2.3: Відкриті речення та набори

Попередній перегляд активності\(\PageIndex{1}\): Sets and Set Notation

Теорія множин є фундаментальною для математики в тому сенсі, що багато областей математики використовують теорію множин та її мову та позначення. Цю мову та позначення потрібно розуміти, якщо ми хочемо ефективно спілкуватися в математиці. На цьому етапі ми дамо дуже короткий вступ до деякої термінології, що використовується в теорії множин.

Набір - це чітко визначена сукупність об'єктів, які можна розглядати як про окрему сутність. Наприклад, ми можемо думати про набір цілих чисел, які більше 4. Незважаючи на те, що ми не можемо записати всі цілі числа, які знаходяться в цьому наборі, це все ще цілком чітко визначена множина. Це означає, що якщо нам дано конкретне ціле число, ми можемо сказати, чи є він у множині всіх парних цілих чисел.

Найосновнішим способом вказівки елементів множини є перерахування елементів цієї множини. Це добре працює, коли набір містить лише невелику кількість об'єктів. Звичайною практикою є перерахування цих елементів між брекетами. Наприклад, якщо множина\(C\) складається з цілочисельних розв'язків рівняння\(x^2 = 9\), ми б написали

\(C\)= {-3, 3}.

Для більших наборів іноді незручно перераховувати всі елементи набору. У цьому випадку ми часто перераховуємо кілька з них, а потім пишемо серію з трьох крапок (...), щоб вказати, що візерунок триває. Наприклад,

\(D\)= {1, 3, 5, 7,... 49}

множина всіх непарних натуральних чисел від 1 до 49 включно.

Для деяких наборів неможливо перерахувати всі елементи набору; потім ми перерахуємо кілька елементів у наборі і знову використовуємо ряд з трьох точок (...), щоб вказати, що візерунок продовжується. Наприклад, якщо F є множиною всіх парних натуральних чисел, ми могли б написати

\(F\)= {2, 4, 6,...}.

Ми також можемо використовувати три крапки перед переліком конкретних елементів, щоб вказати візерунок перед цими елементами. Наприклад, якщо E є множиною всіх парних цілих чисел, ми могли б написати

\(E\)= {... -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6,...}.

Перерахування елементів множини всередині фігурних дужок називається ростерним методом вказівки елементів множини. Інші способи вказівки елементів множини ми дізнаємося далі в цьому розділі.

1. Використовуйте метод реєстру, щоб вказати елементи кожного з наступних множин:
   
   (а) множина дійсних чисел, які є розв'язками рівняння\(x^2 -5x =0\).
   (b) Набір натуральних чисел, менших або рівних 10.
   (c) Множина цілих чисел, які більше -2.
2. Кожен з наступних наборів визначається методом реєстру. Для кожного набору визначте чотири елементи набору, крім перерахованих методом реєстру.
   \(A\)= {1, 4, 7, 10,...}
   \(B\)= {2, 4, 8, 16,...}
   \(C\)= {..., -8, -6, -4, -2, 0}
   \(D\) = {..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9,...}

Попередній перегляд активності\(\PageIndex{2}\): Variables

Не всі математичні речення є твердженнями. Наприклад, таке рівняння, як

\(x^2 -5 = 0\)

не є твердженням. У цьому реченні символ\(x\) є змінною. Він являє собою число, яке можна вибрати з деякого вказаного набору чисел. Речення (рівняння) стає істинним або хибним, коли підставляється певне число\(x\).

1. (a) Чи\(x^2 - 25 = 0\) стає рівняння істинним твердженням, якщо замінено -5\(x\)?
   (b) Чи\(x^2 - 25 = 0\) стає рівняння істинним твердженням\(\sqrt 5\), якщо його замінити\(x\)?

   Визначення

   Змінна - це символ, що представляє невизначений об'єкт, який можна вибрати з заданого множини\(U\). Множина\(U\) називається універсальним набором для змінної. Це набір заданих об'єктів, з яких об'єкти можуть бути обрані для заміни змінної. А константа - це специфічний член універсального набору.

