6.2: Детальніше про функції
- Page ID
- 65562
У розділі 6.1 ми бачили багато прикладів функцій. Ми також бачили різні способи представлення функцій та передачі інформації про них. Наприклад, ми бачили, що правило визначення виходів функції може бути дано формулою, графіком або таблицею значень. Ми також бачили, що іноді зручніше дати словесний опис правила для функції. У випадках, коли домен та кодомен невеликі, кінцеві множини, ми використовували діаграму зі стрілками, щоб передати інформацію про те, як пов'язані входи та виходи без явного вказівки правила. У цьому розділі ми вивчимо деякі типи функцій, з деякими з яких ми, можливо, не стикалися на попередніх курсах математики.
Багатокутник - це замкнута плоска фігура, утворена з'єднанням трьох і більше прямих ліній. Наприклад, трикутник - це багатокутник, який має три сторони; чотирикутник - це багатокутник, який має чотири сторони і включає квадрати, прямокутники та паралелограми; п'ятикутник - багатокутник, який має п'ять сторін; а восьмикутник - багатокутник, який має вісім сторін. R регулярний багатокутник - це той, який має однакові по довжині сторони та конгруентні внутрішні кути.
Діагональ багатокутника - це відрізок лінії, який з'єднує дві несуміжні вершини багатокутника. У цій діяльності ми будемо вважати, що всі багатокутники є опуклими багатокутниками, так що, крім вершин, кожна діагональ лежить всередині багатокутника. Наприклад, трикутник (3-сторонній багатокутник) не має діагоналей, а прямокутник має дві діагоналі.
- Скільки діагоналей має будь-який чотирикутник (4-сторонній багатокутник)?
- Нехай\(D = \mathbb{N} - \{1, 2\}\). Визначте\(d: D \to \mathbb{N} \cup \{0\}\) так, що\(d(n)\) це число діагоналей опуклого багатокутника зі\(n\) сторонами. Визначте значення\(d(3)\),\(d(4)\),\(d(5)\),\(d(6)\),\(d(7)\), і\(d8)\). Розмістіть результати у вигляді таблиці значень для функції\(d\).
- \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)Дозволяти\[f(x) = \dfrac{x(x - 3)}{2}.\] визначатися Визначити значення\(f(0)\),\(f(1)\),,\(f(2)\),\(f(3)\),\(f(4)\),\(f(5)\),\(f(6)\),\(f(7)\),\(f(8)\), і\(f9)\). Розмістіть результати у вигляді таблиці значень для функції\(f\).
- Порівняйте функції в Частини (2) та (3). Які подібності між двома функціями та які відмінності? Чи слід вважати ці дві функції рівноправними функціями? Поясніть.
У обчисленні ми навчилися знаходити похідні тих чи інших функцій. Наприклад, якщо\(f(x) = x^2(sinx)\), то ми можемо використовувати правило продукту для отримання
\[f\prime (x) = 2x(\sin x) + x^2 (\cos x).\]
- Якщо можливо, знайдіть похідну кожної з наступних функцій:
(a)\(f(x) = x^4 - 5x^3 + 3x - 7\)
(b)\(g(x) = \cos(5x)\)
(c)\(h(x) = \dfrac{\sin x}{x}\)
(d)\(k(x) = e^{-x^2}\)
(e)\(r(x) = |x|\) - Чи можна думати про диференціацію як функцію? Поясніть. Якщо так, то якою буде область функції, яким може бути кодомен функції, і яке правило обчислення елемента кодомена (виходу), який пов'язаний з заданим елементом домену (вхід)?
Функції, що включають конгруенції
Теорема 3.31 та Слідство 3.32 стверджують, що ціле число є конгруентним (мод\(n\)) до його залишку, коли воно ділиться на\(n\). (Нагадаємо, що ми завжди маємо на увазі залишок, гарантований алгоритмом поділу, який є найменшим невід'ємним залишком.) Оскільки цей залишок є унікальним і оскільки єдино можливі залишки для ділення на\(n\) 0, 1, 2,..., ми тоді знаємо\(n - 1\), що кожне ціле число є конгруентним, по модулю\(n\), точно до одного з цілих чисел 0, 1, 2,...,\(n - 1\). Отже\(n\), для кожного натурального числа ми визначимо новий набір\(\mathbb{Z}_n\) наступним чином:
\(\mathbb{Z}_n = \{0, 1, 2, ..., n - 1\}.\)
Наприклад,\(\mathbb{Z}_4 = \{0, 1, 2, 3\}\) і\(\mathbb{Z}_6 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\). Тепер ми вивчимо метод визначення функції від\(\mathbb{Z}_6\) до\(\mathbb{Z}_6\).
