2.E: Застосування похідних (вправи)

2.1: Миттєві темпи змін: Похідна

Терміни та поняття

1. T/F:\(f\) Дозволяти бути функцією положення. Середня швидкість зміни на [a, b] - це нахил лінії через точки\((a,f(a))\) і\((b,f(b))\).

2. T/F: Визначення похідної функції в точці передбачає прийняття межі

3. Своїми словами поясніть різницю між середньою швидкістю зміни і миттєвою швидкістю зміни.

4. Своїми словами поясніть різницю між Визначеннями 7 і 10.

5. Нехай\(y = f(x)\). Дайте три різні позначення, еквівалентні\(“f ′ (x).”\)

Проблеми

У вправах 6-12 використовуйте визначення похідної для обчислення похідної даної функції.

6. \(f(x)=6\)

7. \(f(x)=2x\)

8. \(f(t) = 4-3t\)

9. \(g(x) =x^2\)

10. \(f(x) = 3x^2-x+4\)

11. \(r(x) = \frac{1}{x}\)

12. \(r(s) = \frac{1}{s-2}\)

У вправах 13-19 задано функцію і значення x\(c\).
(Примітка: ці функції такі ж, як ті, що наведені у вправах з 6 по 12.)

(a) Знайти дотичну лінію до графіка функції в\(c\).
(b) Знайти нормальну лінію до графіка функції в\(c\).

13. \(f(x) = 6,\text{ at }x=-2\).

14. \(f(x) = 2x,\text{ at }x=3\).

15. \(f(x) = 4-3x,\text{ at }x=7\).

16. \(g(x) = x^2,\text{ at }x=2\).

17. \(f(x) = 3x^2-x+4,\text{ at }x=-1\).

18. \(r(x) = \frac{1}{x},\text{ at }x=-2\).

19. \(r(x) = \frac{1}{x-2},\text{ at }x=3\).

У вправах 20-23 задано функцію\(f\) і значення x\(a\). Наблизимо рівняння дотичної прямої до графа\(f\) at\(x=a\) шляхом чисельного наближення\(f'(a)\), використовуючи\(h=0.1\).

20. \(f(x) = x^2+2x+1,\,x=3\)

21. \(f(x) =\frac{10}{x+1},\,x=9\)

22. \(f(x) = e^x,\,x=2\)

23. \(f(x) =\cos x,\,x=0\)

24. Графік\(f(x)=x^2-1\) показаний.
(a) Використовуйте графік, щоб наблизити нахил дотичної лінії до\(f\) наступних точок: (-1,0), (0, -1) та (2,3).
(б) Використовуючи визначення, знайдіть\(f'(x)\).
(c) Знайти нахил дотичної лінії в точках (-1,0), (0, -1) і (2,3).

25. Графік\(f(x)=\frac{1}{x+1}\) показаний.
(a) Використовуйте графік, щоб наблизити нахил дотичної лінії до\(f\) наступних точок: (0,1) та (1, 0,5).
(б) Використовуючи визначення, знайдіть\(f'(x)\).
(c) Знайти нахил дотичної лінії в точках (0, 1) і (1, 0,5).

У вправах 26-29\(f(x)\) наведено графік функції. Використовуючи графік, ескіз\(f'(x)\).

26.

27.

28.

29.

30. Скориставшись графіком\(g(x)\) нижче, дайте відповідь на наступні питання.
(а) Де знаходиться\(g(x)>0\)?
(б) Де знаходиться\(g(x)<0\)?
(c) Де знаходиться\(g(x)=0\)?
(г) Де знаходиться\(g'(x)<0\)?
(е) Де знаходиться\(g'(x)>0\)?
(f) Де знаходиться\(g'(x)=0\)?

Рецензія

31. Орієнтовний\(\lim\limits_{x\to 5}\frac{x^2+2x-35}{x^2-10.5+27.5}\).

32. Використовуйте метод бісекції, щоб наблизити, з точністю до двох знаків після коми, корінь\(g(x)=x^3+x^2+x-1\) on [0.5, 0.6].

