7.1: Набори та підрахунок
- Page ID
- 66900
У цьому розділі ви навчитеся:
- Використовуйте множини для представлення об'єднань, перетинів та доповнень множин
- Використовуйте діаграми Венна для вирішення проблем підрахунку.
Вступ до наборів
У цьому розділі ми ознайомимося з встановленими операціями та позначеннями, щоб ми могли застосувати ці поняття як до задач підрахунку, так і до ймовірності. Почнемо з визначення деяких термінів.
Набір - це сукупність предметів, а його члени називаються елементами множини.
Ми називаємо набір, використовуючи великі літери, і укладемо його члени в фігурні дужки. Припустимо, нам потрібно перерахувати членів шахового клубу. Використовуємо наступні множини позначень.
C = {Кен, Боб, Тран, Шанті, Ерік}
Набір, який не має членів, називається порожнім набором. Порожній набір позначається символом\(\varnothing\).
Дві множини рівні, якщо вони мають однакові елементи.
Набір\(A\) є підмножиною множини,\(B\) якщо кожен член також\(A\) є членом\(B\).
Припустимо, C = {Al, Bob, Chris, David, Ed} і A = {Боб, Девід}. Тоді A - це підмножина C, записана як A\(\subseteq\) C.
Кожен набір є підмножиною самого себе, а порожній набір є підмножиною кожного набору.
Дозволяти\(A\) і\(B\) бути два множини, то об'єднання\(A\) і\(B\), написане як\(A \cup B\), є сукупністю всіх елементів, які знаходяться\(A\) або в або в\(B\), або в обох\(A\) і\(B\).
Нехай\(A\) і\(B\0 be two sets, then the intersection of \(A\) і\(B\), написане як\(A \cap B\), - це сукупність всіх елементів, які є загальними для обох множин\(A\) і\(B\).
Універсальний набір\(U\) - це набір, що складається з усіх розглянутих елементів.
Нехай\(A\) буде будь-який набір, тоді доповненням безлічі\(A\), написаного як\(\bar{\mathrm{A}}\), є набір, що складається з елементів в універсальному наборі\(U\), яких немає в\(A\).
Дві множини A і B називаються нез'єднаними множинами, якщо їх перетин є порожнім набором. Зрозуміло, що набір і його доповнення є неспільними; однак два набори можуть бути непоєднуваними і не бути доповненнями.
Перерахуйте всі підмножини набору основних кольорів {червоний, жовтий, синій}.
Рішення
Підмножини\(\varnothing\): {червоний}, {жовтий}, {синій}, {червоний, жовтий}, {червоний, синій}, {жовтий, синій}, {червоний, жовтий, синій}
Зауважте, що порожній набір є підмножиною кожного множини, а набір - це сама підмножина.
Нехай F = {Айкман, Джексон, Райс, Сандерс, Янг}, і нехай B = {Гріффі, Джексон, Сандерс, Томас}.
Знайти перетин множин F і B.
Рішення
Перетин двох множин - це множина, елементи якої належать обом множинам. Тому F\(\cap\) B = {Джексон, Сандерс}
Знайти об'єднання множин F і B задано наступним чином.
- F = {Айкман, Джексон, Райс, Сандерс, Янг}
- B = {Гріффі, Джексон, Сандерс, Томас}
Рішення
Об'єднання двох множин - це набір, елементи якого знаходяться або в A, або в B або в обох A і B. Зверніть увагу, що при написанні об'єднання двох наборів повторень уникають.
F\(\cup\) B = {Айкман, Гріффі, Джексон, Райс, Сандерс, Томас, Янг}
Нехай універсальний набір U = {червоний, помаранчевий, жовтий, зелений, синій, індиго, фіолетовий}, а P = {червоний, жовтий, синій}. Знайдіть доповнення П.
Рішення
Доповненням множини Р є набір, що складається з елементів в універсальному наборі U, яких немає в П.
\(\bar{P}\)= {помаранчевий, зелений, індиго, фіолетовий}
Щоб досягти кращого розуміння, припустимо, що універсальний набір U представляє кольори спектра, а P - основні кольори, потім\(\bar{P}\) представляє ті кольори спектра, які не є основними кольорами.
Нехай універсальний набір U = {червоний, помаранчевий, жовтий, зелений, синій, індиго, фіолетовий}, а P = {червоний, жовтий, синій}. Знайдіть множину R так, щоб R не було доповненням P, але R і P були нез'єднаними.
Рішення
R = {помаранчевий, зелений} і P = {червоний, жовтий, синій} нез'єднані, оскільки перетин двох множин є порожнім набором. Набори не мають спільних елементів. Однак вони не є доповненнями, оскільки їх об'єднання P\(\cup\) R = {червоний, жовтий, синій, помаранчевий, зелений} не дорівнює універсальному набору U.
Нехай U = {червоний, помаранчевий, жовтий, зелений, синій, індиго, фіолетовий}, P = {червоний, жовтий, синій}, Q = {червоний, зелений}, і R = {помаранчевий, зелений, індиго}. Знайти\(\overline{P \cup Q} \cap \overline{R}\).
Рішення
Ми робимо проблеми поетапно:
P\(\cup\) Q = {червоний, жовтий, синій, зелений}
\(\overline{P \cup Q}\) = {помаранчевий, індиго, фіолетовий}
\(\overline{R}\) = {червоний, жовтий, синій, фіолетовий}
\(\overline{P \cup Q} \cap \overline{R}\) = {фіолетовий}
Діаграми Венна
Тепер ми використовуємо діаграми Венна, щоб проілюструвати відносини між множинами. Наприкінці 1800-х років англійський логік на ім'я Джон Венн розробив метод представлення взаємозв'язку між множинами. Він представив ці відносини за допомогою діаграм, які тепер відомі як діаграми Венна.
