2.2: Тлумачення похідної

У попередньому розділі визначено похідну функції та наведено приклади того, як її обчислити за допомогою її визначення (тобто з використанням обмежень). Розділ також розпочався з короткої мотивації до цього визначення, тобто знаходження миттєвої швидкості падаючого об'єкта з урахуванням його функції положення. Наступний розділ дасть нам більш доступні інструменти для обчислення похідної, інструменти, які легше використовувати, ніж багаторазове використання лімітів.

Цей розділ потрапляє між «Що таке визначення похідної?» і «Як обчислити похідну?» секцій. Тут нас турбує «Що означає похідна?» , Або, можливо, при читанні з правильним наголосом: «Що таке похідна?» Ми пропонуємо дві взаємопов'язані інтерпретації похідної, сподіваємось, пояснюючи, чому ми дбаємо про це і чому вона гідна вивчення.

Інтерпретація похідної #1: Миттєва швидкість зміни

Попередній розділ розпочався з прикладу використання положення об'єкта (в даному випадку падаючого атракціону — паркувальника) для визначення швидкості об'єкта. Цей тип прикладу часто використовується при введенні похідної, оскільки ми схильні легко розпізнати, що швидкість - це миттєва швидкість зміни положення. Загалом, якщо$f$ є функцією$x$, то$f^\prime(x)$ вимірює миттєву швидкість зміни$f$ щодо$x$. Іншими словами, похідна відповідає «Коли$x$ змінюється, з якою швидкістю$f$ змінюється?» Думаючи про атракціон - парк атракціонів, ми запитали: «Коли час змінився, з якою швидкістю змінювалася висота?» і знайшов відповідь «За -64 футів в секунду».

А тепер уявіть, як керуєте автомобілем і дивитеся на спідометр, на якому написано «60 миль/год». Через п'ять хвилин ви дивуєтеся, як далеко ви подорожували. Звичайно, багато речей могло статися за ці 5 хвилин; ви могли б навмисно прискорити значно, ви могли б прийти до повної зупинки, ви могли б сповільнитися до 20 миль/год, коли ви пройшли через будівництво. Але припустимо, що ви знаєте, як водій, нічого з цих речей не сталося. Ви знаєте, що підтримували досить послідовну швидкість протягом цих 5 хвилин. Що таке хороше наближення пройденої відстані?

Можна стверджувати, що єдине хороше наближення, враховуючи надану інформацію, базувалося б на «відстані =$\times$ час швидкості». У цьому випадку ми припускаємо постійну швидкість 60 миль/год з часом$5/60$ годин. Отже, ми б наближали відстань, пройдену як 5 миль.

Повертаючись до падіння атракціонів - парк їзди, знаючи, що$t=2$ на швидкості була$-64$ ft/s, ми могли б обґрунтовано припустити, що через 1 секунду висота вершників знизилася б приблизно на 64 фути. Знаючи, що вершники прискорюються, коли вони падали, повідомить нам, що це недо-наближення. Якби все, що ми знали$f^\prime(2) = -64$, що$f(2) = 86$ і, ми б знали, що нам доведеться зупинити вершників швидко, інакше вони вдарять об землю!

Одиниці похідної

Корисно розпізнавати одиниці похідної функції. Якщо$y$ є функцією$x$, тобто$y=f(x)$ для якоїсь функції$f$, і$y$ вимірюється в футах і$x$ в секундах, то одиниці «$y^\prime = f^\prime$фути в секунду», зазвичай пишуться як «ft/s». Загалом, якщо$y$ вимірюється в одиницях$P$ і$x$ вимірюється в одиницях$Q$, то$y'$ буде вимірюватися в одиницях "$P$за$Q$ «, або"»$P/Q$. Тут ми бачимо дробово-подібну поведінку похідної в позначеннях:

\[\text{the units of } \frac{dy}{dx} \text{ are } \frac{\text{units of $y$}}{\text{units of $x$}}.\]

Приклад 41: Значення похідної: Населення світу

Нехай$P(t)$ представляють світове населення$t$ хвилин після 12:00 ранку, 1 січня 2012 року. Це досить точно сказати, що$P(0) = 7,028,734,178$ (www.prb.org). Це також досить точно констатувати$P^\prime (0) = 156$; тобто опівночі 1 січня 2012 року населення світу зростало приблизно на 156 осіб в хвилину (зверніть увагу на одиниці). Через двадцять днів (або, 28 800 хвилин пізніше) ми могли б обґрунтовано припустити, що населення зросло приблизно на$28,800\cdot156 = 4,492,800$ людей.