33. Дайте інтервали, на яких кожна з наступних функцій є безперервною.
(а)\(\frac{1}{e^x+1}\)
(б)\(\frac{1}{e^x-1}\)
(с)\(\sqrt{5-x}\)
(г)\(\sqrt{5-x^2}\)

34. Скористайтеся графіком\(f(x)\) наданого, щоб відповісти на наступне.
(а)\(\lim\limits_{x\to-3^-}f(x)=?\)
(b)\(\lim\limits_{x\to-3^+}f(x)=?\)
(c)\(\lim\limits_{x\to-3}f(x)=?\)
(d) Де є\(f\) безперервним?

2.2: Тлумачення похідної

Терміни та поняття

1. Як називається миттєва швидкість зміни позиції?

2. З огляду на функцію\(y = f(x)\), своїми словами опишіть, як знайти одиниці виміру\(f ′ (x)\).

3. Які функції мають постійну швидкість зміни?

Проблеми

4. Дано\(f(5=10\text{ and }f'(5)=2\), приблизний\(f(6)\).

5. Дано\(P(100) = −67\) і\(P ′ (100) = 5\), приблизний\(P(110)\).

6. Дано\(z(25) = 187\) і\(z ′ (25) = 17\), приблизний\(z(20)\).

7. Знаючи\(f(10) = 25\)\(f ′ (10) = 5\) і методи, описані в цьому розділі, яке наближення, швидше за все, буде найбільш точним:\(f(10.1),\, f(11),\text{ or }f(20)\)? Поясніть свої міркування.

8. Дано\(f(7) = 26\text{ and }f(8) = 22\), приблизний\(f ′ (7)\).

9. Дано\(H(0) = 17\) і\(H(2) = 29\), приблизний\(H ′ (2)\).

10. Дозвольте\(V(x)\) виміряти обсяг, в децибелах, виміряний всередині ресторану з x клієнтами. Що являють собою одиниці\(V ′ (x)\)?

11. Дозвольте\(v(t)\) виміряти швидкість, в ft/s, автомобіля, що рухається по прямій\(t\) секундах після запуску. Що являють собою одиниці\(v ′ (t)\)?

12. Висота H, в футах, річки фіксується через\(t\) години після півночі, 1 квітня. Що являють собою одиниці\(H ′ (t)\)?

13. \(P\)це прибуток у тисячах доларів від виробництва та продажу\(c\) автомобілів.
(а) Які одиниці\(P'(c)\)?
(б) Що, ймовірно, вірно\(P(0P\)?

14. \(T\)температура в градусах Фаренгейта,\(h\) годин після півночі 4 липня в Сіднеї, NE.
(а) Які одиниці\(T ′ (h)\)?
(b)\(T ′ (8)\) Ймовірно, більше або менше 0? Чому?
(c)\(T(8)\) Швидше за все більше або менше 0? Чому?

У вправах 15-18 наведені\(f(x)\text{ and }g(x)\) графіки функцій. Визначте, яка функція є похідною від іншої.

15.

16.

17.

18.

Рецензія

У Вправи 19-20 використовуйте визначення для обчислення похідних наступних функцій.

19. \(f(x) =5x^2\)

20. \(f(x) = \sqrt{x}\text{ at }x=9\).

У вправах 21-22 чисельно наближають значення\(f'(x)\) при вказаному значенні х.

21. \(f(x) =\cos x\text{ at }x=\pi\).

22. \(f(x) = \sqrt{x}\text{ at }x=9\).

2.3: Основні правила диференціації

Терміни та поняття

1. Як називається правило, яке говорить\(\frac{d}{ dx} ( x^n ) = nx^{n-1}\), що, де\(n > 0\) ціле число?

2. Що таке\(\frac{d}{dx} \left ( \ln x \right )\)?

3. Наведіть приклад функції f (x) де\(f ′ (x) = f(x)\).

4. Наведіть приклад функції\(f(x)\text{ where }f ′ (x) = 0\).

5. Похідні правила, введені в цьому розділі, пояснюють, як обчислити похідну якої з наступних функцій?

