2.3: Основні правила диференціації

Похідне є потужним інструментом, але, безперечно, незручно, враховуючи його залежність від обмежень. На щастя, одна річ математики добре вміють - це абстракція. Наприклад, замість того, щоб постійно знаходити похідні в точці, ми абстрагувалися і знайшли похідну функцію.

Давайте практикуємо абстракцію на лінійних функціях,\(y=mx+b\). Що таке\(y^\prime\)? Без обмежень визнайте, що лінійна функція характеризується тим, що є функціями з постійною швидкістю зміни (нахил). Похідна\(y^\prime\),, дає миттєву швидкість зміни; при лінійній функції це постійна,\(m\). Таким чином\(y^\prime =m\).

Давайте ще раз абстрагуємося. Знайдемо похідну загальної квадратичної функції,\(f(x) = ax^2+bx+c\). Використовуючи визначення похідної, ми маємо:

\[\begin{align*}f^\prime (x) &= \lim_{h\to 0}\frac{a(x+h)^2+b(x+h)+c-(ax^2+bx+c)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{ah^2+2ahx+bh}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} ah+2ax+b\\ &= 2ax+b. \end{align*}\]

Так що\(y = 6x^2+11x-13\), якщо, ми можемо відразу обчислити\(y^\prime = 12x+11\).

У цьому розділі (і в деяких розділах для наслідування) ми дізнаємось деякі з того, що математики вже виявили про похідні певних функцій та про те, як похідні взаємодіють з арифметичними операціями. Почнемо з теореми.

Теорема 12: Похідні загальних функцій

Ця теорема починається з констатації інтуїтивного факту: постійні функції не мають швидкості зміни, оскільки вони постійні. Тому їх похідна дорівнює 0 (вони змінюються зі швидкістю 0). Потім теорема стверджує деякі досить дивовижні речі. Правило влади стверджує, що похідні від Power Functions (форми\(y=x^n\)) дуже прості: помножте на потужність, потім відніміть 1 з влади. Ми бачимо щось неймовірне у функції\(y=e^x\): це власна похідна. Ми також бачимо новий зв'язок між функціями синуса і косинуса.

Один особливий випадок Правила влади - це коли\(n=1\), тобто коли\(f(x) = x\). Що таке\(f^\prime (x)\)? Згідно з Правилом влади, на\[f^\prime (x) = \frac{d}{dx}\big(x\big) = \frac{d}{dx}\big(x^1\big) = 1\cdot x^0 = 1.\] словах ми запитуємо: «З якою швидкістю\(f\) змінюється стосовно\(x\)?» Оскільки\(f\) є\(x\), ми запитуємо «З якою швидкістю\(x\) змінюється стосовно\(x\)?» Відповідь: 1. Вони змінюються з однаковою швидкістю.

Давайте попрактикуємося, використовуючи цю теорему.

Приклад 46: Використання теореми 12 для пошуку та використання похідних

Нехай\(f(x)=x^3\).

1. Знайти\(f^\prime (x)\).
2. Знайти рівняння прямої дотичної до графіка\(f\) at\(x=-1\).
3. Використовуйте дотичну лінію для наближення\((-1.1)^3\).
4. Ескіз\(f\),\(f^\prime \) і знайдена дотична лінія на тій же осі.

Рішення

1. Правило влади стверджує, що якщо\(f(x) = x^3\), то\(f^\prime (x) = 3x^2\).
2. Щоб знайти рівняння прямої дотичної до графіка\(f\) at\(x=-1\), нам потрібна точка і нахил. Справа в тому\((-1,f(-1)) = (-1, -1)\). Ухил є\(f^\prime (-1)= 3\). Таким чином, дотична лінія має рівняння\(y = 3(x-(-1))+(-1) = 3x+2\).
3. Ми можемо використовувати дотичну лінію для\((-1.1)^3\) наближення, як\(-1.1\) близько до\(-1\). У нас є\[(-1.1)^3 \approx 3(-1.1)+2 = -1.3.\]
   Ми можемо легко знайти фактичну відповідь;\((-1.1)^3 = -1.331\).
4. Див. Малюнок 2.14.

Малюнок 2.14: Графік\(f(x)=x^3\), поряд з його похідними\(f^\prime (x)=3x^2\) і його дотичною лінією в\(x=-1\).

Теорема 12 дає корисну інформацію, але нам знадобиться набагато більше. Наприклад, використовуючи теорему, ми можемо легко знайти похідну від\(y=x^3\), але вона не говорить, як обчислити похідну від\(y=2x^3\),\(y=x^3+\sin x\) ні\(y=x^3\sin x\). Наступна теорема допомагає з першими двома з цих прикладів (на третій відповідає в наступному розділі).

