4: Детермінанти

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 3.6: Теорема про оборотну матрицю
- 4.1: Визначення детермінанти

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\usepackage{macros} \newcommand{\lt}{<} \newcommand{\gt}{>} \newcommand{\amp}{&}$

Почнемо з того, що згадаємо загальну структуру цієї книги:

Розв'яжіть матричне рівняння $Ax=b$ .
Розв'яжіть матричне рівняння $\lambda$ , $Ax=\lambda x\text{,}$ де є числом.
Приблизно вирішуємо матричне рівняння $Ax=b$ .

На цьому етапі ми сказали все, що скажемо про першу частину. Ця глава належить до другої.

Примітка $\PageIndex{1}$

Дізнайтеся про детермінанти: їх обчислення та їх властивості.

Визначником квадратної матриці $A$ є число $\det(A)$ . Ця неймовірна величина є одним з найважливіших інваріантів матриці; як така вона є основою найсучасніших обчислень за участю матриць.

У розділі 4.1 ми визначимо детермінант з точки зору його поведінки щодо рядкових операцій. Детермінант задовольняє багатьом чудовим властивостям: наприклад, $\det(A) \neq 0$ якщо і тільки тоді, коли $A$ є оборотним. Деякі з цих властивостей ми також обговоримо в розділі 4.1. У розділі 4.2 ми наведемо рекурсивну формулу для визначника матриці. Ця формула дуже корисна, наприклад, при взятті детермінанти матриці з невідомими записами; це буде важливо в главі 5. Нарешті, у розділі 4.3 ми будемо співвідносити детермінанти до обсягів. Це дає геометричну інтерпретацію для детермінант та пояснює, чому детермінант визначається таким, яким він є. Ця інтерпретація детермінант є вирішальним компонентом формули зміни змінних у багатовимірному обчисленні.

4.1: Визначення детермінанти
У цьому розділі ми визначаємо детермінант і представляємо один із способів його обчислення. Потім ми обговорюємо деякі з багатьох чудових властивостей, якими користується детермінант.
4.2: Розширення кофактора
У цьому розділі наведено рекурсивну формулу для детермінанти матриці, яка називається кофакторним розширенням. Формула є рекурсивною, оскільки ми обчислимо детермінант матриці n×n, припускаючи, що ми вже знаємо, як обчислити детермінант матриці (n−1) × (n−1). Наприкінці наведено додатковий підрозділ про правило Крамера та формулу кофактора для оберненої матриці.
4.3: Детермінанти та обсяги
У цьому розділі ми наведемо геометричну інтерпретацію детермінант, в розрізі обсягів. Це проллє світло на причину трьох з чотирьох визначальних властивостей детермінанти. Це також вирішальний інгредієнт у формулі зміни змінних у багатоваріантному обчисленні.

Примітка4.1\PageIndex{1}

Примітка $\PageIndex{1}$