   Деякі набори, які ми будемо використовувати часто, є звичайними системами числення. Нагадаємо, що ми використовуємо символ,\(\mathbb{R}\) щоб стояти для набору всіх дійсних чисел, символ\(\mathbb{Q}\) стояти для набору всіх раціональних чисел, символ\(\mathbb{Z}\) стояти для набору всіх цілих чисел, а символ\(\mathbb{N}\) стояти для набору всіх натуральні числа.

   Змінна - це символ, що представляє невизначений об'єкт, який можна вибрати з деякого зазначеного набору об'єктів. Цей зазначений набір предметів узгоджується заздалегідь і часто називають універсальним набором.

2. Які реальні числа зроблять речення «\(y^2 - 2y - 15 = 0\)» істинним твердженням при заміні\(y\)?
3. Які натуральні числа зроблять речення «\(y^2 - 2y - 15 = 0\)» істинним твердженням при заміні\(y\)?
4. Які дійсні числа зроблять речення "\(\sqrt x\)є дійсним числом» істинним твердженням при його заміні\(x\)?
5. Які дійсні числа зроблять речення "\(sin^2 x +cos^2 x = 1\)" істинним твердженням при заміні\(x\)?
6. Які натуральні числа зроблять речення "\(\sqrt n\)є натуральним числом» істинним твердженням при заміні\(n\)?
7. Які дійсні числа зроблять речення
   
   \(\int_{0}^{y} t^2 dt > 9\)
   
   істинним твердженням при заміні\(y\)?

Деякі позначення набору

У Preview Activity ми вказали\(\PageIndex{1}\), що набір - це чітко визначена колекція об'єктів, які можна розглядати як саму сутність.

• Якщо\(A\) є множиною і\(y\) є одним з об'єктів у множині\(A\), ми пишемо\(y \in A\) і читаємо\(y\) це як «є елементом\(A\)» або «\(y\)є членом»\(A\). Наприклад, якщо\(B\) множина всіх цілих чисел більше 4, то ми могли б написати\(5 \in B\) і\(10 \in B\).
• Якщо об'єкт не\(z\) є елементом у множині\(A\), ми пишемо\(z \notin A\) і читаємо це як «не\(z\) є елементом»\(A\). Наприклад, якщо\(B\) множина всіх цілих чисел більше 4, то ми могли б написати\(2 \notin B\) і\(4 \notin B\).

При роботі з математичним об'єктом, таким як множина, нам потрібно визначити, коли два з цих об'єктів рівні. Нас також часто цікавить, чи міститься один набір в іншому наборі.

Визначення: Рівні множини та підмножини

Два\(A\) множини\(B\), і, рівні, коли вони мають точно такі ж елементи. В даному випадку пишемо\(A = B\). Коли множини A і B не рівні, пишемо\(A \notin B\).

Множина\(A\) є підмножиною множини за\(B\) умови, що кожен елемент\(A\) є елементом\(B\). У цьому випадку пишемо\(A \subseteq B\) і також говоримо,\(A\) що міститься в\(B\). Коли не\(A\) є підмножиною\(B\), пишемо\(A \nsubseteq B\).

Використовуючи ці визначення, ми бачимо, що для будь-якого набору\(A\),\(A = A\) і оскільки це правда, що для кожного\(x \in U\), якщо\(x \in A\), то\(x \in A\), ми також бачимо, що\(A \subseteq A\). Тобто будь-яка множина дорівнює собі і будь-яка множина - це підмножина самого себе. Для деяких конкретних прикладів ми бачимо, що:

• {1, 3, 5} = {3, 5, 1}
• {5, 10} = {5, 10, 5}
• {4, 8, 12} = {4, 4, 8, 12, 12}
• {5, 10}\(\ne\) {5, 10, 15} але {5,10}\(\subseteq\) {5, 10, 15} і {5, 10, 15}\(\nsubseteq\) {5, 10}.

У кожному з перших трьох прикладів два набори мають абсолютно однакові елементи, хоча елементи можуть повторюватися або записуватися в іншому порядку.

Перевірка прогресу 2.9 (Встановити позначення)

1. Нехай\(A\) = {-4, -2, 0, 2, 4, 6, 8,...}. Використовуйте правильні множинні позначення, щоб вказати, які з наступних цілих чисел є у множині,\(A\) а які немає в множині\(A\). Наприклад, ми могли б написати\(6 \in A\) і\(5 \notin A\).
   
