0.3: Набори

Template:MathJaxLevin

Найбільш фундаментальними об'єктами, які ми будемо використовувати в наших дослідженнях (і насправді у всій математиці), є множини. Багато з того, що слід, може бути переглядом, але дуже важливо, щоб ви вільно володіли мовою теорії множин. Більшість позначень, які ми використовуємо нижче, є стандартними, хоча деякі можуть трохи відрізнятися від того, що ви бачили раніше.

Для нас набір буде просто невпорядкованою сукупністю об'єктів. Два приклади: ми могли б розглянути набір всіх акторів, які зіграли «Доктор Хто», або набір натуральних чисел від 1 до 10 включно. У першому випадку Том Бейкер є елементом (або членом) набору, тоді як Ідріс Ельба, серед багатьох інших, не є елементом набору. Крім того, два приклади мають різні набори. Дві множини рівні точно, якщо вони містять однакові елементи. Наприклад, множина, що містить всі голосні в декларації незалежності, точно такий же набір, як і набір голосних у слові «сумнівно» (а саме всі вони); нас не хвилює порядок або повторення, просто чи є елемент у множині чи ні.

Позначення

Нам потрібні деякі позначення, щоб полегшити розмову про набори. Розглянемо,

\ begin {рівняння*} A =\ {1, 2, 3\}. \ end {рівняння*}

Це читається, «$A$є множиною, що містить елементи 1, 2 і 3». Ми використовуємо фігурні дужки «$\{,~~ \}$» для вкладення елементів множини. Ще кілька позначень:

\ begin {рівняння*} a\ in\ {a, b, c\}. \ end {рівняння*}

Символ «$\in$» читається «знаходиться в» або «є елементом». Таким чином, вище означає, що$a$ є елементом множини, що містить$a\text{,}$$b\text{,}$ літери і$c\text{.}$ Зверніть увагу, що це істинне твердження. Також було б вірно сказати, що$d$ це не в цьому наборі:

\ begin {рівняння*} d\ no\ in\ {a, b, c\}. \ end {рівняння*}

Будьте попереджені: ми пишемо «$x \in A$», коли хочемо висловити, що одним з елементів$A$$x\text{.}$ множини є Наприклад, розглянемо набір,

\ begin {рівняння*} A =\ {1, b,\ {x, y, z\},\ порожня множина\}. \ end {рівняння*}

Це дивний набір, щоб бути впевненим. Він містить чотири елементи: цифру 1, букву b, множину$\{x,y,z\}\text{,}$ і порожню множину ($\emptyset = \{ \}\text{,}$множина, що не містить елементів). Є$x$ в$A\text{?}$ Відповідь ні. Жоден з чотирьох елементів не$A$ є літерою,$x\text{,}$ тому ми повинні зробити висновок, що$x \notin A\text{.}$ Аналогічно, розглянемо набір$B = \{1,b\}\text{.}$ Незважаючи на те, що елементи$B$ є елементами,$A\text{,}$ ми не можемо сказати, що набір$B$ є одним із елементів$A\text{.}$ Тому$B \notin A\text{.}$ (Незабаром ми побачимо, що$B$ це підмножина,$A\text{,}$ але це відрізняється від того, щоб бути елементом$A\text{.}$)

Наведені вище набори ми описали, перерахувавши їх елементи. Іноді це важко зробити, особливо коли елементів в наборі багато (можливо, нескінченно багато). Наприклад, якщо ми$A$ хочемо бути набір всіх парних натуральних чисел, ми могли б написати,

\ begin {рівняння*} A =\ {0, 2, 4, 6,\ ldots\},\ end {рівняння*}

але це трохи неточно. Кращим способом було б

\ begin {рівняння*} A =\ {x\ in\ N\ st\ існує n\ in\ N (x = 2 n)\}. \ end {рівняння*}

Розбиваючи це: «$x \in \N$» означає$x$ знаходиться в множині$\N$ (множина натуральних чисел,$\{0,1,2,\ldots\}$), «$:$» читається «таким, що$\exists n\in \N (x = 2n)$» і «» читається «існує$n$ в натуральних числах, для яких$x$ два рази$n$» (іншими словами,$x$ є парний). Трохи простіше може бути,

\ begin {рівняння*} A =\ {x\ st x\ text {парний}\}. \ end {рівняння*}

Примітка: Іноді люди використовують$|$ або$\backepsilon$ для символу «такий, що» замість двокрапки.

