Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4: Детермінанти

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62855

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Почнемо з того, що згадаємо загальну структуру цієї книги:

    1. Розв'яжіть матричне рівняння\(Ax=b\).
    2. Розв'яжіть матричне рівняння\(\lambda\),\(Ax=\lambda x\text{,}\) де є числом.
    3. Приблизно вирішуємо матричне рівняння\(Ax=b\).

    На цьому етапі ми сказали все, що скажемо про першу частину. Ця глава належить до другої.

    Примітка\(\PageIndex{1}\)

    Дізнайтеся про детермінанти: їх обчислення та їх властивості.

    Визначником квадратної матриці\(A\) є число\(\det(A)\). Ця неймовірна величина є одним з найважливіших інваріантів матриці; як така вона є основою найсучасніших обчислень за участю матриць.

    У розділі 4.1 ми визначимо детермінант з точки зору його поведінки щодо рядкових операцій. Детермінант задовольняє багатьом чудовим властивостям: наприклад,\(\det(A) \neq 0\) якщо і тільки тоді, коли\(A\) є оборотним. Деякі з цих властивостей ми також обговоримо в розділі 4.1. У розділі 4.2 ми наведемо рекурсивну формулу для визначника матриці. Ця формула дуже корисна, наприклад, при взятті детермінанти матриці з невідомими записами; це буде важливо в главі 5. Нарешті, у розділі 4.3 ми будемо співвідносити детермінанти до обсягів. Це дає геометричну інтерпретацію для детермінант та пояснює, чому детермінант визначається таким, яким він є. Ця інтерпретація детермінант є вирішальним компонентом формули зміни змінних у багатовимірному обчисленні.

    • 4.1: Визначення детермінанти
      У цьому розділі ми визначаємо детермінант і представляємо один із способів його обчислення. Потім ми обговорюємо деякі з багатьох чудових властивостей, якими користується детермінант.
    • 4.2: Розширення кофактора
      У цьому розділі наведено рекурсивну формулу для детермінанти матриці, яка називається кофакторним розширенням. Формула є рекурсивною, оскільки ми обчислимо детермінант матриці n×n, припускаючи, що ми вже знаємо, як обчислити детермінант матриці (n−1) × (n−1). Наприкінці наведено додатковий підрозділ про правило Крамера та формулу кофактора для оберненої матриці.
    • 4.3: Детермінанти та обсяги
      У цьому розділі ми наведемо геометричну інтерпретацію детермінант, в розрізі обсягів. Це проллє світло на причину трьох з чотирьох визначальних властивостей детермінанти. Це також вирішальний інгредієнт у формулі зміни змінних у багатоваріантному обчисленні.