3.1: Транспонування матриці
- T/F: ЯкщоA3×5 матриця, тоAT буде5×3 матриця.
- Де є нулі у верхній трикутній матриці?
- T/F: Матриця симетрична, якщо вона не змінюється, коли ви приймаєте її транспонування.
- Що таке транспонування транспонуванняA?
- Дайте ще 2 терміни для опису симетричних матриць крім «цікавих».
Ми стрибаємо вправо з визначенням.
AДозволяти бутиm×n матрицею. ТранпсисA, позначається, єn×m матрицеюAT, стовпці якої є відповідними рядкамиA.
Приклади дозволять зробити це визначення зрозумілим.
Знайдіть транспонуванняA=[123456].
Рішення
Зверніть увагу, щоA is a 2×3 matrix, so AT will be a 3×2 matrix. By the definition, the first column of AT is the first row of A; the second column of AT is the second row of A. Therefore,
AT=[142536].
Знайдіть транспонування наступних матриць.
A=[72912−130−53011]B=[110−23−5742−3]C=[1−1783]
Рішення
Ми знаходимо кожне транспонування, використовуючи визначення без пояснення причин. Зверніть увагу на розміри вихідної матриці і розміри її транспонування.
AT=[72−52−139301011]BT=[13410−52−27−3]CT=[1−1783]
Зверніть увагу, що з матрицеюB, коли ми взяли транспонування, діагональ не змінилася. Ми бачимо, яка діагональ нижче, де ми переписуємо,B іBT з діагоналлю жирним шрифтом. Ми будемо слідувати за цим визначенням того, що ми маємо на увазі під «діагоналлю матриці», разом з кількома іншими пов'язаними визначеннями.
B=[110−23−5742−3]BT=[13410−52−27−3]
Ймовірно, цілком зрозуміло, чому ми називаємо ці записи «діагоналлю». Ось формальне визначення.
AДозволяти бутиm×n матрицею. ДіагональA складається з записівa11,a22,⋯A.
- Діагональна матриця - цеn×n матриця, в якій на діагоналі лежать єдині ненульові записи.
- Верхня (нижня) трикутна матриця - це матриця, в якій будь-які ненульові записи лежать на або вище (нижче) діагоналі.
Розглянемо матриціAB,C аI4, а також їх транспонати, де
A=[123045006]B=[30007000−1]C=[123045006000].
Визначте діагональ кожної матриці та вкажіть, чи є кожна матриця діагональною, верхньою трикутною, нижньою трикутною або жодною з перерахованих вище.
Рішення
Спочатку обчислюємо транспонування кожної матриці.
AT=[100240356]BT=[30007000−1]CT=[100024003560]
Зауважте, щоIT4=I4.
ДіагоналіA іAT однакові, що складаються з записів1,4 і6. ДіагоналіB іBT теж однакові, що складаються з записів3,7 і−1. Нарешті, діагоналіC іCT однакові, що складаються з записів1,4 і6.
МатрицяA верхня трикутна; єдині ненульові записи лежать на діагоналі або над нею. Аналогічно,AT нижня трикутна.
МатрицяB діагональна. За їх визначеннями ми також можемо побачити, щоB є як верхнім, так і нижнім трикутним. Аналогічним чиномI4 відбувається діагональна, а також верхня і нижня трикутна.
Нарешті,C верхній трикутний, зCT нижнім трикутним.
Зверніть увагу на визначення діагональних і трикутних матриць. Ми вказуємо, що діагональна матриця повинна бути квадратною, але трикутні матриці не повинні бути. («Більшість» часу, однак, ті, які ми вивчаємо, є.) Також, як ми вже згадували раніше в прикладі, за визначенням діагональна матриця також буває як верхньою, так і нижньою трикутною. Нарешті, зверніть увагу, що за визначенням, транспонування верхньої трикутної матриці є нижньою трикутною матрицею, і навпаки.
Є багато питань для зондування, що стосуються операцій транспонування. 1Перший набір питань, які ми будемо досліджувати, включають матричну арифметику, яку ми дізналися з останньої глави. Ми проводимо це дослідження на прикладах, а потім підсумовуємо те, що ми дізналися в кінці.
Нехай
A=[123456]andB=[1213−10].
ЗнайтиAT+BT і(A+B)T.
Рішення
Відзначимо, що
AT=[142536]andBT=[132−110].
Тому
AT+BT=[142536]+[132−110]=[274446].
Крім того,
(A+B)T=([123456]+[1213−10])T=([244746])T=[274446].
Це виглядає так, як «сума транспонувань - це транспонування суми». 2Це повинно змусити нас замислитися, як транспонування працює з множенням.