Визначення набору за допомогою такого роду позначення дуже корисно, хоча для правильного їх читання потрібна певна практика. Це спосіб описати сукупність всіх речей, які задовольняють деякій умові (умова - це логічне твердження після символу «$\st$»). Ось ще кілька прикладів:

Приклад$\PageIndex{1}$

Опишіть кожен з наступних наборів як словами, так і перерахувавши достатньо елементів, щоб побачити шаблон.

1. $\{x \st x + 3 \in \N\}\text{.}$
2. $\{x \in \N \st x + 3 \in \N\}\text{.}$
3. $\{x \st x \in \N \vee -x \in \N\}\text{.}$
4. $\{x \st x \in \N \wedge -x \in \N\}\text{.}$

Рішення

1. Це множина всіх чисел, які на 3 менше натурального числа (тобто якщо додати до них 3, ви отримаєте натуральне число). Набір також може бути записаний a s$\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$ (зауважте, що 0 є натуральним числом,$-3$ тому що в цьому наборі$-3 + 3 = 0$).
2. Це множина всіх натуральних чисел, які на 3 менше натурального числа. Так що тут у нас просто є$\{0, 1, 2,3 \ldots\}\text{.}$
3. Це множина всіх цілих чисел (позитивних і від'ємних цілих чисел, записаних$\Z$). Іншими словами,$\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}\text{.}$
4. Тут ми хочемо, щоб всі числа$x$ такі, що$x$ і$-x$ є натуральними числами. Є тільки один: 0. Отже, у нас є набір$\{0\}\text{.}$

У нас вже багато позначень, а є ще більше. Нижче наведена зручна діаграма символів. Деякі з них будуть розглянуті більш детально, коли ми рухаємося вперед.

Спеціальні набори

• $\emptyset$: Порожній набір - це набір, який не містить елементів.
• $\U$: Набір Всесвіту - це сукупність усіх елементів.
• $\N$: Набір натуральних чисел. Тобто,$\N = \{0, 1, 2, 3\ldots\}\text{.}$
• $\Z$: Множина цілих чисел. Тобто,$\Z = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\text{.}$
• $\Q$: Набір раціональних чисел.
• $\R$: Безліч дійсних чисел.
• $\pow(A)$: Набір потужності будь-якого набору$A$ є множиною всіх підмножин$A\text{.}$

Позначення теорії множин

• $\{, \}$: Ми використовуємо ці фігурні дужки, щоб вкласти елементи набору. Так$\{1,2,3\}$ і набір, що містить 1, 2 і 3.
• $\st$:$\{x \st x > 2\}$ це набір всіх$x$ таких,$x$ що більше 2.
• $\in$:$2 \in \{1,2,3\}$ стверджує, що 2 є елементом множини$\{1,2,3\}\text{.}$
• $\not\in$:$4 \notin \{1,2,3\}$ тому що 4 не є елементом множини$\{1,2,3\}\text{.}$
• $\subseteq$:$A \subseteq B$ стверджує, що$A$ є підмножиною$B$: кожен елемент також$A$ є елементом$B\text{.}$
• $\subset$:$A \subset B$ стверджує, що$A$ є належною підмножиною$B$: кожен елемент також$A$ є елементом$B\text{,}$ але$A \ne B\text{.}$
• $\cap$:$A \cap B$ є перетином$A$ і$B$: множини, що містить всі елементи, які є елементами обох$A$ і$B\text{.}$
• $\cup$:$A \cup B$ є об'єднанням$A$ і$B$: множина, що містить всі елементи, які є елементами$A$ або$B$ або обидва.
• $\times$:$A \times B$ є декартовим добутком$A$ і$B$: набір всіх впорядкованих пар$(a,b)$ з$a \in A$ і$b \in B\text{.}$
• $\setminus$:$A \setminus B$ is$A$ set-minus$B$: множина, що містить всі елементи,$A$ які не є елементами$B\text{.}$
• $\bar{A}$: Доповненням$A$ є набір всього, що не є елементом$A\text{.}$
• $\card{A}$: Кардинальність (або розмір)$A$ - це кількість елементів у$A\text{.}$

Досліджуйте!

