1: Обмеження

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Обчислення означає «метод розрахунку або міркування». Коли один обчислює податок з продажу на покупку, один використовує просте обчислення. Коли людина знаходить площу багатокутної форми, розбиваючи її на набір трикутників, один використовує інше обчислення. Доведення теореми в геометрії використовує ще одне числення. Незважаючи на чудові досягнення в математиці, які мали місце в першій половині ^17-го століття, математики та вчені гостро усвідомлювали те, чого вони не можуть зробити. (Це правда навіть сьогодні.) Зокрема, дві важливі концепції уникнули оволодіння великими мислителями того часу: площа та темпи змін.

Площа здається досить нешкідливою; області кіл, прямокутників, паралелограмів тощо є стандартними темами навчання для студентів сьогодні так само, як і тоді. Однак площі довільних фігур обчислити не вдалося, навіть якщо межу фігури можна було точно описати.
Важливими були і темпи змін. Коли об'єкт рухається з постійною швидкістю зміни, то «відстань = швидкість $\times$ часу». Але що робити, якщо швидкість не постійна - чи можна все ще обчислити відстань? Або, якщо відстань відома, чи можемо ми виявити швидкість змін?

Виявляється, ці два поняття були пов'язані між собою. Двом математикам, сер Ісаак Ньютон і Готфрід Лейбніц, приписують самостійно формулювати систему обчислень, яка вирішувала вищевказані завдання і показала, як вони були пов'язані. Їх системою міркування було «а» числення. Однак у міру того, як сила і важливість їх відкриття заволоділися, воно стало відомо багатьом як «обчислення». Сьогодні ми, як правило, скорочуємо це, щоб обговорити «обчислення». Основою «обчислення» є межа. Це інструмент для опису певної поведінки функції. Ця глава починає наше вивчення межі з наближення його значення графічно і чисельно. Після формального визначення межі встановлюються властивості, які роблять «знаходження лімітів» простежуваними. Як тільки межа буде зрозуміла, тоді можна наблизитися до проблем області та темпів змін.

1.1: Вступ до обмежень
Основою «обчислення» є межа. Це інструмент для опису певної поведінки функції. Ця глава починає наше вивчення межі з наближення його значення графічно і чисельно. Після формального визначення межі встановлюються властивості, які роблять «знаходження лімітів» простежуваними. Як тільки межа буде зрозуміла, тоді можна наблизитися до проблем області та темпів змін.
1.2: Визначення межі «Епсілон-Дельта»
У цьому розділі представлено формальне визначення ліміту. Багато хто називає це визначенням «епсилон - дельта», посилаючись на літери і δ грецького алфавіту.
1.3: Аналітичне знаходження меж
Визнаючи, що докази -δ громіздкі, цей розділ дає низку теорем, які дозволяють нам знаходити межі набагато швидше та інтуїтивно. Один з головних результатів цього розділу стверджує, що багато функцій, які ми використовуємо регулярно, поводяться дуже приємно, передбачувано. У наступному розділі ми даємо назву цій приємній поведінці; ми позначаємо такі функції як безперервні. Визначення цього терміну вимагатиме від нас знову поглянути на те, що таке межа і що призводить до того, що обмеження не існують.
1.4: Односторонні межі
Попередній розділ дав нам інструменти (які ми називаємо теоремами), які дозволяють нам обчислювати межі з більшою легкістю. Головними серед результатів були факти, що поліноми та раціональні, тригонометричні, експоненціальні та логарифмічні функції (а також їх суми, добуток тощо) поводяться «красиво». У цьому розділі ми чітко визначаємо, що ми маємо на увазі під «красиво».
1.5: Безперервність
Коли ми вивчали межі, ми отримали інтуїцію, яка обмежує вимір «куди рухається функція». Ми бачили, хоча, що це не обов'язково хороший показник того, що функція насправді. Це може бути проблематично; функції можуть схилятися до одного значення, але досягати іншого. Цей розділ присвячений функціям, які не проявляють такої поведінки.
1.6: Межі за участю нескінчен
У визначенні 1 ми констатували, що в рівнянні lim x→cf (x) =L обидва c і L були числами. У цьому розділі ми трохи розслабляємо це визначення, розглядаючи ситуації, коли має сенс дозволити c та/або L бути «нескінченністю».
1.E: Застосування обмежень (вправи)

Автори та атрибуція

Template:ContribApexCalc