2.4: Правила продукту та коефіцієнта

Попередній розділ показав, що в деякому сенсі похідні поводяться красиво. Правила постійної кратної та суми/різниці встановили, що похідна не$f(x) = 5x^2+\sin x$ була складною. Ми нехтували обчисленням похідних від таких речей, як$g(x) = 5x^2\sin x$ і$h(x) = \frac{5x^2}{\sin x}$ за призначенням; їх похідні не такі прості. (Якби вам довелося здогадатися, що їх відповідні похідні, ви, мабуть, здогадалися б неправильно.) Для них нам потрібні відповідно Правила продукту та Коефіцієнту, які визначені в цьому розділі.

Починаємо з правила продукту.

Теорема 14: Правило продукту

$g$Дозволяти$f$ і бути диференційовні функції на відкритому інтервалі$I$. Тоді$fg$ є диференційованою функцією на$I$, і $$\frac{d}{dx}\Big(f(x)g(x)\Big) = f(x)g^\prime(x) + f^\prime(x)g(x).$$

Важливо:$\frac{d}{dx}\Big(f(x)g(x)\Big) \neq f^\prime(x)g^\prime(x)$! Хоча ця відповідь простіша, ніж Правило продукту, вона неправильна.

Ми практикуємо використання цього нового правила на прикладі, а потім приклад, який демонструє, чому ця теорема вірна.

Приклад 49: Використання правила продукту

Використовуйте Правило продукту для обчислення похідної від$y=5x^2\sin x$. Оцініть похідну при$x=\pi/2$.

Рішення

Щоб зробити використання Правил продукту явним, давайте встановимо$f(x) = 5x^2$ і$g(x) = \sin x$. Ми легко обчислювати/нагадаємо, що$f^\prime(x) = 10x$ і$g^\prime (x) = \cos x$. Застосовуючи правило, ми маємо $$\frac{d}{dx}\Big(5x^2\sin x\Big) = 5x^2\cos x + 10x\sin x.$$

На$x=\pi/2$, у нас є $$y^\prime (\pi/2) = 5\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\cos \left(\frac{\pi}2\right) + 10\frac{\pi}2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 5\pi.$$ Ми граф$y$ і його дотична лінія в$x=\pi/2$, яка має нахил$5\pi$, на малюнку 2.15. Хоча це не доводить, що Правило продукту є правильним способом обробки похідних продуктів, це допомагає підтвердити його істинність.

Малюнок 2.15: Графік$y=5x^2\sin x$ і його дотична лінія в$x=\pi /2$.

Зараз ми досліджуємо, чому Правило продукту є істинним.

Приклад 50: Підтвердження правила продукту

Використовуйте визначення похідної для доведення теореми 14.

Рішення

За визначенням межі ми маємо

$$\frac{d}{dx}\Big(f(x)g(x)\Big) =\lim_{h\to0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}.$$

Тепер ми робимо щось трохи несподіване; додати 0 до чисельника (щоб нічого не змінилося) у вигляді$-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)$, а потім зробити деякі перегрупування, як показано.

$$\begin{align*}\frac{d}{dx}\Big(f(x)g(x)\Big) &=\lim_{h\to0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \quad \text{(now add 0 to the numerator)}\\ &= \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h} \quad \text{(regroup)} \\ &= \lim_{h\to0} \frac{\Big(f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)\Big)+\Big(f(x+h)g(x)-f(x)g(x)\Big)}{h}\\ &= \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)}{h}+\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}\quad\text{(factor)}\\ &=\lim_{h\to0} f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x)\quad \text{(apply limits)}\\ &=f(x)g^\prime(x) + f^\prime(x)g(x) \end{align*}$$

Часто вірно, що ми можемо визнати, що теорема вірна через її доказ, але якимось чином сумнівається в її застосовності до реальних проблем. У наступному прикладі ми обчислюємо похідну добутку функцій двома способами, щоб переконатися, що Правило продукту дійсно «правильне».

Приклад 51: Вивчення альтернативних похідних методів

Нехай$y = (x^2+3x+1)(2x^2-3x+1)$. Знайдіть$y^prime$ два шляхи: по-перше, шляхом розширення даного продукту, а потім взяття похідної, і по-друге, застосовуючи Правило продукту. Переконайтеся, що обидва методи дають однакову відповідь.

