Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.1: Визначення детермінанти

Цілі
  1. Вивчіть визначення детермінанта.
  2. Дізнайтеся деякі способи очного яблука матриці з нульовим детермінантом, і як обчислити детермінанти верхніх і нижніх трикутних матриць.
  3. Вивчіть основні властивості детермінант, і способи їх застосування.
  4. Рецепт: обчислити детермінант за допомогою операцій рядків і стовпців.
  5. Теореми: теорема існування, властивість оборотності, властивість мультиплікативності, властивість транспонування.
  6. Словникові слова: діагональні, верхньо-трикутні, нижньо-трикутні, транспонувати.
  7. Основне словникове слово: детермінант.

У цьому розділі ми визначаємо детермінант і представляємо один із способів його обчислення. Потім ми обговорюємо деякі з багатьох чудових властивостей, якими користується детермінант.

Визначення детермінанти

Визначником квадратної матриціA є дійсне числоdet(A). Він визначається через його поведінку стосовно операцій рядків; це означає, що ми можемо використовувати скорочення рядків для його обчислення. Наведемо рекурсивну формулу для визначника в розділі 4.2. Ми також покажемо в підрозділі Магічні властивості детермінанти, що детермінант пов'язаний з оборотністю, а в розділі 4.3 що він пов'язаний з томами.

Визначення4.1.1: Determinant

Детермінант - це функція

det:{square matrices}R

задовольняють такі властивості:

  1. Робити заміну ряду наA не змінюєтьсяdet(A).
  2. Масштабування рядкаA скаляромc множить детермінант наc.
  3. Переміщення двох рядків матриці множить детермінант на1.
  4. Визначник матриці ідентичностіIn дорівнює1.

Іншими словами, кожній квадратній матриціA ми присвоюємо числоdet(A) таким чином, що задовольняє вищезазначеним властивостям.

У кожному з перших трьох випадків виконання рядкової операції на матриці масштабує детермінант на ненульове число. (Множення рядка на нуль не є операцією рядка.) Таким чином, виконання рядкових операцій на квадратній матриціA не змінює, чи є детермінант нулем.

Основною мотивацією використання цих визначальних властивостей є геометрична: див. Розділ 4.3. Ще одна мотивація цього визначення полягає в тому, що воно говорить нам, як обчислити детермінант: ми рядимо зменшуємо і стежимо за змінами.

Приклад4.1.1

Обчислимоdet(2114). Спочатку рядки зменшуємо, потім обчислюємо детермінант в протилежному порядку:

\ begin {align*}\ amp\ left (\ begin {масив} {cc} 2&1\ 1&4\ end {масив}\ праворуч)\ ампер\ det\ amp = 7\\\;\ xrightarrow {R_1\\ ліворуч R_2}\;\ amp\ лівий (\ початок {масив} {cc} 1&4\ 2&1\ кінець {масив}\ праворуч)\ амп\ стійка\ det\ amp= -7\\\;\ xrightarrow {R_2=R_2-2R_1}\;\ амп\ ліворуч (\ begin {масив} {cc} 1&4\\ 0&-7\ end { масив}\ праворуч)\ амп\ стійка\ det\ amp= -7\\\;\ xrightarrow {R_2=R_2\ div -7}\;\ амп\ ліворуч (\ початок {масив} {cc} 1&4\\ 0&1\ кінець {масив}\ праворуч)\ амп\ det\ amp = 1\\;\ xrightarrow {R_1)\ =R_1-4R_2}\;\ amp\ лівий (\ begin {масив} {cc} 1&0\ 0&1\ end {масив}\ праворуч)\ амп\ стійка\ det\ amp= 1\ кінець {align*}

Зведена форма ешелону рядків матриці є тотожною матрицею,I2, тому її детермінантою є1. Другим останнім кроком у скороченні рядка була заміна рядка, тому друга кінцева матриця також має детермінант1. Попереднім кроком у скороченні рядка було масштабування рядків,1/7; оскільки (визначник другої матриці разів1/7) -1, визначник другої матриці повинен бути7. Першим кроком у скороченні рядків був підкачка рядків, тому визначальником першої матриці є негативний детермінант другої. Таким чином, визначником вихідної матриці є7.

Зверніть увагу, що наша відповідь узгоджується з Визначенням 3.5.2 в розділі 3.5 детермінанта.

Приклад4.1.2

Обчислитиdet(1003).

Рішення

НехайA=(1003). Так якA виходить відI2 множення другого ряду на константу у3, нас

det(A)=3det(I2)=31=3.

Зверніть увагу, що наша відповідь узгоджується з Визначенням 3.5.2 в розділі 3.5 детермінанта.

Приклад4.1.3

Обчислитиdet(100001510).

