3.1: Основні прийоми

Кофактори та 2 x 2 детермінанти

Результати

1. Оцінити детермінант квадратної матриці за допомогою операцій Розширення Лапласа або рядків.
2. Продемонструйте вплив рядкових операцій на детермінанти.
3. Перевірте наступне:
   1. Визначником добутку матриць є добуток детермінант.
   2. Детермінант матриці дорівнює визначнику її транспонування.

$A$Дозволяти бути$n\times n$ матрицею. Тобто, нехай$A$ буде квадратна матриця. Детермінант$A$, позначається$\det \left( A\right)$ є дуже важливим числом, яке ми будемо вивчати протягом усього цього розділу.

Якщо$A$$\times 2$ матриця 2, то детермінант задається за такою формулою.

Визначення$\PageIndex{1}$: Determinant of a Two By Two Matrix

Нехай$A=\left[ \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right] .$ тоді $$\det \left( A\right) = ad-cb\nonumber$$

Визначник також часто позначають, обклавши матрицю двома вертикальними лініями. Таким чином $$\det \left[ \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right] =\left| \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right| =ad - bc\nonumber$$

Нижче наведено приклад знаходження детермінанти$2 \times 2$ матриці.

Приклад$\PageIndex{1}$: A Two by Two Determinant

Знайти$\det\left(A\right)$ для матриці$A = \left[ \begin{array}{rr} 2 & 4 \\ -1 & 6 \end{array} \right] .$

Рішення

З визначення$\PageIndex{1}$, $$\det \left( A\right) = \left( 2\right) \left( 6\right) -\left( -1\right) \left( 4\right) = 12 + 4 = 16\nonumber$$

$2 \times 2$Детермінант може бути використаний для пошуку визначника великих матриць. Зараз ми розглянемо, як знайти детермінант$3 \times 3$ матриці, використовуючи кілька інструментів, включаючи$2 \times 2$ детермінанту.

Почнемо з наступного визначення.

Визначення$\PageIndex{2}$: The $ij^{th}$ Minor of a Matrix

$A$Дозволяти бути$3\times 3$ матрицею. $ij^{th}$Мінор$A$,$minor\left( A\right) _{ij},$ позначається як визначник$2\times 2$ матриці, який є результатом видалення$i^{th}$ рядка і$j^{th}$ стовпця$A$.

Загалом, якщо$A$ це$n\times n$ матриця, то$ij^{th}$ мінор$A$ - це визначник$n-1 \times n-1$ матриці, який є результатом видалення$i^{th}$ рядка та$j^{th}$ стовпця $A$.

Отже, існує неповнолітній, пов'язаний з кожним записом$A$. Розглянемо наступний приклад, який демонструє це визначення.

Приклад$\PageIndex{2}$: Finding Minors of a Matrix

Дозвольте $$A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} \right]\nonumber$$ знайти$minor\left( A\right) _{12}$ і$minor\left( A\right) _{23}$.

Рішення

Спочатку знайдемо$minor\left( A\right) _{12}$. За визначенням$\PageIndex{2}$, це детермінант$2\times 2$ матриці, який виникає при видаленні першого рядка та другого стовпця. Цей неповнолітній дається за $$minor \left(A\right)_{12} = \det \left[ \begin{array}{rr} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} \right]\nonumber$$ допомогою визначення$\PageIndex{1}$, ми бачимо, що $$\det \left[ \begin{array}{rr} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} \right] = \left(4\right)\left(1\right) - \left(3\right)\left(2\right) = 4 - 6 = -2\nonumber$$

Тому$minor \left(A\right)_{12} = -2$.

Аналогічно,$minor\left(A\right)_{23}$ визначається$2\times 2$ матриця, яка виникає при видаленні другого рядка і третього стовпця. Тому ця $$minor \left(A\right)_{23} = \det \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} \right] = -4\nonumber$$ неповнолітня Пошук інших неповнолітніх$A$ залишається як вправа.

$ij^{th}$Мінор матриці$A$ використовується в іншому важливому визначенні, наведеному далі.

Визначення$\PageIndex{3}$: The $ij^{th}$ Cofactor of a Matrix

Припустимо,$A$ це$n\times n$ матриця. $ij^{th}$Кофактор, що$\mathrm{cof}\left( A\right) _{ij}$ позначається, визначається як $$\mathrm{cof}\left( A\right) _{ij} = \left( -1\right) ^{i+j} minor\left(A\right)_{ij}\nonumber$$

Також зручно посилатися на кофактор запису матриці наступним чином. Якщо$a_{ij}$ це$ij^{th}$ запис матриці, то її кофактор просто$\mathrm{cof}\left( A\right) _{ij}.$

Приклад$\PageIndex{3}$: Finding Cofactors of a Matrix

Розглянемо матрицю $$A=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} \right]\nonumber$$ Знайти$\mathrm{cof}\left( A\right) _{12}$ і$\mathrm{cof}\left( A\right) _{23}$.

