3.1: Транспонування матриці

Цілі навчання

• T/F: Якщо\(A\)\(3\times 5\) матриця, то\(A^{T}\) буде\(5\times 3\) матриця.
• Де є нулі у верхній трикутній матриці?
• T/F: Матриця симетрична, якщо вона не змінюється, коли ви приймаєте її транспонування.
• Що таке транспонування транспонування\(A\)?
• Дайте ще 2 терміни для опису симетричних матриць крім «цікавих».

Ми стрибаємо вправо з визначенням.

Визначення: Транспонувати

\(A\)Дозволяти бути\(m\times n\) матрицею. Транпсис\(A\), позначається, є\(n\times m\) матрицею\(A^{T}\), стовпці якої є відповідними рядками\(A\).

Приклади дозволять зробити це визначення зрозумілим.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Знайдіть транспонування\(A=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{4}&{5}&{6}\end{array}\right].\)

Рішення

Зверніть увагу, що\(A\) is a \(2\times 3\) matrix, so \(A^{T}\) will be a \(3 \times 2\) matrix. By the definition, the first column of \(A^{T}\) is the first row of \(A\); the second column of \(A^{T}\) is the second row of \(A\). Therefore,

\[A^{T}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{4}\\{2}&{5}\\{3}&{6}\end{array}\right]. \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Знайдіть транспонування наступних матриць.

\[A=\left[\begin{array}{cccc}{7}&{2}&{9}&{1}\\{2}&{-1}&{3}&{0}\\{-5}&{3}&{0}&{11}\end{array}\right]\quad B=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{10}&{-2}\\{3}&{-5}&{7}\\{4}&{2}&{-3}\end{array}\right]\quad C=\left[\begin{array}{ccccc}{1}&{-1}&{7}&{8}&{3}\end{array}\right] \nonumber \]

Рішення

Ми знаходимо кожне транспонування, використовуючи визначення без пояснення причин. Зверніть увагу на розміри вихідної матриці і розміри її транспонування.

\[A^{T}=\left[\begin{array}{ccc}{7}&{2}&{-5}\\{2}&{-1}&{3}\\{9}&{3}&{0}\\{1}&{0}&{11}\end{array}\right]\quad B^{T}=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{3}&{4}\\{10}&{-5}&{2}\\{-2}&{7}&{-3}\end{array}\right]\quad C^{T}=\left[\begin{array}{c}{1}\\{-1}\\{7}\\{8}\\{3}\end{array}\right] \nonumber \]

Зверніть увагу, що з матрицею\(B\), коли ми взяли транспонування, діагональ не змінилася. Ми бачимо, яка діагональ нижче, де ми переписуємо,\(B\) і\(B^{T}\) з діагоналлю жирним шрифтом. Ми будемо слідувати за цим визначенням того, що ми маємо на увазі під «діагоналлю матриці», разом з кількома іншими пов'язаними визначеннями.

\[B=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{1}}&{10}&{-2}\\{3}&{\mathbf{-5}}&{7}\\{4}&{2}&{\mathbf{-3}}\end{array}\right]\quad B^{T}=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{1}}&{3}&{4}\\{10}&{\mathbf{-5}}&{2}\\{-2}&{7}&{\mathbf{-3}}\end{array}\right] \nonumber \]

Ймовірно, цілком зрозуміло, чому ми називаємо ці записи «діагоналлю». Ось формальне визначення.

Визначення: Діагональ, Діагональна матриця, Трикутні матриці

\(A\)Дозволяти бути\(m\times n\) матрицею. Діагональ\(A\) складається з записів\(a_{11},\: a_{22},\cdots\)\(A\).

• Діагональна матриця - це\(n\times n\) матриця, в якій на діагоналі лежать єдині ненульові записи.
• Верхня (нижня) трикутна матриця - це матриця, в якій будь-які ненульові записи лежать на або вище (нижче) діагоналі.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Розглянемо матриці\(A\)\(B\),\(C\) а\(I_{4}\), а також їх транспонати, де

\[A=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{0}&{4}&{5}\\{0}&{0}&{6}\end{array}\right]\quad B=\left[\begin{array}{ccc}{3}&{0}&{0}\\{0}&{7}&{0}\\{0}&{0}&{-1}\end{array}\right]\quad C=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{0}&{4}&{5}\\{0}&{0}&{6}\\{0}&{0}&{0}\end{array}\right]. \nonumber \]

Визначте діагональ кожної матриці та вкажіть, чи є кожна матриця діагональною, верхньою трикутною, нижньою трикутною або жодною з перерахованих вище.

