1.2: Діаграми Венна
- Page ID
- 66903
Це діаграма Венна, яка використовує лише один набір, A
Це діаграма Венна нижче, використовуючи два набори, A і B.
Вивчіть діаграми Венна на цій та наступних сторінках. Потрібно багато практики, щоб затінювати або ідентифікувати області діаграм Венна. Майте на увазі, що може знадобитися затінювати кілька практичних діаграм на цьому шляху, перш ніж ви досягнете кінцевого результату.
Ми затінюємо діаграми Венна, щоб представляти множини. Ми будемо робити деякі дуже прості, основні діаграми Венна, а також кілька залучених і складних діаграм Венна.
Щоб знайти перетин двох множин, ви можете спробувати затінення однієї області в заданому напрямку, а іншу область в іншому напрямку. Тоді ви б подивилися, де ці затінення перекриваються. Це перекриття було б перехрестям.
Наприклад, для візуалізації\(A \cap B\) відтіняйте A горизонтальними лініями і B вертикальними лініями. Потім нахлест йде\(A \cap B\). Діаграма зліва буде першим кроком у отриманні відповіді. Затінена частина на схемі праворуч показує остаточну відповідь.
Ось дві проблеми для вас, щоб спробувати. Тільки затінюйте в остаточній відповіді на кожну вправу.
Затіньте регіон, який представляє\(A \cap C\)
Затіньте регіон, який представляє\(B \cap C\)
Щоб затінювати об'єднання двох наборів, затіньте кожну область повністю або затіньте обидві області в одному напрямку. Таким чином, щоб знайти об'єднання A і B, затіньте всі A і всі B.
Остаточна відповідь представлена затіненою областю на схемі праворуч.
Ось дві проблеми для вас, щоб спробувати. Тільки затінюйте в остаточній відповіді на кожну вправу.
Затіньте регіон, який представляє\(A \cup C\)
Затіньте регіон, який представляє\(B \cup C\)
Для доповнення регіону затіньте все за межами даного регіону. Ви можете думати про це як затінення всього, крім цього регіону. На діаграмі Венна ліворуч затінена область являє собою A. На діаграмі Венна праворуч зображена затінена область.
Багато людей плутаються з приводу того, яка частина діаграми Венна представляє Всесвіт, U. Всесвіт - це вся діаграма Венна, включаючи множини A, B і C. Три діаграми Венна на наступній сторінці ілюструють відмінності між U,\(U^{c}\) і\((A \cup B \cup C)^{c}\). Уважно відзначте ці відмінності.
 U |
 \((A \cup B \cup C)^{c}\) |
 \(U^{c}\) |
Зазвичай в дужках потрібні, щоб вказати, яку операцію потрібно зробити в першу чергу. Якщо є лише об'єднання або перетин, це не потрібно, як у (A\(\cup\) B\(\cup\) C)\(^{c}\) вище. Переконайте себе в тому, що (A\(\cup\) B)\(\cup\) C) =\(\cup\) (A (B\(\cup\) C)). Аналогічним чином переконайте себе в аналогічному факті для перетину, виконавши наступні кроки. На першій діаграмі Венна нижче розтушуйте A\(\cap\) B горизонтальними лініями і затіньте C вертикальними лініями. Потім, нахлест дорівнює ((A\(\cap\) B)\(\cap\) C). На другій діаграмі Венна затіньте A лініями, косими вправо, і B\(\cup\) C лініями, косими вліво. Тоді нахлест дорівнює (A\(\cap\) (B\(\cap\) C)). Перевірте, щоб побачити, що остаточна відповідь, перекриття в цьому випадку, однакова для обох. Затіньте остаточну відповідь на третій діаграмі Венна.
а. (А\(\cap\) Б)\(\cap\) С
б. (А\(\cup\) (В\(\cup\) С)
c Затіньте остаточну відповідь тут.