Для кожного\(x \in \mathbb{Z}_6\), ми можемо обчислити,\(x^2 + 3\) а потім визначити значення\(r\) в\(\mathbb{Z}_6\) так, щоб
\((x^2 + 3) \equiv r\)(мод 6).
Так як\(r\) повинні бути в\(\mathbb{Z}_6\), ми повинні мати\(0 \le r < 6\). Результати наведені в наступній таблиці.
| х | \(r\), де\(x^2+3) \equiv r \text{(mod 6)}\) | х | \(r\), де\(x^2+3) \equiv r \text{(mod 6)}\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \ (r\), де\(x^2+3) \equiv r \text{(mod 6)}\) "style="вертикальне вирівнювання: середина;" >3 | 3 | \ (r\), де\(x^2+3) \equiv r \text{(mod 6)}\) "style="вертикальне вирівнювання: середина;" >0 |
| 1 | \ (r\), де\(x^2+3) \equiv r \text{(mod 6)}\) "style="вертикальне вирівнювання: середина;" >4 | 4 | \ (r\), де\(x^2+3) \equiv r \text{(mod 6)}\) "style="вертикальне вирівнювання: middle;" >1 |
| 2 | \ (r\), де\(x^2+3) \equiv r \text{(mod 6)}\) "style="вертикальне вирівнювання: middle;" >1 | 5 | \ (r\), де\(x^2+3) \equiv r \text{(mod 6)}\) "style="вертикальне вирівнювання: середина;" >4 |
Значення\(x\) в першому стовпці можна розглядати як вхідне значення для функції зі значенням\(r\) у другому стовпці як відповідний вихід. Кожен вхід дає рівно один вихід. Таким чином, ми могли б написати
\(f: \mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_6\)\(f(x) = r\)звідки\((x^2 + 3) \equiv r\) (мод 6).
Цей опис і позначення для виходів цієї функції досить громіздкі. Так ми будемо використовувати більш стислі позначення. Ми замість цього напишемо
Нехай\(f: \mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_6\) мимо\(f(x) = (x^2 + 3)\) (мод 6).
Нехай\(\mathbb{Z}_6 = \{0, 1, 2, 3, 4\}\). Визначити
\(f: \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_5\)по\(f(x) = x^4\) (мод 5), для кожного\(x \in \mathbb{Z}_5\);
\(g: \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_5\)по\(g(x) = x^5\) (мод 5), для кожного\(x \in \mathbb{Z}_5\);
- Визначте\(f(0)\)\(f(1)\),\(f(2)\),\(f(3)\),\(f(4)\) і представляють функцію\(f\) зі стрілкою діаграми.
- Визначте\(g(0)\)\(g(1)\),\(g(2)\),\(g(3)\),\(g(4)\) і представляють функцію\(g\) зі стрілкою діаграми.
- Відповідь
-
Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.
рівність функцій
Ідея рівності функцій була на тлі нашого обговорення функцій, і зараз настав час її чітко обговорити. Попередня робота для цього обговорення була Preview Activity\(\PageIndex{1}\), в якій\(D = \mathbb{N} - \{1, 2\}\) і існували дві функції:
- \(d: D \to \mathbb{N} \cup \{0\}\), Де\(d(n)\) - кількість діагоналей опуклого багатокутника зі\(n\) сторонами
- \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), де\(f(x) = \dfrac{x(x - 3)}{2}\), для кожного дійсного числа\(x\).
У Preview Activity ми побачили\(\PageIndex{1}\), що ці дві функції виробляють однакові виходи для певних значень вхідних даних (незалежної змінної). Наприклад, ми можемо перевірити, що
\(d(3) = f(3) = 0\),\(d(4) = f(4) = 2\),
\(d(5) = f(5) = 5\), і\(d(6) = f(6) = 9\).
