2.E: Застосування похідних (вправи)

2.1: Миттєві темпи змін: Похідна

Терміни та поняття

1. T/F:$f$ Дозволяти бути функцією положення. Середня швидкість зміни на [a, b] - це нахил лінії через точки$(a,f(a))$ і$(b,f(b))$.

2. T/F: Визначення похідної функції в точці передбачає прийняття межі

3. Своїми словами поясніть різницю між середньою швидкістю зміни і миттєвою швидкістю зміни.

4. Своїми словами поясніть різницю між Визначеннями 7 і 10.

5. Нехай$y = f(x)$. Дайте три різні позначення, еквівалентні$“f ′ (x).”$

Проблеми

У вправах 6-12 використовуйте визначення похідної для обчислення похідної даної функції.

6. $f(x)=6$

7. $f(x)=2x$

8. $f(t) = 4-3t$

9. $g(x) =x^2$

10. $f(x) = 3x^2-x+4$

11. $r(x) = \frac{1}{x}$

12. $r(s) = \frac{1}{s-2}$

У вправах 13-19 задано функцію і значення x$c$.
(Примітка: ці функції такі ж, як ті, що наведені у вправах з 6 по 12.)

(a) Знайти дотичну лінію до графіка функції в$c$.
(b) Знайти нормальну лінію до графіка функції в$c$.

13. $f(x) = 6,\text{ at }x=-2$.

14. $f(x) = 2x,\text{ at }x=3$.

15. $f(x) = 4-3x,\text{ at }x=7$.

16. $g(x) = x^2,\text{ at }x=2$.

17. $f(x) = 3x^2-x+4,\text{ at }x=-1$.

18. $r(x) = \frac{1}{x},\text{ at }x=-2$.

19. $r(x) = \frac{1}{x-2},\text{ at }x=3$.

У вправах 20-23 задано функцію$f$ і значення x$a$. Наблизимо рівняння дотичної прямої до графа$f$ at$x=a$ шляхом чисельного наближення$f'(a)$, використовуючи$h=0.1$.

20. $f(x) = x^2+2x+1,\,x=3$

21. $f(x) =\frac{10}{x+1},\,x=9$

22. $f(x) = e^x,\,x=2$

23. $f(x) =\cos x,\,x=0$

24. Графік$f(x)=x^2-1$ показаний.
(a) Використовуйте графік, щоб наблизити нахил дотичної лінії до$f$ наступних точок: (-1,0), (0, -1) та (2,3).
(б) Використовуючи визначення, знайдіть$f'(x)$.
(c) Знайти нахил дотичної лінії в точках (-1,0), (0, -1) і (2,3).

25. Графік$f(x)=\frac{1}{x+1}$ показаний.
(a) Використовуйте графік, щоб наблизити нахил дотичної лінії до$f$ наступних точок: (0,1) та (1, 0,5).
(б) Використовуючи визначення, знайдіть$f'(x)$.
(c) Знайти нахил дотичної лінії в точках (0, 1) і (1, 0,5).

У вправах 26-29$f(x)$ наведено графік функції. Використовуючи графік, ескіз$f'(x)$.

26.

27.

28.

29.

30. Скориставшись графіком$g(x)$ нижче, дайте відповідь на наступні питання.
(а) Де знаходиться$g(x)>0$?
(б) Де знаходиться$g(x)<0$?
(c) Де знаходиться$g(x)=0$?
(г) Де знаходиться$g'(x)<0$?
(е) Де знаходиться$g'(x)>0$?
(f) Де знаходиться$g'(x)=0$?

Рецензія

31. Орієнтовний$\lim\limits_{x\to 5}\frac{x^2+2x-35}{x^2-10.5+27.5}$.

32. Використовуйте метод бісекції, щоб наблизити, з точністю до двох знаків після коми, корінь$g(x)=x^3+x^2+x-1$ on [0.5, 0.6].

