4.5: Метод Хантінгтон-Хілла

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66374

Mike Kenyon & David Lippman
Pierce College via The OpenTextBookStore

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У 1920 році не було зроблено жодного нового розподілу, тому що Конгрес не міг домовитися про метод, який буде використовуватися. Вони призначили комітет математиків для розслідування, і вони рекомендували метод Хантінгтона-Хілла. Вони продовжували використовувати метод Вебстера в 1931 році, але після другої доповіді, що рекомендує Хантінгтон-Хілл, він був прийнятий в 1941 році і є нинішнім методом розподілу, який використовується в Конгресі.

Метод Хантінгтон-Хілла схожий на метод Вебстера, але намагається мінімізувати відсоткові відмінності того, скільки людей буде представляти кожен представник.

Метод Хантінгтон-Хілл

Визначте, скільки людей повинен представляти кожен представник. Роблять це, розділивши загальну чисельність населення всіх держав на загальну кількість представників. Ця відповідь називається стандартним дільником.
Розділіть населення кожної держави на дільник, щоб визначити, скільки представників воно повинно мати. Запишіть цю відповідь до декількох знаків після коми. Ця відповідь називається квотою.
Відріжте десяткову частину квоти, щоб отримати нижню квоту, яку ми будемо називати\(n\). Обчислити\(\sqrt{n(n+1)}\), який є середнім геометричним нижньої квоти і на одне значення вище.
Якщо квота більша за середнє геометричне, округляйте квоту; якщо квота менша за середнє геометричне, округляйте квоту в меншу сторону. Складіть отримані цілі числа, щоб отримати початковий розподіл.
Якщо підсумок з кроку 4 виявився менше загальної кількості представників, зменшіть дільник і перерахуйте квоту і розподіл. Якщо підсумок з 4 кроку був більше загальної кількості представників, збільште дільник і перерахуйте квоту і розподіл. Продовжуйте робити це до тих пір, поки загальна кількість в кроці 4 не дорівнюватиме загальній кількості представників. Дільник, який ми в кінцевому підсумку використовуємо, називається модифікованим дільником або скоригованим дільником.

Приклад 7

Знову ж таки, Делавер, з початковим дільником 21,900.82927:

\ (\ begin {масив} {lrrccc}
\ текст {Графство} &\ текст {Населення} &\ текст {Квота} &\ текст {Нижня квота} &\ текст {Geom Mean} &
\ текст {Початковий}\\ hline\ текст {Кент} & 162,310 & 7.4111 & 7 & 7\
\\ текст {Новий замок} & підсилювач; 538,479 & 24.5872 & 24 & 24.49 & 25\
\\ текст {Сассекс} & 197,145 & 9.0017 & 9 & 9.49 & 9\
\\ textbf {Всього} &\ bf {897,934} & & &\ bf {41}\ кінець {масив}\)

Рішення

Це дає необхідну загальну суму, тому ми закінчили.

Приклад 8

Знову ж таки, Род-Айленд, з початковим дільником 14,034.22667:

\ (\ begin {масив} {lrrccc}
\ текст {Графство} &\ текст {Населення} &\ текст {Квота} &\ текст {Нижня квота} &\ текст {Geom Mean} &\ текст {Початковий}\\ hline\ текст {Брістоль} & 49,875 & 3.5538 & 3 & 3.46 & 4\\
\ текст {Кент} &
166,158 & 11.8395 & 11 & 11.49 & 12\\
\ текст {Ньюпорт} & 82,888 & 5.9061 & 5 & 5.48 & 6\\
\ текст {Провіденс} & 626,667 & 44.6528 & 44 & 44.50 & 45\
\\ текст {Вашингтон} & 126,979 & 9.0478 & 9 & підсилювач; 9.49 & 9
\\\ textbf {Всього} &\ bf {1,052,567} & &\ bf {76}\ кінець {масив}\)

Рішення

Це занадто багато, тому нам потрібно збільшити дільник. Спробуємо 14 100:

\ (\ begin {масив} {lrrccc}
\ текст {Графство} &\ текст {Населення} &\ текст {Квота} &\ текст {Нижня квота} &\ текст {Geom Mean} &\ текст {Початковий}\\ hline\ текст {Брістоль} & 49,875 & 3.5372 & 3 & 3.46 & 4\\
\ текст {Кент} &
166,158 & 11.7843 & 11 & 11.49 & 12\\
\ текст {Ньюпорт} & 82,888 & 5.8786 & 5 & 5.48 & 6\\
\ текст {Провіденс} & 626 667 & 5.8786 & 5 & 44.50 & 44\
\\ текст {Вашингтон} & 126,979 & 9.0056 & 9 & ; 9.49 & 9\\
\ textbf {Всього} &\ bf {1,052,567} & &\ bf {75}\ кінець {масив}\)

Це працює, тому ми закінчили.