Нехай
A=[1234]andB=[12−1101].
Знайти(AB)T,ATBT іBTAT.
Рішення
Спочатку відзначимо, що
AT=[1324]andBT=[1120−11].
Знайти(AB)T:
(AB)T=([1234][12−1101])T=([321761])T=[372611]
Тепер знайдітьATBT:
ATBT=[1324][1120−11]=Not defined!
Таким чином, ми не можемо обчислитиATBT. Let’s finish by computing BTAT:
BTAT=[1120−11][1324]=[372611]
Ми, можливо, підозрювали це(AB)T=ATBT. Ми побачили, що це не так, хоча - і не тільки він не був рівним, другий продукт навіть не був визначений! Як не дивно, хоча, ми це бачили(AB)T=BTAT. 3Щоб допомогти зрозуміти, чому це так, озирніться назад на роботу вище і підтвердіть кроки кожного множення.
У нас є ще одна арифметична операція, щоб подивитися на: зворотна.
Нехай
A=[2714].
Знайти(A−1)T і(AT)−1.
Рішення
Спочатку знаходимоA−1 іAT:
A−1=[4−7−12]andAT=[2174].
Знаходження(A−1)T:
(A−1)T=[4−7−12]T=[4−1−72]
Знаходження(AT)−1:
(AT)−1=[2174]−1=[4−1−72]
Здається, що «зворотне транспонування - це транспонування зворотного». 4
Ми щойно розглянули деякі приклади того, як операція транспонування взаємодіє з матричними арифметичними операціями. 5Зараз ми наведемо теорему, яка говорить нам, що те, що ми бачили, не було збігом, а завжди вірно.
ABДозволяти і бути матриці, де визначені наступні операції. Потім:
- (A+B)T=AT+BTі(A−B)T=AT−BT
- (kA)T=kAT
- (AB)T=BTAT
- (A−1)T=(AT)−1
- (AT)T=A
Ми включили в теорему дві ідеї, які ми ще не обговорювали. По-перше, це(kA)T=kAT. Це, мабуть, очевидно. Не має значення, коли ви множите матрицю на скаляр при роботі з транспонаціями.
Другий «новий» пункт - це те(AT)T=A. Тобто, якщо ми візьмемо транспонування матриці, потім знову візьмемо її транспонування, що ми маємо? Оригінальна матриця.
Тепер, коли ми знаємо деякі властивості операції транспонування, ми спокушаємося пограти з нею і подивитися, що станеться. Наприклад, якщоAm×n матриця, ми знаємо, щоAT цеn×m матриця. Так що незалежно від того, з якої матриціA ми починаємо, ми завжди можемо виконати множенняAAT (а такожATA) і результатом є квадратна матриця!
Інша справа запитати себе, як ми «граємо» з транспонуванням: припустимо,A це квадратна матриця. Чи є щось особливеA+AT? Наступний приклад змушує нас випробувати ці ідеї.
Нехай
A=[2132−11101].
ЗнайтиAAT,A+AT іA−AT.
Рішення
ЗнаходженняAAT:
AAT=[2132−11101][2211−10311]=[1465643532]
ЗнаходженняA+AT:
A+AT=[2132−11101]+[2211−10311]=[2343−21412]
ЗнаходженняA−AT:
A−AT=[2132−11101]−[2211−10311]=[0−12101−2−10]
Давайте розглянемо матриці, які ми сформували в цьому прикладі. Спочатку розглянемоAAT. Здається, щось приємне в цій матриці - подивіться на розташування 6, 5 і 3. Точніше, давайте подивимося на транспонуванняAAT. Ми повинні зауважити, що якщо взяти транспонування цієї матриці, ми маємо ту саму матрицю. Тобто,
([1465643532])T=[1465643532]!
Ми формально визначимо це в момент, але матриця, яка дорівнює його транспонування називається симетричною.
Подивіться на наступну частину прикладу; про що ми помічаємоA+AT? Ми повинні бачити, що вона теж симетрична. Нарешті, розглянемо останню частину прикладу: чи помічаємо ми що-небудь проA−AT?
Відразу слід помітити, що він не симетричний, хоча і здається «близьким». Замість того, щоб він дорівнював його транспонуванню, ми помічаємо, що ця матриця протилежна її транспонуванню. Цей тип матриці ми називаємо симетричним. 6Ми формально визначаємо ці матриці тут.
AМатриця симетрична, якщоAT=A.
МатрицяA є косою симетричною, якщоAT=−A.
Зверніть увагу, що для того, щоб матриця була або симетричною, або косою симетричною, вона повинна бути квадратною.
Так чому ж булаAAT симетричною в нашому попередньому прикладі? Нам просто пощастило? 7Давайте візьмемо транспонуванняAAT і подивимося, що станеться.