33. Дайте інтервали, на яких кожна з наступних функцій є безперервною.
(а)$\frac{1}{e^x+1}$
(б)$\frac{1}{e^x-1}$
(с)$\sqrt{5-x}$
(г)$\sqrt{5-x^2}$

34. Скористайтеся графіком$f(x)$ наданого, щоб відповісти на наступне.
(а)$\lim\limits_{x\to-3^-}f(x)=?$
(b)$\lim\limits_{x\to-3^+}f(x)=?$
(c)$\lim\limits_{x\to-3}f(x)=?$
(d) Де є$f$ безперервним?

2.2: Тлумачення похідної

Терміни та поняття

1. Як називається миттєва швидкість зміни позиції?

2. З огляду на функцію$y = f(x)$, своїми словами опишіть, як знайти одиниці виміру$f ′ (x)$.

3. Які функції мають постійну швидкість зміни?

Проблеми

4. Дано$f(5=10\text{ and }f'(5)=2$, приблизний$f(6)$.

5. Дано$P(100) = −67$ і$P ′ (100) = 5$, приблизний$P(110)$.

6. Дано$z(25) = 187$ і$z ′ (25) = 17$, приблизний$z(20)$.

7. Знаючи$f(10) = 25$$f ′ (10) = 5$ і методи, описані в цьому розділі, яке наближення, швидше за все, буде найбільш точним:$f(10.1),\, f(11),\text{ or }f(20)$? Поясніть свої міркування.

8. Дано$f(7) = 26\text{ and }f(8) = 22$, приблизний$f ′ (7)$.

9. Дано$H(0) = 17$ і$H(2) = 29$, приблизний$H ′ (2)$.

10. Дозвольте$V(x)$ виміряти обсяг, в децибелах, виміряний всередині ресторану з x клієнтами. Що являють собою одиниці$V ′ (x)$?

11. Дозвольте$v(t)$ виміряти швидкість, в ft/s, автомобіля, що рухається по прямій$t$ секундах після запуску. Що являють собою одиниці$v ′ (t)$?

12. Висота H, в футах, річки фіксується через$t$ години після півночі, 1 квітня. Що являють собою одиниці$H ′ (t)$?

13. $P$це прибуток у тисячах доларів від виробництва та продажу$c$ автомобілів.
(а) Які одиниці$P'(c)$?
(б) Що, ймовірно, вірно$P(0P$?

14. $T$температура в градусах Фаренгейта,$h$ годин після півночі 4 липня в Сіднеї, NE.
(а) Які одиниці$T ′ (h)$?
(b)$T ′ (8)$ Ймовірно, більше або менше 0? Чому?
(c)$T(8)$ Швидше за все більше або менше 0? Чому?

У вправах 15-18 наведені$f(x)\text{ and }g(x)$ графіки функцій. Визначте, яка функція є похідною від іншої.

15.

16.

17.

18.

Рецензія

У Вправи 19-20 використовуйте визначення для обчислення похідних наступних функцій.

19. $f(x) =5x^2$

20. $f(x) = \sqrt{x}\text{ at }x=9$.

У вправах 21-22 чисельно наближають значення$f'(x)$ при вказаному значенні х.

21. $f(x) =\cos x\text{ at }x=\pi$.

22. $f(x) = \sqrt{x}\text{ at }x=9$.

2.3: Основні правила диференціації

Терміни та поняття

1. Як називається правило, яке говорить$\frac{d}{ dx} ( x^n ) = nx^{n-1}$, що, де$n > 0$ ціле число?

2. Що таке$\frac{d}{dx} \left ( \ln x \right )$?

3. Наведіть приклад функції f (x) де$f ′ (x) = f(x)$.

4. Наведіть приклад функції$f(x)\text{ where }f ′ (x) = 0$.

5. Похідні правила, введені в цьому розділі, пояснюють, як обчислити похідну якої з наступних функцій?