Хоча функції дають однакові виходи для деяких входів, це дві різні функції.Наприклад, виходи функції\(f\) визначаються за формулою, а виходи функції\(d\) визначаються словесним описом. Однак цього недостатньо, щоб сказати, що це дві різні функції. Виходячи з доказів діяльності попереднього перегляду\(\PageIndex{1}\), ми можемо зробити наступне припущення:
Для\(n \ge 3\),\(d(n) = \dfrac{n(n - 3)}{2}\).
Хоча ми не довели цього твердження, це правдиве твердження. (Див. Вправу 6.) Однак ми знаємо, що функція\(d\) і функція не\(f\) є однією і тією ж функцією. Наприклад,
- \(f(0) = 0\), але 0 не знаходиться в домені\(d\);
- \(f(\pi) = \dfrac{\pi (\pi - 3)}{2}\), але не\(\pi\) знаходиться в домені\(d\).
Таким чином, ми бачимо важливість розгляду області та кодомену кожної з двох функцій при визначенні рівних двох функцій чи ні. Це мотивує наступне визначення.
Дві функції\(f\) і рівні\(g\) за умови, що
- Домен\(f\) дорівнює домену домену\(g\). Тобто dom (\(f\)) = dom (\(g\))
- Кодомен\(f\) дорівнює кодомену\(g\). Тобто codom (\(f\)) = codom (\(g\))
- Для кожного\(x\) в домені\(f\) (який дорівнює домену\(g\)),\(f(x) = g(x)\).
\(A\)Дозволяти бути непорожнім набором. Функція ідентичності на множині\(A\), позначається\(I_{A}\), є функцією,\(I_{A}: A \to A\) визначеною\(I_{A}(x) = x\) для кожного\(x\) in\(A\). Тобто для карти ідентичності вихід завжди дорівнює вхідному.
Для цієї перевірки прогресу ми будемо використовувати функції\(f\) і\(g\) від Progress Check 6.5. Функція ідентичності на\(\mathbb{Z}_5\) множині
\(I_{\mathbb{Z}_5}: \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_5\)по\(I_{\mathbb{Z}_5} (x) = x\) (мод 5), для кожного\(x \in \mathbb{Z}_5\).
Функція ідентичності\(\mathbb{Z}_5\) дорівнює будь-якій з функцій\(f\) або\(g\) з Progress Check 6.5? Поясніть.
- Відповідь
-
Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.
Математичні процеси як функції
Певні математичні процеси можна розглядати як функції. У Preview Activity ми розглянули\(\PageIndex{2}\), як знайти похідні певних функцій, і ми розглянули, чи можемо ми думати про цей процес диференціації як функцію. Якщо ми використовуємо диференційовну функцію як вхід і вважати похідну цієї функції виходом, то ми маємо задатки функції. Системи комп'ютерної алгебри, такі як Maple та Mathematica, мають цю похідну функцію як один із визначених операторів.
Нижче наведено деякий код Maple (використовуючи версію Classic Worksheet Maple), який можна використовувати для пошуку похідної функції функції, заданої\(f(x) = x^2(sin x)\). Рядки, які починаються з підказки Maple, [>, є рядками, набраними користувачем. Центровані рядки, що слідують за ними, показують результат виведення Maple. Перший рядок визначає функцію\(f\), а другий рядок використовує похідну функцію\(D\) для отримання похідної функції\(f\).
[> f: = х\(\to\) х ^ 2\(\ast\) гріх (х);
\(f := x \to x^2 \sin(x)\)
[> f1: = D (f);
\(f1 := x \to 2x \sin(x) + x^2 \cos(x)\)
Ми повинні бути обережними при визначенні області для похідної функції, оскільки існують функції, які не диференційовані. Щоб зробити речі досить легко, ми дозволимо\(F\) бути множиною всіх реальних функцій, які диференційовні і називати це область похідної функції\(D\). Ми будемо використовувати набір всіх\(T\) реальних функцій як кодомен. Таким чином,\(D\) наша функція
\(D: F \to T\)по\(D(f) = f\prime\).
\(A = \{a_1, a_2, ... a_n\}\)Дозволяти кінцевий набір, чиї елементи є дійсними числами\(a_1, a_2, ... a_n\). Визначимо середнє значення множини,\(A\) щоб бути дійсним числом\(\bar{A}\), де
\(\bar{A} = \dfrac{a_1, a_2, ... a_n}{n}.\)
- Знайдіть середнє значення\(A = \{3, 7, -1, 5\}\).