• \(f(x) = \frac{3}{x^2}\)
• \(g(x) = 3x^2-x+17\)
• \(h(x)=5\ln x\)
• \(j(x) = \sin x \cos x\)
• \(k(x)=e^{x^2}\)
• \(m(x)=\sqrt{x}\)

6. Поясніть своїми словами, як знайти третю похідну функції\(f(x)\).

7. Наведіть приклад функції де\(f ′ (x) \ne 0\text{ and }f ′′(x) = 0\).

8. Поясніть своїми словами, що означає друга похідна.

9. Якщо\(f(x)\) описує позиційну функцію, то\(f ′ (x)\) описує яку функцію? Що це за функція\(f ′′(x)\)?

10. \(f(x)\)Дозволяти функція вимірюється в фунтах, де х вимірюється в футах. Що являють собою одиниці\(f ′′(x)\)?

Проблеми

У вправах 11-25 обчислити похідну заданої функції.

11. \(f(x) = 7x^2-5x+7\)

12. \(g(x) = 14x^3+7x^2+11x-29\)

13. \(m(t) = 9t^2-\frac{1}{8}t^3+3t-8\)

14. \(f(\theta) = 9\sin \theta + 10 \cos \theta\)

15. \(f(r) =6e^r\)

16. \(g(t)=10t^4-\cos t+7\sin t\)

17. \(f(x)=2\ln x - x\)

18. \(p(s) = \frac{1}{4}s^4+\frac{1}{3}s^3+\frac{1}{2}s^2+s+1\)

19. \(h(t) = e^t -\sin t -\cos t\)

20. \(f(x)=\ln (5x^2)\)

21. \(f(t) = \ln (17) +e^2+\sin \pi /2\)

22. \(g(t)=(1+3t)^2\)

23. \(g(x)=(2x-5)^3\)

24. \(f(x)=(1-x)^3\)

25. \(f(x) = (2-3x)^2\)

26. Властивість логарифмів полягає в тому\(\log_a x = \frac{\log_bx}{\log_b a}\), що для всіх основ a, b> 0,\(\ne1\).
(a) Перепишіть цей ідентифікатор\(b=e\), коли, тобто, використовуючи\(\log e x=\ln x\).
(b) Використовуйте частину (а), щоб знайти похідну від\(y=\log_a x\).
(c) Дайте похідне від\(y=\log_{10}x\).

У Вправах 27-32 обчислити перші чотири похідні даної функції.

27. \(f(x) = x^6\)

28. \(g(x) = 2\cos x\)

29. \(h(t) =t^2-e^t\)

30. \(p(\theta)=\theta^4-\theta^3\)

31. \(f(\theta)=\sin \theta - \cos \theta\)

32. \(f(x) = 1,100\)

У вправах 33-38 знайти рівняння дотичної і нормальної ліній до графіка функції в заданій точці.

33. \(f(x) =x^3-x\text{ at }x=1\)

34. \(f(t) =e^t\text{ at }t=0\)

35. \(g(x) = \ln x \text{ at } t=0\)

36. \(f(x) = 4\sin x \text{ at }x=\pi/2\)

37. \(f(x) = -2\cos x \text{ at }x=\pi/4\)

38. \(f(x) = 2x+3\text{ at } x=5\)

Рецензія

39. Враховуючи це\(e^0=1\), наближається значення\(e^{0.1}\) за допомогою дотичної лінії до\(f(x)=e^x\text{ at }x=0\).

40. Орієнтовна величина\((3.01)^4\) використання дотичної лінії до\(f(x) = x^4\text{ at }x=3\).

2.4: Правила продукту та коефіцієнта

Терміни та поняття

1. T/F: Правило продукту стверджує, що\(frac{d}{dx}\left ( x^2\sin x\right ) = 2x\cos x\).

2. T/F: Правило частки стверджує, що\(\frac{d}{dx}\left ( \frac{x^2}{\sin x}\right ) = \frac{\cos x}{2x}\).

3. T/F: Похідні тригонометричних функцій, які починаються з «c», мають в них знаки мінуса.

4. Яке похідне правило використовується для розширення Правила влади, щоб включити від'ємні цілі показники?