• $f(x) = \frac{3}{x^2}$
• $g(x) = 3x^2-x+17$
• $h(x)=5\ln x$
• $j(x) = \sin x \cos x$
• $k(x)=e^{x^2}$
• $m(x)=\sqrt{x}$

6. Поясніть своїми словами, як знайти третю похідну функції$f(x)$.

7. Наведіть приклад функції де$f ′ (x) \ne 0\text{ and }f ′′(x) = 0$.

8. Поясніть своїми словами, що означає друга похідна.

9. Якщо$f(x)$ описує позиційну функцію, то$f ′ (x)$ описує яку функцію? Що це за функція$f ′′(x)$?

10. $f(x)$Дозволяти функція вимірюється в фунтах, де х вимірюється в футах. Що являють собою одиниці$f ′′(x)$?

Проблеми

У вправах 11-25 обчислити похідну заданої функції.

11. $f(x) = 7x^2-5x+7$

12. $g(x) = 14x^3+7x^2+11x-29$

13. $m(t) = 9t^2-\frac{1}{8}t^3+3t-8$

14. $f(\theta) = 9\sin \theta + 10 \cos \theta$

15. $f(r) =6e^r$

16. $g(t)=10t^4-\cos t+7\sin t$

17. $f(x)=2\ln x - x$

18. $p(s) = \frac{1}{4}s^4+\frac{1}{3}s^3+\frac{1}{2}s^2+s+1$

19. $h(t) = e^t -\sin t -\cos t$

20. $f(x)=\ln (5x^2)$

21. $f(t) = \ln (17) +e^2+\sin \pi /2$

22. $g(t)=(1+3t)^2$

23. $g(x)=(2x-5)^3$

24. $f(x)=(1-x)^3$

25. $f(x) = (2-3x)^2$

26. Властивість логарифмів полягає в тому$\log_a x = \frac{\log_bx}{\log_b a}$, що для всіх основ a, b> 0,$\ne1$.
(a) Перепишіть цей ідентифікатор$b=e$, коли, тобто, використовуючи$\log e x=\ln x$.
(b) Використовуйте частину (а), щоб знайти похідну від$y=\log_a x$.
(c) Дайте похідне від$y=\log_{10}x$.

У Вправах 27-32 обчислити перші чотири похідні даної функції.

27. $f(x) = x^6$

28. $g(x) = 2\cos x$

29. $h(t) =t^2-e^t$

30. $p(\theta)=\theta^4-\theta^3$

31. $f(\theta)=\sin \theta - \cos \theta$

32. $f(x) = 1,100$

У вправах 33-38 знайти рівняння дотичної і нормальної ліній до графіка функції в заданій точці.

33. $f(x) =x^3-x\text{ at }x=1$

34. $f(t) =e^t\text{ at }t=0$

35. $g(x) = \ln x \text{ at } t=0$

36. $f(x) = 4\sin x \text{ at }x=\pi/2$

37. $f(x) = -2\cos x \text{ at }x=\pi/4$

38. $f(x) = 2x+3\text{ at } x=5$

Рецензія

39. Враховуючи це$e^0=1$, наближається значення$e^{0.1}$ за допомогою дотичної лінії до$f(x)=e^x\text{ at }x=0$.

40. Орієнтовна величина$(3.01)^4$ використання дотичної лінії до$f(x) = x^4\text{ at }x=3$.

2.4: Правила продукту та коефіцієнта

Терміни та поняття

1. T/F: Правило продукту стверджує, що$frac{d}{dx}\left ( x^2\sin x\right ) = 2x\cos x$.

2. T/F: Правило частки стверджує, що$\frac{d}{dx}\left ( \frac{x^2}{\sin x}\right ) = \frac{\cos x}{2x}$.

3. T/F: Похідні тригонометричних функцій, які починаються з «c», мають в них знаки мінуса.

4. Яке похідне правило використовується для розширення Правила влади, щоб включити від'ємні цілі показники?