Рішення

Спочатку обчислюємо транспонування кожної матриці.

\[A^{T}=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{2}&{4}&{0}\\{3}&{5}&{6}\end{array}\right]\quad B^{T}=\left[\begin{array}{ccc}{3}&{0}&{0}\\{0}&{7}&{0}\\{0}&{0}&{-1}\end{array}\right]\quad C^{T}=\left[\begin{array}{cccc}{1}&{0}&{0}&{0}\\{2}&{4}&{0}&{0}\\{3}&{5}&{6}&{0}\end{array}\right] \nonumber \]

Зауважте, що\(I_{4}^{T}=I_{4}\).

Діагоналі\(A\) і\(A^{T}\) однакові, що складаються з записів\(1,\: 4\) і\(6\). Діагоналі\(B\) і\(B^{T}\) теж однакові, що складаються з записів\(3,\: 7\) і\(-1\). Нарешті, діагоналі\(C\) і\(C^{T}\) однакові, що складаються з записів\(1,\: 4\) і\(6\).

Матриця\(A\) верхня трикутна; єдині ненульові записи лежать на діагоналі або над нею. Аналогічно,\(A^{T}\) нижня трикутна.

Матриця\(B\) діагональна. За їх визначеннями ми також можемо побачити, що\(B\) є як верхнім, так і нижнім трикутним. Аналогічним чином\(I_{4}\) відбувається діагональна, а також верхня і нижня трикутна.

Нарешті,\(C\) верхній трикутний, з\(C^{T}\) нижнім трикутним.

Зверніть увагу на визначення діагональних і трикутних матриць. Ми вказуємо, що діагональна матриця повинна бути квадратною, але трикутні матриці не повинні бути. («Більшість» часу, однак, ті, які ми вивчаємо, є.) Також, як ми вже згадували раніше в прикладі, за визначенням діагональна матриця також буває як верхньою, так і нижньою трикутною. Нарешті, зверніть увагу, що за визначенням, транспонування верхньої трикутної матриці є нижньою трикутною матрицею, і навпаки.

Є багато питань для зондування, що стосуються операцій транспонування. \(^{1}\)Перший набір питань, які ми будемо досліджувати, включають матричну арифметику, яку ми дізналися з останньої глави. Ми проводимо це дослідження на прикладах, а потім підсумовуємо те, що ми дізналися в кінці.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Нехай

\[A=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{4}&{5}&{6}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad B=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{1}\\{3}&{-1}&{0}\end{array}\right]. \nonumber \]

Знайти\(A^{T}+B^{T}\) і\((A+B)^{T}\).

Рішення

Відзначимо, що

\[A^{T}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{4}\\{2}&{5}\\{3}&{6}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad B^{T}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{3}\\{2}&{-1}\\{1}&{0}\end{array}\right]. \nonumber \]

Тому

\[\begin{align}\begin{aligned}A^{T}+B^{T}&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{4}\\{2}&{5}\\{3}&{6}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{1}&{3}\\{2}&{-1}\\{1}&{0}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}{2}&{7}\\{4}&{4}\\{4}&{6}\end{array}\right].\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Крім того,

\[\begin{align}\begin{aligned}(A+B)^{T}&=\left(\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{4}&{5}&{6}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{1}\\{3}&{-1}&{0}\end{array}\right]\right)^{T} \\ &=\left(\left[\begin{array}{ccc}{2}&{4}&{4}\\{7}&{4}&{6}\end{array}\right]\right)^{T} \\ &=\left[\begin{array}{cc}{2}&{7}\\{4}&{4}\\{4}&{6}\end{array}\right].\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Це виглядає так, як «сума транспонувань - це транспонування суми». \(^{2}\)Це повинно змусити нас замислитися, як транспонування працює з множенням.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Нехай

\[A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad B=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{-1}\\{1}&{0}&{1}\end{array}\right]. \nonumber \]

Знайти\((AB)^{T}\),\(A^{T}B^{T}\) і\(B^{T}A^{T}\).