5. T/F: Незалежно від функції, завжди існує точно один правильний спосіб обчислення її похідної.

6. Своїми словами поясніть, що означає зробити свої відповіді «зрозумілими».

Проблеми

У вправах 7-10:
(а) Використовуйте Правило продукту для диференціації функції.
(b) Маніпулювати функцією алгебраїчно і диференціювати без правила продукту.
(c) Показати, що відповіді з (a) і (b) рівнозначні.

7. \(f(x) =x(x^2+3x)\)

8. \(g(x) =2x^2(5x^3)\)

9. \(h(s)=(2s-1)(s+4)\)

10. \(f(x) = (x^2+5)(3-x^3)\)

У вправах 11-14:
(a) Використовуйте часткове правило для диференціації функції.
(b) Маніпулювати функцією алгебраїчно та диференціювати без правила частки.
(c) Показує, що відповіді з (a) та (b) еквівалентні.

11. \(f(x) = \frac{x^2+3}{x}\)

12. \(g(x) = \frac{x^3-2x^2}{2x^2}\)

13. \(h(s)=\frac{3}{4s^3}\)

14. \(f(t) = \frac{t^2-1}{t+1}\)

У вправах 15-29 обчислити похідну заданої функції.

15. \(f(x) =x\sin x\)

16. \(f(t)=\frac{1}{t^2}(\csc t -4)\)

17. \(g(x) = \frac{x+7}{x-5}\)

18. \(g(t) = \frac{t^5}{\cos t -2t^2}\)

19. \(h(x) = \cot x-e^x\)

20. \(h(t) = 7t^2+6t-2\)

21. \(f(x) = \frac{x^4+2x^3}{x^2}\)

22. \(f(x) = (16x^3+24x^2+3x)\frac{7x-1}{16x^3+24x^2+3x}\)

23. \(f(t) = t^5(\sec t+e^t)\)

24. \(f(x) = \frac{\sin x}{\cos x+3}\)

25. \(g(x) = e^2 \left ( \sin (\pi/4)-1\right )\)

26. \(g(t) = 4t^3e^t -\sin t\cos t\)

27. \(h(t) = \frac{t^2 \sin t +3}{t^2\cos t +2}\)

28. \(f(x)=x^2e^x\tan x\)

29. \(g(x) = 2x\sin x \sec x\)

У вправах 30-33 знайти рівняння дотичної і нормальної ліній до графіка\(g\) в зазначеній точці.

30. \(g(s)=e^s (s^2+2)\text{ at }(0,2)\).

31. \(g(t) = t\sin t\text{ at }\left (\frac{3\pi}{2},\frac{-3\pi}{2}\right )\)

32. \(g(x) = \frac{x^2}{x-1}\text{ at }(2,4)\).

33. \(g(\theta)=\frac{\cos \theta -8\theta}{\theta +1}\text{ at }(0,-5)\)

У вправах 34-37 знайдіть значення x, де графік функції має горизонтальну дотичну лінію.

34. \(f(x) = 6x^2-18x-24\)

35. \(f(x)=x\sin x\text{ on }[-1,1]\)

36. \(f(x)=\frac{x}{x+1}\)

37. \(f(x)=\frac{x^2}{x+1}\)

У Вправи 38-41 знайдіть запитувану похідну.

38. \(f(x) = x\sin x;\text{ find }f''(x)\).

39. \(f(x) = x\sin x;\text{ find }f^{(4)}(x)\).

40. \(f(x) = \csc x;\text{ find }f''(x)\).

41. \(f(x) = (x^3-5x+2)(x^2+x-7);\text{ find }f^{(8)}(x)\).

У вправах 42-45 використовуйте графік\(f(x)\) для ескізу\(f'(x)\).

42.

43.

44.

45.

2.5: Правило ланцюга

Терміни та поняття

1. T/F: Правило ланцюга описує, як оцінити похідну від складу функцій.

2. T/F: Узагальнене правило влади стверджує, що\(\frac{d}{dx}\left ( g(x)^n \right ) = n\left ( g(x)\right )^{n-1}\).

3. Т/Ф:\(\frac{d}{dx}\left ( \ln (x^2)\right )=\frac{1}{x^2}\).

