15.3: Фрактальна розмірність

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66184

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Крім візуальної самоподібності, фрактали проявляють і інші цікаві властивості. Наприклад, зверніть увагу, що кожен крок ітерації прокладки Sierpinski видаляє одну чверть площі, що залишилася. Якщо цей процес продовжується до нескінченності, ми б в кінцевому підсумку по суті видалення всієї області, тобто ми почали з 2-мірної області, і якось в кінцевому підсумку з щось менше, ніж це, але, здавалося б, більше, ніж просто 1-мірна лінія.

Щоб дослідити цю ідею, нам потрібно обговорити вимір. Щось на зразок лінії є 1-мірним; вона має лише довжину. Будь-яка крива 1-мірна. Такі речі, як коробки та кола, є двовимірними, оскільки вони мають довжину та ширину, описуючи область. Такі об'єкти, як коробки та циліндри, мають довжину, ширину та висоту, що описують об'єм, і є тривимірними.

$fr14.svg$

Деякі правила застосовуються для масштабування об'єктів, пов'язаних з їх розмірністю.

Якби у мене була лінія довжиною 1, і хотів масштабувати її довжину на 2, мені потрібно було б дві копії оригінальної лінії. Якби у мене була лінія довжиною 1, і хотів масштабувати її довжину на 3, мені потрібно було б три копії оригіналу.

$fr15.svg$

Якби у мене був прямокутник довжиною 2 і висотою 1, і хотів масштабувати його довжину і ширину на 2, мені потрібно було б чотири копії оригінального прямокутника. Якби я хотів масштабувати довжину і ширину на 3, мені знадобиться дев'ять копій оригінального прямокутника.

$fr16.svg$

Якби у мене була кубічна коробка зі сторонами довжиною 1, і хотів масштабувати її довжину, ширину і висоту на 2, мені б знадобилося вісім копій оригінального куба. Якби я хотів масштабувати довжину, ширину та висоту на 3, мені знадобиться 27 копій оригінального куба.

$fr17.svg$

Зверніть увагу, що в 1-мірному випадку потрібні копії = масштаб.

У 2-мірному випадку для копій потрібен$=$ масштаб$^{2}$.
У 3-мірному випадку для копій потрібен$=$ масштаб$^{3}$.

З цих прикладів ми можемо зробити висновок про шаблон.

Масштабування-вимір відношення

Для масштабування$D$ -мірної форми за допомогою$S,$ коефіцієнта масштабування$C$ кількість копій вихідної форми буде вказано:

Копії$=$ Масштаб${}^{\text{Dimension}}, $ або$C=S^{\circ}$

Приклад 5

Використовуйте співвідношення масштабування-розмірність для визначення розмірності прокладки Серпінського.

Рішення

Припустимо, ми визначаємо вихідну прокладку, щоб мати довжину сторони 1. Показана більша прокладка вдвічі ширша і вдвічі вища, тому була масштабована в 2 рази.

$fr18.svg$

Зверніть увагу, що для побудови більшої прокладки потрібні 3 копії оригінальної прокладки.

Використовуючи масштабувально-розмірне відношення$C=S^{D},$ отримуємо рівняння$3=2^{D}$

так як$2^{1}=2$ і$2^{2}=4,$ ми можемо відразу побачити,$D$ що десь між 1 і$2 ;$ прокладка більше, ніж 1 -мірна форма, але ми забрали так багато площі його тепер менше, ніж 2-вимірний.

Для вирішення рівняння$3=2^{D}$ потрібні логарифми. Якщо ви вивчали логарифми раніше, ви можете згадати, як вирішити це рівняння (якщо ні, просто перейдіть до поля нижче і використовуйте цю формулу):

\ [\ begin {масив} {ll}
3=2^ {D} &\ text {Візьміть логарифм обох сторін}\
\ log (3) =\ log\ left (2^ {D}\ праворуч) &\ text {Використовуйте властивість експоненти журналів}\
\\ log (3) =D\ log (2) &\ text {Розділити на журнал (2)}\\
D= гідророзрив {\ log (3)} {\ log (2)}\ приблизно 1.585 &\ text {Розмірність прокладки становить близько 1.585}
\ end {масив}\ nonumber\]

Масштабування-вимір відношення, щоб знайти вимір

Щоб знайти$D$ розмірність фракталу, визначте коефіцієнт масштабування$S$ та кількість$C$ потрібних копій вихідної форми, потім скористайтеся формулою

\[D=\frac{\log (C)}{\log (S)} \nonumber \]

Спробуйте зараз 2

Визначити фрактальну розмірність виробленого фракталу за допомогою ініціатора і генератора

$fr19.svg$

Відповідь

$fr21.svg$

Масштабування фракталу в 3 рази вимагає 5 копій оригіналу. $D=\frac{\log (5)}{\log (3)} \approx 1.465$

Тепер ми звернемо увагу на інший тип фракталу, який визначається іншим типом рекурсії. Щоб зрозуміти цей тип, нам спочатку потрібно буде обговорити комплексні числа.