   10 22 13 -3 0 -12
2. Використовуйте правильні множини (використовуючи = або\(\subseteq\)), щоб вказати, які з наступних множин рівні, а які є підмножинами одного з інших множин.
   
   \(A\)= {3, 6, 9}. \(B\)= {6, 9, 3, 6}
   \(C\) = {3, 6, 9,...}\(D\) = {3, 6, 7, 9}
   \(E\) = {9, 12, 15,...}\(F\) = {9, 7, 6, 2}

Відповідь

Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.

Змінні та відкриті речення

Як ми бачили в попередньому перегляді діяльності, не всі математичні речення є твердженнями. Це часто вірно, якщо речення містить змінну. Наступна термінологія стане в нагоді в роботі з пропозиціями і висловлюваннями.

Визначення: Відкрите речення

Відкрите речення - це пропозиція, що\(P(x_1, x_2, ... , x_n)\) включає змінні\(x_1, x_2, ... , x_n\) з властивістю, що коли привласнюються конкретні значення з універсальної множини\(x_1, x_2, ... , x_n\), то результуюче речення є або істинним, або хибним. Тобто, отримане речення є твердженням. Відкрите речення ще називають присудком або пропозиційною функцією.

Позначення: Однією з причин того, що відкрите речення іноді називають пропозиційною функцією, є той факт, що ми використовуємо позначення функцій\(P(x_1, x_2, ... , x_n)\) для відкритого речення у\(n\) змінних. Коли є тільки одна змінна, наприклад\(x\), пишемо\(P(X)\), яка читається «\(P\)of»\(x\). У цьому позначенні,\(x\) являє собою довільний елемент універсальної множини, і\(P(x)\) являє собою пропозицію. Коли ми підставляємо конкретний елемент універсального набору для\(x\), отримане речення стає твердженням. Це проілюстровано в наступному прикладі.

Приклад 2.10: Відкриті речення

Якщо універсальна множина є\(\mathbb{R}\), то пропозиція «\(x^2 - 3x - 10 = 0\)» - це відкрите речення за участю однієї змінної\(x\).

• Якщо підставити\(x = 2\), ми отримаємо помилкове твердження "\(2^2 -3 \cdot 2 - 10 = 0\).»
• Якщо підставити\(x = 5\), ми отримаємо істинне твердження "\(5^2 -3 \cdot 5 - 10 = 0\).»

У цьому прикладі ми можемо дозволити\(P(x)\) бути присудком «\(x^2 - 3x - 10 = 0\)», а потім сказати, що\(P(2)\) є помилковим і\(P(5)\) є істинним.

Використовуючи подібні позначення, ми можемо дозволити\(Q(x,y)\) бути присудком "\(x + 2y = 7\).» Цей присудок включає в себе дві змінні. Потім,

• \(Q(1,1)\)є хибним, оскільки\(1 + 2 \cdot 1 = 7\) "" є помилковим; і
• \(Q(3,2)\)істинно, оскільки "\(3 + 2 \cdot 2 = 7\)" є помилковим.

Перевірка прогресу 2.11: Робота з відкритими реченнями

1. Припустимо, що універсальний набір для всіх змінних є\(\mathbb{Z}\) і нехай\(P(x)\) буде предикатом "\(x^2 \le 4\).»
   (a) Знайти два значення\(x\) для яких\(P(x)\) є false.
   (b) Знайти два значення\(x\) для яких\(P(x)\) є істинним.
   (c) Використовуйте метод реєстру, щоб вказати набір усіх,\(x\) для яких\(P(x)\) є true.
2. Припустимо, що універсальний набір для всіх змінних є\(\mathbb{Z}\) і нехай\(R(x, y, z)\) буде предикатом "\(x^2 + y^2 = z^2\).»
   (a) Знайдіть два різних приклади, для яких\(R(x, y, z)\) є помилковим.
   (b) Знайдіть два різних приклади, для яких\(R(x, y, z)\) вірно.

Відповідь

Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.

Без використання цього терміну, Приклад 2.10 і Перевірка прогресу 2.11 (і Preview Activity\(\PageIndex{2}\)) мали справу з концепцією, яка називається істинним набором предиката.