- Знайдіть середнє значення\(B = \{7, -2, 3.8, 4.2, 7.1\}\).
- Знайдіть середнє значення\(C = \{\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi - \sqrt{3}\}\).
- Тепер\(\mathcal{F}(\mathbb{R})\) нехай множина всіх скінченних підмножин\(\mathbb{R}\). Тобто підмножина\(A\)\(\mathbb{R}\) знаходиться в\(\mathcal{F}(\mathbb{R})\) if і тільки якщо\(A\) містить лише кінцеву кількість елементів. Уважно поясніть, як процес знаходження середнього кінцевого підмножини\(\mathbb{R}\) може розглядатися як функція. При цьому обов'язково вказуйте домен функції і кодомен функції.
- Відповідь
-
Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.
Послідовності як функції
Послідовність можна вважати нескінченним списком об'єктів, які індексуються (індексуються) натуральними числами (або деякою нескінченною підмножиною\(\mathbb{N} \cup \{0\}\)). Використовуючи цю ідею, ми часто пишемо послідовність в наступному вигляді:
\(a_1, a_2, ..., a_n, ....\)
Для того, щоб скоротити наші позначення, ми часто будемо використовувати позначення\(\langle a_n \rangle\) для представлення цієї послідовності. Іноді формулу можна використовувати для представлення термінів послідовності, і ми можемо включити цю формулу як\(n\) той термін у списку для послідовності, наприклад, у наступному прикладі:
\(1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, ..., \dfrac{1}{n}, ....\)
У цьому випадку термін\(n\) послідовності дорівнює\(\dfrac{1}{n}\). Якщо ми знаємо формулу для\(n\) го члена, ми часто використовуємо цю формулу для представлення послідовності. Наприклад, можна сказати
Визначте послідовність\(\langle a_n \rangle\) по\(a_n = \dfrac{1}{n}\) для кожного\(n \in \mathbb{N}\).
Це показує, що ця послідовність є функцією з доменом\(\mathbb{N}\). Якщо розуміється, що домен є\(\mathbb{N}\), ми могли б посилатися на це як послідовність\(\langle \dfrac{1}{n} \rangle\). Заданий елемент домену, ми можемо\(a_n\) вважати виходом. У цьому випадку ми використовували індексні позначення для позначення вихідних даних, а не звичайного позначення функції. Ми могли б так само легко написати
\(a(n) = \dfrac{1}{n}\)замість\(a_n = \dfrac{1}{n}\).
Робимо наступне формальне визначення.
(нескінченна) послідовність - це функція, область якої є\(\mathbb{N}\) або якась нескінченна підмножина\(\mathbb{N} \cup \{0\}\).
Знайдіть шостий і десятий члени кожної з наступних послідовностей:
- \(\dfrac{1}{3}\),\(\dfrac{1}{6}\),\(\dfrac{1}{9}\),\(\dfrac{1}{12}\),...
- \(\langle a_n \rangle\), де\(a_n = \dfrac{1}{n^2}\) для кожного\(n \in \mathbb{N}\)
- \(\langle (-1)^n \rangle\)
- Відповідь
-
Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.
Функції двох змінних
У розділі 5.4 ми навчилися формувати декартове добуток двох множин. Нагадаємо, що декартове добуток з двох множин - це набір впорядкованих пар. Наприклад, множина\(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) - це множина всіх впорядкованих пар, де кожна координата впорядкованої пари є цілим числом. Оскільки декартовий добуток є множиною, його можна використовувати як домен або кодомен функції. Наприклад, ми могли б використовувати\(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) як домен функції наступним чином:
Дозвольте\(f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) визначитися з\(f(m,n) = 2m + n\).
- Технічно елемент\(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) - це впорядкована пара, і тому ми повинні писати\(f((m,n))\) для виходу функції,\(f\) коли вхід є впорядкованою парою\((m, n)\). Однак подвійні дужки здаються непотрібними в цьому контексті, і не повинно бути плутанини, якщо ми пишемо\(f(m,n)\) для виведення функції,\(f\) коли вхід є\((m, n)\). Так, наприклад, просто пишемо
\[\begin{array} {rcl} {f(3,2)} &= & {2 \cdot 3 + 2 = 8,\text{ and}} \\ {f(-4, 5)} &= & {2 \cdot (-4) + 5 = -3.} \end{array}\] - Оскільки область цієї функції є\(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) і кожен елемент є\(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) впорядкованою парою цілих чисел, ми часто називаємо цей тип функції функцією двох змінних.
