4.2: Метод Гамільтона

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66411

Mike Kenyon & David Lippman
Pierce College via The OpenTextBookStore

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Олександр Гамільтон запропонував метод, який тепер носить його ім'я. Його метод був затверджений Конгресом в 1791 році, але був накладено вето президентом Вашингтоном. Пізніше він був прийнятий в 1852 році і використовувався до 1911 року. Він починає з визначення, до декількох знаків після коми, скільки речей повинна отримати кожна група. Оскільки його цікавило питання представництва в Конгресі, ми будемо використовувати мову держав і представників, тому він визначає, скільки представників має отримати кожна держава. Він слідує наступним крокам:

Метод Гамільтона

Визначте, скільки людей повинен представляти кожен представник. Роблять це, розділивши загальну чисельність населення всіх держав на загальну кількість представників. Ця відповідь називається дільником.
Розділіть населення кожної держави на дільник, щоб визначити, скільки представників воно повинно мати. Запишіть цю відповідь до декількох знаків після коми. Ця відповідь називається квотою. Оскільки ми можемо виділити лише цілих представників, Гамільтон вирішує всю проблему числа наступним чином:
Відріжте всі десяткові частини всіх квот (але не забувайте, якими були десяткові числа). Вони називаються нижчими квотами. Складіть залишилися цілі числа. Ця відповідь завжди буде менше або дорівнює загальній кількості представників (а частина «або дорівнює» відбувається тільки в дуже конкретних обставин, які неймовірно навряд чи з'являться).
Припускаючи, що загальна сума з кроку 3 була меншою за загальну кількість представників, призначте інших представників, по одному кожному, державам, десяткові частини квоти яких були найбільшими, поки не буде досягнута бажана сума.

Переконайтеся, що кожна держава закінчується хоча б одним представником!

Примітка щодо округлення: Сьогодні ми маємо технологічні переваги, які Гамільтон (та інші) навіть не могли собі уявити. Скористайтеся ними, і тримайте кілька знаків після коми.

Приклад 1

Штат Делавер має три округи: Кент, Нью-Касл та Сассекс. Палата представників штату Делавер має 41 члена. Якщо Делавер хоче розділити це представлення за окружними лініями (що не потрібно, але давайте зробимо вигляд, що це роблять), давайте використаємо метод Гамільтона, щоб розподілити їх. Населення округів виглядає наступним чином (з перепису 2010 року):

\ (\ begin {масив} {lr}
\ текст {Графство} &\
текст {Населення}
\\ hline\ текст {Кент} & 162,310
\\\ текст {Новий замок} & 538,479
\\\ текст {Сассекс} & 197,145
\\ textbf {Всього} &\ bf {897,934}\ кінець { масив}\)

Рішення

1. Спочатку визначаємо дільник:\(897,934/41 = 21,900.82927\)

2. Тепер визначаємо квоту кожного округу, розділивши населення округу на дільник:

\ (\ begin {масив} {lr}
\ текст {Графство} &\ текст {Населення} &\
текст {Квота}
\\ hline\ текст {Кент} & 162,310 & 7.4111
\\ текст {Новий замок} & 538,479 & 24.5872\
\\ текст {Сассекс} & 197,145 & 9.0017\\
\ textbf {Всього} &\ bf {897,934} &\ end {масив}\)

3. Видалення десяткових частин квот дає:

\ (\ begin {масив} {lrrc}
\ текст {Графство} &\ текст {Населення} &\ текст {Квота} &\
текст {Початковий}
\\ hline\ текст {Кент} & 162,310 & 7.4111 & 7
\\\ текст {Новий замок} & 538,479 & 24.5872 & 24\\
\ текст { Сассекс} & 197,145 & 9.0017 & 9\\
\ textbf {Всього} &\ bf {897,934} &\ bf {40}\ кінець {масив}\)

4. Нам потрібен 41 представник, і це дає лише 40. Решта йде в графство з найбільшою десятковою частиною, яка є Нью-Касл:

\ (\ begin {масив} {lrrcc}
\ текст {Графство} &\ текст {Населення} &\ текст {Квота} &\ текст {Початковий} &
\ текст {Фінал}
\\ hline\ текст {Кент} & 162,310 & 7.4111 & 7
\\\ текст {Новий замок} & 538,479 & 24.5872 & підсилювач; 24 & 25
\\\ текст {Сассекс} & 197,145 & 9.0017 & 9\\
\ textbf {Всього} &\ bf {897,934} &\ bf {40} &\ bf {41}\ кінець {масив}\)

Приклад 2

Використовуйте метод Гамільтона, щоб розподілити 75 місць Палати представників Род-Айленда серед п'яти округів.

