15.4: Комплексні числа
- Page ID
- 66180
Цифри, з якими ви найбільш знайомі, називаються дійсними числами. До них відносяться такі числа, як 4, 275, -200, 10,7, ½, π тощо. Всі ці дійсні числа можуть бути нанесені на числовий рядок. Наприклад, якщо ми хотіли показати число 3, ми будуємо точку:
Для вирішення певних завдань на\(x^{2}=-4\) кшталт, виникла необхідність введення уявних чисел.
\(i\)Уявне число визначається бути\(i=\sqrt{-1}\).
Будь-яке реальне кратне\(i\)\(5i\), як, також є уявним числом.
Спростити\(\sqrt{-9}\).
Рішення
Ми можемо відокремити\(\sqrt{-9}\), як\(\sqrt{9} \sqrt{-1} .\) Ми можемо взяти квадратний корінь\(9,\) і записати квадратний корінь -1 як\(i\)
\[\sqrt{-9}=\sqrt{9} \sqrt{-1}=3 i \nonumber \]
Комплексне число - це число,\(z=a+b i,\) де\(a\) і\(b\) є дійсними числами
- \(a\)дійсна частина комплексного числа
- \(b\)уявна частина комплексного числа
Для побудови комплексного числа\(3-4 i\), як, нам потрібно більше, ніж просто числовий рядок, оскільки є дві складові числа. Для побудови цього числа нам знадобляться дві числові лінії, перехрещені, щоб утворити складну площину.
У складній площині горизонтальна вісь - це реальна вісь, а вертикальна - уявна вісь.
Покладіть число\(3-4 i\) на складну площину.
Рішення
Реальна частина цього числа дорівнює 3, а уявна - 4. Для побудови цього малюємо точку 3 одиниці праворуч від початку в горизонтальному напрямку і 4 одиниці вниз у вертикальному напрямку.
Оскільки це аналогічно декартовій системі координат для побудови точок, ми можемо думати про побудові нашого комплексного числа\(z=a+b i\) так, ніби ми будуємо точку\((a, b)\) в декартових координатах. Іноді люди пишуть складні числа,\(z=x+y i\) щоб виділити це відношення.
Арифметика на комплексних числах
Перш ніж зануритися в більш складне використання складних чисел, давайте переконаємося, що ми пам'ятаємо основну арифметику, що беруть участь. Щоб скласти або відняти складні числа, ми просто додаємо подібні терміни, поєднуючи реальні частини і поєднуючи уявні частини.
Додайте\(3-4 i\) і\(2+5 i\).
Рішення
Додавання\((3-4 i)+(2+5 i),\) ми додаємо реальні частини і уявні частини
\(3+2-4 i+5 i\)
\(5+i\)
Відняти\(2+5 i\) від\(3-4 i\).
- Відповідь
-
\((3-4 i)-(2+5 i)=1-9 i\)
Коли ми додаємо комплексні числа, ми можемо візуалізувати додавання як зсув, або переклад, точки в комплексній площині.
Візуалізують додавання\(3-4 i\) і\(-1+5 i\).
Рішення
Початкова точка є\(3-4 i\). При складанні\(-1+3 i\) додаємо -1 до дійсної частини, переміщаючи точку 1 одиниці вліво, і додаємо 5 до уявної частини, переміщаючи точку 5 одиниць по вертикалі. Це зміщує точку\(3-4 i\) на\(2+1 i\).
Ми також можемо помножити комплексні числа на дійсне число, або помножити два комплексних числа.
Помножити:\(4(2+5 i)\)
Рішення
Щоб помножити комплексне число на дійсне число, ми просто розподіляємо так, як ми б при множенні многочленів.
\(\begin{array}{ll} 4(2+5 i) & \text{Distribute} \\ =4 \cdot 2+4 \cdot 5 i & \text{Simplify} \\ =8+20 i \end{array}\)
Помножити:\((2+5 i)(4+i)\)
Рішення
Щоб помножити комплексне число на комплексне число, ми просто розподіляємо так, як ми б при множенні многочленів.
\(\begin{array}{ll} (2+5 i)(4+i) & \text{Expand} \\ =8+20 i+2 i+5 i^{2} & \text{Since }i=\sqrt{-1}, i^{2}=-1 \\ =8+20 i+2 i+5(-1) & \text{Simplify} \\ =3+22 i \end{array}\)
Помножити\(3-4 i\) і\(2+3 i\).
- Відповідь
-
Помножити\((3-4 i)(2+3 i)=6+9 i-8 i-12 i^{2}=6+i-12(-1)=18+i\)
Щоб візуально зрозуміти ефект множення, розглянемо три приклади.
Візуалізуйте продукт\(2(1+2 i)\)
Рішення
Множення ми отримаємо
\(2 \cdot 1+2 \cdot 2 i = 2+4 i\)
Зверніть увагу, як реальні, так і уявні частини були масштабовані на 2. Візуально це витягне точку назовні, подалі від початку.
Візуалізуйте продукт\(i(1+2 i)\)
Рішення
Помноживши, ми отримаємо
\(i \cdot 1+i \cdot 2 i = i+2 i^{2}=i+2(-1)=-2+i\)
При цьому відстань від початку не змінилося, але точка була повернута навколо початку, на 90° проти годинникової стрілки.
Візуалізуйте результат\(1+2 i\) множення на\(1+i .\) Потім покажіть результат множення на\(1+i\) знову.
Рішення
\(1+2 i\)Помножуючи на\(1+i\),
\((1+2 i)(1+i)=1+i+2 i+2 i^{2}=1+3 i+2(-1)=-1+3 i\)
Помножуючи на\(1+i\) знову,
\((-1+3 i)(1+i) =-1-i+3 i+3 i^{2} =-1+2 i+3(-1) =-4+2 i\)
Якщо ми помножимо на\(1+i\) знову, ми отримаємо\(–6–2i\). Поклавши ці числа в комплексній площині, можна помітити, що кожна точка отримує як далі від початку, так і обертається проти годинникової стрілки, в даному випадку на 45°.
Взагалі множення на комплексне число можна розглядати як масштабування, що змінює відстань від початку, поєднане з обертанням про початок.