Тепер прийшов час для вас, щоб спробувати ще кілька діаграм на свій розсуд. Для з'ясування відповіді може знадобитися не один крок. Можливо, вам доведеться спочатку зробити попередні малюнки на скретч-папері. Затінення, які ви показуєте тут, повинні бути лише остаточною відповіддю, але ви повинні бути в змозі пояснити та підтримати, як ви прийшли до вашої відповіді. Порівняйте свої відповіді з іншими людьми у вашому класі та переконайтеся, що досягнуто консенсусу щодо правильної відповіді. Зробіть це для всіх діаграм Венна протягом цього набору вправ. Затінення в області, яка представляє те, що написано над кожною з шести діаграм Венна на наступній сторінці. Зверніть увагу, що у випадках, пов'язаних з більш ніж однією операцією, необхідно використовувати дужки і дотримуватися порядку операцій. Вправи 10 і 11 ілюструють, навіщо це потрібно.
Б\(^{c}\)
(С\(\cap\) А)\(^{c}\)
(Б\(\cup\) С)\(^{c}\)
(А\(\cap\) Б\(\cap\) С)\(^{c}\)
(А\(\cap\) Б)\(\cap\) С
(А\(\cap\) (В\(\cap\) С)
Для різниці затіньте область, що стоїть перед знаком різниці (—), але не включайте і не затінюйте будь-яку частину області, яка слідує за знаком різниці. Венн ліворуч представляє A—B, а той, що праворуч - C — A.
Ось дві проблеми для вас, щоб спробувати. Тільки затінюйте в остаточній відповіді на кожну вправу.
Затінення області, що представляє A — C
Затіньте область, яка представляє B — C
Вивчіть наступні діаграми Венна. Переконайтеся, що ви розумієте, як отримати відповіді.
Ваша черга затінювати область, яка представляє те, що написано над кожною діаграмою.
(А\(\cap\) С) — Б
В — (А\(\cap\) С)
(А — С) \(\cup\)(Б — А)
Припустимо, ви хотіли знайти ((C — A)\(\cap\) B)\(^{c}\). Це, ймовірно, займе кілька кроків, щоб отримати відповідь. Один з підходів до пошуку правильного затінення полягає в тому, щоб помітити, що остаточна відповідь є доповненням (C — A)\(\cap\) B. Це означає, що нам доведеться спочатку з'ясувати, як виглядав (C - A)\(\cap\) B. Для цього ми помічаємо, що це перетин двох речей C — A і B. На порожній діаграмі Венна зліва внизу тінь C — A з горизонтальними лініями і B з вертикальними лініями. Перекриттям буде перетин. Нахлест на вашому малюнку повинен відповідати затіненню, показаному на діаграмі Венна посередині. Чи це? Останнім кроком тоді було б взяти доповнення затінення, показаного на середній схемі. Це показано на діаграмі Венна в крайньому правому куті. Отже, знадобилося намалювати трьох Венн, щоб придумати остаточну відповідь на цю проблему. Хтось інший може зробити це за меншу кількість кроків, тоді як хтось інший може зробити більше кроків.
|
|
(С — А)\(\cap\) Б  |
((С — А) \(\cap\)Б)\(^{c}\)  |
Як згадувалося раніше, потрібно багато практики, щоб добре затінювати діаграми Венна. Ще складніше подивитися на діаграму Венна і описати її, Насправді, зазвичай існує більше ніж один спосіб описати діаграму Венна. Наприклад, затінення для (C — A)\(\cap\) B),\(^{c}\) показане на попередній сторінці, таке ж, як і для ((C\(\cap\) B) — A)\(^{c}\). Що це означає? Ми так звикли мати тільки одну правильну відповідь. Ну, подумайте, якщо хтось попросив вас написати арифметичну задачу, на яку відповідь була 2. Можливостей було б нескінченно багато. Наприклад, 5 - 3 або 1 + 1 або 10/5 були б прийнятними відповідями. Звичайно, таке питання на тесті було б важче для вчителя оцінювати, тому що відповідь кожного студента повинна бути перевірена, щоб побачити, чи це буде працювати. Немає жодної відповіді. Те ж саме відбувається, якщо вчитель попросить вас подивитися на затінення діаграми Венна і описати її. З іншого боку, якщо наведено опис і вас попросять затінювати діаграму Венна, є лише одне правильне затінення. Це дуже схоже на те, що просять обчислити арифметичну задачу. Відповідь на 10 - 8 - 2, і це єдина прийнятна відповідь!
Суть всього цього полягає в тому, що для освоєння затінення діаграм Венна та опису діаграм Венна, дивлячись на затінення, потрібно багато і багато практики. Приділіть собі багато часу для навчання і роботи над ними, і ви здійсните цей подвиг!!!