\ (\ begin {масив} {lr}
\ текст {Графство} &\ текст {Населення}
\\ hline\ текст {Брістоль} & 49,875
\\ текст {Кент} & 166,158
\\ текст {Ньюпорт} & 82,888\
\ текст {Провіденс} & 626,667\
\ текст { Вашингтон} & 126,979\\
\ textbf {Всього} &\ bf {1,052,567}\ кінець {масив}\)

Рішення

1. Дільник дорівнює\(1,052,567/75 = 14,034.22667\)

2. Визначте квоту кожного округу, розділивши його населення на дільник:

\ (\ begin {масив} {lrr}
\ текст {Графство} &\ текст {Населення} &\
текст {Квота}\\ hline\ текст {Брістоль} & 49,875 & 3.5538
\\ текст {Кент} & 166,158 & 11.8395
\\\ текст {Ньюпорт} & 82,888 & 5.9061\
\ текст { Провіденс} & 626,667 & 44.6528
\\ текст {Вашингтон} & 126,979 & 9.0478\
\ textbf {Всього} &\ bf {1,052,567} &\ кінець {масив}\)

3. Видаліть десяткову частину кожної квоти:

\ (\ begin {масив} {lrrc}
\ текст {Графство} &\ текст {Населення} &\ текст {Квота} &\
текст {Початковий}\\ hline\ текст {Брістоль} & 49,875 & 3.5538 & 3
\\\ текст {Кент} & 166,158 & 11.8395 & 11\\
\ текст {Ньюпорт} & 82,888 & 5.9061 & 5\\
\ текст {Провидіння} & 626,667 & 44.6528 & 44\
\\ текст {Вашингтон} & 126,979 & 9.0478 & 9\
\\ textbf {Всього} &\ bf {1,052,567} &\ bf {72}\ кінець {масив}\)

4. Нам потрібно 75 представників, і у нас є лише 72, тому ми привласнюємо решту трьох, по одному, до трьох округів з найбільшими десятковими частинами, які є Ньюпорт, Кент і Провіденс:

\ (\ begin {масив} {lrrcc}
\ текст {Графство} &\ текст {Населення} &\ текст {Квота} &\ текст {Початковий} &
\ текст {Фінал}\\ hline\ текст {Брістоль} & 49,875 & 3.5538 & 3
\\\ текст {Кент} & 166,158 & 11.8395 & 11 & 12\\
\ текст {Ньюпорт} & 82,888 & 5.9061 & 5\\
\ текст {Провидіння} & 626,667 & 44.6528 & 44\\
\ текст {Вашингтон} & 126,979 & 9.0478 & 9\\
\ textbf {Всього} &\\ bf {1,052,567} &\\ bf {72} &\ bf {75}\ end {масив}\)

Зверніть увагу, що навіть якщо десяткова частина округу Брістоль перевищує .5, вона недостатньо велика, щоб отримати додаткового представника, оскільки три інші округи мають більші десяткові частини.

Метод Гамільтона підпорядковується тому, що називається Правилом квоти. Правило квоти - це не закон будь-якого роду, а просто ідея, яку деякі люди, включаючи Гамільтона, вважають хорошою.

Правило квоти

Правило квоти говорить, що кінцева кількість представників, яку отримує держава, повинна знаходитися в межах однієї з квоти цієї держави. Оскільки ми маємо справу з цілими числами для наших остаточних відповідей, це означає, що кожна держава повинна або підніматися до наступного цілого числа вище своєї квоти, або до наступного цілого числа нижче його квоти.

полеміка

Побачивши метод Гамільтона, багато людей вважають, що це має сенс, це не так складно використовувати (або, принаймні, складність походить від чисел, які беруть участь, і кількості обчислень, які необхідні, а не від методу), і вони дивуються, чому хтось хотів би інший метод. Проблема в тому, що метод Гамільтона підвладний декільком парадоксів. Три з них траплялися в окремих випадках, коли метод Гамільтона використовувався для розподілу Палати представників Сполучених Штатів.

Алабамський парадокс названий за інцидент, який стався під час розподілу, який відбувся після перепису 1880 року. (Подібний інцидент стався десятьма роками раніше за участю штату Род-Айленд, але парадокс названий на честь Алабами.) Розподіл після 1880 року було завершено за допомогою методу Гамільтона та нових чисельностей населення з перепису населення. Тоді було вирішено, що через зростання населення країни Палату представників слід зробити більше. Це означало, що розподіл потрібно буде зробити знову, все ще використовуючи метод Гамільтона та ті ж номери перепису 1880 року, але з більшою кількістю представників. Припущення полягало в тому, що деякі держави отримають іншого представника, а інші залишаться з тією ж кількістю, яку вони вже мали (оскільки не було достатньо нових представників, щоб дати ще одного кожному штату). Парадокс полягає в тому, що Алабама в кінцевому підсумку втратила представника в процесі, навіть незважаючи на те, що населення не було змінено, а загальна кількість представників збільшилася.

Парадокс нових штатів стався, коли Оклахома стала державою в 1907 році. Оклахома мала достатню кількість населення, щоб претендувати на п'ять представників в Конгресі. Ці п'ять представників повинні були б прийти звідкись, тому п'ять держав, імовірно, втратять по одному представнику кожен. Це сталося, але сталося й інше: Мен придбав представника (з Нью-Йорка).

Парадокс населення стався між розподілами після перепису 1900 і 1910 років. За ці десять років населення Вірджинії зросло середньорічними темпами на 1,07%, тоді як штат Мен зростав середньорічними темпами на 0,67%. Вірджинія почала з більшої кількості людей, росла швидшими темпами, зростала на більшу кількість людей і закінчилася більшою кількістю людей, ніж Мен. Само по собі це не означає, що Вірджинія повинна отримати представників або Мен не повинен, тому що є багато інших штатів. Але Вірджинія в кінцевому підсумку втратила представника штату Мен.