Рішення

Спочатку рядки зменшуємо, потім обчислюємо детермінант в зворотному порядку:

\ begin {align*}\ amp\ left (\ begin {масив} {ccc} 1&0&0\\ 0&1\ 5&0\ end {масив}\ праворуч)\ амп\ det\ amp=-1\\\;\ xrightarrow {R_2\ lefrightarrow R_3}\;\ amp\ left (\ begin {масив} ccc} 1&0&0\\ 5&1&0\\ 0&0&1\ кінець {масив}\ праворуч)\ підсилювач\ стійка\ det\ amp= 1\\\;\ xrightarrow {R_2=R_2-5R_1} \;\ amp\ left (\ begin {масив} {ccc} 1&0&0\\ 0&0\ 0&0\ 0&0\ 0&1\ кінець {масив}\ праворуч)\ підсилювач\ стійка\ det\ amp= 1\ end {align*}

Скорочена форма ешелону рядка,I3, яка має детермінанту1. Працюючи назад відI3 і використовуючи чотири визначальні властивості Definition4.1.1, ми бачимо, що друга матриця також має детермінант1 (вінI3 відрізняється від заміною рядка), а перша матриця має детермінант1 (відрізняється від другої підкачуванням рядків).

Ось загальний метод обчислення детермінант за допомогою скорочення рядків.

Рецепт: Обчислення детермінант шляхом скорочення рядків

AДозволяти квадратної матриці. Припустимо, що ви виконуєте деяку кількість операцій рядків,A щоб отримати матрицюB в рядку ешелону. Тоді

det(A)=(1)r(product of the diagonal entries of B)(product of scaling factors used),

деr - кількість виконаних свопів рядків.

Іншими словами, детермінантоюA є добуток діагональних записів рядкового ешелону формуютьB, рази на коефіцієнт,±1 що виходить від кількості зроблених вами свопів рядків, розділених на добуток коефіцієнтів масштабування, використовуваних при скороченні рядка.

Зауваження

Це ефективний спосіб обчислення визначника великої матриці, вручну або за допомогою комп'ютера. Обчислювальна складність скорочення рядків навпаки, алгоритм розширення кофактора, який ми дізнаємося в розділі 4.2, має складністьO(n!)O(nnn),, яка набагато більша.O(n3); (Розширення кофактора має інше застосування.)

Приклад4.1.4

Обчислитиdet(074246371).

Рішення

Рядок зменшуємо матрицю, відстежуючи кількість свопів рядків та використовуваних коефіцієнтів масштабування.

(074246371)R1R2(246074371)r=1R1=R1÷2(123074371)scaling factors =12R3=R33R1(1230740110)R2R3(1230110074)r=2R3=R3+7R2(12301100074)

Ми зробили два рядки свопи і масштабували один раз на коефіцієнт1/2, так Рецепт: Обчислення детермінанти шляхом скорочення рядків говорить, що

det(074246371)=(1)211(74)1/2=148.

Приклад4.1.5

Обчислитиdet(123211301).

Рішення

Рядок зменшуємо матрицю, відстежуючи кількість свопів рядків та використовуваних коефіцієнтів масштабування.

(123211301)R2=R22R1R3=R33R1(123055068)R2=R2÷5(123011068)scaling factors =15R3=R3+6R2(123011002)

Ми не робили жодних свопів рядків, і ми масштабували один раз на коефіцієнт1/5, тому Рецепт: обчислювальні детермінанти шляхом скорочення рядків говорить, що

det(123211301)=11(2)1/5=10.

Приклад4.1.6: The Determinant of a 2×2 Matrix

Для обчислення детермінанти загальної2×2 матриці скористаємося рецептом: обчислювальні детермінанти шляхом скорочення рядківA=(abcd).

  • Якщоa=0, тоді
    det(abcd)=det(0bcd)=det(cd0b)=bc.
  • Якщоa0, тоді
    det(abcd)=adet(1b/acd)=adet(1b/a0dcb/a)=a1(dbc/a)=adbc.

У будь-якому випадку ми відновлюємо визначення 3.5.2 у розділі 3.5.

det(abcd)=adbc.

Якщо матриця вже знаходиться в рядковому ешелоновому вигляді, то ви можете просто зчитувати детермінант як добуток діагональних записів. Виявляється, це справедливо для трохи більшого класу матриць, званих трикутними.

Визначення4.1.2: Diagonal
  • Діагональні записиA матриці - це записиa11,a22,:

clipboard_e5079ab7aead0701ad694476c1adaf67e.png

Малюнок4.1.1

  • Квадратна матриця називається верхньо-трикутною, якщо її ненульові записи лежать над діагоналлю, і вона називається нижчою трикутною, якщо її ненульові записи лежать нижче діагоналі. Він називається діагональним, якщо всі його ненульові записи лежать на діагоналі, тобто якщо вона одночасно верхньо-трикутна і нижньо-трикутна.

clipboard_e7129caeeae33e503966a2c5961101d36.png

Малюнок4.1.2

Пропозиція 4.1.1

AДозволяти бутиn×n матрицею.