Приклад 42: Значення похідної: Виробництво

Термін віджет - економічний термін для загальної одиниці виробничої продукції. Припустимо, компанія виробляє віджети і знає, що ринок підтримує ціну $10 за віджет. Нехай$P(n)$ дають прибуток, в доларах, зароблені виготовленням і продажем$n$ віджетів. Компанія, ймовірно, не може отримати (позитивний) прибуток, отримуючи лише один віджет; витрати на запуск, ймовірно, перевищать 10 доларів. Математично ми б написали це як$P(1) < 0$.

Що означають$P(1000) = 500$ і$P^\prime (1000)=0.25$ мають на увазі? Орієнтовний$P(1100)$.

Рішення:

Рівняння$P(1000)=500$ означає, що продаж 1000 віджетів повертає прибуток\ $500. Ми інтерпретуємо$P^\prime (1000) = 0.25$ як значення, що прибуток збільшується зі швидкістю 0,25 долара за віджет (одиниці - «долари за віджет»). Оскільки у нас немає іншої інформації для використання, наше найкраще$P(1100)$ наближення:

$$P(1100) \approx P(1000) + P^\prime (1000)\times 100 = \text{\$500} + 100 \cdot 0.25 = \text{\$525.}$$

Ми наближаємо, що продаж 1100 віджетів повертає прибуток у розмірі 525 доларів.

Попередні приклади використовували важливий інструмент наближення, який ми вперше використали у нашому попередньому прикладі «водіння автомобіля зі швидкістю 60 км/год» на початку цього розділу. Через п'ять хвилин після погляду на спідометр наше найкраще наближення для пройденої відстані припускало, що швидкість зміни була постійною. У прикладах 41 і 42 ми зробили подібні наближення. Нам дали інформацію про швидкість зміни, яку ми використовували для наближення загальної зміни. Умовно, ми б сказали, що

$$f(c+h) \approx f(c) + f^\prime(c)\cdot h.$$

Таке наближення найкраще, коли$h$ воно «маленьке». «Малий» - відносний термін; при спілкуванні зі світовим населенням$h=$ 22 дні = 28 800 хвилин - це мало в порівнянні з роками. При виготовленні віджетів 100 віджетів мало, коли планується виготовити тисячі.

Похідна і рух

Одним з найбільш фундаментальних застосувань похідної є вивчення руху. $s(t)$Дозволяти функція положення,$t$ де час і$s(t)$ відстань. Наприклад,$s$ можна виміряти висоту снаряда або відстань, яку пройшов об'єкт.

Давайте$s(t)$ виміряємо пройдену відстань, в футах, предмета після$t$ секунд подорожі. Потім$s^\prime (t)$ має одиниці «фути в секунду» і$s^\prime (t)$ вимірює миттєву швидкість зміни відстані - вона вимірює швидкість.

Тепер розглянемо$v(t)$, функція швидкості. Тобто, в той час$t$,$v(t)$ дає швидкість того чи іншого об'єкта. Похідна від$v$$v^\prime (t)$, дає миттєву швидкість зміни швидкості — прискорення. (Ми часто думаємо про прискорення з точки зору автомобілів: автомобіль може «піти від 0 до 60 за 4,8 секунди». Це середнє прискорення, вимір того, як швидко змінювалася швидкість.) Якщо швидкість вимірюється в футах в секунду, а час вимірюється в секундах, то одиницями прискорення (тобто одиницями$v^\prime (t)$) є «фути в секунду в секунду», або ($\text{(ft/s)/s}$). Ми часто скорочуємо це до «футів на секунду в квадраті»$\text{ft/s}^2$, або, але це, як правило, затуляє значення одиниць.

Мабуть, найбільш відоме прискорення - це гравітація. У цьому тексті ми використовуємо$g=32\text{ft/s}^2$ або$g=9.8\text{m/s}^2$. Що означають ці цифри?