5. T/F: Незалежно від функції, завжди існує точно один правильний спосіб обчислення її похідної.

6. Своїми словами поясніть, що означає зробити свої відповіді «зрозумілими».

Проблеми

У вправах 7-10:
(а) Використовуйте Правило продукту для диференціації функції.
(b) Маніпулювати функцією алгебраїчно і диференціювати без правила продукту.
(c) Показати, що відповіді з (a) і (b) рівнозначні.

7. $f(x) =x(x^2+3x)$

8. $g(x) =2x^2(5x^3)$

9. $h(s)=(2s-1)(s+4)$

10. $f(x) = (x^2+5)(3-x^3)$

У вправах 11-14:
(a) Використовуйте часткове правило для диференціації функції.
(b) Маніпулювати функцією алгебраїчно та диференціювати без правила частки.
(c) Показує, що відповіді з (a) та (b) еквівалентні.

11. $f(x) = \frac{x^2+3}{x}$

12. $g(x) = \frac{x^3-2x^2}{2x^2}$

13. $h(s)=\frac{3}{4s^3}$

14. $f(t) = \frac{t^2-1}{t+1}$

У вправах 15-29 обчислити похідну заданої функції.

15. $f(x) =x\sin x$

16. $f(t)=\frac{1}{t^2}(\csc t -4)$

17. $g(x) = \frac{x+7}{x-5}$

18. $g(t) = \frac{t^5}{\cos t -2t^2}$

19. $h(x) = \cot x-e^x$

20. $h(t) = 7t^2+6t-2$

21. $f(x) = \frac{x^4+2x^3}{x^2}$

22. $f(x) = (16x^3+24x^2+3x)\frac{7x-1}{16x^3+24x^2+3x}$

23. $f(t) = t^5(\sec t+e^t)$

24. $f(x) = \frac{\sin x}{\cos x+3}$

25. $g(x) = e^2 \left ( \sin (\pi/4)-1\right )$

26. $g(t) = 4t^3e^t -\sin t\cos t$

27. $h(t) = \frac{t^2 \sin t +3}{t^2\cos t +2}$

28. $f(x)=x^2e^x\tan x$

29. $g(x) = 2x\sin x \sec x$

У вправах 30-33 знайти рівняння дотичної і нормальної ліній до графіка$g$ в зазначеній точці.

30. $g(s)=e^s (s^2+2)\text{ at }(0,2)$.

31. $g(t) = t\sin t\text{ at }\left (\frac{3\pi}{2},\frac{-3\pi}{2}\right )$

32. $g(x) = \frac{x^2}{x-1}\text{ at }(2,4)$.

33. $g(\theta)=\frac{\cos \theta -8\theta}{\theta +1}\text{ at }(0,-5)$

У вправах 34-37 знайдіть значення x, де графік функції має горизонтальну дотичну лінію.

34. $f(x) = 6x^2-18x-24$

35. $f(x)=x\sin x\text{ on }[-1,1]$

36. $f(x)=\frac{x}{x+1}$

37. $f(x)=\frac{x^2}{x+1}$

У Вправи 38-41 знайдіть запитувану похідну.

38. $f(x) = x\sin x;\text{ find }f''(x)$.

39. $f(x) = x\sin x;\text{ find }f^{(4)}(x)$.

40. $f(x) = \csc x;\text{ find }f''(x)$.

41. $f(x) = (x^3-5x+2)(x^2+x-7);\text{ find }f^{(8)}(x)$.

У вправах 42-45 використовуйте графік$f(x)$ для ескізу$f'(x)$.

42.

43.

44.

45.

2.5: Правило ланцюга

Терміни та поняття

1. T/F: Правило ланцюга описує, як оцінити похідну від складу функцій.

2. T/F: Узагальнене правило влади стверджує, що$\frac{d}{dx}\left ( g(x)^n \right ) = n\left ( g(x)\right )^{n-1}$.

3. Т/Ф:$\frac{d}{dx}\left ( \ln (x^2)\right )=\frac{1}{x^2}$.