Визначення: істинний набір відкритого речення з однією змінною

Набір істинності відкритого речення з однією змінною - це сукупність об'єктів у універсальному множині, які можна замінити змінною, щоб зробити присудок істинним твердженням.

Одна частина елементарної математики складається з навчання вирішенню рівнянь. Якщо говорити більш формально, то процес розв'язання рівняння - це спосіб визначення істинності, встановленої для рівняння, яке є відкритим реченням. У цьому випадку ми часто називаємо істинним набором рішення. Нижче наведено три приклади наборів істин.

• Якщо універсальна множина є\(\mathbb{R}\), то істинним набором рівняння\(3x - 8 = 10\) є множина {6}.
• Якщо універсальна множина є\(\mathbb{R}\), то істинний набір рівняння\(x^2 - 3x - 10 = 0\) дорівнює {-2, 5}.
• Якщо універсальна множина є\(\mathbb{N}\), то істинний набір відкритого речення\(\sqrt n \in \mathbb{N}\) "" дорівнює {1, 4, 9, 16,...}.

Встановити позначення будівельника

Іноді неможливо перерахувати всі елементи набору. Наприклад, якщо універсальний набір є\(\mathbb{R}\), ми не можемо перерахувати всі елементи істинного набору «»\(x^2 < 4\). В цьому випадку іноді зручно використовувати так звані множинні позначення builder, в яких множина визначається шляхом постановки правила, яке повинні задовольняти всі елементи множини. Якщо\(P(x)\) є присудком в змінній\(x\), то позначення

{\(x \in U | P(x)\)}

підставки для набору всіх елементів\(x\) в універсальному наборі,\(U\) для\(P(x)\) якого вірно. Якщо зрозуміло, який набір використовується для універсального множини, це позначення іноді скорочується до {\(x | P(x)\)}. Це зазвичай читається як «набір всього\(x\) такого, що»\(P(x)\). Вертикальна смуга позначає словосполучення «такий що». Деякі автори використовуватимуть двокрапку (:) замість вертикальної смуги.

Для нематематичного прикладу\(P\) може бути властивість того, що студент коледжу є математикою спеціальності. Тоді {\(x | P(x)\)} позначає набір всіх студентів коледжу, які є математичними спеціальностями. Це може бути написано як

{\(x\)|\(x\) студент коледжу, який є математикою спеціальності}.

Приклад 2.12 (набори істинності)

Припустимо, що універсальний набір\(P(x)\) є\(\mathbb{R}\) і є "\(x^2 < 4\).» Ми можемо описати набір істинності\(P(x)\) як множину всіх дійсних чисел, квадрат яких менше 4. Ми також можемо використовувати набір позначення будівельника, щоб написати істинний набір\(P(x)\) як

{\(x \in \mathbb{R} | x^2 < 4\)}

Однак, якщо ми вирішимо нерівність\(x^2 < 4\), то отримаємо\(-2 < x < 2\). Таким чином, ми могли б також написати правду, встановлену як

{\(x \in \mathbb{R} | -2 < x < 4\)}

Ми могли б прочитати це як набір всіх дійсних чисел, які більше -2 і менше 2. Ми також можемо написати

{\(x \in \mathbb{R} | x^2 < 4\)} = {\(x \in \mathbb{R} | -2 < x < 4\)}

Перевірка прогресу 2.13 (Робота з наборами істинності)

\(P(x)\)Дозволяти бути присудком «\(x^2 \le 9\).»

1. Якщо універсальний набір є\(\mathbb{R}\), опишіть істинний набір\(P(x)\) використання англійської мови та напишіть набір істинності з\(P(x)\) використанням нотації set builder.
2. Якщо універсальний набір є\(\mathbb{Z}\), то в чому ж полягає істинний набір\(P(x)\)? Опишіть цей набір англійською мовою, а потім скористайтеся методом реєстру, щоб вказати всі елементи цього набору істинності.
3. Чи рівні набори істин у Частках (1) та (2)? Поясніть.

Відповідь

Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.

Поки що наша стандартна форма для позначення конструктора набору була {\(x \in U | P(x)\)}. Іноді можна змінити цю форму і поставити предикат на перше місце. Наприклад, набір

{\(A = 3n+1 | n \in \mathbb{N}\)}

описує множину всіх натуральних чисел виду\(3n + 1\) для деякого натурального числа.