1. Знайдіть кардинальність кожного набору нижче.
   1. $A = \{3,4,\ldots, 15\}\text{.}$
   2. $B = \{n \in \N \st 2 \lt n \le 200\}\text{.}$
   3. $C = \{n \le 100 \st n \in \N \wedge \exists m \in \N (n = 2m+1)\}\text{.}$
2. Знайти два$A$ набори і$B$ для чого$|A| = 5\text{,}$$|B| = 6\text{,}$ і$|A\cup B| = 9\text{.}$ Що$|A \cap B|\text{?}$
3. Знайти$A$ набори і$B$ з$|A| = |B|$ таким,$|A \cap B| = 3\text{.}$ що$|A\cup B| = 7$ і що$|A|\text{?}$
4. Дозвольте$A = \{1,2,\ldots, 10\}\text{.}$ визначити$\mathcal{B}_2 = \{B \subseteq A \st |B| = 2\}\text{.}$ знайти$|\mathcal{B}_2|\text{.}$
5. Для будь-яких наборів$A$ і$B\text{,}$ визначення$AB = \{ab \st a\in A \wedge b \in B\}\text{.}$ Якщо$A = \{1,2\}$ і$B = \{2,3,4\}\text{,}$ що є$|AB|\text{?}$ Що таке$|A \times B|\text{?}$

Відносини між множинами

Ми вже говорили, що означає для двох множин бути рівними: вони мають абсолютно однакові елементи. Так, наприклад,

\ begin {рівняння*}\ {1, 2, 3\} =\ {2, 1, 3\}. \ end {рівняння*}

(Пам'ятайте, порядок, в якому записані елементи, не має значення.) Крім того,

\ begin {рівняння*}\ {1, 2, 3\} =\ {1, 1+1, 1+1+1\} =\ {I, II, III\}\ кінець {рівняння*}

оскільки це всі способи написати безліч, що містить перші три натуральні числа (як ми їх пишемо, не має значення, тільки те, що вони є).

Що про$A = \{1, 2, 3\}$ набори і$B = \{1, 2, 3, 4\}\text{?}$ Ясно,$A \ne B\text{,}$ але зауважте, що кожен елемент також$A$ є елементом$B\text{.}$ Тому що ми говоримо, що$A$ це підмножина$B\text{,}$ або в символах$A \subset B$ або$A \subseteq B\text{.}$ Обидва символи читаються «є підмножиною». Різниця полягає в тому, що іноді ми хочемо сказати, що або$A$ дорівнює або є підмножиною$B\text{,}$ в цьому випадку ми використовуємо$\subseteq\text{.}$ Це аналогічно різниці між$<$ і$\le\text{.}$

Приклад$\PageIndex{2}$

Дозвольте$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\text{,}$$B = \{2, 4, 6\}\text{,}$$C = \{1, 2, 3\}$ і$D = \{7, 8, 9\}\text{.}$ Визначте, які з наступних є істинними, хибними або безглуздими.

1. $A \subset B\text{.}$
2. $B \subset A\text{.}$
3. $B \in C\text{.}$
4. $\emptyset \in A\text{.}$
5. $\emptyset \subset A\text{.}$
6. $A < D\text{.}$
7. $3 \in C\text{.}$
8. $3 \subset C\text{.}$
9. $\{3\} \subset C\text{.}$

Рішення

1. Помилкові. Наприклад,$1\in A$ але$1 \notin B\text{.}$
2. Правда. Кожен елемент в$B$ є елементом в$A\text{.}$
3. Помилкові. Елементи в$C$ 1, 2 і 3. Набір не$B$ дорівнює 1, 2 або 3.
4. Помилкові. $A$має рівно 6 елементів, і жоден з них не є порожнім набором.
5. Правда. Все в порожньому наборі (нічого) також є елементом$A\text{.}$ Notice, що порожній набір є підмножиною кожного множини.
6. Безглуздий. Набір не може бути меншим за інший набір.
7. Правда. $3$є одним з елементів набору$C\text{.}$
8. Безглуздий. $3$не є множиною, тому він не може бути підмножиною іншого множини.
9. Правда. $3$є єдиним елементом$\{3\}\text{,}$ множини і є елементом$C\text{,}$ тому кожен елемент в$\{3\}$ є елементом$C\text{.}$