4. Т/Ф:\(\frac{d}{dx} (3^x) \approx 1.1 \cdot 3^x\).

5. Т/Ф:\(\frac{dx}{dy} = \frac{dx}{dt}\cdot\frac{dt}{dy}\)

6. T/F: Прийняття похідного\(f(x)=x^2\sin (5x)\) вимагає використання як правил продукту, так і ланцюга.

Проблеми

У вправах 7-28 обчислити похідні даної функції.

7. \(f(x) = \left ( 4x^3-x \right ) ^10\)

8. \(f(t) = \left ( 3t-2 \right ) ^5\)

9. \(g(\theta) = \left ( \sin \theta +\cos \theta \right ) ^3\)

10. \(h(t)-e^{3t^2+y-1}\)

11. \(f(x) = \left ( x+\frac{1}{x}\right )^4\)

12. \(f(x) = \cos (3x)\)

13. \(g(x) =\tan (5x)\)

14. \(h(t) = \sin^4 (2t)\)

15. \(p(t) = \cos^3 (t^2+3t+1)\)

16. \(f(x) = \ln (\cos x)\)

17. \(f(x) = \ln (x^2)\)

18. \(f(x) = 2\ln (x)\)

19. \(g(r) = 4^r\)

20. \(g(t) = 5^{\cos t}\)

21. \(g(t) = 15^2\)

22. \(m(w) = \frac{3^w}{2^w}\)

23. \(h(t) = \frac{2^t+3}{3^t+2}\)

24. \(m(w) = \frac{3^w+1}{2^w}\)

25. \(f(x) = \frac{3^{x^2}+x}{2^{x^2}}\)

26. \(f(x) =x^2\sin (5x)\)

27. \(g(t) = \cos (t^2+3t)\sin (5t-7)\)

28. \(g(t) = \cos (\frac{1}{t})e^{5t^2}\)

У вправах 29-32 знайти рівняння дотичної і нормальної ліній до графіка функції в заданій точці. Примітка: функції тут такі ж, як у Вправи 7 по 10.

29. \(f(x) = \left ( 4x^3 -x\right )^{10}\text{ at }x=0\)

30. \(f(t) = \left ( 3t-2\right )^5\text{ at }t=1\)

31. \(g(\theta) = \left ( \sin \theta +\cos \theta \right )^3\text{ at }\theta=\pi/2\)

32. \(h(t) = e^{3t^2+t-1}\text{ at }t=-1\)

33. Обчислити\(\frac{d}{dx}\left ( \ln (kx)\right )\) два способи:
(а) Використовуючи правило Ланцюга, і
(b) спочатку використовуючи правило логарифма\(\ln (ab)=\ln a +\ln b\), потім беручи похідну.

34. Обчислити\(\frac{d}{dx}\left ( \ln (x^k)\right )\) два способи:
(а) Використовуючи правило ланцюга, і
(b) спочатку використовуючи правило логарифма\(\ln (a^p)=p\ln a\), потім беручи похідну.

Рецензія

35. «Коефіцієнт холоду вітру» - це вимір того, наскільки холодно він «відчуває» під час холодної, вітряної погоди. \(W(w)\)Дозволяти бути фактор холоду вітру, в градусах Фаренгейта, коли це 25 F зовні з вітром\(w\) миль/год.
(а) Які одиниці\(W' (w)\)?
(б) Яким би ви очікували, що знак буде?\(W'(10)\)

36. Знайдіть похідні наступних функцій.
(а)\(f(x) =x^2e^x\cot x\)
(б)\(g(x) = 2^x3^x4^x\)

2.6: Неявна диференціація

Терміни та поняття

1. Своїми словами поясніть різницю між неявними функціями і явними функціями.

2. Неявна диференціація базується на тому, яке інше правило диференціації?

3. T/F: Неявна диференціація може бути використана для пошуку похідної\(y=\sqrt{x}\).

4. T/F: Неявна диференціація може бути використана для пошуку похідної\(y=x^{3/4}\).

Проблеми

У вправах 5-12 обчислити похідну заданої функції.