  1. ЯкщоA має нульовий рядок або стовпець, тоdet(A)=0.
  2. ЯкщоA верхньо-трикутна або нижньо-трикутна, тоdet(A) є добутком його діагональних записів.
Доказ
  1. Припустимо, щоA has a zero row. Let B be the matrix obtained by negating the zero row. Then det(A)=det(B) by the second defining property, Definition 4.1.1. But A=B, so det(A)=det(B):
    (123000789)R2=R2(123000789).
    Складання цих разом даєdet(A)=det(A), такdet(A)=0.
    Тепер припустимо, щоA має нульовий стовпець. Тоді неA обертається теоремою 3.6.1 в розділі 3.6, тому його зменшена форма ешелону рядка має нульовий ряд. Оскільки операції рядків не змінюють, чи є детермінант нулем, робимо висновокdet(A)=0.
  2. Спочатку припустимо,A що верхній трикутний, і що один з діагональних записів дорівнює нулю, скажімоaii=0. Ми можемо виконувати операції рядків, щоб очистити записи над ненульовимиdet(A)=0 діагональними записами:
    (a110a22000000a44)(a11000a2200000000a44)
    Уi результуючій матриці той рядок дорівнює нулю, тому першою частиною.
    Все ще припускаючи, щоA це верхньо-трикутний, тепер припустимо, що всіA діагональні записи ненульові. ПотімA може бути перетворений в матрицю ідентичності шляхом масштабування діагональних записів, а потім робити заміни рядків:
    (a0b00c)scale bya1,b1,c1(101001)rowreplacements(100010001)det=abcdet=1det=1
    Оскількиdet(In)=1 і ми масштабуються взаємними діагональними записами, це означає,det(A) що є добутком діагональні записи.
    Цей же аргумент працює для нижчих трикутних матриць, за винятком того, що заміни рядків йдуть вниз, а не вгору.
Приклад4.1.7

Обчислити детермінанти цих матриць:

(123045006)(2000π0010037)(1703400011/21e).

Рішення

Перша матриця верхньо-трикутна, друга нижньо-трикутна, а третя має нульовий ряд:

det(123045006)=146=24det(2000π0010037)=2007=0det(173400011/21e)=0.

Матрицю завжди можна перетворити у форму рядкового ешелону за допомогою ряду рядкових операцій, а матриця у формі ешелону рядків - верхньо-трикутної. Тому ми повністю обґрунтували Recipe: Обчислення детермінант методом Row Reduction для обчислення детермінанти.

Детермінант характеризується своїми визначальними властивостями, Визначення4.1.1, оскільки ми можемо обчислити детермінант будь-якої матриці, використовуючи скорочення рядків, як у наведеному вище Рецепті: Обчислення детермінантів за допомогою скорочення рядків. Однак ми ще не довели існування функції, що задовольняє визначальним властивостям! Зменшення рядків обчислить детермінант, якщо він існує, але ми не можемо використовувати скорочення рядків, щоб довести існування, тому що ми ще не знаємо, що ви обчислюєте одне і те ж число за допомогою скорочення рядків двома різними способами.

Теорема 4.1.1: Existence of the Determinant

Існує одна і тільки одна функція від множини квадратних матриць до дійсних чисел, яка задовольняє чотирьом визначальним властивостям, Definition4.1.1.

Теорему існування ми доведемо в розділі 4.2, виставляючи рекурсивну формулу для детермінанти. Знову ж таки, реальний зміст теореми існування:

Примітка4.1.1

Незалежно від того, які операції з рядками ви виконуєте, ви завжди будете обчислювати однакове значення для визначника.

Магічні властивості детермінанта

У цьому підрозділі ми обговоримо ряд дивовижних властивостей, якими володіє детермінант: властивість оборотності, пропозиція4.1.2, властивість мультиплікативності4.1.3, пропозиція та властивість транспонування, пропозиція4.1.4.

Пропозиція 4.1.2: Invertibility Property

Квадратна матриця обертається тоді і тільки тоді, колиdet(A)0.

Доказ

ЯкщоA є оборотним, то він має стрижень у кожному рядку та стовпці за теоремою 3.6.1 у розділі 3.6, тому його зменшена форма ешелону рядків є матрицею ідентичності. Оскільки операції рядків не змінюють, чи є визначник нулем, а оскількиdet(In)=1, це означає,A щоdet(A)0. навпаки, якщо не обертається, то це рядок еквівалентний матриці з нульовим рядком. Знову ж таки, операції рядків не змінюють, чи визначник є ненульовим, тому в цьому випадкуdet(A)=0.

За властивістю оборотності матриця, яка не задовольняє жодному з властивостей теореми 3.6.1 в розділі 3.6, має нульовий детермінант.

Слідство 4.1.1

AДозволяти квадратної матриці. Якщо рядки абоA стовпці лінійно залежать, тоdet(A)=0.

Доказ

Якщо стовпці лінійноA залежні, то неA обертається за умовою 4 теореми 3.6.1 розділу 3.6. Припустимо тепер, щоA рядки лінійно залежать. Якщоr1,r2,,rn рядкиA, то один з рядків знаходиться в прольоті інших, тому у нас є рівняння, як

r2=3r1r3+2r4.

Якщо ми виконуємо наступні операції рядка наA:

R2=R23R1;R2=R2+R3;R2=R22R4

то другий рядок отриманої матриці дорівнює нулю. ОтжеA, і в цьому випадку не обертається.

Крім того, якщо рядки лінійноA залежні, то можна об'єднати умову 4 теореми 3.6.1 в розділі 3.6 та властивість транспонування, Пропозиція4.1.4 нижче, щоб зробити висновок, щоdet(A)=0.

