти середню швидкість зміни функції (як ми це робили на початку глави 2). Ми побачимо, що диференційовані функції завжди мають точку, в якій їх миттєва швидкість зміни така ж, як середня швидкість зміни. Це дивно корисно, як ми побачимо.

Автори та атрибуція

• Template:ContribApexCalc
• Template:ContribMarshall