Знаходження преобразів елемента кодомена для функції\(f\), як правило\(\mathbb{Z}\), передбачає розв'язування рівняння з двома змінними. Наприклад, щоб знайти преобрази 0 2 Z, нам потрібно знайти всі впорядковані пари\((m,n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) такі, що\(f(m,n) = 0\). Це означає, що ми повинні знайти всі впорядковані пари\((m,n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) такі, що
\(2m + n = 0\)
Три такі впорядковані пари є (0,0), (1, -2) і (-1, 2). Насправді, всякий раз, коли ми вибираємо ціле значення для\(m\), ми можемо знайти відповідне ціле число\(n\) таких, що\(2m + n = 0\). Це означає, що 0 має нескінченно багато попередніх зображень, і може бути важко вказати набір всіх попередніх зображень 0 за допомогою методу реєстру. Одним із способів, яким можна вказати цей набір, є використання нотації set builder і сказати, що наступний набір складається з усіх попередніх зображень 0:
\(\{(m,n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\ |\ 2m + n = 0\} = \{(m,n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\ |\ n = -2m\}.\)
Друга формулювання для цієї множини була отримана при вирішенні рівняння\(2m + n = 0\) для\(n\).
Дозвольте\(g: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) визначитися\(g(m,n) = m^2 - n\) для всіх\((m,n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\).
- Визначити\(g(0, 3)\),\(g(3, -2)\),\(g(-3, -2)\), і\(g(7, -1)\).
- Визначте множину всіх преобразів цілого числа 0 для функції\(g\). Напишіть свою відповідь, використовуючи нотації set builder.
- Визначте множину всіх преобразів цілого числа 5 для функції\(g\). Напишіть свою відповідь, використовуючи нотації set builder.
- Відповідь
-
Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.
- Нехай\(\mathbb{Z}_5 = \{0, 1, 2, 3, 4\}\). Визначте\(f: \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_5\) по\(f(x) = x^2 + 4\) (мод 5) і визначте\(g: \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_5\) по\(g(x) = (x + 1)(x + 4)\) (мод 5).
(а) Обчислити\(f(0)\)\(f(1)\),\(f(2)\),,\(f(3)\), і\(f(4)\).
(б) Обчислити\(g(0)\)\(g(1)\),\(g(2)\),,\(g(3)\), і\(g(4)\).
(c) Чи є функція\(f\) дорівнює функції\(g\)? Поясніть. - Нехай\(\mathbb{Z}_6 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\). Визначте\(f: \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_5\) по\(f(x) = x^2 + 4\) (мод 5) і визначте\(g: \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_5\) по\(g(x) = (x + 1)(x + 4)\) (мод 5).
(а) Обчислити\(f(0)\)\(f(1)\),\(f(2)\),,\(f(3)\), і\(f(4)\).
(б) Обчислити\(g(0)\)\(g(1)\),\(g(2)\),,\(g(3)\), і\(g(4)\).
(c) Чи є функція\(f\) дорівнює функції\(g\)? Поясніть. - Нехай\(f : (\mathbb{R} - \{0\}) \to \mathbb{R}\) мимо\(f(x) = \dfrac{x^3 + 5x}{x}\) і нехай\(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) мимо\(g(x) = x^2 + 5\).
(а) Обчислити\(f(2)\)\(f(-2)\),\(f(3)\),, і\(f(\sqrt{2})\).
(б) Обчислити\(g(0)\)\(g(2)\),\(g(-2)\),,\(g(3)\), і\(g(\sqrt{2})\).
(c) Чи є функція\(f\) дорівнює функції\(g\)? Поясніть.
(d) Тепер нехай\(h: (\mathbb{R} - \{0\}) \to \mathbb{R}\) мимо\(h(x) = x^2 + 5\). Функція\(f\) дорівнює функції\(h\)? Поясніть. - Представте кожну з наступних послідовностей як функції. У кожному конкретному випадку вкажіть домен, кодомен та правило для визначення виходів функції. Крім того, визначте, чи однакова будь-яка з послідовностей.
