1.4: Односторонні межі

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 1.3: Аналітичне знаходження меж
- 1.5: Безперервність

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Ми ввели поняття межі м'яко, наближаючи їх значення графічно і чисельно. Далі йшло суворе визначення межі разом з, за загальним визнанням, стомлюючим методом їх оцінки. Попередній розділ дав нам інструменти (які ми називаємо теоремами), які дозволяють нам обчислювати межі з більшою легкістю. Головними серед результатів були факти, що поліноми та раціональні, тригонометричні, експоненціальні та логарифмічні функції (а також їх суми, добуток тощо) поводяться «красиво». У цьому розділі ми чітко визначаємо, що ми маємо на увазі під «красиво».

У розділі 1.1 ми досліджували три способи, за яких межі функцій не існували:

Функція наближалася до різних значень зліва і справа,
Функція зростає без обмежень, і
Функція коливається.

У цьому розділі ми детально досліджуємо концепції #1, вводячи односторонній ліміт. Почнемо з формальних визначень, які дуже схожі на визначення межі, наведеного в розділі 1.2, але позначення дещо інше і $x\neq c$ "" замінюється або $x<c$ "" або " $x>c$ .

Визначення 2: Односторонні межі

Ліва межа

$I$ Дозволяти бути відкритий інтервал $c$ , що містить, і нехай $f$ бути функція визначена на $I$ , крім можливо в $c$ . Межа $f(x)$ , як $x$ підходи $c$ зліва, є $L$ , або, ліворучна $c$ межа $f$ at $L$ , позначається

$\lim\limits_{x\rightarrow c^-} f(x) = L,$

означає, що даний будь-який $\epsilon > 0$ , існує $\delta > 0$ таке, що для всіх $x< c$ , якщо $|x - c| < \delta$ , то $|f(x) - L| < \epsilon$ .

Праворуч межа

$I$ Дозволяти бути відкритий інтервал $c$ , що містить, і нехай $f$ бути функція визначена на $I$ , крім можливо в $c$ . Межа $f(x)$ , як $x$ $c$ наближається справа, є $L$ , або, праворучна межа $f$ at $c$ є $L$ , позначається

$\lim\limits_{x\rightarrow c^+} f(x) = L,$

означає, що даний будь-який $\epsilon > 0$ , існує $\delta > 0$ таке, що для всіх $x> c$ , якщо $|x - c| < \delta$ , то $|f(x) - L| < \epsilon$ .

Практично кажучи, при оцінці лівої межі ми розглядаємо тільки значення $x$ «зліва від» $c$ , тобто де $x<c$ . За загальним визнанням недосконале позначення $x\to c^-$ використовується для того, щоб мати на увазі, що ми дивимося $x$ на значення зліва від $c$ . Позначення не має нічого спільного з позитивними або від'ємними значеннями $x$ або $c$ . Аналогічне твердження має місце для оцінки правосторонніх меж; там ми розглядаємо тільки значення $x$ праворуч від $c$ , тобто $x>c$ . Ми можемо використовувати теореми з попередніх розділів, щоб допомогти нам оцінити ці межі; ми просто обмежуємо наш погляд однією стороною $c$ .

Ми практикуємо оцінку лівої та правої меж на низці прикладів.

Приклад 17: Оцінка односторонніх обмежень

Нехай $f(x) = \left\{\begin{array}{cc} x & 0\leq x\leq 1 \\ 3-x & 1<x<2\end{array},\right.$ , як показано на малюнку 1.21. Знайдіть кожне з наступних дій:

$\lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
$\lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
$\lim\limits_{x\to 1} f(x)$
$f(1)$
$\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$
$f(0)$
$\lim\limits_{x\to 2^-} f(x)$
$f(2)$

$альт$
$\text{FIGURE 1.21}$ : Графік $f$ у прикладі 17.

Рішення

Для цих проблем наочний посібник графіка, швидше за все, ефективніше оцінює межі, ніж використання $f$ самого себе. Тому ми будемо часто посилатися на графік.

Як $x$ переходить до 1 зліва, ми бачимо, що $f(x)$ наближається до значення 1. Тому $\lim\limits_{x\to 1^-} f(x) =1.$
Як $x$ переходить до 1 справа, ми бачимо, що $f(x)$ наближається до значення 2. Нагадаємо, що не важливо, що там є «відкрите коло», ми оцінюємо межу, а не значення функції. Тому $\lim\limits_{x\to 1^+} f(x)=2$ .
Межі $f$ як $x$ підходів 1 не існує, про що йшлося в першому розділі. Функція наближається не до одного конкретного значення, а до двох різних значень зліва і справа.
Використовуючи визначення та дивлячись на графік, ми бачимо, що $f(1) = 1$ .
Як $x$ йде до 0 праворуч, ми бачимо, що $f(x)$ також наближається 0. Тому $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=0$ . Зауважте, що ми не можемо розглядати ліву межу в 0 $f$ , як не визначено для значень $x<0$ .
Використовуючи визначення і графік, $f(0) = 0$ .
Як $x$ переходить до 2 зліва, ми бачимо, що $f(x)$ наближається до значення 1. Тому $\lim\limits_{x\to 2^-} f(x)=1.$
Графік і визначення функції показують, $f(2)$ що не визначено.

Зверніть увагу, як ліві та праві межі відрізнялися на $x=1$ . Це, звичайно, призводить до того, що межі не існує. Наступна теорема стверджує, що є досить інтуїтивним: межа існує саме тоді, коли ліва та права межі рівні.