Рішення

Спочатку відзначимо, що

\[A^{T}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{3}\\{2}&{4}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad B^{T}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\\{2}&{0}\\{-1}&{1}\end{array}\right]. \nonumber \]

Знайти\((AB)^{T}\):

\[\begin{align}\begin{aligned}(AB)^{T}&=\left(\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{-1}\\{1}&{0}&{1}\end{array}\right]\right)^{T} \\ &=\left(\left[\begin{array}{ccc}{3}&{2}&{1}\\{7}&{6}&{1}\end{array}\right]\right)^{T} \\ &=\left[\begin{array}{cc}{3}&{7}\\{2}&{6}\\{1}&{1}\end{array}\right]\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Тепер знайдіть\(A^{T}B^{T}\):

\[\begin{align}\begin{aligned}A^{T}B^{T}&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{3}\\{2}&{4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\\{2}&{0}\\{-1}&{1}\end{array}\right] \\ &=\text{Not defined!}\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Таким чином, ми не можемо обчислити\(A^{T}B^{T}\). Let’s finish by computing \(B^{T}A^{T}\):

\[\begin{align}\begin{aligned}B^{T}A^{T}&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\\{2}&{0}\\{-1}&{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{3}\\{2}&{4}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}{3}&{7}\\{2}&{6}\\{1}&{1}\end{array}\right]\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Ми, можливо, підозрювали це\((AB)^{T}=A^{T}B^{T}\). Ми побачили, що це не так, хоча - і не тільки він не був рівним, другий продукт навіть не був визначений! Як не дивно, хоча, ми це бачили\((AB)^{T}=B^{T}A^{T}\). \(^{3}\)Щоб допомогти зрозуміти, чому це так, озирніться назад на роботу вище і підтвердіть кроки кожного множення.

У нас є ще одна арифметична операція, щоб подивитися на: зворотна.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Нехай

\[A=\left[\begin{array}{cc}{2}&{7}\\{1}&{4}\end{array}\right]. \nonumber \]

Знайти\((A^{-1})^{T}\) і\((A^{T})^{-1}\).

Рішення

Спочатку знаходимо\(A^{-1}\) і\(A^{T}\):

\[A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{4}&{-7}\\{-1}&{2}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad A^{T}=\left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{7}&{4}\end{array}\right]. \nonumber \]

Знаходження\((A^{-1})^{T}\):

\[\begin{align}\begin{aligned}(A^{-1})^{T}&=\left[\begin{array}{cc}{4}&{-7}\\{-1}&{2}\end{array}\right]^{T} \\ &=\left[\begin{array}{cc}{4}&{-1}\\{-7}&{2}\end{array}\right]\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Знаходження\((A^{T})^{-1}\):

\[\begin{align}\begin{aligned}(A^{T})^{-1}&=\left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{7}&{4}\end{array}\right]^{-1} \\ &=\left[\begin{array}{cc}{4}&{-1}\\{-7}&{2}\end{array}\right]\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Здається, що «зворотне транспонування - це транспонування зворотного». \(^{4}\)

Ми щойно розглянули деякі приклади того, як операція транспонування взаємодіє з матричними арифметичними операціями. \(^{5}\)Зараз ми наведемо теорему, яка говорить нам, що те, що ми бачили, не було збігом, а завжди вірно.

Теорема\(\PageIndex{1}\): Properties of the Matrix Transpose

\(A\)\(B\)Дозволяти і бути матриці, де визначені наступні операції. Потім:

1. \((A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}\)і\((A-B)^{T}=A^{T}-B^{T}\)
2. \((kA)^{T}=kA^{T}\)
3. \((AB)^{T}=B^{T}A^{T}\)
4. \((A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}\)
5. \((A^{T})^{T}=A\)

Ми включили в теорему дві ідеї, які ми ще не обговорювали. По-перше, це\((kA)^{T}=kA^{T}\). Це, мабуть, очевидно. Не має значення, коли ви множите матрицю на скаляр при роботі з транспонаціями.

Другий «новий» пункт - це те\((A^{T})^{T}=A\). Тобто, якщо ми візьмемо транспонування матриці, потім знову візьмемо її транспонування, що ми маємо? Оригінальна матриця.

Тепер, коли ми знаємо деякі властивості операції транспонування, ми спокушаємося пограти з нею і подивитися, що станеться. Наприклад, якщо\(A\)\(m\times n\) матриця, ми знаємо, що\(A^{T}\) це\(n\times m\) матриця. Так що незалежно від того, з якої матриці\(A\) ми починаємо, ми завжди можемо виконати множення\(AA^{T}\) (а також\(A^{T}A\)) і результатом є квадратна матриця!

Інша справа запитати себе, як ми «граємо» з транспонуванням: припустимо,\(A\) це квадратна матриця. Чи є щось особливе\(A+A^{T}\)? Наступний приклад змушує нас випробувати ці ідеї.

