2.3: Основні правила диференціації

Похідне є потужним інструментом, але, безперечно, незручно, враховуючи його залежність від обмежень. На щастя, одна річ математики добре вміють - це абстракція. Наприклад, замість того, щоб постійно знаходити похідні в точці, ми абстрагувалися і знайшли похідну функцію.

Давайте практикуємо абстракцію на лінійних функціях,$y=mx+b$. Що таке$y^\prime$? Без обмежень визнайте, що лінійна функція характеризується тим, що є функціями з постійною швидкістю зміни (нахил). Похідна$y^\prime$,, дає миттєву швидкість зміни; при лінійній функції це постійна,$m$. Таким чином$y^\prime =m$.

Давайте ще раз абстрагуємося. Знайдемо похідну загальної квадратичної функції,$f(x) = ax^2+bx+c$. Використовуючи визначення похідної, ми маємо:

$$\begin{align*}f^\prime (x) &= \lim_{h\to 0}\frac{a(x+h)^2+b(x+h)+c-(ax^2+bx+c)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{ah^2+2ahx+bh}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} ah+2ax+b\\ &= 2ax+b. \end{align*}$$

Так що$y = 6x^2+11x-13$, якщо, ми можемо відразу обчислити$y^\prime = 12x+11$.

У цьому розділі (і в деяких розділах для наслідування) ми дізнаємось деякі з того, що математики вже виявили про похідні певних функцій та про те, як похідні взаємодіють з арифметичними операціями. Почнемо з теореми.

Теорема 12: Похідні загальних функцій

Ця теорема починається з констатації інтуїтивного факту: постійні функції не мають швидкості зміни, оскільки вони постійні. Тому їх похідна дорівнює 0 (вони змінюються зі швидкістю 0). Потім теорема стверджує деякі досить дивовижні речі. Правило влади стверджує, що похідні від Power Functions (форми$y=x^n$) дуже прості: помножте на потужність, потім відніміть 1 з влади. Ми бачимо щось неймовірне у функції$y=e^x$: це власна похідна. Ми також бачимо новий зв'язок між функціями синуса і косинуса.

Один особливий випадок Правила влади - це коли$n=1$, тобто коли$f(x) = x$. Що таке$f^\prime (x)$? Згідно з Правилом влади, на

$$f^\prime (x) = \frac{d}{dx}\big(x\big) = \frac{d}{dx}\big(x^1\big) = 1\cdot x^0 = 1.$$ словах ми запитуємо: «З якою швидкістю$f$ змінюється стосовно$x$?» Оскільки$f$ є$x$, ми запитуємо «З якою швидкістю$x$ змінюється стосовно$x$?» Відповідь: 1. Вони змінюються з однаковою швидкістю.

Давайте попрактикуємося, використовуючи цю теорему.

Приклад 46: Використання теореми 12 для пошуку та використання похідних

Нехай$f(x)=x^3$.

1. Знайти$f^\prime (x)$.
2. Знайти рівняння прямої дотичної до графіка$f$ at$x=-1$.
3. Використовуйте дотичну лінію для наближення$(-1.1)^3$.
4. Ескіз$f$,$f^\prime$ і знайдена дотична лінія на тій же осі.

Рішення

1. Правило влади стверджує, що якщо$f(x) = x^3$, то$f^\prime (x) = 3x^2$.
2. Щоб знайти рівняння прямої дотичної до графіка$f$ at$x=-1$, нам потрібна точка і нахил. Справа в тому$(-1,f(-1)) = (-1, -1)$. Ухил є$f^\prime (-1)= 3$. Таким чином, дотична лінія має рівняння$y = 3(x-(-1))+(-1) = 3x+2$.
3. Ми можемо використовувати дотичну лінію для$(-1.1)^3$ наближення, як$-1.1$ близько до$-1$. У нас є $$(-1.1)^3 \approx 3(-1.1)+2 = -1.3.$$
   Ми можемо легко знайти фактичну відповідь;$(-1.1)^3 = -1.331$.
4. Див. Малюнок 2.14.

Малюнок 2.14: Графік$f(x)=x^3$, поряд з його похідними$f^\prime (x)=3x^2$ і його дотичною лінією в$x=-1$.

Теорема 12 дає корисну інформацію, але нам знадобиться набагато більше. Наприклад, використовуючи теорему, ми можемо легко знайти похідну від$y=x^3$, але вона не говорить, як обчислити похідну від$y=2x^3$,$y=x^3+\sin x$ ні$y=x^3\sin x$. Наступна теорема допомагає з першими двома з цих прикладів (на третій відповідає в наступному розділі).