Теорема 7: Межі та односторонні межі

$f$ Дозволяти функція, визначена на відкритому інтервалі, $I$ що містить $c$ . Тоді $\lim\limits_{x\to c}f(x) = L$ якщо, і тільки якщо, $\lim\limits_{x\to c^-}f(x) = L \quad \text{and} \quad \lim\limits_{x\to c^+}f(x) = L.$

Фраза «if, і only if» означає, що два твердження рівнозначні: вони або істинні, або обидва хибні. Якщо межа дорівнює $L$ , то ліва і права рука обмежує обидві рівні $L$ . Якщо межа не дорівнює $L$ , то хоча б одна з лівих і правих меж не дорівнює $L$ (її може навіть не існувати).

Одна річ, яку слід враховувати в прикладах 17 - 20, полягає в тому, що значення функції можеть/не дорівнювати значенню (-ям) її лівої/правої межі, навіть коли ці межі узгоджуються.

Приклад 18: Оцінка меж кусково визначеної функції

Нехай $f(x) = \left\{\begin{array}{cc} 2-x & 0<x<1 \\ (x-2)^2 & 1<x<2 \end{array},\right.$ , як показано на малюнку 1.22. Оцініть наступне.

$\lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
$\lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
$\lim\limits_{x\to 1} f(x)$
$f(1)$
$\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$
$f(0)$
$\lim\limits_{x\to 2^-} f(x)$
$f(2)$

$альт$
$\text{FIGURE 1.22}$ : Графік $f$ з Прикладу 18.

Рішення

Знову ми оцінимо кожен, використовуючи як визначення, так $f$ і його графік.

Як $x$ наближається 1 зліва, ми бачимо, що $f(x)$ наближається до 1. Тому $\lim\limits_{x\to 1^-} f(x)=1.$
Як $x$ наближається 1 справа, ми бачимо, що знову $f(x)$ наближається до 1. Тому $\lim\limits_{x\to 1+} f(x)=1$ .
Межа $f$ як $x$ підходів 1 існує і дорівнює 1, оскільки $f$ підходи 1 як праворуч, так і зліва. Тому $\lim\limits_{x\to 1} f(x)=1$ .
$f(1)$ не визначено. Зверніть увагу, що 1 не знаходиться в області $f$ , визначеної задачею, яка позначається на графіку відкритим колом при $x=1$ .
Як $x$ переходить до 0 праворуч, $f(x)$ наближається до 2. Отже $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=2$ .
$f(0)$ не визначено як не $0$ знаходиться у домені $f$ .
Як $x$ переходить до 2 зліва, $f(x)$ наближається до 0. Отже $\lim\limits_{x\to 2^-} f(x)=0$ .
$f(2)$ не визначається як 2 не знаходиться в домені $f$ .

Приклад 19: Оцінка меж кусково визначеної функції

Нехай $f(x) = \left\{\begin{array}{cc} (x-1)^2 & 0\leq x\leq 2, x\neq 1\\ 1 & x=1\end{array},\right.$ , як показано на малюнку 1.23. Оцініть наступне.

$\lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
$\lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
$\lim\limits_{x\to 1} f(x)$
$f(1)$

$альт$
$\text{FIGURE 1.23}$ : Графік $f$ у прикладі 19.

Подивившись на графік, зрозуміло, що як ліва, так і права межі $f$ , як $x$ наближається до 1, дорівнює 0. Таким чином, також зрозуміло, що межа дорівнює 0; т $\lim\limits_{x\to 1} f(x) = 0$ . Е. Також чітко зазначено, що $f(1) = 1$ .

Приклад 20: Оцінка меж кусково визначеної функції

Нехай $f(x) = \left\{\begin{array}{cc} x^2 & 0\leq x\leq 1 \\ 2-x & 1<x\leq 2\end{array},\right.$ , як показано на малюнку 1.24. Оцініть наступне.

$\lim\limits_{x\to 1^-} f(x)$
$\lim\limits_{x\to 1^+} f(x)$
$\lim\limits_{x\to 1} f(x)$
$f(1)$

$альт$
$\text{FIGURE 1.24}$ : Графік $f$ у прикладі 20.

Рішення

З визначення функції і її графіка зрозуміло, що всі перераховані нижче рівні:

$\lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^+} f(x) =\lim\limits_{x\to 1} f(x) =f(1) = 1.$

У прикладах 17 - 20 нас попросили знайти обидва $\lim\limits_{x\to 1}f(x)$ і $f(1)$ . Розглянемо наступну таблицю:

$\begin{array}{ccc} & \lim\limits_{x\to 1}f(x) & f(1) \\ \hline \text{Example 17} & \text{does not exist} & 1 \\ \text{Example 18} & 1 & \text{not defined} \\ \text{Example 19} & 0 & 1 \\ \text{Example 20} & 1 & 1 \\ \end{array}$

Тільки в прикладі 20 існують і функції, і ліміт і згодні. Це здається «приємним»; насправді це здається «нормальним». Насправді це важлива ситуація, яку ми досліджуємо в наступному розділі під назвою «Безперервність». Коротше кажучи, безперервна функція - це та, в якій, коли функція наближається до значення як $x\rightarrow c$ (тобто коли $\lim\limits_{x\to c} f(x) = L$ ), вона насправді досягає цього значення в $c$ . Такі функції поводяться красиво, оскільки вони дуже передбачувані.

Автори та авторства

Template:ContribApexCalc