У наведеному вище прикладі$B$ є підмножиною$A\text{.}$ Ви можете задатися питанням, які інші множини є підмножинами$A\text{.}$ Якщо ви збираєте всі ці підмножини$A$ в новий набір, ми отримаємо набір множин. Викликаємо множину всіх підмножин потужності множини$A\text{,}$ і записуємо його$A$$\pow(A)\text{.}$

Приклад$\PageIndex{3}$

Дозвольте$A = \{1,2,3\}\text{.}$ знайти$\pow(A)\text{.}$

Рішення

$\pow(A)$це набір множин, всі з яких є підмножинами$A\text{.}$ So

\ begin {рівняння*}\ pow (A) =\ {\ порожня множина,\ {1\},\ {2\},\ {3\},\ {1,2\},\ {1, 3\},\ {2,3\},\ {1,2,3\}\}. \ end {рівняння*}

Зверніть увагу, що в той час як$2 \in A\text{,}$ це неправильно писати,$2 \in \pow(A)$ оскільки жоден з елементів в не$\pow(A)$ є числами! З іншого боку, ми маємо$\{2\} \in \pow(A)$ тому, що$\{2\} \subseteq A\text{.}$

Як$\pow(A)$ виглядає підмножина? Зверніть увагу, що$\{2\} \not\subseteq \pow(A)$ тому що не все в$\{2\}$ є в$\pow(A)\text{.}$ Але у нас$\{\{2\}\}$ є$\{ \{2\} \} \subseteq \pow(A)\text{.}$ Єдиний елемент є набір,$\{2\}$ який також є елементом$\pow(A)\text{.}$ Ми могли б взяти колекцію всіх підмножин$\pow(A)$ і назвати, що$\pow(\pow(A))\text{.}$ Або навіть потужність набір що набір наборів наборів.

Ще один спосіб порівняння наборів - за їх розміром. Зверніть увагу, що в прикладі вище,$A$ має 6 елементів$B\text{,}$$C\text{,}$ і$D$ всі мають 3 елементи. Розмір набору називається кардинальністю набору. Ми б писали$|A| = 6\text{,}$$|B| = 3\text{,}$ і так далі. Для множин, які мають кінцеву кількість елементів, кардинальність множини - це просто кількість елементів у множині. Зверніть увагу, що кардинальність$\{ 1, 2, 3, 2, 1\}$ дорівнює 3. Ми не рахуємо повторів (по суті,$\{1, 2, 3, 2, 1\}$ це точно такий же набір, як$\{1, 2, 3\}$). Існують множини з нескінченною кардинальністю, такі як$\N\text{,}$ безліч раціональних чисел (записаних$\mathbb Q$), множина парних натуральних чисел і безліч дійсних чисел ($\mathbb R$). Можна розрізнити різні нескінченні кардинальності, але це виходить за рамки цього тексту. Для нас множина буде або нескінченною, або кінцевою; якщо вона кінцева, то ми можемо визначити його кардинальність шляхом підрахунку елементів.

Приклад$\PageIndex{4}$

1. Знайдіть кардинальність$A = \{23, 24, \ldots, 37, 38\}\text{.}$
2. Знайдіть кардинальність$B = \{1, \{2, 3, 4\}, \emptyset\}\text{.}$
3. Якщо в$C = \{1,2,3\}\text{,}$ чому полягає кардинальність$\pow(C)\text{?}$

Рішення

1. Так як$38 - 23 = 15\text{,}$ можна зробити висновок, що кардинальність набору є$|A| = 16$ (потрібно додати одну, так як 23 входить в комплект).
2. Тут$|B| = 3\text{.}$ Три елементи - це число 1, набір$\{2,3,4\}\text{,}$ і порожній набір.
3. Ми виписали елементи потужності,$\pow(C)$ встановленої вище, і є 8 елементів (кожен з яких є набором). Отже$\card{\pow(C)} = 8\text{.}$ (Ви можете задатися питанням, чи існує зв'язок між$\card{A}$ і$\card{\pow(A)}$ для всіх наборів$A\text{.}$ Це гарне питання, до якого ми повернемося в розділі 1.)