Рішення

Спочатку ми розгорнемо вираз для$y$; трохи алгебри показує, що$y = 2x^4+3x^3-6x^2+1$. Легко піддається обчисленню$y^\prime$; $$y^\prime = 8x^3+9x^2-12x.$$

Тепер застосуйте Правило продукту.

$$\begin{align*}y^\prime &= (x^2+3x+1)(4x-3)+(2x+3)(2x^2-3x+1) \\ &= \big(4x^3+9x^2-5x-3\big) + \big(4x^3-7x+3\big)\\ & = 8x^3+9x^2-12x. \end{align*}$$

Неінформовані зазвичай припускають, що «похідна продукту є продуктом похідних». Таким чином, ми спокушаємося сказати це$y^\prime = (2x+3)(4x-3) = 8x^2+6x-9$. Очевидно, що це не правильно.

Приклад 52: Використання правила продукту з добутком цих трьох функцій

Нехай$y = x^3\ln x\cos x$. Знайти$y^\prime$.

Рішення

У нас є добуток трьох функцій, тоді як Правило продукту лише визначає, як обробляти добуток двох функцій. Наш метод вирішення цієї проблеми полягає в тому, щоб просто згрупувати останні дві функції разом, і розглянути$y = x^3\big(\ln x\cos x\big)$. Дотримуючись правила продукту, ми маємо

\[\begin{align*} y^\prime &= (x^3)\big(\ln x\cos x\big)' + 3x^2\big(\ln x\cos x\big) \\ &\text{To evaluate $\big(\ln x\cos x\big)^\prime$, we apply the Product Rule again:}\\ &= (x^3)\big(\ln x(-\sin x) + \frac1x\cos x\big)+ 3x^2\big(\ln x\cos x\big)\\ &= x^3\ln x(-\sin x) + x^3\frac1x\cos x+ 3x^2\ln x\cos x \end{align*}\]

Розпізнайте закономірність у нашій відповіді вище: при застосуванні Правила продукту до добутку з трьох функцій в кінцевій похідній є три терміни, складені разом. Кожен термін містить лише одну похідну від однієї з початкових функцій, і похідна кожної функції відображається лише в одному терміні. Це просто розширити цей шаблон на пошук похідної добутку 4 або більше функцій.

Розглянемо ще один приклад, перш ніж обговорювати інше похідне правило.

Приклад 53: Використання правила продукту

Знайдіть похідні наступних функцій.

1. $f(x) = x\ln x$
2. $g(x) = x\ln x - x$.

Рішення:

Згадуючи, що похідне від$\ln x$ є$1/x$, ми використовуємо Правило продукту, щоб знайти наші відповіді.

1. $\frac{d}{dx}\Big(x\ln x\Big) = x\cdot 1/x + 1\cdot \ln x = 1+\ln x$.
2. Використовуючи результат зверху, обчислюємо $$\frac{d}{dx}\Big(x\ln x-x\Big) = 1+\ln x-1 = \ln x.$$

Це здається значним; якщо функція природного журналу$\ln x$ є важливою функцією (вона є), здається, варто знати функцію, похідна якої є$\ln x$. Ми знайшли один. (Ми залишаємо читачеві знайти іншого; правильна відповідь буде дуже схожа на цю.)

Ми навчилися обчислювати похідні сум, відмінностей та добутків функцій. Тепер ми дізнаємося, як знайти похідну від частки функцій.

Теорема 15: Частотне правило

$f$$g$Дозволяти і бути функції визначені на відкритому інтервалі$I$, де$g(x) \neq 0$ на$I$. Потім$f/g$ диференціюється на$I$, і

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{g(x)f^\prime(x) - f(x)g^\prime(x)}{g(x)^2}.$$

Правило частки не важко використовувати, хоча це може бути трохи складним для запам'ятовування. Корисна мнемоніка працює наступним чином. Розглянемо чисельник і знаменник дробу як «HI» і «LO» відповідно. Потім $$\frac{d}{dx}\left(\frac{\text{HI}}{\text{LO}}\right) = \frac{\text{LO}\cdot \text{dHI} - \text{HI} \cdot \text{dLO}}{\text{LOLO}},$$ прочитайте «низький dee високий мінус високий dee низький, над низьким низьким». Сказавши швидко, ця фраза може скочуватися з мови, що полегшує запам'ятовування. Частини «dee high» і «dee low» відносяться до похідних чисельника і знаменника відповідно.

Давайте потренуємося, використовуючи правило частки.

Приклад 54: Використання правила частки

Нехай$f(x) = \frac{5x^2}{\sin x}$. Знайти$f^\prime(x)$.