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Нехай

\[A=\left[\begin{array}{ccc}{2}&{1}&{3}\\{2}&{-1}&{1}\\{1}&{0}&{1}\end{array}\right]. \nonumber \]

Знайти\(AA^{T}\),\(A+A^{T}\) і\(A-A^{T}\).

Рішення

Знаходження\(AA^{T}\):

\[\begin{align}\begin{aligned}AA^{T}&=\left[\begin{array}{ccc}{2}&{1}&{3}\\{2}&{-1}&{1}\\{1}&{0}&{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{2}&{2}&{1}\\{1}&{-1}&{0}\\{3}&{1}&{1}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{ccc}{14}&{6}&{5}\\{6}&{4}&{3}\\{5}&{3}&{2}\end{array}\right]\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Знаходження\(A+A^{T}\):

\[\begin{align}\begin{aligned}A+A^{T}&=\left[\begin{array}{ccc}{2}&{1}&{3}\\{2}&{-1}&{1}\\{1}&{0}&{1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}{2}&{2}&{1}\\{1}&{-1}&{0}\\{3}&{1}&{1}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{ccc}{2}&{3}&{4}\\{3}&{-2}&{1}\\{4}&{1}&{2}\end{array}\right]\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Знаходження\(A-A^{T}\):

\[\begin{align}\begin{aligned}A-A^{T}&=\left[\begin{array}{ccc}{2}&{1}&{3}\\{2}&{-1}&{1}\\{1}&{0}&{1}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}{2}&{2}&{1}\\{1}&{-1}&{0}\\{3}&{1}&{1}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{ccc}{0}&{-1}&{2}\\{1}&{0}&{1}\\{-2}&{-1}&{0}\end{array}\right]\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Давайте розглянемо матриці, які ми сформували в цьому прикладі. Спочатку розглянемо\(AA^{T}\). Здається, щось приємне в цій матриці - подивіться на розташування 6, 5 і 3. Точніше, давайте подивимося на транспонування\(AA^{T}\). Ми повинні зауважити, що якщо взяти транспонування цієї матриці, ми маємо ту саму матрицю. Тобто,

\[\left(\left[\begin{array}{ccc}{14}&{6}&{5}\\{6}&{4}&{3}\\{5}&{3}&{2}\end{array}\right]\right)^{T}=\left[\begin{array}{ccc}{14}&{6}&{5}\\{6}&{4}&{3}\\{5}&{3}&{2}\end{array}\right]! \nonumber \]

Ми формально визначимо це в момент, але матриця, яка дорівнює його транспонування називається симетричною.

Подивіться на наступну частину прикладу; про що ми помічаємо\(A+A^{T}\)? Ми повинні бачити, що вона теж симетрична. Нарешті, розглянемо останню частину прикладу: чи помічаємо ми що-небудь про\(A-A^{T}\)?

Відразу слід помітити, що він не симетричний, хоча і здається «близьким». Замість того, щоб він дорівнював його транспонуванню, ми помічаємо, що ця матриця протилежна її транспонуванню. Цей тип матриці ми називаємо симетричним. \(^{6}\)Ми формально визначаємо ці матриці тут.

Визначення: Симетричні та косі симетричні матриці

\(A\)Матриця симетрична, якщо\(A^{T}=A\).

Матриця\(A\) є косою симетричною, якщо\(A^{T}=-A\).

Зверніть увагу, що для того, щоб матриця була або симетричною, або косою симетричною, вона повинна бути квадратною.

Так чому ж була\(AA^{T}\) симетричною в нашому попередньому прикладі? Нам просто пощастило? \(^{7}\)Давайте візьмемо транспонування\(AA^{T}\) і подивимося, що станеться.

\[\begin{align}\begin{aligned} (AA^{T})^{T}&=(A^{T})^{T}(A)^{T} &\text{transpose multiplication rule} \\ &=AA^{T} &(A^{T})^{T}=A\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Ми щойно довели, що незалежно від того, з якої матриці\(A\) ми починаємо, матриця\(AA^{T}\) буде симетричною. Ніщо в нашому рядку рівностей навіть не вимагало\(A\) бути квадратною матрицею; це завжди вірно.

Ми можемо зробити подібний доказ, щоб показати, що поки\(A\) квадрат,\(A+A^{T}\) є симетричною матрицею. \(^{8}\)Ми замість цього покажемо тут, що якщо\(A\) квадратна матриця, то\(A-A^{T}\) є нахил симетричний.

\[\begin{align}\begin{aligned} (A-A^{T})^{T}&=A^{T}-(A^{T})^{T} &\text{transpose subtraction rule} \\ &=A^{T}-A \\ &=-(A-A^{T})\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Отже, ми взяли транспонування\(A-A^{T}\) і ми отримали\(-(A-A^{T})\); це визначення перекісу симетричного.