Зокрема, якщо два рядки/стовпціA кратні один одному, тоdet(A)=0. ми також відновлюємо той факт, що матриця з рядком або стовпцем нулів має визначальний нуль.

Приклад4.1.8

Наступні матриці мають нульовий детермінант:

(0210510073),(515113922616),(31240000425121348),(πe113π3e331272).

Докази властивості мультиплікативності, пропозиції та властивості транспонування4.1.3, нижче4.1.4, а також теорема про розширення кофактора, Теорема 4.2.1 у розділі 4.2 та теорема детермінанти та обсяги, Теорема 4.3.2 у розділі 4.3 , використовуйте наступну стратегію: визначити іншу функціюd:{n×n matrices}R, і довести, щоd задовольняє тим самим чотирьом визначальним властивостям, що і детермінант. За теоремою існування, Теорема4.1.1, функціяd дорівнює визначнику. Це є перевагою визначення функції через її властивості: щоб довести, що вона дорівнює іншій функції, потрібно лише перевірити визначальні властивості.

Пропозиція 4.1.3: Multiplicativity Property

ЯкщоA іB єn×n матрицями, то

det(AB)=det(A)det(B).

Доказ

У цьому доказі нам потрібно використовувати поняття елементарної матриці. Це матриця, отримана шляхом виконання операції з одним рядком до матриці ідентичності. Існує три види елементарних матриць: ті, що виникають внаслідок заміни рядків, масштабування рядків та свопів рядків:

(100010001)R2=R22R1(100210001)(100010001)R1=3R1(300010001)(100010001)R1R2(010100001)

Важливою властивістю елементарних матриць є наступна претензія.

Заява: ЯкщоE є елементарною матрицею для операції з рядком,EA то матриця отримана при виконанні тієї ж операції з рядкомA.

Іншими словами, ліве множення на елементарну матрицю застосовує операцію рядка. Наприклад,

(100210001)(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)=(a11a12a13a212a11a222a12a232a13a31a32a33)(300010001)(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)=(3a113a123a13a21a22a23a31a32a33)(010100001)(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)=(a21a22a23a11a12a13a31a32a33).

Доказом Претензії є прямий розрахунок; ми залишаємо його читачеві для узагальнення вищезазначених рівностей доn×n матриць.

Як наслідок Претензії та чотирьох визначальних властивостей, визначення4.1.1, ми маємо наступне спостереження. CДозволяти будь квадратна матриця.

  1. ЯкщоE елементарна матриця для заміни рядка, тоdet(EC)=det(C). Іншими словами, ліве множення наE не змінює детермінант.
  2. ЯкщоE елементарна матриця для шкали рядків на множник,c, тоdet(EC)=cdet(C). Іншими словами, ліве множення наE шкали детермінант на множникc.
  3. ЯкщоE елементарна матриця для підкачки рядків, тоdet(EC)=det(C). Іншими словами, ліве множення наE заперечує детермінант.

Оскількиd задовольняє чотирьом визначальним властивостям детермінанти, він дорівнює визначнику за теоремою існування4.1.1. Іншими словами, для всіх матриць уA, нас є

det(A)=d(A)=det(AB)det(B).

Множення черезdet(B) даєdet(A)det(B)=det(AB).

  1. CДозволяти матриця, отримана шляхом заміни двох рядківC, іE нехай елементарна матриця для цього рядка заміни, такC=EC. Оскільки ліве множення наE заперечує детермінант, ми маємоdet(ECB)=det(CB), так
    d(C)=det(CB)det(B)=det(ECB)det(B)=det(CB)det(B)=d(C).
  2. У нас є
    d(In)=det(InB)det(B)=det(B)det(B)=1.

Тепер перейдемо до доказу властивості мультиплікативності. Припустимо для початку,B що не обертається. Тоді також неAB обертається: інакше,(AB)1AB=In маєB1=(AB)1A. на увазі властивість оборотності, судження4.1.2, обидві сторони рівнянняdet(AB)=det(A)det(B) дорівнюють нулю.

Тепер припустимо, щоB є оборотним, такdet(B)0. Визначте функцію

d:{n×n matrices}Rbyd(C)=det(CB)det(B).

Ми стверджуємо, щоd задовольняє чотири визначальні властивості детермінанти.

  1. CДозволяти матриця, отримана шляхом виконання заміни рядка наC, і нехайE буде елементарна матриця для цього рядка заміни, так щоC=EC. Оскільки ліве множення наE не змінює детермінант, ми маємоdet(ECB)=det(CB), так
    d(C)=det(CB)det(B)=det(ECB)det(B)=det(CB)det(B)=d(C).
  2. CДозволяти матриця, отримана масштабуванням рядкаC на множникc, іE нехай елементарна матриця для цього рядка заміна, такC=EC. Оскільки ліве множення наE шкали детермінант на множникc, ми маємоdet(ECB)=cdet(CB), так
    d(C)=det(CB)det(B)=det(ECB)det(B)=cdet(CB)det(B)=cd(C).

Нагадаємо, що приймати силу квадратної матриціA означає брати продуктиA з собою:

A2=AAA3=AAAetc.

ЯкщоA оборотний, то визначаємо

A2=A1A1A3=A1A1A1etc.