Рішення

Безпосередньо застосування правила частки дає:

$$\begin{align*} \frac{d}{dx}\left(\frac{5x^2}{\sin x}\right) &= \frac{\sin x\cdot 10x - 5x^2\cdot \cos x}{\sin^2x} \\ &= \frac{10x\sin x - 5x^2\cos x}{\sin^2 x}. \end{align*}$$

Правило частки дозволяє заповнити дірки в нашому розумінні похідних загальних тригонометричних функцій. Почнемо з знаходження похідної від тангенсної функції.

Приклад 55

Використання правила частки для пошуку$\frac{d}{dx}\big(\tan x\big)$.

Знайдіть похідну від$y=\tan x$.

Рішення

Спочатку можна відчути себе неозброєним, щоб відповісти на це питання. Але нагадайте$\tan x = \sin x/\cos x$, що, щоб ми могли застосувати правило частки.

$$\begin{align*} \frac{d}{dx}\Big(\tan x\Big) &= \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) \\ &= \frac{\cos x \cos x - \sin x (-\sin x)}{\cos^2 x} \\ &= \frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}\\ &= \frac{1}{\cos^2x} \\ &= \sec ^2 x. \end{align*}$$

Це прекрасний результат. Щоб підтвердити його істинність, ми можемо знайти рівняння дотичної прямої до$y=\tan x$ at$x=\pi/4$. Ухил є$\sec^2(\pi/4) = 2$;$y=\tan x$ разом з його дотичною лінією зображений на малюнку 2.16.

Малюнок 2.16: Графік$y=\tan x$ разом з його дотичною лінією в$x=\pi /4$.

Цей результат ми включимо в наступну теорему про похідні тригонометричних функцій. Нагадаємо, ми знайшли похідну$y=\sin x$ у прикладі 38 і виклали похідну косинусної функції в теоремі 12. Похідні котангенсної, косекансної та секансної функцій можна обчислити безпосередньо за допомогою теореми 12 та правила частки.

Теорема 16: Похідні тригонометричних функцій

Щоб запам'ятати вищесказане, може бути корисно мати на увазі, що похідні тригонометричних функцій, які починаються з «c», мають в них знак мінус.

Приклад 56: Вивчення альтернативних похідних методів

У прикладі 54 похідне від$f(x) = \frac{5x^2}{\sin x}$ було знайдено за допомогою правила частки. Переписуючи$f$ як$f(x) = 5x^2\csc x$, знайдіть$f^\prime$ за допомогою теореми 16 і переконайтеся, що дві відповіді однакові.}

Рішення

Ми знайшли в прикладі 54, що$f^\prime(x) = \frac{10x\sin x - 5x^2\cos x}{\sin^2 x}$. Тепер ми знаходимо,$f^\prime$ використовуючи Правило продукту, розглядаючи$f$ як$f(x) = 5x^2\csc x$.

$$\begin{align*} f^\prime(x) &= \frac{d}{dx}\Big(5x^2\csc x\Big) \\ &= 5x^2(-\csc x\cot x) + 10x\csc x \quad \text{(now rewrite trig functions)}\\ &= 5x^2\cdot \frac{-1}{\sin x}\cdot \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{10x}{\sin x}\\ &= \frac{-5x^2\cos x}{\sin ^2x}+\frac{10x}{\sin x}\quad \text{(get common denominator)}\\ &= \frac{10x\sin x - 5x^2\cos x}{\sin^2x} \end{align*}$$

Пошук$f^\prime$ за допомогою будь-якого методу повертав той самий результат. Спочатку відповіді виглядали інакше, але деяка алгебра підтверджувала, що вони однакові. Загалом, немає жодної остаточної форми, яку ми шукаємо; безпосередній результат Правил продукту є прекрасним. Працюйте, щоб «спростити» ваші результати в форму, яка є найбільш читабельною і корисною для вас.

Правило частки дає інші корисні результати, як показано в наступному прикладі.

Приклад 57: Використання правила частки для розгортання правила влади

Знайдіть похідні наступних функцій.

1. $f(x) = \frac{1}{x}$
2. $f(x)= \frac{1}{x^n}$, Де$n>0$ є цілим числом.

Рішення

Ми використовуємо правило частки.