(а)\(1, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{16}, ...\)
(б)\(\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{27}, \dfrac{1}{81}, ...\)
(с) 1, -1, 1, -1, 1, -1,...
(г) cos (0), cos (\(\pi\)), cos (\(2\pi\)), cos (\(3\pi\)), cos (\(4\pi\)),... - \(B\)Дозволяти\(A\) і бути двома непорожніми множинами. Є дві проекційні функції з доменом\(A \times B\), декартовим добутком\(A\) і\(B\). Одна функція проекції зіставлять впорядковану пару з її першою координатою, а інша функція проекції зіставлять впорядковану пару з її другою координатою. Таким чином, ми
\(p_1: A \times B \to A\) визначаємо по\(p_1(a, b) = a\) для кожного\((a, b) \in A \times B\); і
\(p_2: A \times B \to B\) по\(p_2(a, b) = a\) для кожного\((a, b) \in A \times B\).
Нехай\(A = \{1, 2\}\) і нехай\(B = \{x, y, z\}\).
(a) Визначте виходи для всіх можливих входів для функції проекції\(p_1: A \times B \to A\).
(b) Визначте виходи для всіх можливих входів для функції проекції\(p_2: A \times B \to B\).
(c) Який діапазон цих проекційних функцій?
(d) Чи є таке твердження істинним чи хибним? Поясніть.
Для всіх\((m, n), (u, v) \in A \times B\), якщо\((m, n) \ne (u, v)\), то
\(p_1(m,n) \ne p_1(u,v)\). - Дозвольте\(D = \mathbb{N} - \{1, 2\}\) і\(d(n) =\) визначте\(d: D \to \mathbb{N} \cup \{0\}\) за кількістю діагоналей опуклого багатокутника зі\(n\) сторонами. У Preview Activity\(\PageIndex{1}\), ми показали, що для значень\(n\) від 3 до 8,
\[d(n) = \dfrac{n(n - 3)}{2}.\]
Використовуйте математичну індукцію, щоб довести, що для всіх\(n \in D\),
\[d(n) = \dfrac{n(n - 3)}{2}.\]
Підказка: Щоб отримати уявлення про те, як обробляти індуктивний крок, використовуйте п'ятикутник. Спочатку сформуйте всі діагоналі, які можна зробити з чотирьох вершин. Тоді розглянемо, як зробити нові діагоналі, коли використовується п'ята вершина. Це може створити уявлення про те, як перейти від багатокутника зі\(k\) сторонами до багатокутника зі\(k + 1\) сторонами. - Дозвольте\(f : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) визначитися з\(f(m,n) = m + 3n\).
(а) Обчислити\(f(-3,4)\) і\(f(-2, -7)\).
(b) Визначте набір усіх попередніх зображень 4 за допомогою нотації set builder для опису множини всіх\((m, n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) таких, що\(f(m,n) = 4\). - Дозвольте\(g : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) визначитися з\(g(m,n) = (2m, m - n)\).
(а) Обчислити\(g(3, 5)\) і\(g(-1, 4)\).
(b) Визначити всі преобрази .0; 0/. Тобто знайти все\((m, n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) таке, що\(g(m, n) = (0, 0)\).
(c) Визначте набір всіх преобразів (8, -3).
(d) Визначте набір всіх попередніх зображень (1, 1).
(e) Чи є таке твердження істинним чи хибним? Обгрунтуйте свій висновок.
Для кожного\((s, t) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) існує\((m, n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) таке, що\(g(m, n) = (s, t)\). - Матриця 2 на 2\(\mathbb{R}\) - це прямокутний масив з чотирьох дійсних чисел, розташованих у два рядки та два стовпці. Зазвичай ми записуємо цей масив у дужки (або дужки) наступним чином:
\ [A=
\ left [{\ begin {array} {cc}
a & b\\
c & d\
\ end {array}}\ right]
\]
де\(a\), \(b\),\(c\) і\(d\) є дійсними числами. Визначник матриці 2 на 2\(A\), що позначається det (\(A\)), визначається як
det (\(A\)) =\(ad - bc\).