Для повноти встановлюємоA0=In ifA0.

Слідство 4.1.2

ЯкщоA квадратна матриця, то

det(An)=det(A)n

для всіхn1. ЯкщоA є оборотним, то рівняння тримає і для всіхn0; зокрема,

det(A1)=1det(A).

Доказ

Використовуючи властивість мультиплікативності, Пропозиція4.1.3, обчислюємо

det(A2)=det(AA)=det(A)det(A)=det(A)2

і

det(A3)=det(AAA)=det(A)det(AA)=det(A)det(A)det(A)=det(A)3;

візерунок чіткий.

У нас є

1=det(In)=det(AA1)=det(A)det(A1)

за властивістю мультиплікативності, пропозицією4.1.3 та четвертим визначальним властивістю, Визначенням4.1.1, яке показує, щоdet(A1)=det(A)1. Таким чином

det(A2)=det(A1A1)=det(A1)det(A1)=det(A1)2=det(A)2,

і так далі.

Приклад4.1.9

Обчислитиdet(A100), де

A=(4121).

Рішення

У насdet(A)=42=2, так

det(A100)=det(A)100=2100.

Ніде нам не довелося100 обчислювати потужністьA! (Ми дізнаємося ефективний спосіб зробити це в розділі 5.4.)

Ось ще одне застосування властивості мультиплікативності, пропозиція4.1.3.

Слідство4.1.3

A1,A2,,AkДозволятиn×n матриці. Тоді продуктA1A2Ak обертається тоді і тільки в тому випадку, якщо кожен з нихAi є оборотним.

Доказ

Детермінант добутку - добуток детермінант на властивість мультиплікативності, судження4.1.3:

det(A1A2Ak)=det(A1)det(A2)det(Ak).

За властивістю оборотності, Пропозиція4.1.2, це ненульове значення, якщо і тільки тоді, колиA1A2Ak є оборотним. З іншого боку,det(A1)det(A2)det(Ak) є ненульовим, якщо і тільки тоді, коли коженdet(Ai)0,, що означає, що коженAi є оборотним.

Приклад4.1.10

Для будь-якого числаn визначаємо

An=(1n12).

Покажіть, що продукт

A1A2A3A4A5

не обертається.

Рішення

Колиn=2, матриця неA2 обертається, тому що її рядки ідентичні:

A2=(1212).

Отже, будь-який продукт за участю неA2 є зворотним.

Для того, щоб констатувати властивість транспонування, нам потрібно визначити транспонування матриці.

Визначення4.1.3: Transpose

Транспонуваннямm×n матриціA єn×m матрицяAT, рядки якої є стовпцямиA. Іншими словами,ij записAT єaji.

clipboard_e27c14330239fdede3a41a0277d2074ec.png

Малюнок4.1.3

Як і інверсія, транспозиція змінює порядок множення матриці.

Факт4.1.1

AДозволятиm×n матриця, іB нехайn×p матриця. Тоді

(AB)T=BTAT.

Доказ

По-перше, припустимо, щоA це вектор рядка іB є векторним стовпцем, тобтоm=p=1. Тоді

AB=(a1a2an)(b1b2bn)=a1b1+a2b2++anbn=(b1b2bn)(a1a2an)=BTAT.

Тепер ми використовуємо правило рядка-колонка для множення матриць. r1,r2,,rmДозволяти бути рядкиA, і нехайc1,c2,,cp стовпціB, так

AB=\left(\begin{array}{c}—r_1 —\\ —r_2— \\ \vdots \\ —r_m—\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}|&|&\quad &| \\ c_1&c_2&\cdots &c_p \\ |&|&\quad &|\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}r_1c_1&r_1c_2&\cdots &r_1c_p \\ r_2c_1&r_2c_2&\cdots &r_2c_p \\ \vdots &\vdots &{}&\vdots \\ r_mc_1&r_mc_2&\cdots &r_mc_p\end{array}\right).\nonumber

У випадку, який ми розглядали вище, ми маємоr_ic_j = c_j^Tr_i^T. Тоді

\begin{aligned}(AB)^T&=\left(\begin{array}{cccc}r_1c_1&r_2c_1&\cdots &r_mc_1 \\ r_1c_2&r_2c_2&\cdots &r_mc_2 \\ \vdots &\vdots &{}&\vdots \\ r_1c_p&r_2c_p&\cdots &r_mc_p\end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{cccc}c_1^Tr_1^T &c_1^Tr_2^T&\cdots &c_1^Tr_m^T \\ c_2^Tr_1^T&c_2^Tr_2^T&\cdots &c_2^Tr_m^T \\ \vdots&\vdots&{}&\vdots \\ c_p^Tr_1^T&c_p^Tr_2^T&\cdots&c_p^Tr_m^T\end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{c}—c_1^T— \\ —c_2^T— \\ \vdots \\ —c_p^T—\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}|&|&\quad&| \\ r_1^T&r_2^T&\cdots&r_m^T \\ |&|&\quad&|\end{array}\right)=B^TA^T.\end{aligned}

Пропозиція \PageIndex{4}: Transpose Property

Для будь-якої квадратної матриціA\text{,} ми маємо

\det(A) = \det(A^T). \nonumber

Доказ

Ми дотримуємося тієї ж стратегії, що і в доказі властивості мультиплікативності, Пропозиція\PageIndex{3}: а саме визначаємо

d(A) = \det(A^T), \nonumber

і ми показуємо, щоd задовольняє чотирьом визначальним властивостям детермінанти. Знову використовуємо елементарні матриці, також введені в доказ властивості мультиплікативності, Пропозиція\PageIndex{3}.