Теорема 13: Властивості похідної

$g$Дозволяти$f$ і бути диференційованим на відкритому інтервалі$I$ і нехай$c$ бути дійсним числом. Потім:

1. Правило сума/різниці:
   $\frac{d}{dx}\Big(f(x) \pm g(x)\Big) = \frac{d}{dx}\Big(f(x)\Big) \pm \frac{d}{dx}\Big(g(x)\Big) = f^\prime (x)\pm g^\prime (x)$
2. Постійне множинне правило:
   $\frac{d}{dx}\Big(c\cdot f(x)\Big) = c \cdot \frac{d}{dx}\Big(f(x)\Big) = c\cdot f^\prime (x)$.

Теорема 13 дозволяє знайти похідні найрізноманітніших функцій. Він може бути використаний спільно з Правилом влади для пошуку похідних будь-якого полінома. Нагадаємо в прикладі 36, що ми знайшли, використовуючи визначення межі, похідну від$f(x) = 3x^2+5x-7$. Тепер ми можемо знайти його похідну без явного використання обмежень:

$$\begin{align*}\frac{d}{dx}\Big(3x^2+5x+7\Big) &= 3\frac{d}{dx}\Big(x^2\Big) + 5\frac{d}{dx}\Big(x\Big) + \frac{d}{dx}\Big(7\Big) \\ &= 3\cdot 2x+5\cdot 1+ 0\\ &= 6x+5. \end{align*}$$

Ми були трохи педантичними тут, показуючи кожен крок. Зазвичай ми б робили всі арифметичні дії і кроки в нашій голові і з готовністю знаходимо$\frac{d}{dx}\Big(3x^2+5x+7\Big) = 6x+5.$

Приклад 47: Використання дотичної лінії для наближення значення функції

Нехай$f(x) = \sin x + 2x+1$. Наближені$f(3)$ за допомогою відповідної дотичної лінії.

Рішення

Ця задача навмисно неоднозначна; ми маємо наблизити за допомогою відповідної дотичної лінії. Наскільки хорошого наближення ми шукаємо? Що означає доречний?

У «реальному світі» люди, які вирішують проблеми, займаються цими питаннями весь час. Потрібно винести судження, використовуючи все, що здається розумним. У цьому прикладі фактична відповідь полягає в тому$f(3) = \sin 3 + 7$, де реальна проблемна пляма знаходиться$\sin 3$. Що таке$\sin 3$?

Так як$3$ близький до$\pi$, можна припустити$\sin 3\approx \sin \pi = 0$. Таким чином, одна здогадка є$f(3) \approx 7$. Чи можемо ми зробити краще? Давайте використаємо дотичну лінію відповідно до інструкцій та вивчимо результати; здається, найкраще знайти дотичну лінію в$x=\pi$.

Використовуючи теорему 12, знайдемо$f^\prime (x) = \cos x + 2$. Нахил дотичної лінії таким чином$f^\prime (\pi) = \cos \pi + 2 =1$. Крім того,$f(\pi) = 2\pi+1 \approx 7.28$. Таким чином, дотична лінія до графіка$f$ в$x=\pi$ є$y=1(x-\pi)+ 2\pi+1 =x+\pi+1 \approx x+4.14$. Оцінюється в$x=3$, наша дотична лінія дає$y=3+4.14 = 7.14$. Використовуючи дотичну лінію, наше остаточне наближення полягає в тому, що$f(3) \approx 7.14$.

За допомогою калькулятора отримуємо відповідь з точністю до 4 знаків після десяткового:$f(3) = 7.1411$. Наше початкове припущення було$7$; наше наближення дотичної лінії було більш точним, в$7.14$.

Справа не в тому, «Ось класний спосіб зробити деякі математики без калькулятора». Звичайно, це може бути зручно колись, але ваш телефон, ймовірно, може дати вам відповідь. Швидше за все, справа в тому, щоб сказати, що дотичні лінії є хорошим способом наближення, і багато вчених, інженерів і математиків часто стикаються з проблемами, занадто важко вирішити безпосередньо. Так вони приблизні.

Похідні для вищого порядку

Похідна функції сама по собі$f$ є функцією, тому ми можемо взяти її похідну. Наступне визначення дає назву цьому поняттю і вводить його позначення.