Рішення

Ми будемо використовувати $\PageIndex{3}$Definition для обчислення цих кофакторів.

Для початку проведемо обчислення$\mathrm{cof}\left( A\right) _{12}$. Тому нам потрібно знайти$minor\left(A\right)_{12}$. Це визначник$2\times 2$ матриці, який утворюється при видаленні першого рядка та другого стовпця. Таким чином$minor\left(A\right)_{12}$ дається $$\det \left[ \begin{array}{rr} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} \right] = -2\nonumber$$ Тоді, $$\mathrm{cof}\left( A\right) _{12}=\left( -1\right) ^{1+2} minor\left(A\right)_{12} =\left( -1\right) ^{1+2}\left( -2\right) =2\nonumber$$ Отже,$\mathrm{cof}\left( A\right) _{12}=2$.

Аналогічно ми можемо знайти$\mathrm{cof}\left( A\right) _{23}$. По-перше, знайдіть$minor\left(A\right)_{23}$, який є визначником$2\times 2$ матриці, що призводить до видалення другого рядка і третього стовпця. Це неповнолітня, $$\det \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} \right] = -4\nonumber$$ отже, $$\mathrm{cof}\left( A\right) _{23}=\left( -1\right) ^{2+3} minor\left(A\right)_{23} =\left( -1\right) ^{2+3}\left( -4\right) =4\nonumber$$

Ви можете знайти інші кофактори для наведеної вище матриці. Пам'ятайте, що для кожного запису в матриці існує кофактор.

Зараз ми встановили інструменти, необхідні для пошуку детермінанти$3 \times3$ матриці.

Визначення$\PageIndex{4}$: The Determinant of a Three By Three Matrix

$A$Дозволяти бути$3\times 3$ матрицею. Потім$\det \left(A\right)$ обчислюється шляхом вибору рядка (або стовпця) і прийняття добутку кожного запису в цьому рядку (стовпці) з його кофактором і додавання цих продуктів разом.

Цей процес, застосований до$i^{th}$ рядка (стовпця), відомий як розширення вздовж$i^{th}$ рядка (стовпця), як це задано $$\det \left(A\right) = a_{i1}\mathrm{cof}(A)_{i1} + a_{i2}\mathrm{cof}(A)_{i2} + a_{i3}\mathrm{cof}(A)_{i3}\nonumber$$

При обчисленні визначника ви можете вибрати розгортання будь-якого рядка або будь-якого стовпця. Незалежно від вашого вибору, ви завжди отримаєте те саме число, яке є визначником матриці.$A.$ Цей метод оцінки визначника шляхом розширення вздовж рядка або стовпця називається Розширення Лапласа або Розширення кофактора.

Розглянемо наступний приклад.

Приклад$\PageIndex{4}$: Finding the Determinant of a Three by Three Matrix

Дозвольте $$A=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} \right]\nonumber$$ знайти$\det\left(A\right)$ за допомогою методу Розширення Лапласа.

Рішення

Спочатку розрахуємо,$\det \left(A\right)$ розширивши уздовж першого стовпчика. Використовуючи Definition$\PageIndex{4}$, ми беремо$1$ в першому стовпці і множимо його на його кофактор, $$1 \left( -1\right) ^{1+1}\left| \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right| = (1)(1)(-1) = -1\nonumber$$ Аналогічно, ми беремо$4$ в першому стовпці і множимо його на його кофактор, а також з$3$ в першому стовпці. Нарешті, ми складаємо ці числа разом, як зазначено в наступному рівнянні. $$\det \left(A\right) = 1 \overset{ \mathrm{cof}\left( A\right) _{11}}{\overbrace{\left( -1\right) ^{1+1}\left| \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right| }}+4 \overset{\mathrm{cof}\left( A\right) _{21}}{\overbrace{\left( -1\right) ^{2+1}\left| \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} \right| }}+3 \overset{\mathrm{cof}\left( A\right) _{31}}{\overbrace{\left( -1\right) ^{3+1}\left| \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{array} \right| }}\nonumber$$ Розрахувавши кожен з них, отримаємо $$\det \left(A\right) = 1 \left(1\right)\left(-1\right) + 4 \left(-1\right)\left(-4\right) + 3 \left(1\right)\left(-5\right) = -1 + 16 + -15 = 0\nonumber$$ Отже,$\det\left(A\right) = 0$.