  1. Нехай ЗC' be the matrix obtained by doing a row replacement on C\text{,} and let E be the elementary matrix for this row replacement, so C' = EC. The elementary matrix for a row replacement is either upper-triangular or lower-triangular, with ones on the diagonal: R_1=R_1+3R_3:\left(\begin{array}{ccc}1&0&3\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)\quad R_3=R_3+3R_1:\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\3&0&1\end{array}\right).\nonumber
    цього випливає, що такожE^T є або верхньо-трикутним, або нижньо-трикутним, з тими на діагоналі, так\det(E^T) = 1 за цією пропозицією\PageIndex{1}. За фактом\PageIndex{1} і властивістю мультиплікативності, судження\PageIndex{3}, \begin{split} d(C') \amp= \det((C')^T) = \det((EC)^T) = \det(C^TE^T) \\ \amp= \det(C^T)\det(E^T) = \det(C^T) = d(C). \end{split} \nonumber
  2. C'Дозволяти матриця, отримана масштабуванням рядкаC на множникc\text{,} іE нехай елементарна матриця для цього рядка заміна, такC' = EC. ПотімE йде діагональна матриця:R_2=cR_2:\: \left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&c&0\\0&0&1\end{array}\right).\nonumber Таким чином\det(E^T) = c. За фактом\PageIndex{1} і властивістю мультиплікативності, судження\PageIndex{3}, \begin{split} d(C') \amp= \det((C')^T) = \det((EC)^T) = \det(C^TE^T) \\ \amp= \det(C^T)\det(E^T) = c\det(C^T) = c\cdot d(C). \end{split} \nonumber
  3. C'Дозволяти матриця, отримана шляхом заміни двох рядківC\text{,} іE нехай елементарна матриця для цього рядка заміни, такC' = EC. TheE дорівнює власному транспонуванню:R_1\longleftrightarrow R_2:\:\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{array}\right)^T.\nonumber ОскількиE (отжеE^T) виходить шляхом виконання одного рядка своп на матриці ідентичності, ми маємо\det(E^T) = -1. За фактом\PageIndex{1} і властивістю мультиплікативності, судження\PageIndex{3}, \begin{split} d(C') \amp= \det((C')^T) = \det((EC)^T) = \det(C^TE^T) \\ \amp= \det(C^T)\det(E^T) = -\det(C^T) = - d(C). \end{split} \nonumber
  4. ОскількиI_n^T = I_n, ми маємо d(I_n) = \det(I_n^T) = det(I_n) = 1. \nonumber d Since задовольняє чотирьом визначальним властивостям детермінанти, він дорівнює визначнику за теоремою існування\PageIndex{1}. Іншими словами, для всіх матриць уA\text{,} нас є \det(A) = d(A) = \det(A^T). \nonumber

Властивість транспонування, пропозиція\PageIndex{4}, дуже корисна. Для конкретності зазначимо, що\det(A)=\det(A^T) це означає, наприклад, що

\det\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right) = \det\left(\begin{array}{ccc}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{array}\right). \nonumber

Це означає, що детермінант має цікаву особливість, що він також добре поводиться щодо операцій зі стовпцями. Дійсно, операція на стовпціA така ж, як і рядок операції наA^T\text{,} і\det(A) = \det(A^T).

Слідство\PageIndex{4}

Визначник задовольняє наступні властивості щодо операцій зі стовпцями:

  1. Робити заміну колонки наA не змінюється\det(A).
  2. Масштабування стовпцяA за скаляромc множить детермінант наc.
  3. Обмін двома стовпцями матриці множить детермінант на-1.

Попередній наслідок полегшує обчислення визначника: при спрощенні матриці дозволено виконувати операції з рядками та стовпцями. (Звичайно, потрібно ще стежити за тим, як операції рядків і стовпців змінюють детермінант.)

Приклад\PageIndex{11}

Обчислити\det\left(\begin{array}{ccc}2&7&4\\3&1&3\\4&0&1\end{array}\right).

Рішення

Щоб зробити цю матрицю верхньою трикутною, потрібно менше операцій зі стовпцями, ніж операції з рядками:

\begin{aligned}\left(\begin{array}{ccc}2&7&4\\3&1&3\\4&0&1\end{array}\right)\quad\xrightarrow{C_1=C_1-4C_3}\quad &\left(\begin{array}{ccc}-14&7&4\\-9&1&3\\0&0&1\end{array}\right) \\ {}\xrightarrow{C_1=C_1+9C_2}\quad&\left(\begin{array}{ccc}49&7&4\\0&1&3\\0&0&1\end{array}\right)\end{aligned}

Ми виконали дві заміни колонок, що не змінює детермінант; тому,

\det\left(\begin{array}{ccc}2&7&4\\3&1&3\\4&0&1\end{array}\right) = \det\left(\begin{array}{ccc}49&7&4\\0&1&3\\0&0&1\end{array}\right) = 49. \nonumber

Багатолінійність

Наступне спостереження корисно в теоретичних цілях.

