2.5: Транспонування
- Page ID
- 63185
Ще однією важливою операцією над матрицями є взяття транспонування. Для\(A\) матриці позначимо транспонування\(A\) по\(A^T\). Перш ніж формально визначити транспонування, ми досліджуємо цю операцію на наступній матриці.
\[\left[ \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 3 & 1 \\ 2 & 6 \end{array} \right] ^{T}= \ \ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 6 \end{array} \right] \nonumber\]
Що сталося? Перший стовпчик став першим рядом, а другий - другим. Таким чином\(3\times 2\) матриця стала\(2\times 3\) матрицею. Число\(4\) було в першому рядку та другому стовпці, і воно опинилося у другому рядку та першому стовпці.
Визначення транспонування виглядає наступним чином.
\(A\)Дозволяти бути\(m\times n\) матрицею. Потім\(A^{T}\), транспонування\(A\), позначає\(n\times m\) матрицю, задану
\[A^{T} = \left[ a _{ij}\right] ^{T}= \left[ a_{ji} \right]\nonumber \]
\(\left( i, j \right)\)-запис\(A\) стає\(\left( j,i \right)\) -entry з\(A^T\).
Розглянемо наступний приклад.
Обчислити\(A^T\) для наступної матриці
\[A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & -6 \\ 3 & 5 & 4 \end{array} \right] \nonumber\]
Рішення
За визначенням\(\PageIndex{1}\), ми знаємо, що для\(A = \left[ a_{ij} \right]\),\(A^T = \left[ a_{ji} \right]\). Іншими словами, ми перемикаємо розташування рядків і стовпців кожного запису. \(\left( 1, 2 \right)\)-entry стає\(\left( 2,1 \right)\) -entry.
Таким чином,\[A^T = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 2 & 5 \\ -6 & 4 \end{array} \right] \nonumber\]
Зверніть увагу, що\(A\) це\(2 \times 3\) матриця, в\(A^T\) той час як\(3 \times 2\) матриця.
Транспонування матриці має такі важливі властивості.
\(A\)Дозволяти\(m\times n\) матриця,\(B\)\(n\times p\) матриця і\(r\) і\(s\) скаляри. Тоді
- \[\left(A^{T}\right)^{T} = A\nonumber \]
- \[\left( AB\right) ^{T}=B^{T}A^{T} \nonumber\]
- \[\left( rA+ sB\right) ^{T}=rA^{T}+ sB^{T} \nonumber\]
- Доказ
-
Спочатку доведемо 2. З визначення\(\PageIndex{1}\),
\[ \begin{aligned} \left(AB\right)^{T} &= \left[ (AB) _{ij} \right] ^{T}=\left[ (AB)_{ji} \right]=\sum_{k}a_{jk}b_{ki}= \sum_{k}b_{ki}a_{jk} \\[4pt] &= \sum_{k}\left[ b_{ik}\right]^{T}\left[ a_{kj}\right]^{T}=\left[ b_{ij}\right] ^{T} \left[ a_{ij}\right]^{T} = B^{T}A^{T} \end{aligned}\]
Доказ Формули 3 залишають як вправу.
Транспонування матриці пов'язане з іншими важливими темами. Розглянемо наступне визначення.
\(n\times n\)Матриця\(A\) вважається симетричною, якщо кажуть\(A=A^{T}.\), що вона є косою симетричною, якщо\(A=-A^{T}.\)
Ми вивчимо ці визначення в наступних прикладах.
Нехай
\[A=\left[ \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 3 & -3 & 7 \end{array} \right] \nonumber\]
Використовуйте «Визначення»,\(\PageIndex{2}\) щоб показати, що\(A\) це симетрично.
Рішення
За визначенням\(\PageIndex{2}\), нам потрібно це показати\(A = A^T\). Тепер, використовуючи Definition\(\PageIndex{1}\),
\[A^{T} = \left[ \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 3 & -3 & 7 \end{array} \right]\nonumber\]
Значить\(A = A^{T}\), так і\(A\) симетрично.
Нехай
\[A=\left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \\ -3 & -2 & 0 \end{array} \right] \nonumber \]
Показати,\(A\) що перекос симетричний.
Рішення
За визначенням\(\PageIndex{2}\),
\[A^{T} = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & -1 & -3\\ 1 & 0 & -2\\ 3 & 2 & 0 \end{array} \right] \nonumber\]
Ви можете бачити, що кожен запис\(A^T\) дорівнює\(-1\) разів однаковий запис\(A\). Отже,\(A^{T} = - A\) і так за визначенням\(\PageIndex{2}\),\(A\) перекіс симетричний.