Як згадувалося у $\PageIndex{4}$Визначенні, ми можемо вибрати розширення вздовж будь-якого рядка чи стовпця. Спробуємо тепер, розширивши уздовж другого ряду. Тут ми беремо$4$ в другому ряду і множимо його на його кофактор, потім додаємо це$3$ в другому ряду, помноженому на його кофактор, а$2$ в другому ряду множимо на його кофактор. Розрахунок відбувається наступним чином. $$\det \left(A\right) = 4 \overset{\mathrm{cof}\left( A\right) _{21}}{\overbrace{\left( -1\right) ^{2+1}\left| \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} \right| }}+3 \overset{\mathrm{cof}\left( A\right) _{22}}{\overbrace{\left( -1\right) ^{2+2}\left| \begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{array} \right| }}+2 \overset{\mathrm{cof}\left( A\right) _{23}}{\overbrace{\left( -1\right) ^{2+3}\left| \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} \right| }}\nonumber$$

Розраховуючи кожен з цих продуктів, отримуємо $$\det \left(A\right) = 4\left(-1\right)\left(-2\right) + 3\left(1\right)\left(-8\right) + 2 \left(-1\right)\left(-4\right) = 0\nonumber$$

Ви можете бачити, що для обох методів ми отримали$\det \left(A\right) = 0$.

Як згадувалося вище, ми завжди будемо придумувати однакове значення для$\det \left(A\right)$ незалежно від рядка або стовпця, який ми вирішили розширити вздовж. Ви повинні спробувати обчислити вищевказаний детермінант шляхом розширення вздовж інших рядків і стовпців. Це хороший спосіб перевірити свою роботу, адже ви повинні придумувати один і той же номер кожного разу!

Цю ідею ми представляємо формально в наступній теоремі.

Теорема$\PageIndex{1}$: The Determinant is Well Defined

Розширення$n\times n$ матриці уздовж будь-якого рядка або стовпця завжди дає однакову відповідь, яка є визначником.

Зараз ми розглянули детермінанту$2 \times 2$ і$3 \times 3$ матриць. Виявляється, метод, який використовується для обчислення визначника$3 \times 3$ матриці, може бути використаний для обчислення визначника будь-якої розмірної матриці. Зверніть увагу$\PageIndex{2}$, що визначення, визначення$\PageIndex{3}$ та визначення$\PageIndex{4}$ можуть бути застосовані до матриці будь-якого розміру.

Наприклад,$ij^{th}$ мінор$4 \times 4$ матриці є визначником$3 \times 3$ матриці, яку ви отримуєте при видаленні$i^{th}$ рядка та$j^{th}$ стовпця. Так само, як і у$3 \times 3$ випадку з визначником, ми можемо обчислити детермінант$4 \times 4$ матриці за допомогою розширення Лапласа, уздовж будь-якого рядка або стовпця

Розглянемо наступний приклад.

Приклад$\PageIndex{5}$: Determinant of a Four by Four Matrix

Знайти$\det \left( A\right)$ де $$A=\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 3 & 2 \end{array} \right]\nonumber$$

Рішення

Як і у випадку з$3\times 3$ матрицею, ви можете розширити її вздовж будь-якого рядка або стовпця. Давайте заберемо третій стовпець. Потім, використовуючи Розширення Лапласа, $$\det \left( A\right) = 3\left( -1\right) ^{1+3}\left\vert \begin{array}{rrr} 5 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 3 & 4 & 2 \end{array} \right\vert +2\left( -1\right) ^{2+3}\left\vert \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ 3 & 4 & 2 \end{array} \right\vert +\nonumber$$ $$4\left( -1\right) ^{3+3}\left\vert \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 5 & 4 & 3 \\ 3 & 4 & 2 \end{array} \right\vert +3\left( -1\right) ^{4+3}\left\vert \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 5 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \end{array} \right\vert\nonumber$$

Тепер ви можете обчислити кожен$3 \times 3$ детермінант за допомогою розширення Laplace, як ми це робили вище. Ви повинні виконати їх як вправу і перевірити це$\det \left( A \right)= -12$.

Нижче наведено формальне визначення детермінанти$n \times n$ матриці. Можливо, ви захочете взяти хвилинку і розглянути вищезазначені визначення для$2 \times 2$ та$3 \times 3$ детермінанти в контексті цього визначення.