4. Т/Ф:$\frac{d}{dx} (3^x) \approx 1.1 \cdot 3^x$.

5. Т/Ф:$\frac{dx}{dy} = \frac{dx}{dt}\cdot\frac{dt}{dy}$

6. T/F: Прийняття похідного$f(x)=x^2\sin (5x)$ вимагає використання як правил продукту, так і ланцюга.

Проблеми

У вправах 7-28 обчислити похідні даної функції.

7. $f(x) = \left ( 4x^3-x \right ) ^10$

8. $f(t) = \left ( 3t-2 \right ) ^5$

9. $g(\theta) = \left ( \sin \theta +\cos \theta \right ) ^3$

10. $h(t)-e^{3t^2+y-1}$

11. $f(x) = \left ( x+\frac{1}{x}\right )^4$

12. $f(x) = \cos (3x)$

13. $g(x) =\tan (5x)$

14. $h(t) = \sin^4 (2t)$

15. $p(t) = \cos^3 (t^2+3t+1)$

16. $f(x) = \ln (\cos x)$

17. $f(x) = \ln (x^2)$

18. $f(x) = 2\ln (x)$

19. $g(r) = 4^r$

20. $g(t) = 5^{\cos t}$

21. $g(t) = 15^2$

22. $m(w) = \frac{3^w}{2^w}$

23. $h(t) = \frac{2^t+3}{3^t+2}$

24. $m(w) = \frac{3^w+1}{2^w}$

25. $f(x) = \frac{3^{x^2}+x}{2^{x^2}}$

26. $f(x) =x^2\sin (5x)$

27. $g(t) = \cos (t^2+3t)\sin (5t-7)$

28. $g(t) = \cos (\frac{1}{t})e^{5t^2}$

У вправах 29-32 знайти рівняння дотичної і нормальної ліній до графіка функції в заданій точці. Примітка: функції тут такі ж, як у Вправи 7 по 10.

29. $f(x) = \left ( 4x^3 -x\right )^{10}\text{ at }x=0$

30. $f(t) = \left ( 3t-2\right )^5\text{ at }t=1$

31. $g(\theta) = \left ( \sin \theta +\cos \theta \right )^3\text{ at }\theta=\pi/2$

32. $h(t) = e^{3t^2+t-1}\text{ at }t=-1$

33. Обчислити$\frac{d}{dx}\left ( \ln (kx)\right )$ два способи:
(а) Використовуючи правило Ланцюга, і
(b) спочатку використовуючи правило логарифма$\ln (ab)=\ln a +\ln b$, потім беручи похідну.

34. Обчислити$\frac{d}{dx}\left ( \ln (x^k)\right )$ два способи:
(а) Використовуючи правило ланцюга, і
(b) спочатку використовуючи правило логарифма$\ln (a^p)=p\ln a$, потім беручи похідну.

Рецензія

35. «Коефіцієнт холоду вітру» - це вимір того, наскільки холодно він «відчуває» під час холодної, вітряної погоди. $W(w)$Дозволяти бути фактор холоду вітру, в градусах Фаренгейта, коли це 25 F зовні з вітром$w$ миль/год.
(а) Які одиниці$W' (w)$?
(б) Яким би ви очікували, що знак буде?$W'(10)$

36. Знайдіть похідні наступних функцій.
(а)$f(x) =x^2e^x\cot x$
(б)$g(x) = 2^x3^x4^x$

2.6: Неявна диференціація

Терміни та поняття

1. Своїми словами поясніть різницю між неявними функціями і явними функціями.

2. Неявна диференціація базується на тому, яке інше правило диференціації?

