3.1: Основні прийоми
- Page ID
- 63147
Кофактори та 2 x 2 детермінанти
- Оцінити детермінант квадратної матриці за допомогою операцій Розширення Лапласа або рядків.
- Продемонструйте вплив рядкових операцій на детермінанти.
- Перевірте наступне:
- Визначником добутку матриць є добуток детермінант.
- Детермінант матриці дорівнює визначнику її транспонування.
\(A\)Дозволяти бути\(n\times n\) матрицею. Тобто, нехай\(A\) буде квадратна матриця. Детермінант\(A\), позначається\(\det \left( A\right)\) є дуже важливим числом, яке ми будемо вивчати протягом усього цього розділу.
Якщо\(A\)\(\times 2\) матриця 2, то детермінант задається за такою формулою.
Нехай\(A=\left[ \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right] .\) тоді\[\det \left( A\right) = ad-cb\nonumber \]
Визначник також часто позначають, обклавши матрицю двома вертикальними лініями. Таким чином\[\det \left[ \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right] =\left| \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right| =ad - bc\nonumber \]
Нижче наведено приклад знаходження детермінанти\(2 \times 2\) матриці.
Знайти\(\det\left(A\right)\) для матриці\(A = \left[ \begin{array}{rr} 2 & 4 \\ -1 & 6 \end{array} \right] .\)
Рішення
З визначення\(\PageIndex{1}\),\[\det \left( A\right) = \left( 2\right) \left( 6\right) -\left( -1\right) \left( 4\right) = 12 + 4 = 16\nonumber \]
\(2 \times 2\)Детермінант може бути використаний для пошуку визначника великих матриць. Зараз ми розглянемо, як знайти детермінант\(3 \times 3\) матриці, використовуючи кілька інструментів, включаючи\(2 \times 2\) детермінанту.
Почнемо з наступного визначення.
\(A\)Дозволяти бути\(3\times 3\) матрицею. \(ij^{th}\)Мінор\(A\),\(minor\left( A\right) _{ij},\) позначається як визначник\(2\times 2\) матриці, який є результатом видалення\(i^{th}\) рядка і\(j^{th}\) стовпця\(A\).
Загалом, якщо\(A\) це\(n\times n\) матриця, то\(ij^{th}\) мінор\(A\) - це визначник\(n-1 \times n-1\) матриці, який є результатом видалення\(i^{th}\) рядка та\(j^{th}\) стовпця \(A\).
Отже, існує неповнолітній, пов'язаний з кожним записом\(A\). Розглянемо наступний приклад, який демонструє це визначення.
Дозвольте\[A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} \right]\nonumber \] знайти\(minor\left( A\right) _{12}\) і\(minor\left( A\right) _{23}\).
Рішення
Спочатку знайдемо\(minor\left( A\right) _{12}\). За визначенням\(\PageIndex{2}\), це детермінант\(2\times 2\) матриці, який виникає при видаленні першого рядка та другого стовпця. Цей неповнолітній дається за\[minor \left(A\right)_{12} = \det \left[ \begin{array}{rr} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} \right]\nonumber \] допомогою визначення\(\PageIndex{1}\), ми бачимо, що\[\det \left[ \begin{array}{rr} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} \right] = \left(4\right)\left(1\right) - \left(3\right)\left(2\right) = 4 - 6 = -2\nonumber\]
Тому\(minor \left(A\right)_{12} = -2\).
Аналогічно,\(minor\left(A\right)_{23}\) визначається\(2\times 2\) матриця, яка виникає при видаленні другого рядка і третього стовпця. Тому ця\[minor \left(A\right)_{23} = \det \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} \right] = -4\nonumber \] неповнолітня Пошук інших неповнолітніх\(A\) залишається як вправа.
\(ij^{th}\)Мінор матриці\(A\) використовується в іншому важливому визначенні, наведеному далі.
Припустимо,\(A\) це\(n\times n\) матриця. \(ij^{th}\)Кофактор, що\(\mathrm{cof}\left( A\right) _{ij}\) позначається, визначається як\[\mathrm{cof}\left( A\right) _{ij} = \left( -1\right) ^{i+j} minor\left(A\right)_{ij}\nonumber \]
Також зручно посилатися на кофактор запису матриці наступним чином. Якщо\(a_{ij}\) це\(ij^{th}\) запис матриці, то її кофактор просто\(\mathrm{cof}\left( A\right) _{ij}.\)
Розглянемо матрицю\[A=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} \right]\nonumber \] Знайти\(\mathrm{cof}\left( A\right) _{12}\) і\(\mathrm{cof}\left( A\right) _{23}\).