(а) Обчислити детермінант кожної з наступних матриць:
\(\left [{\begin{array} {cc} 3 & 5 \\ 4 & 1\\ \end{array}} \right]\),\(\left [{\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 7\\ \end{array}} \right]\), і\(\left [{\begin{array} {cc} 3 & -2 \\ 5 & 0\\ \end{array}} \right]\).
(b)\(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) Дозволяти бути набір всіх 2 на 2 матриці над\(\mathbb{R}\). Математичний процес знаходження визначника матриці 2 на 2\(\mathbb{R}\) можна розглядати як функцію. Уважно поясніть, як це зробити, включаючи чітке твердження домену та кодомена цієї функції. - Використовуючи позначення з вправи (9), нехай
\ [A=
\ left [{\ begin {array} {cc}
a & b\\
c & d\
\ end {array}}
\ right]\]
буде матрицею 2 на 2\(\mathbb{R}\). Транспонування матриці\(A\), позначається\(A^T\), є матрицею 2 на 2 над\(\mathbb{R}\) визначеною
\ [A^T=\ left [{
\ begin {array} {cc}
a & c\\
b & d\\
\ end {array}}\ right]
\]
(a) Обчислити транспонування кожної з наступних матриць:
\(\left [{\begin{array} {cc} 3 & 5 \\ 4 & 1\\ \end{array}} \right]\),\(\left [{\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 7\\ \end{array}} \right]\), і\(\left [{\begin{array} {cc} 3 & -2 \\ 5 & 0\\ \end{array}} \right]\).
(b)\(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) Дозволяти бути набір всіх 2 на 2 матриці над\(\mathbb{R}\). Математичний процес знаходження визначника матриці 2 на 2\(\mathbb{R}\) можна розглядати як функцію. Уважно поясніть, як це зробити, включаючи чітке твердження домену та кодомена цієї функції.
Дослідження та діяльність - Інтеграція як функція. У численні ми дізналися, що якщо f - дійсна функція, яка є безперервною на замкнутому інтервалі [\(a\),\(b\)], то певний інтеграл\(\int_a^b f(x) dx\) є дійсним числом. Фактично, одна з форм фундаментальної теореми обчислення стверджує, що
\[\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a),\]
де\(F\) є будь-яке антипохідне\(f\), тобто де\(F\prime = f\).
(a) Дозволяти [\(a\),\(b\)] бути замкнутим інтервалом дійсних чисел і нехай\(C[a, b]\) бути множиною всіх дійсних функцій, які є неперервними на [\(a\),\(b\)]. Тобто пояснити
\[C[a, b] = \{f: [a, b] \to \mathbb{R}\ |\ f \text{ is continuous on } [a, b]\}.\]
, як певний інтеграл\(\int_a^b f(x) dx\) може бути використаний для визначення функції\(I\) від\(C[a, b]\) до\(\mathbb{R}\).
II. Нехай\([a, b] = [0, 2]\). Розрахувати\(I(f)\), де\(f(x) = x^2 + 1\).
III. Нехай\([a, b] = [0, 2]\). Розрахувати\(I(g)\), де\(g(x) = sin(\pi x)\).
У обчисленні ми також навчилися визначати невизначений інтеграл\(\int f(x) dx\) безперервної функції\(f\).
(б) Нехай\(f(x) = x^2 + 1\) і\(g(x) = cos(2x)\). Визначте\(\int f(x) dx\) і\(\int g(x) dx\).
(c)\(f\) Дозволяти бути безперервною функцією на замкнутому інтервалі [0, 1] і нехай\(T\) бути множиною всіх дійсних функцій. Чи можна використовувати процес визначення невизначеного інтеграла неперервної функції для визначення функції від\(C[0, 1]\) до\(T\)? Поясніть.
(d) Інша форма фундаментальної теореми числення стверджує, що якщо\(f\) є безперервним на інтервалі [\(a\),\(b\)] і якщо
\[g(x) = \int_a^x f(t) dt\]
Для кожного\(x\) в [\(a\),\(b\)], то\(g\prime (x) = f(x)\). Тобто\(g\) є антипохідним від\(f\). Поясніть, як ця теорема t може бути використана для визначення функції від\(C[a, b]\) до\(T\), де вихід функції i є антипохідним від вхідних даних. (Нагадаємо, що\(T\) це набір всіх реальних функцій.)
- Відповідь
-
Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.