5. \(f(x) =\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)

6. \(f(x) = \sqrt[3]{x}+x^{2/3}\)

7. \(f(x) =\sqrt{1-t^2}\)

8. \(g(t) = \sqrt{t}\sin t\)

9. \(h(x) =x^{1.5}\)

10. \(f(x)=x^\pi +x^{1.9}+\pi^{1.9}\)

11. \(g(x) = \frac{x+7}{\sqrt{x}}\)

12. \(f(t) = \sqrt[5]{t}\left (\sec t +e^t \right ) \)

У вправах 13-25 знайдіть,\(\frac{dy}{dx}\) використовуючи неявну диференціацію.

13. \(x^4+y^2+y=7\)

14. \(x^{2/5}+y^{2/5} = 1\)

15. \(\cos (x) +\sin (y)=1\)

16. \(frac{x}{y}=10\)

17. \(\frac{y}{x} =10\)

18. \(x^2e^2+2^y=5\)

19. \(x^2\tan y=50\)

20. \(\left ( 3x^2+2y^3\right )^4=2\)

21. \(\left (y^2+2y-x\right )^2 =200\)

22. \(\frac{x^2+y}{x+y^2}=17\)

23. \(\frac{\sin (x)+y}{\cos (y) +x}=1\)

24. \(\ln (x^2+y^2 )=e\)

25. \(\ln \left (x^2+xy+y^2\right )=1\)

26. Показати,\(\frac{dy}{dx}\) що однаково для кожної з наступних неявно визначених функцій.
(а)\(xy=1\)
(б)\(x^2y^2=1\)
(с)\(\sin (xy)=1\)
(г)\(\ln (xy)=1\)

У Вправах 27-31 знайти рівняння дотичної прямої до графіка неявно певної функції в зазначених точках. В якості наочного посібника кожна функція графічна.

27. \(x^{2/5}+y^{2/5} =1\)
(а) При (1,0)
(б) При (0,1, 0,281) (який точно не лежить на кривій, але знаходиться дуже близько).

28. \(x^4+y^4=1\)
(а) При (1,0).
(б) В\((\sqrt{0.6},\sqrt{0.8})\).
(c) При (0,1).

29. \((x^2+y^2-4)^3=108y^2\)
(а) При (0,4).
(б) В\((2,-\sqrt[4]{108})\)

30. \((x^2+y^2+x)^2=x^2+y^2\)
(а) При (0,1).
(б) В\(\left ( -\frac{3}{4},\frac{3\sqrt{3}}{4}\right )\).

31. \((x-2)^2+(y-3)^2=9\)
(а) В\(\left ( \frac{7}{2},\frac{6+3\sqrt{3}}{2}\right )\).
(б) В\(\left ( \frac{4+3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right )\).

У Вправах 32-35 задана неявно визначена функція. Знайти\(\frac{d^y}{dx^2}\). Примітка: це ті самі проблеми, які використовуються у вправах 13-16.

32. \(x^4+y^2+y=7\)

33. \(x^{2/5}+y^{2/5}=1\)

34. \(\cos x +\sin y =1\)

35. \(\frac{x}{y} =10\)

У вправах 36-41 використовуйте логарифмічну диференціацію, щоб знайти\(\frac{dy}{dx}\), а потім знайти рівняння дотичної прямої при вказаному значенні x.

36. \(y=\left ( 1+x\right )^{1/x},\quad x=1\)

37. \(y=2x^{x^2},\quad x=1\)

38. \(y=\frac{x^x}{x+1},\quad x=1\)

39. \(y=x^{\sin (x)+2},\quad x=1\)

40. \(y=\frac{x+1}{x+2},\quad x=1\)

41. \(y=\frac{(x+1)(x+2)}{(x+3)(x+4)},\quad x=1\)

2.7: Похідні обернених функцій

Терміни та поняття

1. T/F: Кожна функція має зворотну.

2. Своїми словами поясніть, що означає для функції бути «один на один».