Рішення
Ми будемо використовувати \(\PageIndex{3}\)Definition для обчислення цих кофакторів.
Для початку проведемо обчислення\(\mathrm{cof}\left( A\right) _{12}\). Тому нам потрібно знайти\(minor\left(A\right)_{12}\). Це визначник\(2\times 2\) матриці, який утворюється при видаленні першого рядка та другого стовпця. Таким чином\(minor\left(A\right)_{12}\) дається\[\det \left[ \begin{array}{rr} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} \right] = -2\nonumber \] Тоді,\[\mathrm{cof}\left( A\right) _{12}=\left( -1\right) ^{1+2} minor\left(A\right)_{12} =\left( -1\right) ^{1+2}\left( -2\right) =2\nonumber \] Отже,\(\mathrm{cof}\left( A\right) _{12}=2\).
Аналогічно ми можемо знайти\(\mathrm{cof}\left( A\right) _{23}\). По-перше, знайдіть\(minor\left(A\right)_{23}\), який є визначником\(2\times 2\) матриці, що призводить до видалення другого рядка і третього стовпця. Це неповнолітня,\[\det \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} \right] = -4\nonumber \] отже,\[\mathrm{cof}\left( A\right) _{23}=\left( -1\right) ^{2+3} minor\left(A\right)_{23} =\left( -1\right) ^{2+3}\left( -4\right) =4\nonumber \]
Ви можете знайти інші кофактори для наведеної вище матриці. Пам'ятайте, що для кожного запису в матриці існує кофактор.
Зараз ми встановили інструменти, необхідні для пошуку детермінанти\(3 \times3\) матриці.
\(A\)Дозволяти бути\(3\times 3\) матрицею. Потім\(\det \left(A\right)\) обчислюється шляхом вибору рядка (або стовпця) і прийняття добутку кожного запису в цьому рядку (стовпці) з його кофактором і додавання цих продуктів разом.
Цей процес, застосований до\(i^{th}\) рядка (стовпця), відомий як розширення вздовж\(i^{th}\) рядка (стовпця), як це задано\[\det \left(A\right) = a_{i1}\mathrm{cof}(A)_{i1} + a_{i2}\mathrm{cof}(A)_{i2} + a_{i3}\mathrm{cof}(A)_{i3}\nonumber \]
При обчисленні визначника ви можете вибрати розгортання будь-якого рядка або будь-якого стовпця. Незалежно від вашого вибору, ви завжди отримаєте те саме число, яке є визначником матриці.\(A.\) Цей метод оцінки визначника шляхом розширення вздовж рядка або стовпця називається Розширення Лапласа або Розширення кофактора.
Розглянемо наступний приклад.
Дозвольте\[A=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} \right]\nonumber \] знайти\(\det\left(A\right)\) за допомогою методу Розширення Лапласа.
Рішення
Спочатку розрахуємо,\(\det \left(A\right)\) розширивши уздовж першого стовпчика. Використовуючи Definition\(\PageIndex{4}\), ми беремо\(1\) в першому стовпці і множимо його на його кофактор,\[1 \left( -1\right) ^{1+1}\left| \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right| = (1)(1)(-1) = -1\nonumber \] Аналогічно, ми беремо\(4\) в першому стовпці і множимо його на його кофактор, а також з\(3\) в першому стовпці. Нарешті, ми складаємо ці числа разом, як зазначено в наступному рівнянні. \[\det \left(A\right) = 1 \overset{ \mathrm{cof}\left( A\right) _{11}}{\overbrace{\left( -1\right) ^{1+1}\left| \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right| }}+4 \overset{\mathrm{cof}\left( A\right) _{21}}{\overbrace{\left( -1\right) ^{2+1}\left| \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} \right| }}+3 \overset{\mathrm{cof}\left( A\right) _{31}}{\overbrace{\left( -1\right) ^{3+1}\left| \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{array} \right| }}\nonumber \]Розрахувавши кожен з них, отримаємо\[\det \left(A\right) = 1 \left(1\right)\left(-1\right) + 4 \left(-1\right)\left(-4\right) + 3 \left(1\right)\left(-5\right) = -1 + 16 + -15 = 0\nonumber \] Отже,\(\det\left(A\right) = 0\).
