Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.7: Похідні обернених функцій

Нагадаємо,y=f(x) що функція, як кажуть, одна до одного, якщо вона проходить тест горизонтальної лінії; тобто для двох різнихx значеньx1 іx2, у нас немаєf(x1)=f(x2). У деяких випадках доменf повинен бути обмежений таким чином, щоб він був один до одного. Наприклад, розгляньтеf(x)=x2. f(1)=f(1)Зрозуміло,f що так не один до одного на своєму звичайному домені, але, обмежуючисьf(0,),f є один до одного.

Тепер нагадаємо, що один до одного функції мають зворотні. Тобто, якщоf один до одного, він має обернену функцію, позначається тимf1, що якщоf(a)=b, тоf1(b)=a. Доменf1 - це діапазонf, і навпаки. Для зручності позначення встановлюємоg=f1 і трактуємоg як функціюx.

Так якf(a)=b має на увазіg(b)=a, колиg ми складаємоf і отримуємо приємний результат:f(g(b))=f(a)=b.

Загалом,f(g(x))=x іg(f(x))=x. Це дає нам зручний спосіб перевірити, чи є дві функції зворотними один одному: скласти їх, а якщо результат єx, то вони є зворотними (на відповідних доменах.)

Коли точка(a,b) лежить на графікуf, точка(b,a) лежить на графікуg. Це змушує нас виявити, що графікg - це відображенняf через лініюy=x. На малюнку 2.29 ми бачимо функцію з графіком разом з її зворотним. Подивіться, як точка(1,1.5) лежить на одному графіку, тоді як(1.5,1) лежить на іншому. Через ці відносини все, про що ми знаємо,f можна швидко перенести в знання проg.

clipboard_e6f1c80d5800c61107e39bea55e4d040b.png
Малюнок 2.29: Функціяf разом з її оберненоюf1. (Зверніть увагу, як це не має значення, яку функцію миf називаємо; інша єf1.)

Для прикладу розглянемо малюнок 2.30, де(a,b) проводиться дотична лінія доf точки. Ця лінія має нахилf(a). Через відображення поперекy=x, ми бачимо, що дотична лінія доg точки(b,a) повинна мати нахил1f(a). Це говорить нам про те, щоg(b)=1f(a).

clipboard_e02c2bf78251ec8acfa5fb84e58552d43.png
Малюнок 2.30: Відповідні дотичні лінії, намальовані доf and f1.

Розглянемо:

clipboard_e920486e121f4be35febada3efb6f933b.png

Ми виявили взаємозв'язок міжf іg в основному графічним способом. Ми також можемо реалізувати цей зв'язок аналітично. Нехайy=g(x), де зновуg=f1. Ми хочемо знайтиy. Так якy=g(x), ми це знаємоf(y)=x. Використовуючи правило ланцюга та неявну диференціацію, візьміть похідну обох сторін цієї останньої рівності.

ddx(f(y))=ddx(x)f(y)y=1y=1f(y)y=1f(g(x))

Це призводить нас до наступної теореми.

Теорема 22: Похідні обернених функцій

fДозволяти диференційовний і один до одного на відкритому інтерваліII, деf(x)0 для всіхx в,Jg Дозволяти бути діапазонf наI, нехай бути зворотна функціяf, і нехайf(a)=b для деякихa вI. Тодіg є диференційована функція наJ, і зокрема,

1.(f1)(b)=g(b)=1f(a)\ квад\ текст {і}\ квад 2. \ ліворуч (f^ {-1}\ праворуч) ^\ правий (x) =g^\ правий (x) =\ frac {1} {f^\ прайм (g (x))}\)

Результати Теореми 22 не є тривіальними; позначення спочатку може здатися заплутаним. Уважний розгляд, поряд з прикладами, повинен заслужити розуміння.

У наступному прикладі ми застосуємо Теорему 22 до функції arcsine.

Приклад 75: Пошук похідної оберненої тригонометричної функції

Нехайy=arcsinx=sin1x. Знайтиy за допомогою теореми 22.

clipboard_eecb80642b1280ffde779ac4d4301da31.png
Малюнок 2.32: Прямокутний трикутник, який визначаєтьсяy=sin1(x/1) довжиною третього катета, знайденого за допомогою теореми Піфагора.