Діаграма Венна являє собою набір як внутрішню частину кола. Часто два або більше кола укладені в прямокутник, де прямокутник представляє універсальний набір. Візуалізувати перетин або об'єднання безлічі нескладно. У цьому розділі ми в основному будемо використовувати діаграми Венна для сортування різних популяцій та підрахунку об'єктів.
Припустимо, опитування автолюбителів показало, що за певний часовий проміжок проїхало 30 машин з автоматичними коробками передач, 20 - з стандартними трансмісіями, а 12 - обох типів. Якщо всі в опитуванні ганяли автомобілі з однією з цих трансмісій, то скільки людей брало участь в опитуванні?
Рішення
Для вирішення цієї проблеми ми будемо використовувати діаграми Венна.
Нехай набір А представляють тих автолюбителів, які їздили автомобілі з автоматичними коробками передач, а набір S представляють автолюбителів, які управляли автомобілями зі стандартними трансмісіями. Тепер ми використовуємо діаграми Венна, щоб розібратися з інформацією, наданою в цій задачі.
Оскільки 12 людей їздили обидва автомобілі, ми розміщуємо номер 12 в регіоні, загальному для обох наборів.
Оскільки 30 осіб їздили автомобілі з автоматичними коробками передач, коло А повинен містити 30 елементів. Це означає, що
х + 12 = 30, або х = 18.
Аналогічно, оскільки 20 осіб їздили автомобілі зі стандартними трансмісіями, коло В повинен містити 20 елементів.
Таким чином, у + 12 = 20, що в свою чергу робить y = 8.
Тепер, коли вся інформація розібралася, з діаграми легко прочитати, що 18 осіб водили тільки автомобілі з автоматичними коробками передач, 12 осіб їздили обидва типи автомобілів, а 8 - тільки зі стандартними трансмісіями.
Тому в опитуванні взяли участь 18 + 12 + 8 = 38 осіб.
Опитування 100 людей у Каліфорнії вказує на те, що 60 людей відвідали Діснейленд, 15 відвідали Беррі-ферму Нотта, а 6 відвідали обидва. Скільки людей не відвідало жодного місця?
Рішення
Проблема аналогічна тій, що була в попередньому прикладі.
Нехай набір D представляють людей, які побували в Діснейленді, а K набір людей, які відвідали Беррі Ферму Нотта.
Ми заповнюємо три області, пов'язані з множинами D і K таким же чином, як і раніше. Оскільки в опитуванні брали участь 100 осіб, прямокутник, що представляє універсальний набір U, повинен містити 100 об'єктів. Нехай х представляють тих людей у універсальній множині, яких немає ні в множині D, ні в K. Це означає 54 + 6 + 9 + x = 100, або x = 31.
Тому в опитуванні 31 людина, які не відвідали жодного місця.
Опитування 100 людей, що усвідомлюють фізичні вправи, призвело до наступної інформації:
- 50 пробіжок, 30 плавання та 35 цикл
- 14 пробіжка і плавання
- 7 плавання і велосипед
- 9 пробіжка і цикл
- 3 людини беруть участь у всіх трьох заходах
- Скільки пробіжок, але не плавати чи їздити на велосипеді?
- Скільки беруть участь тільки в одному з заходів?
- Скільки не беруть участі в жодному з цих заходів?
Рішення
Нехай я представляю набір людей, які бігають підтюпцем, S набір людей, які плавають, і C, які їздять на велосипеді.
Використовуючи діаграми Венна, наша кінцева мета полягає в тому, щоб призначити число кожному регіону. Ми завжди починаємо з того, що спочатку присвоюємо номер найпотаємнішому регіону, а потім працюємо наш вихід.
Ми покажемо рішення крок за кроком. Як ви практикуєте розробку таких проблем, ви виявите, що з практикою вам не потрібно буде малювати кілька копій схеми.
Ми розміщуємо 3 у внутрішній області фігури I, оскільки він представляє кількість людей, які беруть участь у всіх трьох заходах. Далі ми використовуємо цифру II для обчислення x, y та z.
Оскільки 14 чоловік бігають і плавають, х + 3 = 14, або х = 11.
Справа в тому, що 9 чоловік пробіжки і цикл призводить до y + 3 = 9, або у = 6.
Оскільки 7 людей плавають і їздять на велосипеді, z + 3 = 7, або z = 4.
Ця інформація зображена на малюнку III.
Тепер приступаємо до пошуку невідомих m, n і p, як показано на малюнку IV
Оскільки 50 чоловік бігають підтюпцем, m + 11 + 6 + 3 = 50, або m = 30.
Плавають 30 осіб, отже, n + 11 + 4 + 3 = 30, або n = 12.
35 осіб циклу, отже, р + 6 + 4 + 3 = 35, або р = 22.
Склавши всі записи у всіх трьох наборах, отримуємо суму 88.
Оскільки було обстежено 100 чоловік, то число всередині універсального набору, але поза всіх трьох комплектів становить 100 - 88, або 12.
На малюнку V вся інформація розібрана, і на питання можна легко відповісти.
- Кількість людей, які бігають підтюпцем, але не плавають або їздять на велосипеді, становить 30.
- Число, які беруть участь тільки в одному з цих заходів, становить 30 + 12 + 22 = 64.
- Кількість людей, які не беруть участі ні в одному з цих заходів, становить 12.