Як згадувалося у \(\PageIndex{4}\)Визначенні, ми можемо вибрати розширення вздовж будь-якого рядка чи стовпця. Спробуємо тепер, розширивши уздовж другого ряду. Тут ми беремо\(4\) в другому ряду і множимо його на його кофактор, потім додаємо це\(3\) в другому ряду, помноженому на його кофактор, а\(2\) в другому ряду множимо на його кофактор. Розрахунок відбувається наступним чином. \[\det \left(A\right) = 4 \overset{\mathrm{cof}\left( A\right) _{21}}{\overbrace{\left( -1\right) ^{2+1}\left| \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} \right| }}+3 \overset{\mathrm{cof}\left( A\right) _{22}}{\overbrace{\left( -1\right) ^{2+2}\left| \begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{array} \right| }}+2 \overset{\mathrm{cof}\left( A\right) _{23}}{\overbrace{\left( -1\right) ^{2+3}\left| \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} \right| }}\nonumber \]
Розраховуючи кожен з цих продуктів, отримуємо\[\det \left(A\right) = 4\left(-1\right)\left(-2\right) + 3\left(1\right)\left(-8\right) + 2 \left(-1\right)\left(-4\right) = 0\nonumber \]
Ви можете бачити, що для обох методів ми отримали\(\det \left(A\right) = 0\).
Як згадувалося вище, ми завжди будемо придумувати однакове значення для\(\det \left(A\right)\) незалежно від рядка або стовпця, який ми вирішили розширити вздовж. Ви повинні спробувати обчислити вищевказаний детермінант шляхом розширення вздовж інших рядків і стовпців. Це хороший спосіб перевірити свою роботу, адже ви повинні придумувати один і той же номер кожного разу!
Цю ідею ми представляємо формально в наступній теоремі.
Розширення\(n\times n\) матриці уздовж будь-якого рядка або стовпця завжди дає однакову відповідь, яка є визначником.
Зараз ми розглянули детермінанту\(2 \times 2\) і\(3 \times 3\) матриць. Виявляється, метод, який використовується для обчислення визначника\(3 \times 3\) матриці, може бути використаний для обчислення визначника будь-якої розмірної матриці. Зверніть увагу\(\PageIndex{2}\), що визначення, визначення\(\PageIndex{3}\) та визначення\(\PageIndex{4}\) можуть бути застосовані до матриці будь-якого розміру.
Наприклад,\(ij^{th}\) мінор\(4 \times 4\) матриці є визначником\(3 \times 3\) матриці, яку ви отримуєте при видаленні\(i^{th}\) рядка та\(j^{th}\) стовпця. Так само, як і у\(3 \times 3\) випадку з визначником, ми можемо обчислити детермінант\(4 \times 4\) матриці за допомогою розширення Лапласа, уздовж будь-якого рядка або стовпця
Розглянемо наступний приклад.
Знайти\(\det \left( A\right)\) де\[A=\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 3 & 2 \end{array} \right]\nonumber \]
Рішення
Як і у випадку з\(3\times 3\) матрицею, ви можете розширити її вздовж будь-якого рядка або стовпця. Давайте заберемо третій стовпець. Потім, використовуючи Розширення Лапласа,\[\det \left( A\right) = 3\left( -1\right) ^{1+3}\left\vert \begin{array}{rrr} 5 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 3 & 4 & 2 \end{array} \right\vert +2\left( -1\right) ^{2+3}\left\vert \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ 3 & 4 & 2 \end{array} \right\vert +\nonumber \]\[4\left( -1\right) ^{3+3}\left\vert \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 5 & 4 & 3 \\ 3 & 4 & 2 \end{array} \right\vert +3\left( -1\right) ^{4+3}\left\vert \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 5 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \end{array} \right\vert\nonumber \]
Тепер ви можете обчислити кожен\(3 \times 3\) детермінант за допомогою розширення Laplace, як ми це робили вище. Ви повинні виконати їх як вправу і перевірити це\(\det \left( A \right)= -12\).
Нижче наведено формальне визначення детермінанти\(n \times n\) матриці. Можливо, ви захочете взяти хвилинку і розглянути вищезазначені визначення для\(2 \times 2\) та\(3 \times 3\) детермінанти в контексті цього визначення.