Ми можемо\det розглядати як функцію рядків матриці:

\det(v_1,v_2,\ldots,v_n) = \det\left(\begin{array}{c}—v_1— \\ —v_2— \\ \vdots \\ —v_n—\end{array}\right). \nonumber

Пропозиція\PageIndex{5}: Multilinearity Property

iДозволяти бути ціле число між1n\text{,} і фіксуватиn-1 векториv_1,v_2,\ldots,v_{i-1},v_{i+1},\ldots,v_n в\mathbb{R}^n . Тоді перетворенняT\colon\mathbb{R}^n \to\mathbb{R} визначається

T(x) = \det(v_1,v_2,\ldots,v_{i-1},x,v_{i+1},\ldots,v_n) \nonumber

є лінійним.

Доказ

Спочатку припустимо, щоi=1\text{,} так

T(x) = \det(x,v_2,\ldots,v_n). \nonumber

Ми повинні показати, щоT задовольняє визначальним властивостям, Визначення 3.3.1, в розділі 3.3.

  • За першою визначальною властивістю\PageIndex{1}, Definition, масштабування будь-якого рядка матриці на числоc масштабує детермінант на коефіцієнтc. Це означає, щоT задовольняє другу властивість, т. Е. T(cx) = \det(cx,v_2,\ldots,v_n) = c\det(x,v_2,\ldots,v_n) = cT(x). \nonumber
  • Ми стверджуємо, щоT(v+w) = T(v) + T(w). Якщоw є в\text{Span}\{v,v_2,\ldots,v_n\}\text{,} то w = cv + c_2v_2 + \cdots + c_nv_n \nonumber для деяких скалярівc,c_2,\ldots,c_n. AДозволяти матриці зT(v+w) = \det(A). рядкамиv+w,v_2,\ldots,v_n\text{,} так Виконуючи операції R_1 = R_1 - c_2R_2;\quad R_1 = R_1 - c_3R_3;\quad\ldots\quad R_1 = R_1 - c_nR_n, \nonumber рядків перший рядок матриціA стає v+w-(c_2v_2+\cdots+c_nv_n) = v + cv = (1+c)v. \nonumber Тому, \begin{split} T(v+w) = \det(A) \amp= \det((1+c)v,v_2,\ldots,v_n) \\ \amp= (1+c)\det(v,v_2,\ldots,v_n) \\ \amp= T(v) + cT(v) = T(v) + T(cv). \end{split} \nonumber Роблячи протилежні операції R_1 = R_1 + c_2R_2;\quad R_1 = R_1 + c_3R_3;\quad\ldots\quad R_1 = R_1 + c_nR_n \nonumber рядка матриці з рядкамиcv,v_2,\ldots,v_n показує, що \begin{split} T(cv) \amp= \det(cv,v_2,\ldots,v_n) \\ \amp= \det(cv+c_2v_2+\cdots+c_nv_n,v_2,\ldots,v_n) \\ \amp= \det(w,v_2,\ldots,v_n) = T(w), \end{split} \nonumber який закінчує доказ першого майна в цьому випадку.

    Тепер припустимо,w що немає в\text{Span}\{v,v_2,\ldots,v_n\}. Це означає,\{v,v_2,\ldots,v_n\} що лінійно залежить (інакше це буде основою для\mathbb{R}^n ), так щоT(v) = 0. Якщоv не в,\text{Span}\{v_2,\ldots,v_n\}\text{,} то\{v_2,\ldots,v_n\} лінійно залежить від зростаючого критерію прольоту, теорема 2.5.2 в розділі 2.5, так щоT(x) = 0 для всіх,x\text{,} як матриця з рядками неx,v_2,\ldots,v_n обертається. Отже, ми можемо припуститиv, що знаходиться в\text{Span}\{v_2,\ldots,v_n\}. За вищевказаним аргументом з ролямиv іw зворотним, ми маємоT(v+w) = T(v)+T(w).

Боi\neq 1\text{,} відзначимо, що

\begin{split} T(x) \amp= \det(v_1,v_2,\ldots,v_{i-1},x,v_{i+1},\ldots,v_n) \\ \amp= -\det(x,v_2,\ldots,v_{i-1},v_1,v_{i+1},\ldots,v_n). \end{split} \nonumber

За раніше обробленим випадком ми знаємо, що-T є лінійним:

-T(cx) = -cT(x) \qquad -T(v+w) = -T(v) - T(w). \nonumber

Множимо обидві сторони на-1\text{,} ми бачимо, щоT є лінійним.