(AAT)T=(AT)T(A)Ttranspose multiplication rule=AAT(AT)T=A
Ми щойно довели, що незалежно від того, з якої матриціA ми починаємо, матрицяAAT буде симетричною. Ніщо в нашому рядку рівностей навіть не вимагалоA бути квадратною матрицею; це завжди вірно.
Ми можемо зробити подібний доказ, щоб показати, що покиA квадрат,A+AT є симетричною матрицею. 8Ми замість цього покажемо тут, що якщоA квадратна матриця, тоA−AT є нахил симетричний.
(A−AT)T=AT−(AT)Ttranspose subtraction rule=AT−A=−(A−AT)
Отже, ми взяли транспонуванняA−AT і ми отримали−(A−AT); це визначення перекісу симетричного.
Ми візьмемо те, що ми дізналися з Прикладу3.1.7 і покладемо його в коробку. (Ми вже довели, що більшість з цього вірно; решту ми залишаємо вирішувати у Вправи.)
Симетричні та косі симетричні матриці
- З огляду на будь-яку матрицюA, матриціAAT іATA є симетричними.
- AДозволяти квадратної матриці. A+ATМатриця симетрична.
- AДозволяти квадратної матриці. A−ATМатриця скошено-симетрична.
Чому ми дбаємо про транспонування матриці? Чому ми дбаємо про симетричні матриці?
Є дві відповіді, які відповідають на обидва ці питання. По-перше, нас цікавить транспонування матриці та симетричних матриць, оскільки вони цікаві. 9Одна особливо цікава річ про симетричних і косих симетричних матрицях полягає в наступному: розглянемо суму(A+AT) і(A−AT):
(A+AT)+(A−AT)=2A.
Це дає нам уявлення: якби ми помножили обидві сторони цього рівняння на12, тоді права сторона була б простоA. Це означає, що
A=12(A+AT)⏟+12(A−AT)⏟.symmetricskew symmetric
Тобто будь-яку матрицюA можна записати як суму симетричної і косою симетричної матриці. Це цікаво.
Друга причина, по якій ми дбаємо про них, полягає в тому, що вони дуже корисні та важливі в різних областях математики. Транспонування матриці виявляється важливою операцією; симетричні матриці мають багато приємних властивостей, які роблять можливим вирішення певних типів задач.
Велика частина цього тексту зосереджена на попередніх етапах матричної алгебри, і фактичне використання виходить за межі нашої нинішньої сфери. Одним з простих для опису прикладів є підгонка кривої. Припустимо, нам дано великий набір точок даних, які при нанесенні малюнка виглядають приблизно квадратично. Як ми знаходимо квадратику, яка «найкраще відповідає» цим даними? Розв'язок можна знайти за допомогою матричної алгебри, а конкретно матриці, яка називається псевдооберненою. ЯкщоA є матрицею, псевдооберненоюA є матрицяA†=(ATA)−1AT (припускаючи, що зворотна існує). Ми не будемо турбуватися про те, що означає все вищезазначене; просто зверніть увагу, що він має прохолодне звучання ім'я, і транспонування з'являється двічі.
У наступному розділі ми дізнаємося про трасування, ще одну операцію, яку можна виконати на матриці, яка відносно проста для обчислення, але може призвести до деяких глибоких результатів.
Виноски
[1] Пам'ятайте, що це те, що роблять математики. Ми дізнаємося щось нове, а потім задаємо багато питань про це. Часто перші питання, які ми задаємо, стосуються «Як ця нова річ пов'язана зі старими речами, про які я вже знаю?»
[2] Це весело сказати, особливо коли сказано швидко. Незалежно від того, наскільки швидко ми це говоримо, ми повинні подумати над цим твердженням. «є» являє собою «дорівнює». Матеріал перед «є» дорівнює матеріалу після цього.
[3] Знову ж таки, можливо, це не все, що «дивно». Він нагадує про те, що, коли обертається,(AB)−1=B−1A−1.
[4] Знову ж таки, ми повинні подумати над цим твердженням. Частина перед «is» стверджує, що ми беремо транспонування матриці, а потім знаходимо зворотне. Частина після «is» стверджує, що знаходимо зворотну матрицю, потім беремо транспонування. Оскільки ці два твердження пов'язані «є», вони рівні.
[5] Ці приклади нічого не доводять, крім того, що це працювало на конкретних прикладах.
[6] Деякі математики використовують термін антисиметричний
[7] Звичайно, ні.
[8] Чому ми говоримо, щоA має бути квадратним?
[9] Або: «акуратний», «крутий», «поганий», «злий», «фат», «фо-шизл».