На наступних кількох сторінках вам пропонується затінювати кілька однієї, двох і трьох встановлених діаграм Венна. Слідують правильні затінення. Переконайтеся, що ви спробуєте ці проблеми серйозно. Переконайтеся, що ви можете пояснити кроки, пов'язані з правильним затіненням. Освоївши затінення, подивіться, чи зможете ви подивитися на затінену діаграму Венна і придумати точний опис. Знову ж таки, пам'ятайте, що існує більше одного способу опису даної діаграми Венна.
Ці діаграми Венна будуть корисні при вивченні тесту. Поверніться назад і потренуйтеся малювати ті ж діаграми Венна пізніше. Використовуйте відповіді, щоб побачити, чи можете ви їх описати, подивившись на картинку. Звичайно, пам'ятайте, що ваш опис може не збігатися точно, оскільки існує більше одного способу опису будь-якої заданої діаграми Венна. Якщо ваш опис відрізняється, переконайтеся, що ви пройшли кроки затінення Венна своїм описом і перевірте, чи дійсно ваше затінення відповідає діаграмі Венна, яку ви намагалися описати.
Ось кілька затінених діаграм Венна. Подивіться, чи зможете ви подивитися на тіні і придумати опис. Я поставив деякі можливі відповіді в нижній частині цієї сторінки.
 |
 |
 |
Ось деякі можливі описи для наведених вище діаграм Венна:
| (С — Б)\(^{c}\) | (А\(\cup\) С)\(^{c}\) | (А\(\cap\) С)\(^{c}\) |
Затіньте область, яка представляє те, що написано над кожною з однієї та двох встановлених діаграм Венна нижче. Можливо, вам доведеться спочатку намалювати попередні креслення для деяких з них.
А
\(A^{c}\)
U
\(U^{c}\)
А\(\cap\) Б
А\(\cup\) Б
\(A \cup B^{c}\)
\((A \cap B)^{c}\)
\((A \cup B)^{c}\)
(А\ Б)\(\cup\) (Б\ А)
\(A^{c} \cup B^{c}\)
\(A^{c} \cap B^{c}\)
\((A \cup B)^{c} \cup (A \cap B)\)
Б
Б - А
\(B^{c}\)
Затіньте область, яка представляє те, що написано над кожною з однієї та двох встановлених діаграм Венна нижче. Можливо, вам доведеться спочатку намалювати попередні креслення для деяких з них.
(А\(\cap\) Б) — С
(С\(\cup\) Б) — А
(А\(\cap\) Б)\(\cup\) С
(А\(\cup\) Б)\(\cap\) С
А\(^{c}\) — Б
А\(\cap\) Б (В\(\cap\)) — Б
В — (А\(\cup\) С)
С — (А\(\cap\) Б)
(Б — А)\(\cap\) (В — С)
(Б — А)\(\cup\) (В — С)
(А\(\cup\) Б)\(^{c}\)
А\(^{c}\) \(\cap\)Б\(^{c}\)
А\(^{c}\) — Б\(^{c}\)
(С — Б)\(^{c}\)
(Б\(^{c}\) \(\cap\)С) — А
(А — (Б\(\cup\) С)\(\cup\) (В — (А\(\cup\) С))\(\cup\) (С — (А\(\cup\) Б)
(А\(\cap\) С)\(^{c}\)
((А\(\cap\) Б) — С)\(\cap\) (С — А)
А\(^{c}\) \(\cup\)С\(^{c}\)
Б\(\cap\) (С\(\cup\) А\(^{c}\))
Ось правильні затінення до вправ на попередніх сторінках. Освоївши ці затінення, зверніть процес назад, подивившись на тіні на цій сторінці і спробуйте їх описати. Це вимагає практики і терпіння і пам'ятайте, що може бути не один спосіб описати деякі з них. Насправді, багато разів ви побачите, що існує простіший спосіб описати їх, ніж було на оригінальній вправі!!
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39. Нічого не затінено.
40.
41.
42.
43.
44.
45.46.
47.
48.
49.
50.
51. Нічого не затінено.
52.
53.У розділі «Картка матеріалу» є порожні шаблони діаграм Венна, які ви можете використовувати для практики.