Наприклад, у нас є

\det\left(\begin{array}{lcr}—&v_1&— \\ —&av+bw&— \\ —&v_3&—\end{array}\right)=a\det\left(\begin{array}{c}—v_1— \\ —v— \\ —v_3—\end{array}\right)+b\det\left(\begin{array}{c}—v_1— \\ —w— \\ —v_3—\end{array}\right)\nonumber

За властивістю транспонування, Пропозиція\PageIndex{4}, детермінант також є багатолінійним у стовпцях матриці:

\det\left(\begin{array}{ccc}|&|&|\\ v_1&av+bw&v_3 \\ |&|&|\end{array}\right) = a\det\left(\begin{array}{ccc}|&|&|\\v_1&v&v_3 \\ |&|&|\end{array}\right) + b\det\left(\begin{array}{ccc}|&|&|\\v_1&w&v_3\\|&|&|\end{array}\right). \nonumber

Примітка: Альтернативне визначення властивостей

У більш теоретичних методах розгляду теми, де скорочення рядів відіграє другорядну роль, визначальними властивостями детермінанта часто прийнято вважати:

  1. \det(A)Детермінант багатолінійний в рядахA.
  2. ЯкщоA має два однакових ряди, то\det(A) = 0.
  3. Визначник матриці ідентичності дорівнює одиниці.

Ми вже показали, що наші чотири визначальні властивості, визначення\PageIndex{1}, мають на увазі ці три. І навпаки, ми доведемо, що ці три альтернативні властивості мають на увазі наші чотири, так що обидва набори властивостей еквівалентні.

Визначення властивості2 - це лише друга визначальна властивість, визначення 3.3.1, у розділі 3.3. Припустимо, що рядиA єv_1,v_2,\ldots,v_n. Якщо ми виконуємо заміну рядківR_i = R_i + cR_jA\text{,} далі, то рядки нашої нової матриціv_1,v_2,\ldots,v_{i-1},v_i+cv_j,v_{i+1},\ldots,v_n\text{,} так по лінійності вi -му рядку,

\begin{split} \det(\amp v_1,v_2,\ldots,v_{i-1},v_i+cv_j,v_{i+1},\ldots,v_n) \\ \amp= \det(v_1,v_2,\ldots,v_{i-1},v_i,v_{i+1},\ldots,v_n) + c\det(v_1,v_2,\ldots,v_{i-1},v_j,v_{i+1},\ldots,v_n) \\ \amp= \det(v_1,v_2,\ldots,v_{i-1},v_i,v_{i+1},\ldots,v_n) = \det(A), \end{split} \nonumber

де\det(v_1,v_2,\ldots,v_{i-1},v_j,v_{i+1},\ldots,v_n)=0 томуv_j повторюється. Таким чином, альтернативні визначальні властивості мають на увазі наші перші два визначальних властивості. Для третього, припустимо, що ми хочемо поміняти рядокi рядкомj. Використовуючи другу альтернативу визначення властивості та багатолінійності вi -му таj му рядках, ми маємо

\begin{split} 0 \amp= \det(v_1,\ldots,v_i+v_j,\ldots,v_i+v_j,\ldots,v_n) \\ \amp= \det(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_i+v_j,\ldots,v_n) + \det(v_1,\ldots,v_j,\ldots,v_i+v_j,\ldots,v_n) \\ \amp= \det(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_i,\ldots,v_n) + \det(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_j,\ldots,v_n) \\ \amp\qquad+\det(v_1,\ldots,v_j,\ldots,v_i,\ldots,v_n) + \det(v_1,\ldots,v_j,\ldots,v_j,\ldots,v_n) \\ \amp= \det(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_j,\ldots,v_n) + \det(v_1,\ldots,v_j,\ldots,v_i,\ldots,v_n), \end{split} \nonumber

за бажанням.

Приклад\PageIndex{12}

У нас є

\left(\begin{array}{c}-1\\2\\3\end{array}\right) = -\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right) + 2\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right) + 3\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right). \nonumber

Тому,

\begin{split} \det\amp\left(\begin{array}{ccc}-1&7&2\\2&-3&2\\3&1&1\end{array}\right) = -\det\left(\begin{array}{ccc}1&7&2\\0&-3&2\\0&1&1\end{array}\right) \\ \amp+ 2\det\left(\begin{array}{ccc}0&7&2\\1&-3&2\\0&1&1\end{array}\right) + 3\det\left(\begin{array}{ccc}0&7&2\\0&-3&2\\1&1&1\end{array}\right). \end{split} \nonumber

Це основна ідея кофакторних розширень у розділі 4.2.

Примітка\PageIndex{2}: Summary: Magical Properties of the Determinant
  1. Існує одна і тільки одна функція,\det\colon\{n\times n\text{ matrices}\}\to\mathbb{R} що задовольняє чотири визначальні властивості, визначення\PageIndex{1}.
  2. Визначником верхньо-трикутної або нижньотрикутної матриці є добуток діагональних записів.
  3. Квадратна матриця обертається тоді і тільки тоді,\det(A)\neq 0\text{;} коли в цьому випадку, \det(A^{-1}) = \frac 1{\det(A)}. \nonumber
  4. ЯкщоA іB єn\times n матрицями, то \det(AB) = \det(A)\det(B). \nonumber
  5. Для будь-якої квадратної матриціA\text{,} ми маємо \det(A^T) = \det(A). \nonumber
  6. Визначник можна обчислити, виконуючи операції з рядками та/або стовпцями.