7.5: Окружність кола

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58946

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Окружність кола - це периметр кола, довжина лінії, отриманої шляхом вирізання кола і «випрямлення кривих» (рис.$\PageIndex{1}$).

Малюнок$\PageIndex{1}$: Окружність кола - це довжина лінії, отриманої шляхом вирізання кола і випрямлення кривих.

Безпосередньо вимірювати окружність більшості кругових предметів недоцільно. Кругову рулетку було б важко утримувати на місці, і вона буде спотворена, оскільки вона буде зігнута. Сам об'єкт був би зруйнований, якби ми спробували його розрізати і випрямити для вимірювання. На щастя, ми можемо обчислити окружність кола за його радіусом або діаметром, які легко виміряти.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Правильний шестикутник ABCDEF вписаний в коло$O$. Обидва мають радіус$r$ і центр$O$.

Приблизне значення для окружності окружності радіуса$x$ можна отримати, обчисливши периметр правильного шестикутника радіуса,$r$ вписаного в коло (рис.$\PageIndex{2}$). Бачимо, що окружність трохи більше периметра шестикутника, що в 6 разів перевищує радіус бика в 3 рази більше діаметра. Щоб отримати краще наближення, збільшуємо кількість сторін вписаного правильного багатокутника. Зі збільшенням кількості сторін правильного багатокутника багатокутник все більше схожий на коло (рис.$\PageIndex{3}$). У розділі 7.1 ми розрахували периметр 90-гранного правильного багатокутника в 3,141 рази більше діаметра або 6,282 рази більше радіуса. Периметр 1000-гранного правильного багатокутника виявився лише трохи більше, в 3,1416 разів більше діаметра або 6,283 рази більше радіуса. Тому здається розумним зробити висновок, що окружність кола приблизно в 3,14 рази більше діаметра або 6,28 рази більше радіуса.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Правильний багатокутник з 15 сторін виглядає майже як коло.

Теорема$\PageIndex{1}$

Окружність кола в$\pi$ рази її діаметр або в$2 \pi$ рази його радіус, де$\pi$ приблизно 3,14.

\[C=\pi d\]

або

\[C =2 \pi r\]

Символ$\pi$ (грецька буква пі) - стандартне позначення числа, на яке необхідно помножити діаметр кола, щоб отримати окружність. Його значення зазвичай приймається 3,14, хоча 3.1416 і$\dfrac{22}{7}$ є іншими часто використовуваними наближеннями. Ці числа не є точними, для подібного$\sqrt{2}$, можна показати, що$\pi$ це ірраціональне число (нескінченне неповторюване десяткове число). Його значення до 50 знаків після коми дорівнює

3. 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37511

Приклад$\PageIndex{1}$

Знайдіть окружність:

$Знімок екрана 2021-01-03 о 2.22.29 PM.png$

Рішення

$C = \pi d = (3.14)(4) = 12.56$.

Відповідь: 12.56

Довжину дуги визначаємо таким же чином, як ми визначили окружність. Розраховуємо його шляхом множення окружності на відповідний дріб.

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайдіть довжину дуги$\widehat{AB}$:

$Знімок екрана 2021-01-03 о 2.25.19 PM.png$

Рішення

$C = 2\pi r = 3(3.14)(10) = 62.8$. Так як$90^{\circ}$$\dfrac{1}{4}$ є$360^{\circ}$,$\widehat{AB}$ є$\dfrac{1}{4}$ окружності$C$. $\widehat{AB} = \dfrac{1}{4} C = \dfrac{1}{4} (62.8) = 15.7$.

Відповідь: 15.7.

Як ми вже зазначали в розділі 7.4, символ plain = буде використовуватися для довжини дуги, а$\stackrel{\circ}{=}$ символ буде використовуватися для градусів. Таким чином, в$PageIndex{2}$ прикладі,$\widehat{AB} = 15.7$ але$\widehat{AB} \stackrel{\circ}{=} 90^{\circ}$.

Ми також можемо використовувати наступну формулу, щоб знайти довжину дуги:

\[\text{Arc Length} = \dfrac{\text{Degrees in Arc}}{360^{\circ}} \cdot \text{Circumference}\]

або просто

\[L = \dfrac{D}{360} \cdot C\]

Таким чином, у$\PageIndex{2}$ прикладі,

$L = \dfrac{D}{360} \cdot C = \dfrac{90}{360} (62.8) = \dfrac{1}{4} (62.8) = 15.7$

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайдіть довжину дуги$\widehat{AB}$:

$Знімок екрана 2021-01-03 в 3.00.34 PM.png$

Рішення

$C = \pi d =(3.14)(4) = 12.56$. $\angle ACB \stackrel{\circ}{=} \dfrac{1}{2} \widehat{AB} \stackrel{\circ}{=} 30^{\circ}$. Тому$\widehat{AB} \stackrel{\circ}{=} 60^{\circ}$. Використовуючи формулу довжини дуги,

$L = \dfrac{D}{360} C = \dfrac{60}{360} (12.56) = \dfrac{1}{6} (12.56) = 2.09$.