Теорема 13: Властивості похідної

\(g\)Дозволяти\(f\) і бути диференційованим на відкритому інтервалі\(I\) і нехай\(c\) бути дійсним числом. Потім:

1. Правило сума/різниці:
   \( \frac{d}{dx}\Big(f(x) \pm g(x)\Big) = \frac{d}{dx}\Big(f(x)\Big) \pm \frac{d}{dx}\Big(g(x)\Big) = f^\prime (x)\pm g^\prime (x)\)
2. Постійне множинне правило:
   \(\frac{d}{dx}\Big(c\cdot f(x)\Big) = c \cdot \frac{d}{dx}\Big(f(x)\Big) = c\cdot f^\prime (x)\).

Теорема 13 дозволяє знайти похідні найрізноманітніших функцій. Він може бути використаний спільно з Правилом влади для пошуку похідних будь-якого полінома. Нагадаємо в прикладі 36, що ми знайшли, використовуючи визначення межі, похідну від\(f(x) = 3x^2+5x-7\). Тепер ми можемо знайти його похідну без явного використання обмежень:

\[\begin{align*}\frac{d}{dx}\Big(3x^2+5x+7\Big) &= 3\frac{d}{dx}\Big(x^2\Big) + 5\frac{d}{dx}\Big(x\Big) + \frac{d}{dx}\Big(7\Big) \\ &= 3\cdot 2x+5\cdot 1+ 0\\ &= 6x+5. \end{align*}\]

Ми були трохи педантичними тут, показуючи кожен крок. Зазвичай ми б робили всі арифметичні дії і кроки в нашій голові і з готовністю знаходимо\( \frac{d}{dx}\Big(3x^2+5x+7\Big) = 6x+5.\)

Приклад 47: Використання дотичної лінії для наближення значення функції

Нехай\(f(x) = \sin x + 2x+1\). Наближені\(f(3)\) за допомогою відповідної дотичної лінії.

Рішення

Ця задача навмисно неоднозначна; ми маємо наблизити за допомогою відповідної дотичної лінії. Наскільки хорошого наближення ми шукаємо? Що означає доречний?

У «реальному світі» люди, які вирішують проблеми, займаються цими питаннями весь час. Потрібно винести судження, використовуючи все, що здається розумним. У цьому прикладі фактична відповідь полягає в тому\(f(3) = \sin 3 + 7\), де реальна проблемна пляма знаходиться\(\sin 3\). Що таке\(\sin 3\)?

Так як\(3\) близький до\(\pi\), можна припустити\(\sin 3\approx \sin \pi = 0\). Таким чином, одна здогадка є\(f(3) \approx 7\). Чи можемо ми зробити краще? Давайте використаємо дотичну лінію відповідно до інструкцій та вивчимо результати; здається, найкраще знайти дотичну лінію в\(x=\pi\).

Використовуючи теорему 12, знайдемо\(f^\prime (x) = \cos x + 2\). Нахил дотичної лінії таким чином\(f^\prime (\pi) = \cos \pi + 2 =1\). Крім того,\(f(\pi) = 2\pi+1 \approx 7.28\). Таким чином, дотична лінія до графіка\(f\) в\(x=\pi\) є\(y=1(x-\pi)+ 2\pi+1 =x+\pi+1 \approx x+4.14\). Оцінюється в\(x=3\), наша дотична лінія дає\(y=3+4.14 = 7.14\). Використовуючи дотичну лінію, наше остаточне наближення полягає в тому, що\(f(3) \approx 7.14\).

За допомогою калькулятора отримуємо відповідь з точністю до 4 знаків після десяткового:\(f(3) = 7.1411\). Наше початкове припущення було\(7\); наше наближення дотичної лінії було більш точним, в\(7.14\).

Справа не в тому, «Ось класний спосіб зробити деякі математики без калькулятора». Звичайно, це може бути зручно колись, але ваш телефон, ймовірно, може дати вам відповідь. Швидше за все, справа в тому, щоб сказати, що дотичні лінії є хорошим способом наближення, і багато вчених, інженерів і математиків часто стикаються з проблемами, занадто важко вирішити безпосередньо. Так вони приблизні.

Похідні для вищого порядку

Похідна функції сама по собі\(f\) є функцією, тому ми можемо взяти її похідну. Наступне визначення дає назву цьому поняттю і вводить його позначення.

