2.5: Транспонування

Ще однією важливою операцією над матрицями є взяття транспонування. Для$A$ матриці позначимо транспонування$A$ по$A^T$. Перш ніж формально визначити транспонування, ми досліджуємо цю операцію на наступній матриці.

$$\left[ \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 3 & 1 \\ 2 & 6 \end{array} \right] ^{T}= \ \ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 6 \end{array} \right] \nonumber$$

Що сталося? Перший стовпчик став першим рядом, а другий - другим. Таким чином$3\times 2$ матриця стала$2\times 3$ матрицею. Число$4$ було в першому рядку та другому стовпці, і воно опинилося у другому рядку та першому стовпці.

Визначення транспонування виглядає наступним чином.

Визначення$\PageIndex{1}$: The Transpose of a Matrix

$A$Дозволяти бути$m\times n$ матрицею. Потім$A^{T}$, транспонування$A$, позначає$n\times m$ матрицю, задану

$$A^{T} = \left[ a _{ij}\right] ^{T}= \left[ a_{ji} \right]\nonumber$$

$\left( i, j \right)$-запис$A$ стає$\left( j,i \right)$ -entry з$A^T$.

Розглянемо наступний приклад.

Приклад$\PageIndex{1}$: The Transpose of a Matrix

Обчислити$A^T$ для наступної матриці

$$A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & -6 \\ 3 & 5 & 4 \end{array} \right] \nonumber$$

Рішення

За визначенням$\PageIndex{1}$, ми знаємо, що для$A = \left[ a_{ij} \right]$,$A^T = \left[ a_{ji} \right]$. Іншими словами, ми перемикаємо розташування рядків і стовпців кожного запису. $\left( 1, 2 \right)$-entry стає$\left( 2,1 \right)$ -entry.

Таким чином, $$A^T = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 2 & 5 \\ -6 & 4 \end{array} \right] \nonumber$$

Зверніть увагу, що$A$ це$2 \times 3$ матриця, в$A^T$ той час як$3 \times 2$ матриця.

Транспонування матриці має такі важливі властивості.

Лемма$\PageIndex{1}$: Properties of the Transpose of a Matrix

$A$Дозволяти$m\times n$ матриця,$B$$n\times p$ матриця і$r$ і$s$ скаляри. Тоді

1. $$\left(A^{T}\right)^{T} = A\nonumber$$
2. $$\left( AB\right) ^{T}=B^{T}A^{T} \nonumber$$
3. $$\left( rA+ sB\right) ^{T}=rA^{T}+ sB^{T} \nonumber$$

Доказ

Спочатку доведемо 2. З визначення$\PageIndex{1}$,

$$\begin{aligned} \left(AB\right)^{T} &= \left[ (AB) _{ij} \right] ^{T}=\left[ (AB)_{ji} \right]=\sum_{k}a_{jk}b_{ki}= \sum_{k}b_{ki}a_{jk} \\[4pt] &= \sum_{k}\left[ b_{ik}\right]^{T}\left[ a_{kj}\right]^{T}=\left[ b_{ij}\right] ^{T} \left[ a_{ij}\right]^{T} = B^{T}A^{T} \end{aligned}$$

Доказ Формули 3 залишають як вправу.

Транспонування матриці пов'язане з іншими важливими темами. Розглянемо наступне визначення.

Визначення$\PageIndex{2}$: Symmetric and Skew Symmetric Matrices

$n\times n$Матриця$A$ вважається симетричною, якщо кажуть$A=A^{T}.$, що вона є косою симетричною, якщо$A=-A^{T}.$

Ми вивчимо ці визначення в наступних прикладах.

Приклад$\PageIndex{2}$: Symmetric Matrices

Нехай

$$A=\left[ \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 3 & -3 & 7 \end{array} \right] \nonumber$$

Використовуйте «Визначення»,$\PageIndex{2}$ щоб показати, що$A$ це симетрично.

Рішення

За визначенням$\PageIndex{2}$, нам потрібно це показати$A = A^T$. Тепер, використовуючи Definition$\PageIndex{1}$,

$$A^{T} = \left[ \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 3 & -3 & 7 \end{array} \right]\nonumber$$

Значить$A = A^{T}$, так і$A$ симетрично.

Приклад$\PageIndex{3}$: A Skew Symmetric Matrix

Нехай

$$A=\left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \\ -3 & -2 & 0 \end{array} \right] \nonumber$$

Показати,$A$ що перекос симетричний.

Рішення

За визначенням$\PageIndex{2}$,

$$A^{T} = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & -1 & -3\\ 1 & 0 & -2\\ 3 & 2 & 0 \end{array} \right] \nonumber$$

Ви можете бачити, що кожен запис$A^T$ дорівнює$-1$ разів однаковий запис$A$. Отже,$A^{T} = - A$ і так за визначенням$\PageIndex{2}$,$A$ перекіс симетричний.