Визначення$\PageIndex{5}$: The Determinant of an $n\times n$ Matrix

$A$Дозволяти$n\times n$ матриця, де$n\geq 2$ і припустимо, визначник$\left( n-1\right) \times \left( n-1\right)$ a був визначений. Потім $$\det \left( A\right) =\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\mathrm{cof}\left( A\right) _{ij}=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}\mathrm{cof}\left( A\right) _{ij}\nonumber$$ перша формула полягає в розширенні визначника по$i^{th}$ ряду, а друга розширює визначник уздовж$j^{th}$ стовпця.

У наступних розділах ми розглянемо деякі важливі властивості і характеристики детермінанта.

Визначник трикутної матриці

Існує певний тип матриці, для якої знаходження визначника є дуже простою процедурою. Розглянемо наступне визначення.

Визначення$\PageIndex{6}$: Triangular Matrices

Матриця$A$ верхня трикутна, якщо$a_{ij}=0$ коли завгодно$i>j$. При цьому записи такої матриці нижче основної діагоналі рівні$0$, як показано на малюнку. Тут$\ast$ мається на увазі будь-яке ненульове число. $$\left[ \begin{array}{cccc} \ast & \ast & \cdots & \ast \\ 0 & \ast & \cdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ast \\ 0 & \cdots & 0 & \ast \end{array} \right]\nonumber$$ Нижня трикутна матриця визначається аналогічно як матриця, для якої всі записи над основною діагоналлю дорівнюють нулю.

Наступна теорема надає корисний спосіб обчислити детермінант трикутної матриці.

Теорема$\PageIndex{2}$: Determinant of a Triangular Matrix

$A$Дозволяти бути верхня або нижня трикутна матриця. Потім$\det \left( A\right)$ виходить шляхом взяття добутку записів на головну діагональ.

Перевірка цієї теореми може бути здійснена шляхом обчислення визначника за допомогою Розширення Лапласа уздовж першого рядка або стовпця.

Розглянемо наступний приклад.

Приклад$\PageIndex{6}$: Determinant of a Triangular Matrix

Дозвольте $$A=\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 77 \\ 0 & 2 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 3 & 33.7 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right]\nonumber$$ знайти$\det \left( A\right) .$

Рішення

З $\PageIndex{2}$теореми досить взяти добуток елементів на головну діагональ. Таким чином$\det \left( A\right) =1\times 2\times 3\times \left( -1\right) =-6.$

Не використовуючи теорему$\PageIndex{2}$, ви можете використовувати розширення Лапласа. Розгорнемо уздовж першого стовпчика. Це дає $$\begin{aligned} \det \left(A\right) = &1\left| \begin{array}{rrr} 2 & 6 & 7 \\ 0 & 3 & 33.7 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right| +0\left( -1\right) ^{2+1}\left| \begin{array}{rrr} 2 & 3 & 77 \\ 0 & 3 & 33.7 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right| + \\ &0\left( -1\right) ^{3+1}\left| \begin{array}{rrr} 2 & 3 & 77 \\ 2 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right| +0\left( -1\right) ^{4+1}\left| \begin{array}{rrr} 2 & 3 & 77 \\ 2 & 6 & 7 \\ 0 & 3 & 33.7 \end{array} \right|\end{aligned}$$ і єдиним ненульовим терміном в розширенні є $$1\left| \begin{array}{rrr} 2 & 6 & 7 \\ 0 & 3 & 33.7 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right|\nonumber$$ Тепер знайти детермінант цієї$3 \times 3$ матриці, шляхом розширення вздовж першого стовпця для отримання $$\det \left(A\right) = 1\times \left( 2\times \left| \begin{array}{rr} 3 & 33.7 \\ 0 & -1 \end{array} \right| +0\left( -1\right) ^{2+1}\left| \begin{array}{rr} 6 & 7 \\ 0 & -1 \end{array} \right| +0\left( -1\right) ^{3+1}\left| \begin{array}{rr} 6 & 7 \\ 3 & 33.7 \end{array} \right| \right)\nonumber$$ $$=1\times 2\times \left| \begin{array}{rr} 3 & 33.7 \\ 0 & -1 \end{array} \right|\nonumber$$ наступного використання Визначення,$\PageIndex{1}$ щоб знайти детермінант цього $2 \times 2$матриця, яка якраз$3 \times -1 - 0 \times 33.7 = -3$. Збираючи всі ці кроки воєдино, ми маємо $$\det \left(A\right) = 1\times 2\times 3\times \left( -1\right) =-6\nonumber$$ який є лише добутком записів вниз по головній діагоналі вихідної матриці!

Ви можете бачити, що хоча обидва методи призводять до однакової відповіді, Теорема$\PageIndex{2}$ забезпечує набагато швидший метод.

У наступному розділі ми досліджуємо деякі важливі властивості детермінант.