15.2: Ітераційні фрактали

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66177

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Таку самоподібну поведінку можна повторити за допомогою рекурсії: повторення процесу знову і знову.

Приклад 1

Припустимо, що ми починаємо з заповненого трикутника. З'єднуємо серединні точки кожної зі сторін і прибираємо середній трикутник. Потім повторюємо цей процес.

$fr1.svg$

Якщо повторити цей процес, то форма, яка з'являється, називається прокладкою Серпінського. Зверніть увагу, що він проявляє самоподібність — будь-який шматок прокладки буде виглядати ідентично цілому. Насправді можна сказати, що прокладка Серпінського містить три екземпляри самої себе, кожна половина такого ж високого і широкого, як оригінал. Звичайно, кожен з цих примірників також містить три копії самого себе.

$fr2.svg$

Ми можемо побудувати інші фрактали, використовуючи подібний підхід. Щоб трохи формалізувати це, ми збираємося представити ідею ініціаторів та генераторів.

Ініціатори та генератори

Ініціатор - стартова форма
Генератор - це упорядкована сукупність масштабованих копій ініціатора

Для генерації фракталів з ініціаторів і генераторів дотримуємося простого правила:

Правило генерації фракталів

На кожному кроці замінюйте кожну копію ініціатора масштабованою копією генератора, обертаючи при необхідності

Цей процес найпростіше зрозуміти на прикладі.

Приклад 2

Скористайтеся показаним ініціатором і генератором для створення ітераційного фракталу.

$fr3.svg$

Рішення

Це говорить нам на кожному кроці замінювати кожен відрізок лінії на шипоподібну форму, показану в генераторі. Зверніть увагу, що сам генератор складається з 4 примірників ініціатора. На кроці 1 одиночний відрізок лінії в ініціаторі замінюється генератором. Для кроку 2 кожен з чотирьох відрізків лінії кроку 1 замінюється масштабованою копією генератора:

$fr4.svg$

Цей процес повторюється, щоб сформувати Крок 3. Знову ж таки, кожен відрізок лінії замінюється масштабованою копією генератора.

$fr5.svg$

Зверніть увагу, що оскільки крок 0 мав лише 1 відрізок лінії, крок 1 вимагав лише одну копію кроку 0.

Так як крок 1 мав 4 відрізки лінії, крок 2 вимагав 4 копії генератора.

Крок 2 тоді мав 16 відрізків лінії, тому крок 3 вимагав 16 копій генератора.

Крок 4, значить, будуть потрібні$16 \times 4 = 64$ копії генератора.

Форма, отримана в результаті ітерації цього процесу, називається кривою Коха, названою на честь Гельге фон Коха, який вперше дослідив її в 1904 році.

$fr6.svg$