Ми візьмемо те, що ми дізналися з Прикладу\(\PageIndex{7}\) і покладемо його в коробку. (Ми вже довели, що більшість з цього вірно; решту ми залишаємо вирішувати у Вправи.)

Теорема\(\PageIndex{2}\)

Симетричні та косі симетричні матриці

1. З огляду на будь-яку матрицю\(A\), матриці\(AA^{T}\) і\(A^{T}A\) є симетричними.
2. \(A\)Дозволяти квадратної матриці. \(A + A^{T}\)Матриця симетрична.
3. \(A\)Дозволяти квадратної матриці. \(A − A^{T}\)Матриця скошено-симетрична.

Чому ми дбаємо про транспонування матриці? Чому ми дбаємо про симетричні матриці?

Є дві відповіді, які відповідають на обидва ці питання. По-перше, нас цікавить транспонування матриці та симетричних матриць, оскільки вони цікаві. \(^{9}\)Одна особливо цікава річ про симетричних і косих симетричних матрицях полягає в наступному: розглянемо суму\((A+A^{T})\) і\((A-A^{T})\):

\[(A+A^{T})+(A-A_{T})=2A. \nonumber \]

Це дає нам уявлення: якби ми помножили обидві сторони цього рівняння на\(\frac12\), тоді права сторона була б просто\(A\). Це означає, що

\[\begin{align}\begin{aligned} A&=\underbrace{\frac{1}{2}(A+A^{T})}+\underbrace{\frac{1}{2}(A-A^{T})}.\\ &\quad\text{symmetric}\qquad\text{skew symmetric}\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Тобто будь-яку матрицю\(A\) можна записати як суму симетричної і косою симетричної матриці. Це цікаво.

Друга причина, по якій ми дбаємо про них, полягає в тому, що вони дуже корисні та важливі в різних областях математики. Транспонування матриці виявляється важливою операцією; симетричні матриці мають багато приємних властивостей, які роблять можливим вирішення певних типів задач.

Велика частина цього тексту зосереджена на попередніх етапах матричної алгебри, і фактичне використання виходить за межі нашої нинішньої сфери. Одним з простих для опису прикладів є підгонка кривої. Припустимо, нам дано великий набір точок даних, які при нанесенні малюнка виглядають приблизно квадратично. Як ми знаходимо квадратику, яка «найкраще відповідає» цим даними? Розв'язок можна знайти за допомогою матричної алгебри, а конкретно матриці, яка називається псевдооберненою. Якщо\(A\) є матрицею, псевдооберненою\(A\) є матриця\(A^{\dagger}=(A^{T}A)^{-1}A^{T}\) (припускаючи, що зворотна існує). Ми не будемо турбуватися про те, що означає все вищезазначене; просто зверніть увагу, що він має прохолодне звучання ім'я, і транспонування з'являється двічі.

У наступному розділі ми дізнаємося про трасування, ще одну операцію, яку можна виконати на матриці, яка відносно проста для обчислення, але може призвести до деяких глибоких результатів.

Виноски

[1] Пам'ятайте, що це те, що роблять математики. Ми дізнаємося щось нове, а потім задаємо багато питань про це. Часто перші питання, які ми задаємо, стосуються «Як ця нова річ пов'язана зі старими речами, про які я вже знаю?»

[2] Це весело сказати, особливо коли сказано швидко. Незалежно від того, наскільки швидко ми це говоримо, ми повинні подумати над цим твердженням. «є» являє собою «дорівнює». Матеріал перед «є» дорівнює матеріалу після цього.

[3] Знову ж таки, можливо, це не все, що «дивно». Він нагадує про те, що, коли обертається,\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\).

[4] Знову ж таки, ми повинні подумати над цим твердженням. Частина перед «is» стверджує, що ми беремо транспонування матриці, а потім знаходимо зворотне. Частина після «is» стверджує, що знаходимо зворотну матрицю, потім беремо транспонування. Оскільки ці два твердження пов'язані «є», вони рівні.

[5] Ці приклади нічого не доводять, крім того, що це працювало на конкретних прикладах.

[6] Деякі математики використовують термін антисиметричний

[7] Звичайно, ні.

[8] Чому ми говоримо, що\(A\) має бути квадратним?

[9] Або: «акуратний», «крутий», «поганий», «злий», «фат», «фо-шизл».