Визначення 11: Похідні вищого порядку

$y=f(x)$Дозволяти диференційовні функції на$I$.

1. Друга похідна$f$ - це:

$$f^{\prime\prime}(x) = \frac{d}{dx}\Big(f^\prime (x)\Big) = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d^2y}{dx^2}=y^{\prime\prime} .$$

1. Третя похідна$f$ - це:

$$f^{\prime\prime\prime} (x) = \frac{d}{dx}\Big(f^{\prime\prime}(x)\Big) = \frac{d}{dx}\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right) = \frac{d^3y}{dx^3}=y^{\prime\prime\prime} .$$

1. $n^{\text{th}}$Похідне} від$f$ це:

$$f^{(n)}(x) = \frac{d}{dx}\left(f^{(n-1)}(x)\right) = \frac{d}{dx}\left(\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}\right) = \frac{d^ny}{dx^n}=y^{(n)}.$$

Взагалі, знаходячи четверту похідну і далі, ми вдаємося до$f^{(4)}(x)$ позначення, а не$f^{\prime\prime\prime\prime}(x)$; через деякий час занадто багато кліщів занадто заплутано.

Давайте потренуємося використовувати цю нову концепцію.

Приклад 48: Пошук похідних вищого порядку

Знайдіть перші чотири похідні наступних функцій:

1. $f(x) = 4x^2$
2. $f(x) = \sin x$
3. $f(x) = 5e^x$

Рішення

1. Використовуючи правила Power та Constant Multiple, ми маємо:$f^\prime (x) = 8x$. Продовжуючи далі, ми $$f^{\prime\prime}(x) = \frac{d}{dx}\big(8x\big) = 8;\qquad f^{\prime\prime\prime} (x) = 0;\qquad f^{(4)}(x) = 0.$$ помічаємо, як всі послідовні похідні також будуть 0.
2. Ми використовуємо теорему 12 неодноразово. $$f^\prime (x) = \cos x;\qquad f^{\prime\prime}(x) = -\sin x;\qquad f^{\prime\prime\prime}(x) = -\cos x;\qquad f^{(4)}(x) = \sin x.$$ Зверніть увагу, як ми повернулися$f(x)$ знову. (Чи можете ви швидко зрозуміти, що$f\,^{(23)}(x)$ таке?)
3. Використовуючи теорему 12 та постійне кратне правило, ми бачимо, що $$f^\prime (x) = f^{\prime\prime}(x) = f^{\prime\prime\prime}(x) = f^{(4)}(x) = 5e^x.$$

Усний переклад похідних вище порядку

Що означають похідні вищого порядку? Що таке практичне тлумачення? Наша перша відповідь трохи багатослівна, але технічно правильна і корисна для розуміння. Тобто,

\[\text{The second derivative of a function $f$ is the rate of change of the rate of change of $f$.}\]

Один із способів зрозуміти цю концепцію - дозволити$f$ описати функцію позиції. Потім, як зазначено в Key Idea 1,$f^\prime$ описує швидкість зміни позиції: швидкість. Ми тепер розглянемо$f^{\prime\prime}$, яка описує швидкість зміни швидкості. Любителі спортивних автомобілів говорять про те, як швидко автомобіль може їхати від 0 до 60 миль/год; вони хваляться розгоном автомобіля.

Ми розпочали цю главу з розваг - вільних вершників парку - падіння з функцією положення$f(t) = -16t^2+150$. Обчислити$f^\prime (t)=-32t$ ft/s і$f^{\prime\prime}(t) = -32$ (ft/s) /s, ми можемо розпізнати цю останню константу; це прискорення через гравітацію. Відповідно до одиничного позначення, введеного в попередньому розділі, ми говоримо, що одиниці є «футами в секунду в секунду». Зазвичай це скорочується до «футів на секунду в квадраті», написане як «ft/s»$^2$.

Може бути важко розглянути значення похідних третього, і вищого порядку. Третя похідна - це «швидкість зміни швидкості зміни швидкості зміни»$f$. Це по суті безглуздо для непосвячених. У контексті нашого прикладу позиції/швидкість/прискорення третя похідна - це «швидкість зміни прискорення», яку зазвичай називають «ривком».

Не помиляйтеся: похідні вищого порядку мають велике значення, навіть якщо їх практичні інтерпретації важко (або «неможливо») зрозуміти. Математична тема серій широко використовує похідні вищого порядку.