\(A\)Дозволяти\(n\times n\) матриця, де\(n\geq 2\) і припустимо, визначник\(\left( n-1\right) \times \left( n-1\right)\) a був визначений. Потім\[\det \left( A\right) =\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\mathrm{cof}\left( A\right) _{ij}=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}\mathrm{cof}\left( A\right) _{ij}\nonumber \] перша формула полягає в розширенні визначника по\(i^{th}\) ряду, а друга розширює визначник уздовж\(j^{th}\) стовпця.
У наступних розділах ми розглянемо деякі важливі властивості і характеристики детермінанта.
Визначник трикутної матриці
Існує певний тип матриці, для якої знаходження визначника є дуже простою процедурою. Розглянемо наступне визначення.
Матриця\(A\) верхня трикутна, якщо\(a_{ij}=0\) коли завгодно\(i>j\). При цьому записи такої матриці нижче основної діагоналі рівні\(0\), як показано на малюнку. Тут\(\ast\) мається на увазі будь-яке ненульове число. \[ \left[ \begin{array}{cccc} \ast & \ast & \cdots & \ast \\ 0 & \ast & \cdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ast \\ 0 & \cdots & 0 & \ast \end{array} \right]\nonumber \]Нижня трикутна матриця визначається аналогічно як матриця, для якої всі записи над основною діагоналлю дорівнюють нулю.
Наступна теорема надає корисний спосіб обчислити детермінант трикутної матриці.
\(A\)Дозволяти бути верхня або нижня трикутна матриця. Потім\(\det \left( A\right)\) виходить шляхом взяття добутку записів на головну діагональ.
Перевірка цієї теореми може бути здійснена шляхом обчислення визначника за допомогою Розширення Лапласа уздовж першого рядка або стовпця.
Розглянемо наступний приклад.
Дозвольте\[A=\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 77 \\ 0 & 2 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 3 & 33.7 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right]\nonumber \] знайти\(\det \left( A\right) .\)
Рішення
З \(\PageIndex{2}\)теореми досить взяти добуток елементів на головну діагональ. Таким чином\(\det \left( A\right) =1\times 2\times 3\times \left( -1\right) =-6.\)
Не використовуючи теорему\(\PageIndex{2}\), ви можете використовувати розширення Лапласа. Розгорнемо уздовж першого стовпчика. Це дає\[\begin{aligned} \det \left(A\right) = &1\left| \begin{array}{rrr} 2 & 6 & 7 \\ 0 & 3 & 33.7 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right| +0\left( -1\right) ^{2+1}\left| \begin{array}{rrr} 2 & 3 & 77 \\ 0 & 3 & 33.7 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right| + \\ &0\left( -1\right) ^{3+1}\left| \begin{array}{rrr} 2 & 3 & 77 \\ 2 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right| +0\left( -1\right) ^{4+1}\left| \begin{array}{rrr} 2 & 3 & 77 \\ 2 & 6 & 7 \\ 0 & 3 & 33.7 \end{array} \right|\end{aligned}\] і єдиним ненульовим терміном в розширенні є\[1\left| \begin{array}{rrr} 2 & 6 & 7 \\ 0 & 3 & 33.7 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right|\nonumber \] Тепер знайти детермінант цієї\(3 \times 3\) матриці, шляхом розширення вздовж першого стовпця для отримання\[\det \left(A\right) = 1\times \left( 2\times \left| \begin{array}{rr} 3 & 33.7 \\ 0 & -1 \end{array} \right| +0\left( -1\right) ^{2+1}\left| \begin{array}{rr} 6 & 7 \\ 0 & -1 \end{array} \right| +0\left( -1\right) ^{3+1}\left| \begin{array}{rr} 6 & 7 \\ 3 & 33.7 \end{array} \right| \right)\nonumber \]\[=1\times 2\times \left| \begin{array}{rr} 3 & 33.7 \\ 0 & -1 \end{array} \right|\nonumber \] наступного використання Визначення,\(\PageIndex{1}\) щоб знайти детермінант цього \(2 \times 2\)матриця, яка якраз\(3 \times -1 - 0 \times 33.7 = -3\). Збираючи всі ці кроки воєдино, ми маємо\[\det \left(A\right) = 1\times 2\times 3\times \left( -1\right) =-6\nonumber \] який є лише добутком записів вниз по головній діагоналі вихідної матриці!
Ви можете бачити, що хоча обидва методи призводять до однакової відповіді, Теорема\(\PageIndex{2}\) забезпечує набагато швидший метод.
У наступному розділі ми досліджуємо деякі важливі властивості детермінант.