Постійне прискорення 32$\text{(ft/s)/s}$ означає, що швидкість змінюється на 32 футів/с кожну секунду. Наприклад, нехай$v(t)$ вимірює швидкість м'яча, кинутого прямо в повітря, де$v$ має одиниці ft/s і$t$ вимірюється в секундах. М'яч матиме позитивну швидкість під час руху вгору і негативну швидкість при падінні вниз. Прискорення відбувається таким чином$-32\text{ft/s}^2$. Якщо$v(1) = 20$ ft/s, то коли$t=2$, швидкість зменшиться на 32ft/s; тобто$v(2) = -12$ ft/s. ми можемо продовжити:$v(3) = -44$ ft/s, і ми також можемо визначити, що$v(0) = 52$ ft/s.

Ці ідеї настільки важливі, що ми виписуємо їх як ключову ідею.

Ключова ідея 1: Похідна і рух

1. $s(t)$Дозволяти функція положення об'єкта. Потім$s^\prime (t)$ відбувається швидкісна функція об'єкта.
2. $v(t)$Дозволяти функція швидкості об'єкта. Потім$v^\prime (t)$ відбувається функція прискорення об'єкта.

Розглянемо тепер друге тлумачення похідної, наведене в цьому розділі. Це тлумачення жодним чином не є незалежним від першого; багато з одних і тих же понять будуть підкреслені, просто з дещо іншої точки зору.

Інтерпретація похідної #2: Нахил дотичної лінії

Враховуючи функцію$y=f(x)$, різницевий коефіцієнт$\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$ дає зміну$y$ значень, розділених на зміну$x$ значень; тобто це міра «підйому над пробігом» або «нахилом» лінії, яка проходить через дві точки на графіку$f$:$\big(c, f(c)\big)$ і$\big(c+h,f(c+h)\big)$. Коли$h$ зменшується до 0, ці дві точки зближуються; в межі, яку ми знаходимо$f^\prime(c)$, нахил спеціальної лінії називається дотичною лінією, яка перетинається$f$ лише один раз поблизу$x=c$.

Лінії мають постійну швидкість зміни, їх нахил. Нелінійні функції не мають постійної швидкості зміни, але ми можемо виміряти їх миттєву швидкість зміни при заданому$x$ значенні$c$ шляхом обчислень$f^\prime(c)$. Ми можемо отримати уявлення про те, як$f$ поводиться, подивившись на схили його дотичних ліній. Ми досліджуємо цю ідею в наступному прикладі.

Приклад 43: Розуміння похідної: швидкість зміни

Розглянемо$f(x) = x^2$, як показано на малюнку 2.10. Зрозуміло, що$x=3$ у функції зростає швидше, ніж при$x=1$, так як крутіше при$x=3$. Наскільки швидше він росте?

Рішення:

Ми можемо відповісти на це безпосередньо після наступного розділу, де ми навчимося швидко обчислювати похідні. Поки що відповімо графічно, розглянувши нахили відповідних дотичних ліній.

Малюнок 2.10: Графік$f(x)=x^2$.

З практикою можна досить ефективно намалювати дотичні лінії до кривої в певній точці. На малюнку 2.11 ми намалювали дотичні лінії до$f$ at$x=1$ і$x=3$, разом із сіткою, щоб допомогти нам виміряти нахили цих ліній. В$x=1$, ухил дорівнює 2; в$x=3$, ухил дорівнює 6. Таким чином, можна сказати, що не тільки$f$ зростає швидше,$x=3$ ніж на$x=1$, він росте в три рази швидше.

Малюнок 2.11: Графік$f(x)=x^2$ і дотичні лінії.

Приклад 44: Розуміння графіка похідної

Розглянемо графік$f(x)$ і його похідну$f^\prime(x)$, на малюнку 2.12 (а). Використовуйте ці графіки, щоб знайти нахили дотичних ліній до графіка$f$ at$x=1$$x=2$, і$x=3$.

Малюнок 2.12: Графіки$f$ і$f^\prime$ в прикладі 44 разом з дотичними лініями в (b).

Рішення

Щоб знайти відповідні нахили дотичних ліній до графіка$f$, нам потрібно подивитися на відповідні значення$f^\prime$.