Визначення 11: Похідні вищого порядку

\(y=f(x)\)Дозволяти диференційовні функції на\(I\).

1. Друга похідна\(f\) - це:

\[ f^{\prime\prime}(x) = \frac{d}{dx}\Big(f^\prime (x)\Big) = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d^2y}{dx^2}=y^{\prime\prime} .\]

1. Третя похідна\(f\) - це:

\[ f^{\prime\prime\prime} (x) = \frac{d}{dx}\Big(f^{\prime\prime}(x)\Big) = \frac{d}{dx}\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right) = \frac{d^3y}{dx^3}=y^{\prime\prime\prime} .\]

1. \(n^{\text{th}}\)Похідне} від\(f\) це:

\[ f^{(n)}(x) = \frac{d}{dx}\left(f^{(n-1)}(x)\right) = \frac{d}{dx}\left(\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}\right) = \frac{d^ny}{dx^n}=y^{(n)}.\]

Взагалі, знаходячи четверту похідну і далі, ми вдаємося до\(f^{(4)}(x)\) позначення, а не\(f^{\prime\prime\prime\prime}(x)\); через деякий час занадто багато кліщів занадто заплутано.

Давайте потренуємося використовувати цю нову концепцію.

Приклад 48: Пошук похідних вищого порядку

Знайдіть перші чотири похідні наступних функцій:

1. \(f(x) = 4x^2\)
2. \(f(x) = \sin x\)
3. \(f(x) = 5e^x\)

Рішення

1. Використовуючи правила Power та Constant Multiple, ми маємо:\(f^\prime (x) = 8x\). Продовжуючи далі, ми\[f^{\prime\prime}(x) = \frac{d}{dx}\big(8x\big) = 8;\qquad f^{\prime\prime\prime} (x) = 0;\qquad f^{(4)}(x) = 0.\] помічаємо, як всі послідовні похідні також будуть 0.
2. Ми використовуємо теорему 12 неодноразово. \[f^\prime (x) = \cos x;\qquad f^{\prime\prime}(x) = -\sin x;\qquad f^{\prime\prime\prime}(x) = -\cos x;\qquad f^{(4)}(x) = \sin x.\]Зверніть увагу, як ми повернулися\(f(x)\) знову. (Чи можете ви швидко зрозуміти, що\(f\,^{(23)}(x)\) таке?)
3. Використовуючи теорему 12 та постійне кратне правило, ми бачимо, що\[f^\prime (x) = f^{\prime\prime}(x) = f^{\prime\prime\prime}(x) = f^{(4)}(x) = 5e^x.\]

Усний переклад похідних вище порядку

Що означають похідні вищого порядку? Що таке практичне тлумачення? Наша перша відповідь трохи багатослівна, але технічно правильна і корисна для розуміння. Тобто,

\[\text{The second derivative of a function \(f\) is the rate of change of the rate of change of \(f\).}\]

Один із способів зрозуміти цю концепцію - дозволити\(f\) описати функцію позиції. Потім, як зазначено в Key Idea 1,\(f^\prime \) описує швидкість зміни позиції: швидкість. Ми тепер розглянемо\(f^{\prime\prime}\), яка описує швидкість зміни швидкості. Любителі спортивних автомобілів говорять про те, як швидко автомобіль може їхати від 0 до 60 миль/год; вони хваляться розгоном автомобіля.

Ми розпочали цю главу з розваг - вільних вершників парку - падіння з функцією положення\(f(t) = -16t^2+150\). Обчислити\(f^\prime (t)=-32t\) ft/s і\(f^{\prime\prime}(t) = -32\) (ft/s) /s, ми можемо розпізнати цю останню константу; це прискорення через гравітацію. Відповідно до одиничного позначення, введеного в попередньому розділі, ми говоримо, що одиниці є «футами в секунду в секунду». Зазвичай це скорочується до «футів на секунду в квадраті», написане як «ft/s»\(^2\).

Може бути важко розглянути значення похідних третього, і вищого порядку. Третя похідна - це «швидкість зміни швидкості зміни швидкості зміни»\(f\). Це по суті безглуздо для непосвячених. У контексті нашого прикладу позиції/швидкість/прискорення третя похідна - це «швидкість зміни прискорення», яку зазвичай називають «ривком».

Не помиляйтеся: похідні вищого порядку мають велике значення, навіть якщо їх практичні інтерпретації важко (або «неможливо») зрозуміти. Математична тема серій широко використовує похідні вищого порядку.