3. T/F: Неявна диференціація може бути використана для пошуку похідної$y=\sqrt{x}$.

4. T/F: Неявна диференціація може бути використана для пошуку похідної$y=x^{3/4}$.

Проблеми

У вправах 5-12 обчислити похідну заданої функції.

5. $f(x) =\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$

6. $f(x) = \sqrt[3]{x}+x^{2/3}$

7. $f(x) =\sqrt{1-t^2}$

8. $g(t) = \sqrt{t}\sin t$

9. $h(x) =x^{1.5}$

10. $f(x)=x^\pi +x^{1.9}+\pi^{1.9}$

11. $g(x) = \frac{x+7}{\sqrt{x}}$

12. $f(t) = \sqrt[5]{t}\left (\sec t +e^t \right )$

У вправах 13-25 знайдіть,$\frac{dy}{dx}$ використовуючи неявну диференціацію.

13. $x^4+y^2+y=7$

14. $x^{2/5}+y^{2/5} = 1$

15. $\cos (x) +\sin (y)=1$

16. $frac{x}{y}=10$

17. $\frac{y}{x} =10$

18. $x^2e^2+2^y=5$

19. $x^2\tan y=50$

20. $\left ( 3x^2+2y^3\right )^4=2$

21. $\left (y^2+2y-x\right )^2 =200$

22. $\frac{x^2+y}{x+y^2}=17$

23. $\frac{\sin (x)+y}{\cos (y) +x}=1$

24. $\ln (x^2+y^2 )=e$

25. $\ln \left (x^2+xy+y^2\right )=1$

26. Показати,$\frac{dy}{dx}$ що однаково для кожної з наступних неявно визначених функцій.
(а)$xy=1$
(б)$x^2y^2=1$
(с)$\sin (xy)=1$
(г)$\ln (xy)=1$

У Вправах 27-31 знайти рівняння дотичної прямої до графіка неявно певної функції в зазначених точках. В якості наочного посібника кожна функція графічна.

27. $x^{2/5}+y^{2/5} =1$
(а) При (1,0)
(б) При (0,1, 0,281) (який точно не лежить на кривій, але знаходиться дуже близько).

28. $x^4+y^4=1$
(а) При (1,0).
(б) В$(\sqrt{0.6},\sqrt{0.8})$.
(c) При (0,1).

29. $(x^2+y^2-4)^3=108y^2$
(а) При (0,4).
(б) В$(2,-\sqrt[4]{108})$

30. $(x^2+y^2+x)^2=x^2+y^2$
(а) При (0,1).
(б) В$\left ( -\frac{3}{4},\frac{3\sqrt{3}}{4}\right )$.

31. $(x-2)^2+(y-3)^2=9$
(а) В$\left ( \frac{7}{2},\frac{6+3\sqrt{3}}{2}\right )$.
(б) В$\left ( \frac{4+3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right )$.

У Вправах 32-35 задана неявно визначена функція. Знайти$\frac{d^y}{dx^2}$. Примітка: це ті самі проблеми, які використовуються у вправах 13-16.

32. $x^4+y^2+y=7$

33. $x^{2/5}+y^{2/5}=1$

34. $\cos x +\sin y =1$

35. $\frac{x}{y} =10$

У вправах 36-41 використовуйте логарифмічну диференціацію, щоб знайти$\frac{dy}{dx}$, а потім знайти рівняння дотичної прямої при вказаному значенні x.

36. $y=\left ( 1+x\right )^{1/x},\quad x=1$

37. $y=2x^{x^2},\quad x=1$

38. $y=\frac{x^x}{x+1},\quad x=1$

39. $y=x^{\sin (x)+2},\quad x=1$

40. $y=\frac{x+1}{x+2},\quad x=1$

41. $y=\frac{(x+1)(x+2)}{(x+3)(x+4)},\quad x=1$

2.7: Похідні обернених функцій

Терміни та поняття

1. T/F: Кожна функція має зворотну.

2. Своїми словами поясніть, що означає для функції бути «один на один».