1. $f^\prime(x) = \frac{x\cdot 0 - 1\cdot 1}{x^2} = -\frac{1}{x^2}$.
2. $f^\prime(x) = \frac{x^n\cdot 0 - 1\cdot nx^{n-1}}{(x^n)^2} = -\frac{nx^{n-1}}{x^{2n}} = -\frac{n}{x^{n+1}}.$

Похідна від$y=\frac{1}{x^n}$ виявилася досить приємною. Це стає краще. Розглянемо:

$$\begin{align*} \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^n}\right) &= \frac{d}{dx}\Big(x^{-n}\Big)\quad \text{(apply result from Example 57)}\\ &= -\frac{n}{x^{n+1}}\text{(rewrite algebraically)} \\ &= -nx^{-(n+1)} \\ &= -nx^{-n-1}. \end{align*}$$

Це нагадує Правило Сили: помножте на потужність, потім відніміть 1 з потужності. Тепер ми додамо до нашого попереднього Правило влади, яке мало обмеження$n>0$.

Теорема 17: Правило потужності з цілими показниками

Нехай$f(x) = x^n$, де$n\neq 0$ ціле число. Тоді $$f^\prime(x) = n\cdot x^{n-1}.$$

Беручи похідну від багатьох функцій відносно просто. Зрозуміло (з практикою), які правила застосовуються і в якому порядку вони повинні застосовуватися. Інші функції мають декілька шляхів; залежно від способу обробки функції можуть застосовуватися різні правила. Однією з прекрасних речей у обчисленні є те, що немає «правильного» шляху; кожен шлях, при правильному застосуванні, призводить до того ж результату, похідної. Цю концепцію ми демонструємо на прикладі.

Приклад 58: Вивчення альтернативних похідних методів

Нехай$f(x) = \frac{x^2-3x+1}{x}$. Знайти$f^\prime(x)$ в кожному з наступних способів:

1. Застосовуючи правило частки,
2. за допомогою перегляду$f(x) = \big(x^2-3x+1\big)\cdot x^{-1}$ та застосування Правил продукту та харчування, а$f$ також
3. шляхом «спрощення\ primeskip» спочатку через поділ.

Переконайтеся, що всі три методи дають однаковий результат.

Рішення

1. Застосування правила частки дає: $$f^\prime(x) = \frac{x\cdot\big(2x-3\big)-\big(x^2-3x+1\big)\cdot 1}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2} = 1-\frac{1}{x^2}.$$
2. $f$Переписуючи, ми можемо застосувати Правила продукту та харчування наступним чином: той $$\begin{align*} f^\prime(x) &= \big(x^2-3x+1\big)\cdot (-1)x^{-2} + \big(2x-3\big)\cdot x^{-1} \\ &= -\frac{x^2-3x+1}{x^2}+\frac{2x-3}{x} \\ &= -\frac{x^2-3x+1}{x^2}+\frac{2x^2-3x}{x^2}\\ &= \frac{x^2-1}{x^2} = 1-\frac{1}{x^2}, \end{align*}$$ самий результат, що і вище.
3. Як$x\neq 0$, ми можемо розділити наскрізь$x$ спочатку, даючи$f(x) = x-3+\frac{1}x$. Тепер застосуйте Правило живлення. $$f^\prime(x) = 1-\frac{1}{x^2},$$ той же результат, що і раніше.

Приклад 58 демонструє три методи знаходження$f^\prime$. Один важко сперечатися за «найкращий метод», оскільки всі три дали однаковий результат без особливих труднощів, хоча зрозуміло, що використання правила продукту вимагало більше кроків. Зрештою, важливим принципом, який слід відняти від цього, є: звести відповідь до форми, яка здається «простою» і легкою для інтерпретації. У цьому прикладі ми бачили різні вирази для$f^\prime$, включаючи:

$$1-\frac{1}{x^2} = \frac{x\cdot\big(2x-3\big)-\big(x^2-3x+1\big)\cdot 1}{x^2} = \big(x^2-3x+1\big)\cdot (-1)x^{-2} + \big(2x-3\big)\cdot x^{-1}.$$

Вони рівні; всі вони правильні; тільки перше - «ясно». Працюйте, щоб відповіді були зрозумілими.

У наступному розділі ми продовжуємо вивчати правила, які дозволяють нам легше обчислювати похідні, ніж безпосередньо використовувати визначення межі. Ми повинні запам'ятати похідні певного набору функцій, таких як «похідна від$\sin x$ є»$\cos x$. Правила сума/різниці, постійної множини, потужності, продукту та коефіцієнта показують нам, як знайти похідні певних комбінацій цих функцій. У наступному розділі показано, як знайти похідні, коли ми складаємо ці функції разом.