Відповідь: 2.09.

Приклад$\PageIndex{4}$

Знайдіть діаметр кола, окружність якого дорівнює 628.

Рішення

Впускаючи$C = 628$ і$\pi = 3.14$ в формулу для окружності, ми маємо

\[\begin{array} {rcl} {c} & = & {\pi d} \\ {628} & = & {(3.14) d} \\ {\dfrac{628}{3.14}} & = & {\dfrac{3.14d}{3.14}} \\ {200} & = & {d} \end{array}\]

Відповідь: діаметр = 200.

Заявка

Одометр і спідометр автомобіля калібруються відповідно до кількості обертань одного з коліс. Припустимо, діаметр шини, встановленої на колесі, становить 2 фути. Тоді його окружність -$C = \pi d = (3.14)(2) = 6.28$ стопи. Оскільки 1 миля = 5280 футів, колесо буде обертатися$5280 \div 6.28 = 841$ раз кожну милю. Якщо розмір шин змінений з яких-небудь причин, одометр і спідометр повинні бути перекалібровані.

Історична записка

Окружність землі спочатку точно розрахував грецький географ Ератосфен (бл. 284 - 192 до н.е.), який жив в Олександрії, Єгипет. Було відомо, що опівдні в день літнього сонцестояння сонячні промені повністю освітлювали колодязі Сієни (нині називають Асуан), Єгипту. Це вказувало на те, що промені сонця були перпендикулярні поверхні Землі в Сієні, і так, на малюнку$\PageIndex{4}$,$\overleftrightarrow{DS}$ проходить через земний центр$O$. При цьому в Олександрії Ератосфен спостерігав, що сонячні промені робили кут$\angle BAC = 7.2^{\circ}$ в$360^{\circ}$ (тобто$7.2^{\circ}$) з перпендикуляром (на рис.$\PageIndex{4}$).$\dfrac{1}{50}$ Промені сонця приймаються паралельними звідси$\angle AOS = \angle BAC = 7.2^{\circ}$ і$\widehat{AS} \stackrel{\circ}{=} 7.2^{\circ}$. Так як відстань між Олександрією і Сієною становить близько 500 миль (довжина$\widehat{AS}$). Ератосфен зміг придумати надзвичайно точну цифру близько (50) (500) = 25 000 миль для окружності землі.

$Знімок екрана 2021-01-03 о 3.19.20 PM.png$

Малюнок$\PageIndex{4}$. Сонячні промені були перпендикулярні поверхні Землі в$S$ той же час, коли вони робили кут$7.2^{\circ}$ з перпендикуляром в$A$.

Ранні сирі оцінки вартості$\pi$ були зроблені китайцями ($\pi = 3$), вавилонянами ($\pi = 3$або$3\dfrac{1}{8}$) та єгиптянами ($\pi = 3.16$). Значення також$\pi = 3$ є тим, що передбачається в Біблії (I Царів 7:23). Перший точний розрахунок проводив Архімед (287 - 212 до н.е.), найбільший математик давнини, (Архімед також був відомим фізиком і винахідником. Наприклад, він відкрив принцип, що тверде тіло, занурене в рідину, підживлюється силою, рівною вазі витісненої рідини.) У своєму трактаті «Про вимір окружності» він наближає окружність, обчислюючи периметри вписаних і обмежених правильних багатокутників (рис.$\PageIndex{5}$). Це схоже на метод, який ми описали в тексті, за винятком того, що Архімед не мав точних тригонометричних таблиць і повинен був вивести свої власні формули, Проводячи процес до випадку багатокутника з 96 сторін він знайшов значення бути між$3\dfrac{10}{71}$ і$3 \dfrac{1}{7}$. (До речі, Архімед насправді не використовував символ$\pi$. Символ не$\pi$ використовувався для відношення окружності до діаметра кола до 18 ст.)

Знімок екрана 2021-01-03 в 3.39.20 PM.png — Малюнок$\PageIndex{5}$: Окружність кола$O$ більша за периметр вписаного багатокутника,$ABCDEF$ але менше периметра описаного багатокутника$GHIJKL$.

Процедура Архімеда була початком довгих історій; все більш точних розрахунків вартості$\pi$. Починаючи з 17 століття ці розрахунки передбачали використання нескінченних рядів, таких як

\[\dfrac{1}{4}\pi = 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{9} - ...\]

виведення яких CA.TL можна знайти в багатьох підручниках з числення. Зовсім недавно за допомогою комп'ютера було визначено значення$\pi$ до мільйона знаків після коми.