Підставивши 1, 2, 3, 4, і так далі, для п, ми можемо використовувати метод реєстру для запису

\(A\)= {\(3n+1 | n \in \mathbb{N}\)} = {4, 7, 10, 13,...}.

Іноді ми можемо «змінити цей процес», починаючи з набору, визначеного методом реєстру, а потім записуючи той самий набір, використовуючи нотації set builder.

Приклад 2.14 (Встановити позначення будівельника)

Нехай\(B\) = {..., -11. -7, -3, 1, 5, 9, 13,...}. Ключем до написання цього набору за допомогою нотації set builder є розпізнавання задіяного шаблону. Ми бачимо, що як тільки у нас є ціле число в\(B\), ми можемо отримати ще одне ціле число,\(B\) додавши 4. Це говорить про те, що присудок, який ми будемо використовувати, буде включати множення на 4.

Оскільки працювати з позитивними числами зазвичай простіше, ми помічаємо, що\(1 \in B\) і\(5 \in B\). Зауважте, що

\(1 = 4 \cdot 0 + 1\)і\(5 = 4 \cdot 1 + 1\).

Це говорить про те, що ми могли б спробувати\({4n + 1 | n \in \mathbb{z}}\). Насправді, намагаючись інші цілі числа для\(n\), ми можемо бачити, що

\(B\)= {..., -11, -7, -3, 1, 5, 9, 13,...} = {\(4n + 1 | n \in \mathbb{Z}\)}.

Перевірка прогресу 2.15 (встановити позначення Builder)

Кожен з наступних наборів визначається методом реєстру.

\(A\)= {1, 5, 9, 13,...} \(C\)= {\(\sqrt 2\),\((\sqrt 2)^3\),\((\sqrt 2)^5\),...}

\(B\)= {..., -8, -6, -4, -2, 0}\(D\) = {1, 3, 9, 27,...}

1. Визначте чотири елементи кожного набору, крім перерахованих методом реєстру.
2. Використовуйте нотації set builder для опису кожного набору.

Відповідь

Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.

Порожній набір

Коли набір не містить елементів, ми говоримо, що набір є порожнім набором. Наприклад, множина всіх раціональних чисел, які є розв'язками рівняння,\(x^2 = -��2\) є порожньою множиною, оскільки це рівняння не має розв'язків, які є раціональними числами.

У математиці порожній набір зазвичай позначається символом\(\emptyset\). Зазвичай ми читаємо символ\(\emptyset\) як «порожній набір» або «нульовий набір». (Символ насправді\(\emptyset\) є останньою літерою в датсько-норвезькому алфавіті.)

Коли набір істини є універсальним набором

Істинний набір присудка може бути універсальним набором. Наприклад, якщо універсальним набором є безліч дійсних чисел\(\mathbb{R}\), то істинний набір присудка «\(x + 0 = x\)» є\(\mathbb{R}\).

Зверніть увагу, що речення «\(x + 0 = x\)» не було кількісно визначено і певний елемент універсальної множини не був замінений змінною\(x\). Незважаючи на те, що істина, встановлена для цього речення, є універсальним набором, ми приймемо конвенцію про те, що якщо кількісний показник не вказано явно, ми вважатимемо речення присудком або відкритим реченням. Отже, з цією умовністю, якщо універсальний набір є\(\mathbb{R}\), то

• \(x + 0 = x\)є присудком;
• Для кожного дійсного числа\(x\),\(x + 0 = x\) це твердження.

Вправи для розділу 2.3

1. Використовуйте метод реєстру, щоб вказати елементи в кожному з наступних наборів, а потім написати речення англійською мовою, що описує множину.
   (а) {\(x \in \mathbb{R} | 2x^2 + 3x -2 = 0\)}
   (б) {\(x \in \mathbb{Z} | 2x^2 + 3x -2 = 0\)}
   (c) {\(x \in \mathbb{Z} | x^2 < 25\)}
   (d) {\(x \in \mathbb{N} | x^2 < 25\)}
   (e) {\(y \in \mathbb{Q} | |y - 2| = 2.5\)}
   (f) {\(y \in \mathbb{Z} | |y - 2| \le 2.5\)}
2. Кожен з наступних наборів визначається методом реєстру.
   