Рішення

Прийнявши наші раніше визначені позначення, нехайg(x)=arcsinx іf(x)=sinx. Таким чиномf(x)=cosx. Застосовуючи теорему, ми маємо

g(x)=1f(g(x))=1cos(arcsinx).

Це останній вислів не відразу висвітлює. Намалювати фігуру допоможе, як показано на малюнку 2.32. Нагадаємо, що синусоїдальну функцію можна розглядати як прийняття кута і повертає співвідношення сторін прямокутного трикутника, зокрема, відношення «протилежне над гіпотенузою». Це означає, що функція arcsine приймає як вхід співвідношення сторін і повертає кут. Рівнянняy=arcsinx можна переписати якy=arcsin(x/1); тобто розглянути прямокутний трикутник, де гіпотенуза має довжину 1, а сторона, протилежна куту з мірою,y має довжинуx. Це означає, що кінцева сторона має довжину1x2, використовуючи теорему Піфагора.

Therefore cos(sin1x)=cosy=1x2/1=1x2, resulting in 

ddx(arcsinx)=g(x)=11x2.

Пам'ятайте, що вхідx функції арксина - це відношення сторони прямокутного трикутника до його гіпотенузи; абсолютне значення цього відношення ніколи не буде більше 1. Тому внутрішня частина квадратного кореня ніколи не буде негативною.

Для того, щоб зробитиy=sinx один до одного, ми обмежуємо його домен до[π/2,π/2]; на цьому домені діапазон є[1,1]. Тому доменy=arcsinx є[1,1] і діапазон є[π/2,π/2]. Колиx=±1, зверніть увагу, як похідна від функції арксина невизначена; це відповідає тому, що якx±1, дотичні лінії до арксину наближаються до вертикальних ліній з невизначеними нахилами.

На малюнку 2.33 ми бачимоf(x)=sinx таf1=sin1x розміщуємо графіки на відповідних доменах. Лінія, дотична доsinx точки,(π/3,3/2) має нахилcosπ/3=1/2. Нахил відповідної точки наsin1x, точці(3/2,π/3), ще раз11(3/2)2=113/4=11/4=11/2=2,

перевіряє, що у відповідних точках функція та її зворотний мають взаємні нахили.

clipboard_ec2726beb615b5f59d2a8e8ec012bfe30.png
Малюнок 2.33: Графікиsinx and sin1x поряд з відповідними дотичними лініями.

Використовуючи подібні методи, ми можемо знайти похідні всіх обернених тригонометричних функцій. На малюнку 2.31 ми показуємо обмеження доменів стандартних тригонометричних функцій, що дозволяють їх бути оборотними.

clipboard_eb1017848bdbb926f76c0e4263a5f5636.png
Малюнок 2.31: Домени і діапазони тригонометричних і обернених тригонометричних функцій.

Теорема 23: Похідні обернених тригонометричних функцій

Обернені тригонометричні функції диференційовані на всіх відкритих множині, що містяться в їх областях (як зазначено на рис. 2.31), а їх похідні такі:

1.ddx(sin1(x))=11x24.ddx(cos1(x))=11x22.ddx(sec1(x))=1|x|x215.ddx(csc1(x))=1|x|x213.ddx(tan1(x))=11+x26.ddx(cot1(x))=11+x2

Зверніть увагу, як останні три похідні є лише протилежностями перших трьох відповідно. Через це перші три використовуються практично виключно у всьому цьому тексті.

У розділі 2.3 ми заявили, що без доказів чи поясненьddx(lnx)=1x. Ми можемо обґрунтувати, що зараз використовуємо теорему 22, як показано на прикладі.

Приклад 76: Пошук похідної від y = ln x

Використовуйте теорему 22 для обчисленняddx(lnx).

Рішення

Подивитисяy=lnx як зворотнеy=ex. Тому, використовуючи наші стандартні позначення, нехайf(x)=ex іg(x)=lnx. Бажаємо знайтиg(x). Теорема 22 дає:

g(x)=1f(g(x))=1elnx=1x.

У цьому розділі ми визначили похідну, дали правила для полегшення її обчислення та дали похідні ряду стандартних функцій. Ми повторюємо найважливіші з них у наступній теоремі, призначеної для подальшої роботи.

Теорема 24: Глосарій похідних елементарних функцій

vДозволятиu і бути диференційовні функції, і нехайa,c іn бути дійсними числами,a>0,n0.

clipboard_ea81208904c38ec1ed04ca387a5919b5a.png