3. Якщо (1,10) лежить на графіку\(y=f(x)\), що можна сказати про графік\(y=f^{-1}(x)\)?

4. Якщо (1,10) лежить на графіку\(y=f(x)\text{ and }f'(1)=5,\) того, про що можна сказати\(y=f^{-1}(x)\)?

Проблеми

У вправах 5-8 переконайтеся, що дані функції є зворотними.

5. \(f(x) =2x+6\text{ and }g(x)=\frac{1}{2}x-3\)

6. \(f(x) = x^2+6x+11,\,x\ge 3\)і\(g(x) = \sqrt{x-2}-3,\, x\ge 2\)

7. \(f(x) = \frac{3}{x-5},\,x\ne 5\)і\(g(x) = \frac{3+5x}{x},\, x\ne 0\)

8. \(f(x) = \frac{x+1}{x-1},\, x\ne 1\text{ and }g(x)=f(x)\)

У вправах 9-14\(f(x)\) дається оборотна функція разом з точкою, яка лежить на її графіку. Використовуючи теорему 22, оцініть\(\left ( f^{-1}\right )^\prime (x)\) за вказаною величиною.

9. \(f(x)=5x+10\)
Точка = (2,20)
Оцінити\(\left ( f^{-1}\right )^\prime (20)\)

10. \(f(x)=x^2-2x+4,\,x\ge 1\)
Точка =\((3,7)\)
Оцінити\(\left ( f^{-1}\right )^\prime (7)\)

11. \(f(x)=\sin 2x,\,-\pi/4 \le x \le \pi/4\)
Точка =\((\pi/6,\sqrt{3}/2)\)
Оцінити\(\left ( f^{-1}\right )^\prime (\sqrt{3}/2)\)

12. \(f(x)=x^3-6x^2+15x-2\)
Точка =\((1,8)\)
Оцінити\(\left ( f^{-1}\right )^\prime (8)\)

13. \(f(x)=\frac{1}{1+x^2},\,x\ge 0\)
Точка =\((1,1/2)\)
Оцінити\(\left ( f^{-1}\right )^\prime (1/2)\)

14. \(f(x)=6e^{3x}\)
Точка =\((0,6)\)
Оцінити\(\left ( f^{-1}\right )^\prime (6)\)

У вправах 15-24 обчислити похідну заданої функції.

15. \(h(t) = \sin^{-1}(2t)\)

16. \(f(t) = \sec^{-1}(2t)\)

17. \(g(x) = \tan^{-1}(2x)\)

18. \(f(x) = x\sin^{-1}(x)\)

19. \(g(t) = \sin t \cos^{-1}t\)

20. \(f(t) = \ln te^t\)

21. \(h(x) = \frac{\sin^{-1}x}{\cos^{-1}x}\)

22. \(g(x) = \tan^{-1}(\sqrt{x})\)

23. \(f(x) = \sec^{-1}(1/x)\)

24. \(f(x) = \sin (\sin^{-1}x)\)

У вправах 25-27 обчислити похідну даної функції двома способами:
(а) спростивши спочатку, потім взявши похідну, і
(б) використовуючи спочатку правило ланцюга, а потім спрощуючи.

Дуже, що дві відповіді однакові.

25. \(f(x) = \sin \left ( \sin^{-1}x\right )\)

26. \(f(x) =\tan^{-1} (\tan x)\)

27. \(f(x)=\sin \left (\cos^{-1}x\right )\)

У вправах 28-29 знайти рівняння прямої дотичної до графіка\(f\) за вказаною величиною.

28. \(f(x)=\sin^{-1}x\text{ at }x=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

29. \(f(x)=\cos^{-1}(2x)\text{ at }x=\frac{\sqrt{3}}{4}\)

Рецензія

30. Знайти\(\frac{dy}{dx}\), де\(x^2y-y^2x=1\).

31. Знайдіть рівняння прямої дотичної до графіка\(x^2+y^2+xy=7\) в точці (1,2).

32. Нехай\(f(x) =x^3+x\). Оцінити\(\lim\limits_{s\to 0}\frac{f(x+s)-f(x)}{s}\).