Операції над множинами

Чи можна додати два набори? Не дуже, проте є щось подібне. Якщо ми хочемо об'єднати два набори, щоб отримати колекцію об'єктів, які знаходяться в будь-якому наборі, то ми можемо взяти об'єднання двох наборів. Символічно,

\ begin {рівняння*} C = A\ чашка B,\ кінець {рівняння*}

читати, «$C$є об'єднанням$A$ і$B\text{,}$» означає, що елементи$C$ є саме елементами, які є або елементом$A$ або елементом$B$ (або елементом обох). Наприклад, якщо$A = \{1, 2, 3\}$ і$B = \{2, 3, 4\}\text{,}$ тоді$A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}\text{.}$

Інша поширена операція над множинами - це перетин. Ми пишемо,

\ begin {рівняння*} C = A\ cap B\ end {рівняння*}

і сказати, «$C$є перетином$A$ і$B\text{,}$», коли елементи в точно$C$ ті,$A$ і в$B\text{.}$ так, якщо$A = \{1, 2, 3\}$ і$B = \{2, 3, 4\}\text{,}$ тоді$A \cap B = \{2, 3\}\text{.}$

Часто, маючи справу з множинами, ми матимемо деяке розуміння того, що таке «все». Можливо, нас турбують тільки натуральні числа. У цьому випадку ми б сказали, що наш Всесвіт$\N\text{.}$ Іноді ми позначаємо цей Всесвіт$\U\text{.}$ Враховуючи цей контекст, ми можемо захотіти говорити про всі елементи, які не знаходяться в певному наборі. Ми говоримо$B$ є доповненням$A\text{,}$ і пишемо,

\ begin {рівняння*} B =\ бар A\ end {рівняння*}

коли$B$ містить кожен елемент, який не міститься в$A\text{.}$ Отже, якщо наш Всесвіт є$\{1, 2,\ldots, 9, 10\}\text{,}$ і$A = \{2, 3, 5, 7\}\text{,}$ тоді$\bar A = \{1, 4, 6, 8, 9,10\}\text{.}$

Звичайно, ми можемо виконувати більше однієї операції за раз. Наприклад, розглянемо

\ begin {рівняння*} A\ cap\ бар B.\ end {рівняння*}

Це набір усіх елементів, які є як елементами, так$A$ і не елементами$B\text{.}$ Що ми зробили? Ми почали з$A$ і видалили всі елементи, які були в$B\text{.}$ Інший спосіб написати це встановлена різниця:

\ begin {рівняння*} A\ cap\ бар B = A\ setminus B\ end {рівняння*}

Важливо пам'ятати, що ці операції (об'єднання, перетин, доповнення і різниця) над множинами виробляють інші множини. Не плутайте їх із символами з попереднього розділу (елемент та підмножина). $A \cap B$є множиною, в той час як$A \subseteq B$ true або false. Це та ж різниця, що і між$3 + 2$ (що є числом) і$3 \le 2$ (що є помилковим).

Приклад$\PageIndex{5}$

Нехай$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\text{,}$$B = \{2, 4, 6\}\text{,}$$C = \{1, 2, 3\}$ і$D = \{7, 8, 9\}\text{.}$ якщо всесвіт$\U = \{1, 2, \ldots, 10\}\text{,}$ знайде:

1. $A \cup B\text{.}$
2. $A \cap B\text{.}$
3. $B \cap C\text{.}$
4. $A \cap D\text{.}$
5. $\bar{B \cup C}\text{.}$
6. $A \setminus B\text{.}$
7. $(D \cap \bar C) \cup \bar{A \cap B}\text{.}$
8. $\emptyset \cup C\text{.}$
9. $\emptyset \cap C\text{.}$

Рішення

1. $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = A$так як все$B$ в вже в$A\text{.}$
2. $A \cap B = \{2, 4, 6\} = B$так як$B$ все в$A\text{.}$
3. $B \cap C = \{2\}$як єдиний елемент обох$B$ і$C$ є 2.
4. $A \cap D = \emptyset$так як$A$ і не$D$ мають спільних елементів.
5. $\bar{B \cup C} = \{5, 7, 8, 9, 10\}\text{.}$Спочатку виявляємо, що$B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 6\}\text{,}$ потім беремо все не в тому наборі.
6. $A \setminus B = \{1, 3, 5\}$так як елементи 1, 3 і 5 знаходяться в,$A$ але не в$B\text{.}$ Це те саме, що і$A \cap \bar B\text{.}$
7. $(D \cap \bar C) \cup \bar{A \cap B} = \{1, 3, 5, 7, 8, 9, 10\}.$Набір містить всі елементи, які знаходяться або в,$D$ але не в$C$ (тобто,$\{7,8,9\}$), або не в обох$A$ і$B$ (тобто$\{1,3,5,7,8,9,10\}$).
8. $\emptyset \cup C = C$так як порожній набір нічого не додається.
9. $\emptyset \cap C = \emptyset$так як нічого не може бути як в наборі, так і в порожньому наборі.