3. Якщо (1,10) лежить на графіку$y=f(x)$, що можна сказати про графік$y=f^{-1}(x)$?

4. Якщо (1,10) лежить на графіку$y=f(x)\text{ and }f'(1)=5,$ того, про що можна сказати$y=f^{-1}(x)$?

Проблеми

У вправах 5-8 переконайтеся, що дані функції є зворотними.

5. $f(x) =2x+6\text{ and }g(x)=\frac{1}{2}x-3$

6. $f(x) = x^2+6x+11,\,x\ge 3$і$g(x) = \sqrt{x-2}-3,\, x\ge 2$

7. $f(x) = \frac{3}{x-5},\,x\ne 5$і$g(x) = \frac{3+5x}{x},\, x\ne 0$

8. $f(x) = \frac{x+1}{x-1},\, x\ne 1\text{ and }g(x)=f(x)$

У вправах 9-14$f(x)$ дається оборотна функція разом з точкою, яка лежить на її графіку. Використовуючи теорему 22, оцініть$\left ( f^{-1}\right )^\prime (x)$ за вказаною величиною.

9. $f(x)=5x+10$
Точка = (2,20)
Оцінити$\left ( f^{-1}\right )^\prime (20)$

10. $f(x)=x^2-2x+4,\,x\ge 1$
Точка =$(3,7)$
Оцінити$\left ( f^{-1}\right )^\prime (7)$

11. $f(x)=\sin 2x,\,-\pi/4 \le x \le \pi/4$
Точка =$(\pi/6,\sqrt{3}/2)$
Оцінити$\left ( f^{-1}\right )^\prime (\sqrt{3}/2)$

12. $f(x)=x^3-6x^2+15x-2$
Точка =$(1,8)$
Оцінити$\left ( f^{-1}\right )^\prime (8)$

13. $f(x)=\frac{1}{1+x^2},\,x\ge 0$
Точка =$(1,1/2)$
Оцінити$\left ( f^{-1}\right )^\prime (1/2)$

14. $f(x)=6e^{3x}$
Точка =$(0,6)$
Оцінити$\left ( f^{-1}\right )^\prime (6)$

У вправах 15-24 обчислити похідну заданої функції.

15. $h(t) = \sin^{-1}(2t)$

16. $f(t) = \sec^{-1}(2t)$

17. $g(x) = \tan^{-1}(2x)$

18. $f(x) = x\sin^{-1}(x)$

19. $g(t) = \sin t \cos^{-1}t$

20. $f(t) = \ln te^t$

21. $h(x) = \frac{\sin^{-1}x}{\cos^{-1}x}$

22. $g(x) = \tan^{-1}(\sqrt{x})$

23. $f(x) = \sec^{-1}(1/x)$

24. $f(x) = \sin (\sin^{-1}x)$

У вправах 25-27 обчислити похідну даної функції двома способами:
(а) спростивши спочатку, потім взявши похідну, і
(б) використовуючи спочатку правило ланцюга, а потім спрощуючи.

Дуже, що дві відповіді однакові.

25. $f(x) = \sin \left ( \sin^{-1}x\right )$

26. $f(x) =\tan^{-1} (\tan x)$

27. $f(x)=\sin \left (\cos^{-1}x\right )$

У вправах 28-29 знайти рівняння прямої дотичної до графіка$f$ за вказаною величиною.

28. $f(x)=\sin^{-1}x\text{ at }x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

29. $f(x)=\cos^{-1}(2x)\text{ at }x=\frac{\sqrt{3}}{4}$

Рецензія

30. Знайти$\frac{dy}{dx}$, де$x^2y-y^2x=1$.

31. Знайдіть рівняння прямої дотичної до графіка$x^2+y^2+xy=7$ в точці (1,2).

32. Нехай$f(x) =x^3+x$. Оцінити$\lim\limits_{s\to 0}\frac{f(x+s)-f(x)}{s}$.