В обох цих випадках розподіл, вироблений методом Хантінгтон-Хілла, був таким же, як і метод Вебстера.

Приклад 9

Розглянемо невелику країну з 5 державами, два з яких набагато більше інших. Нам потрібно розподілити 70 представників. Ми будемо розподіляти як методом Вебстера, так і методом Хантінгтона-Хілла.

\ (\ begin {масив} {lr}
\ текст {стан} &\ текст {населення}
\\ hline\ mathrm {A} & 300,500\
\ mathrm {B} & 200,000\
\ mathrm {C} & 50 000\
\ mathrm {D} & 38000\\
\ mathrm {E} & 21,500
\ кінець {масив}\)

Рішення

1. Загальна чисельність населення становить 610 000 осіб. Розділення цього на 70 представників дає дільник: 8714.286.

2. Розділення населення кожної держави на дільник дає квоти.

\ (\ begin {масив} {lrr}
\ текст {стан} &\ текст {населення} &\ текст {Квота}\\ hline\ текст {A} & 300,500 & 34.48361
\\ текст {B} & 200,000 & 22.95082\
\ текст {C} & 50 000 & 5.737705\
\ текст {D}
& 38,000 & 4.360656\
\ текст {E} & 21,500 & 2.467213
\ кінець {масив}\)

Метод Вебстера

3. Використовуючи метод Вебстера, ми округляємо кожну квоту до найближчого цілого числа

\ (\ begin {масив} {lrrr}
\ текст {стан} &\ текст {населення} &\ текст {Квота} &\ текст {Початковий}
\\ hline\ mathrm {A} & 300 500 & 34.48361 & 34\\
\ mathrm {B} & 200,000 & 22.95082 & 23\\
\ mathrm {C} & 50,000 & 5.737705 & 6\\
\ матхм {D} & 38 000 & 4.360656 & 4\\
\ матхрм {E} & 21,500 & 2.467213 & 2
\ кінець {масив}\)

4. Склавши їх, вони всього лише 69 представників, тому ми регулюємо дільник вниз. Регулювання дільника до 8700 дає оновлений розподіл на загальну суму 70 представників

\ (\ begin {масив} {lrrr}
\ текст {стан} &\ текст {населення} &\ текст {Квота} &\ текст {Початковий}
\\ hline\ mathrm {A} & 300,500 & 34.54023 & 35\\
\ mathrm {B} & 200,000 & 22.98851 & 23\\
\ mathrm {C} & 50,000 & 5.747126 & 6\\
\ матхм {D} & 38 000 & 4.367816 & 4\\
\ матхрм {E} & 21,500 & 2.471264 & 2
\ кінець {масив}\)

Метод Хантінгтон-Хілл

3. Використовуючи метод Хантінгтона-Хілла, округляємо вниз, щоб знайти нижню квоту, потім обчислюємо середнє геометричне на основі кожної нижньої квоти. Якщо квота менше середнього геометричного, округляємо вниз; якщо квота більше середнього геометричного, округляємо в більшу сторону.

\ (\ begin {масив} {lrrrrr}
\ текст {стан} &\ текст {населення} &\ текст {Квота} &\ begin {масив} {r}
\ текст {Нижній}\
\ текст {Квота}
\ кінець {масив} &\ begin {масив} {r}
\ текст {Геометричний}\
\ текст {Середній}
\ кінець {масив} &\ текст {початковий}\
\ hline\ mathrm {A} & 300,500 & 34.48361 & 34 & 34.49638 & 34\
\\ матхм {B} & 200,000 & 22.95082 & 22 & 22.49444 & 23\\
\ математика {C} & 50 000 & 5.737705 & 5 & 5 .477226 & 6\\
\ матхм {D} & 38,000 & 4.360656 & 4 & 4.472136 & 4\
\\ математика {E} & 21,500 & 2.467213 & 2 & 2.44949 & 3
\ кінець {масив}\)

Ці виділення складаються до 70, тож ми закінчили.

Зверніть увагу, що цей розподіл відрізняється від того, що виробляється методом Вебстера. У цьому випадку держава Е отримала додаткове місце замість штату А.