Ви можете помітити, що символи об'єднання і перетину трохи нагадують логічні символи для «або» і «і». Це не випадково. Що це означає бути елементом$A\cup B\text{?}$ Це означає, що$x$ є елементом$A$ або$x$ є елементом$B$ (або обидва).$x$ Тобто,

\ begin {рівняння*} x\ in A\ cup B\ qquad\ Iff\ qquad x\ in A\ vee x\ in B\ end {рівняння*}

Аналогічно,

\ begin {рівняння*} x\ in A\ cap B\ qquad\ Iff\ qquad x\ in A\ клин х\ в B\ end {рівняння*}

Крім того,

\ begin {рівняння*} x\ in\ in\ бар A\ qquad\ Iff\ qquad\ neg (x\ in A). \ end {рівняння*}

який говорить,$x$ є елементом доповнення$A$ якщо не$x$ є елементом$A\text{.}$

Є ще один спосіб комбінування наборів, який нам стане в нагоді: декартовий продукт,$A \times B$. Це звучить фантазії, але це нічого, чого ви раніше не бачили. Коли ви графуєте функцію в численні, ви графуєте її в декартовій площині. Це набір всіх впорядкованих пар дійсних чисел$(x,y)\text{.}$ Ми можемо зробити це для будь-якої пари множин, а не тільки дійсних чисел з собою.

Іншим способом,$A \times B = \{(a,b) \st a \in A \wedge b \in B\}\text{.}$ Перша координата походить від першого набору, а друга координата походить від другого набору. Іноді нам захочеться взяти декартовий добуток набору з собою, і це добре:$A \times A = \{(a,b) \st a, b \in A\}$ (ми також можемо написати$A^2$ для цього набору). Зверніть увагу, що в$A \times A\text{,}$ ми все ще хочемо всі впорядковані пари, а не тільки ті, де перша і друга координата однакові. Ми також можемо взяти продукти з 3 або більше наборів, отримуючи замовлені трійки, або чотири рази, і так далі.

Приклад$\PageIndex{6}$

Нехай$A = \{1,2\}$ і$B = \{3,4,5\}\text{.}$ знайти$A \times B$ і$A \times A\text{.}$ скільки елементів ви очікуєте бути в$B \times B\text{?}$

Рішення

$A \times B = \{(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5)\}\text{.}$

$A \times A = A^2 = \{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)\}\text{.}$

$|B\times B| = 9\text{.}$Буде 3 пари з першою координатою, ще$3\text{,}$ три з першою координатою$4\text{,}$ і остання три з першою координатою.$5\text{.}$

Діаграми Венна

Існує дуже хороший візуальний інструмент, який ми можемо використовувати для представлення операцій над множинами. Діаграма Венна відображає набори у вигляді пересічних кіл. Ми можемо затінювати регіон, про який ми говоримо, коли проводимо операцію. Ми також можемо уявити кардинальність того чи іншого набору, поставивши число у відповідному регіоні.

Кожне коло являє собою набір. Прямокутник, що містить кола, представляє Всесвіт. Щоб представити комбінації цих наборів, затінюємо відповідну область. Наприклад, ми могли б малювати$A \cap B$ як:

Ось подання$A \cap \bar B\text{,}$ або еквівалентно$A \setminus B\text{:}$

Більш складний приклад,$(B \cap C) \cup (C \cap \bar A)\text{,}$ як показано нижче.

Зверніть увагу, що затінені області вище також можуть бути доставлені іншим способом. Ми могли б почати з усіх$C\text{,}$ тоді виключили область, де$C$ і$A$ перекриваються за межами$B\text{.}$ цього регіону$(A \cap C) \cap \bar B\text{.}$ Так що вище діаграма Венна також представляє$C \cap \bar{\left((A\cap C)\cap \bar B\right)}.$ Таким чином, використовуючи тільки зображення, ми визначили, що

\ begin {рівняння*} (B\ cap C)\ чашка (C\ cap\ бар A) = C\ cap\ bar {\ left ((A\ cap C)\ cap\ bar B\ праворуч)}. \ end {рівняння*}