У попередньому розділі були введені найбільш фундаментальні теми обчислення: межа. У цій главі представлена друга найбільш фундаментальна з тем обчислення: похідна. Обмеження описують, куди йде функція; похідні описують, як швидко відбувається функція.
Цей розділ потрапляє між «Що таке визначення похідної?» і «Як обчислити похідну?» секцій. Тут нас турбує «Що означає похідна?» , Або, можливо, при читанні з правильним наголосом: «Що таке похідна?» Ми пропонуємо дві взаємопов'язані інтерпретації похідної, сподіваємось, пояснюючи, чому ми дбаємо про це і чому вона гідна вивчення.
У цьому розділі (і в деяких розділах для наслідування) ми дізнаємось деякі з того, що математики вже виявили про похідні певних функцій та про те, як похідні взаємодіють з арифметичними операціями. Почнемо з теореми.
Попередній розділ показав, що в деякому сенсі похідні поводяться красиво. Однак похідні інших функцій не такі прості для них, нам потрібні відповідно Правила Product і Quotient, які визначені в цьому розділі.
Щоб завершити список правил диференціації, розглянемо останній спосіб об'єднання двох (або більше) функцій: процес композиції (тобто одна функція «всередині» іншої). Похідна від таких функцій композицій використовує нове правило, яке вводить цей розділ, - Правило ланцюга.
Іноді зв'язок між y і x не є явним; скоріше, це неявне. Іноді неявне співвідношення між x і y ускладнюється. У цьому випадку немає абсолютно ніякого способу вирішити для y з точки зору елементарних функцій. Дивно, однак, те, що ми все ще можемо знайти y′ за допомогою процесу, відомого як неявна диференціація.