   \(A\)= {1, 4, 9, 16, 25,...}
   \(B\)= {..., -\(\pi^4\), -\(\pi^3\), -\(\pi^2\), -\(\pi\), 0...}
   \(C\)= {3, 9, 15, 21, 27,...}
   \(D\)= {0, 4, 8,..., 96, 100}
   
   (a) Визначити чотири елементи кожного набору, крім перерахованих методом реєстру.
   (b) Використовуйте нотації set builder для опису кожного набору.
3. Нехай\(A\) = {\(x \in \mathbb{R} | x(x + 2)^2(x - \dfrac{3}{2} = 0\)}. Які з наведених множин дорівнюють множині,\(A\) а які є підмножинами\(A\)?
   
   (а) {\(-2, 0, 3\)}
   (b) {\(-2, -2, 0, \dfrac{3}{2}\)}
   (c) {\(\dfrac{3}{2}, -2, 0\)}
   (d) {\(-2, \dfrac{3}{2}\)}
4. Використовуйте метод реєстру, щоб вказати набір істинності для кожного з наступних відкритих речень. Універсальним набором для кожного відкритого речення є набір цілих чисел\(\mathbb{Z}\).
   
   (а)\(n + 7 =4\).
   (б)\(n^2 = 64\).
   (c)\(\sqrt n \in \mathbb{N}\) і\(n\) менше 50.
   (d)\(n\) - непарне число, яке більше 2 і менше 14.
   (e)\(n\) - парне ціле число, яке більше 10.
5. Використовуйте нотації set builder, щоб вказати наступні
   
   множини: (a) Множина всіх цілих чисел, більших або рівних 5.
   (b) Множина всіх парних цілих чисел.
   (c) Множина всіх позитивних раціональних чисел.
   (d) Множина всіх дійсних чисел більше 1 і менше 7.
   (e) Множина всіх дійсних чисел, квадрат яких більше 10.
6. Для кожного з наступних наборів використовуйте англійську для опису множини і, коли це доречно, використовуйте метод реєстру, щоб вказати всі елементи множини.

   (a) {\(x \in \mathbb{R} | -3 \le x \le 5\)}
   (b) {\(x \in \mathbb{Z} | -3 \le x \le 5\)}
   (c) {\(x \in \mathbb{R} | x^2 = 16\)}
   (d) {\(x \in \mathbb{R} | x^2 + 16 = 0\)}
   (e) {\(x \in \mathbb{Z} | x\)непарно}
   (f) {\(x \in \mathbb{R} | 3x - 4 \ge 17\)
   
   } Дослідження та діяльність

7. Закриття досліджень. У розділі 1.1 ми вивчили деякі замикають властивості стандартних систем числення. (Див. сторінку 10.) Ми можемо розширити цю ідею на інші набори чисел. Отже, ми говоримо, що:
   
   \(\bullet\) Набір\(A\) чисел закривається при додаванні за умови, що всякий раз, коли\(x\) і\(y\) знаходяться в наборі\(A\),\(x + y\) знаходиться в наборі\(A\).
   \(\bullet\)Набір\(A\) чисел закривається при множенні за умови, що всякий раз, коли\(x\) і\(y\) знаходяться в множині\(A\),\(x \cdot y\) знаходиться в множині\(A\).
   \(\bullet\)Набір\(A\) чисел закривається під віднімання за умови, що всякий раз, коли\(x\) і\(y\) знаходяться в множині\(A\),\(x - y\) знаходиться в множині\(A\).
   
   Для кожного з наступних наборів зробіть здогаду про те, чи закрита вона під додавання чи ні, чи закрита вона при множенні. У деяких випадках вам, можливо, вдасться знайти контрприклад, який доведе, що набір не закритий при одній з цих операцій.
   (a) Множина всіх непарних натуральних чисел
   (b) Множина всіх парних цілих чисел
   (c)\(A\) = {1, 4, 7, 10, 13,...}
   (d)\(B\) = {..., -6, -3, 0, 3, 6, 9,...}
   (е)\(C\) = {\(3n + 1 | n \in \mathbb{Z}\)}
   (f)\(D\) = {\(\dfrac{1}{2^n} | n \in \mathbb{N}\)}

Відповідь

Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.