Нахил дотичної лінії до$f$ at$x=1$ є$f^\prime(1)$; це виглядає приблизно$-1$.
Нахил дотичної лінії до$f$ at$x=2$ є$f^\prime(2)$; це виглядає приблизно$4$.
Нахил дотичної лінії до$f$ at$x=3$ є$f^\prime(3)$; це виглядає приблизно$3$.
Використовуючи ці укоси, дотичні лінії, до$f$ яких слід накидати на малюнку 2.12 (б). Включені на$f^\prime$ графіку цього малюнка залиті кола де$x=1$,$x=2$ і$x=3$ щоб допомогти краще візуалізувати$y$ значення$f^\prime$ в цих точках.

Приклад 45: Наближення з похідною

Розглянемо ще раз графік$f(x)$ і його похідну$f^\prime(x)$ в прикладі 44. Використовуйте дотичну лінію до$f$ at$x=3$, щоб наблизити значення$f(3.1)$.

Рішення

На малюнку 2.13 показаний графік$f$ разом з його дотичною лінією, збільшеною в$x=3$. Зверніть увагу$x=3$, що поблизу, дотична лінія робить відмінне наближення$f$. Оскільки з лініями легко впоратися, часто це добре працює, щоб наблизити функцію з її дотичною лінією. (Це особливо вірно, коли ви насправді не знаєте багато про функцію під рукою, як ми цього не робимо в цьому прикладі.)

Рисунок 2.13: Збільшення масштабу$f$ на$x=3$ для функції, наведеної в прикладах 44 та 45.

Хоча дотична лінія$f$ була намальована в прикладі 44, вона не була явно обчислена. Нагадаємо, що дотична лінія до$f$ at$x=c$ є$y = f^\prime(c)(x-c)+f(c)$. Хоча$f$ явно не задано, за графіком це виглядає$f(3) = 4$. Нагадуючи це$f^\prime(3) = 3$, ми можемо обчислити дотичну лінію приблизно Часто$y = 3(x-3)+4.$ корисно залишити дотичну лінію у формі точка-нахил.

Щоб використовувати дотичну лінію для наближення$f(3.1)$, ми просто оцінюємо$y$ на$3.1$ замість$f$.

$$f(3.1) \approx y(3.1) = 3(3.1-3)+4 = .1*3+4 = 4.3.$$

Ми приблизні$f(3.1) \approx 4.3$.

Щоб продемонструвати точність наближення дотичної прямої, ми тепер стверджуємо, що в прикладі 45,$f(x) = -x^3+7x^2-12x+4$. Ми можемо оцінити$f(3.1) = 4.279$. Якби ми знали$f$ все разом, звичайно, ми могли б просто зробити це обчислення. Насправді ми часто знаємо лише дві речі:

1. Що$f(c)$ таке, для якоїсь цінності$c$, і
2. що$f^\prime(c)$ таке.

Наприклад, ми можемо легко спостерігати розташування об'єкта і його миттєву швидкість в певний момент часу. У нас немає «функції$f$» для локації, просто спостереження. Цього достатньо, щоб створити апроксимуючу функцію для$f$.

Цей останній приклад має прямий зв'язок з нашим методом наближення, описаним вище після Прикладу 42. Ми заявили, що $$f(c+h) \approx f(c)+f^\prime(c)\cdot h.$$ якщо ми знаємо$f(c)$ і$f^\prime(c)$ для деякого значення$x=c$, то обчислення дотичної лінії в$(c,f(c))$ легко:$y(x) = f^\prime(c)(x-c)+f(c)$. У прикладі 45 ми використовували дотичну лінію для наближення значення$f$. Давайте використаємо дотичну лінію в,$x=c$ щоб наблизити значення$f$ поблизу$x=c$; тобто обчислити$y(c+h)$ для наближення$f(c+h)$, припускаючи знову, що$h$ є «малим». Примітка:

$$y(c+h) = f^\prime(c)\big((c+h)-c\big)+f(c) = f^\prime(c)\cdot h + f(c).$$

Це точно такий же метод наближення, який використовувався вище! Мало того, що це має інтуїтивний сенс, як пояснено вище, він має аналітичний сенс, оскільки цей метод наближення просто використовує дотичну лінію для наближення значення функції.

Важливість розуміння похідної не може бути занижена. Коли$f$ є функцією$x$,$f^\prime(x)$ вимірює миттєву швидкість зміни$f$ щодо$x$ і дає нахил дотичної лінії до$f$ at$x$.