2.7: Похідні обернених функцій
Нагадаємо,y=f(x) що функція, як кажуть, одна до одного, якщо вона проходить тест горизонтальної лінії; тобто для двох різнихx значеньx1 іx2, у нас немаєf(x1)=f(x2). У деяких випадках доменf повинен бути обмежений таким чином, щоб він був один до одного. Наприклад, розгляньтеf(x)=x2. f(−1)=f(1)Зрозуміло,f що так не один до одного на своєму звичайному домені, але, обмежуючисьf(0,∞),f є один до одного.
Тепер нагадаємо, що один до одного функції мають зворотні. Тобто, якщоf один до одного, він має обернену функцію, позначається тимf−1, що якщоf(a)=b, тоf−1(b)=a. Доменf−1 - це діапазонf, і навпаки. Для зручності позначення встановлюємоg=f−1 і трактуємоg як функціюx.
Так якf(a)=b має на увазіg(b)=a, колиg ми складаємоf і отримуємо приємний результат:f(g(b))=f(a)=b.
Коли точка(a,b) лежить на графікуf, точка(b,a) лежить на графікуg. Це змушує нас виявити, що графікg - це відображенняf через лініюy=x. На малюнку 2.29 ми бачимо функцію з графіком разом з її зворотним. Подивіться, як точка(1,1.5) лежить на одному графіку, тоді як(1.5,1) лежить на іншому. Через ці відносини все, про що ми знаємо,f можна швидко перенести в знання проg.

Для прикладу розглянемо малюнок 2.30, де(a,b) проводиться дотична лінія доf точки. Ця лінія має нахилf′(a). Через відображення поперекy=x, ми бачимо, що дотична лінія доg точки(b,a) повинна мати нахил1f′(a). Це говорить нам про те, щоg′(b)=1f′(a).

Розглянемо:
Ми виявили взаємозв'язок міжf′ іg′ в основному графічним способом. Ми також можемо реалізувати цей зв'язок аналітично. Нехайy=g(x), де зновуg=f−1. Ми хочемо знайтиy′. Так якy=g(x), ми це знаємоf(y)=x. Використовуючи правило ланцюга та неявну диференціацію, візьміть похідну обох сторін цієї останньої рівності.
ddx(f(y))=ddx(x)f′(y)⋅y′=1y′=1f′(y)y′=1f′(g(x))
Це призводить нас до наступної теореми.
Теорема 22: Похідні обернених функцій
fДозволяти диференційовний і один до одного на відкритому інтерваліII, деf′(x)≠0 для всіхx в,Jg Дозволяти бути діапазонf наI, нехай бути зворотна функціяf, і нехайf(a)=b для деякихa вI. Тодіg є диференційована функція наJ, і зокрема,
1.(f−1)′(b)=g′(b)=1f′(a)\ квад\ текст {і}\ квад 2. \ ліворуч (f^ {-1}\ праворуч) ^\ правий (x) =g^\ правий (x) =\ frac {1} {f^\ прайм (g (x))}\)
Результати Теореми 22 не є тривіальними; позначення спочатку може здатися заплутаним. Уважний розгляд, поряд з прикладами, повинен заслужити розуміння.
У наступному прикладі ми застосуємо Теорему 22 до функції arcsine.
Приклад 75: Пошук похідної оберненої тригонометричної функції
Нехайy=arcsinx=sin−1x. Знайтиy′ за допомогою теореми 22.

Рішення
Прийнявши наші раніше визначені позначення, нехайg(x)=arcsinx іf(x)=sinx. Таким чиномf′(x)=cosx. Застосовуючи теорему, ми маємо
g′(x)=1f′(g(x))=1cos(arcsinx).
Це останній вислів не відразу висвітлює. Намалювати фігуру допоможе, як показано на малюнку 2.32. Нагадаємо, що синусоїдальну функцію можна розглядати як прийняття кута і повертає співвідношення сторін прямокутного трикутника, зокрема, відношення «протилежне над гіпотенузою». Це означає, що функція arcsine приймає як вхід співвідношення сторін і повертає кут. Рівнянняy=arcsinx можна переписати якy=arcsin(x/1); тобто розглянути прямокутний трикутник, де гіпотенуза має довжину 1, а сторона, протилежна куту з мірою,y має довжинуx. Це означає, що кінцева сторона має довжину√1−x2, використовуючи теорему Піфагора.
Therefore cos(sin−1x)=cosy=√1−x2/1=√1−x2, resulting in
Пам'ятайте, що вхідx функції арксина - це відношення сторони прямокутного трикутника до його гіпотенузи; абсолютне значення цього відношення ніколи не буде більше 1. Тому внутрішня частина квадратного кореня ніколи не буде негативною.
Для того, щоб зробитиy=sinx один до одного, ми обмежуємо його домен до[−π/2,π/2]; на цьому домені діапазон є[−1,1]. Тому доменy=arcsinx є[−1,1] і діапазон є[−π/2,π/2]. Колиx=±1, зверніть увагу, як похідна від функції арксина невизначена; це відповідає тому, що якx→±1, дотичні лінії до арксину наближаються до вертикальних ліній з невизначеними нахилами.
На малюнку 2.33 ми бачимоf(x)=sinx таf−1=sin−1x розміщуємо графіки на відповідних доменах. Лінія, дотична доsinx точки,(π/3,√3/2) має нахилcosπ/3=1/2. Нахил відповідної точки наsin−1x, точці(√3/2,π/3), ще раз1√1−(√3/2)2=1√1−3/4=1√1/4=11/2=2,

Використовуючи подібні методи, ми можемо знайти похідні всіх обернених тригонометричних функцій. На малюнку 2.31 ми показуємо обмеження доменів стандартних тригонометричних функцій, що дозволяють їх бути оборотними.

Теорема 23: Похідні обернених тригонометричних функцій
Обернені тригонометричні функції диференційовані на всіх відкритих множині, що містяться в їх областях (як зазначено на рис. 2.31), а їх похідні такі:
1.ddx(sin−1(x))=1√1−x24.ddx(cos−1(x))=−1√1−x22.ddx(sec−1(x))=1|x|√x2−15.ddx(csc−1(x))=−1|x|√x2−13.ddx(tan−1(x))=11+x26.ddx(cot−1(x))=−11+x2
Зверніть увагу, як останні три похідні є лише протилежностями перших трьох відповідно. Через це перші три використовуються практично виключно у всьому цьому тексті.
У розділі 2.3 ми заявили, що без доказів чи поясненьddx(lnx)=1x. Ми можемо обґрунтувати, що зараз використовуємо теорему 22, як показано на прикладі.
Приклад 76: Пошук похідної від y = ln x
Використовуйте теорему 22 для обчисленняddx(lnx).
Рішення
Подивитисяy=lnx як зворотнеy=ex. Тому, використовуючи наші стандартні позначення, нехайf(x)=ex іg(x)=lnx. Бажаємо знайтиg′(x). Теорема 22 дає:
g′(x)=1f′(g(x))=1elnx=1x.
У цьому розділі ми визначили похідну, дали правила для полегшення її обчислення та дали похідні ряду стандартних функцій. Ми повторюємо найважливіші з них у наступній теоремі, призначеної для подальшої роботи.
Теорема 24: Глосарій похідних елементарних функцій
vДозволятиu і бути диференційовні функції, і нехайa,c іn бути дійсними числами,a>0,n≠0.