7.5: Окружність кола

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 7.4: Градуси по дузі
- 7.6: Площа кола

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Окружність кола - це периметр кола, довжина лінії, отриманої шляхом вирізання кола і «випрямлення кривих» (рис. $\PageIndex{1}$ ).

Малюнок $\PageIndex{1}$ : Окружність кола - це довжина лінії, отриманої шляхом вирізання кола і випрямлення кривих.

Безпосередньо вимірювати окружність більшості кругових предметів недоцільно. Кругову рулетку було б важко утримувати на місці, і вона буде спотворена, оскільки вона буде зігнута. Сам об'єкт був би зруйнований, якби ми спробували його розрізати і випрямити для вимірювання. На щастя, ми можемо обчислити окружність кола за його радіусом або діаметром, які легко виміряти.

Малюнок $\PageIndex{2}$ : Правильний шестикутник ABCDEF вписаний в коло $O$ . Обидва мають радіус $r$ і центр $O$ .

Приблизне значення для окружності окружності радіуса $x$ можна отримати, обчисливши периметр правильного шестикутника радіуса, $r$ вписаного в коло (рис. $\PageIndex{2}$ ). Бачимо, що окружність трохи більше периметра шестикутника, що в 6 разів перевищує радіус бика в 3 рази більше діаметра. Щоб отримати краще наближення, збільшуємо кількість сторін вписаного правильного багатокутника. Зі збільшенням кількості сторін правильного багатокутника багатокутник все більше схожий на коло (рис. $\PageIndex{3}$ ). У розділі 7.1 ми розрахували периметр 90-гранного правильного багатокутника в 3,141 рази більше діаметра або 6,282 рази більше радіуса. Периметр 1000-гранного правильного багатокутника виявився лише трохи більше, в 3,1416 разів більше діаметра або 6,283 рази більше радіуса. Тому здається розумним зробити висновок, що окружність кола приблизно в 3,14 рази більше діаметра або 6,28 рази більше радіуса.

Малюнок $\PageIndex{3}$ : Правильний багатокутник з 15 сторін виглядає майже як коло.

Теорема $\PageIndex{1}$

Окружність кола в $\pi$ рази її діаметр або в $2 \pi$ рази його радіус, де $\pi$ приблизно 3,14.

$C=\pi d$

або

$C =2 \pi r$

Символ $\pi$ (грецька буква пі) - стандартне позначення числа, на яке необхідно помножити діаметр кола, щоб отримати окружність. Його значення зазвичай приймається 3,14, хоча 3.1416 і $\dfrac{22}{7}$ є іншими часто використовуваними наближеннями. Ці числа не є точними, для подібного $\sqrt{2}$ , можна показати, що $\pi$ це ірраціональне число (нескінченне неповторюване десяткове число). Його значення до 50 знаків після коми дорівнює

3. 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37511

Приклад $\PageIndex{1}$

Знайдіть окружність:

$Знімок екрана 2021-01-03 о 2.22.29 PM.png$

Рішення

$C = \pi d = (3.14)(4) = 12.56$ .

Відповідь: 12.56

Довжину дуги визначаємо таким же чином, як ми визначили окружність. Розраховуємо його шляхом множення окружності на відповідний дріб.

Приклад $\PageIndex{2}$

Знайдіть довжину дуги $\widehat{AB}$ :

$Знімок екрана 2021-01-03 о 2.25.19 PM.png$

Рішення

$C = 2\pi r = 3(3.14)(10) = 62.8$ . Так як $90^{\circ}$ $\dfrac{1}{4}$ є $360^{\circ}$ , $\widehat{AB}$ є $\dfrac{1}{4}$ окружності $C$ . $\widehat{AB} = \dfrac{1}{4} C = \dfrac{1}{4} (62.8) = 15.7$ .

Відповідь: 15.7.

Як ми вже зазначали в розділі 7.4, символ plain = буде використовуватися для довжини дуги, а $\stackrel{\circ}{=}$ символ буде використовуватися для градусів. Таким чином, в $PageIndex{2}$ прикладі, $\widehat{AB} = 15.7$ але $\widehat{AB} \stackrel{\circ}{=} 90^{\circ}$ .

Ми також можемо використовувати наступну формулу, щоб знайти довжину дуги:

$\text{Arc Length} = \dfrac{\text{Degrees in Arc}}{360^{\circ}} \cdot \text{Circumference}$

або просто

$L = \dfrac{D}{360} \cdot C$

Таким чином, у $\PageIndex{2}$ прикладі,

$L = \dfrac{D}{360} \cdot C = \dfrac{90}{360} (62.8) = \dfrac{1}{4} (62.8) = 15.7$

Приклад $\PageIndex{3}$

Знайдіть довжину дуги $\widehat{AB}$ :

$Знімок екрана 2021-01-03 в 3.00.34 PM.png$

Рішення

$C = \pi d =(3.14)(4) = 12.56$ . $\angle ACB \stackrel{\circ}{=} \dfrac{1}{2} \widehat{AB} \stackrel{\circ}{=} 30^{\circ}$ . Тому $\widehat{AB} \stackrel{\circ}{=} 60^{\circ}$ . Використовуючи формулу довжини дуги,

$L = \dfrac{D}{360} C = \dfrac{60}{360} (12.56) = \dfrac{1}{6} (12.56) = 2.09$ .

Відповідь: 2.09.

Приклад $\PageIndex{4}$

Знайдіть діаметр кола, окружність якого дорівнює 628.

Рішення

Впускаючи $C = 628$ і $\pi = 3.14$ в формулу для окружності, ми маємо

$\begin{array} {rcl} {c} & = & {\pi d} \\ {628} & = & {(3.14) d} \\ {\dfrac{628}{3.14}} & = & {\dfrac{3.14d}{3.14}} \\ {200} & = & {d} \end{array}$

Відповідь: діаметр = 200.

Заявка

Одометр і спідометр автомобіля калібруються відповідно до кількості обертань одного з коліс. Припустимо, діаметр шини, встановленої на колесі, становить 2 фути. Тоді його окружність - $C = \pi d = (3.14)(2) = 6.28$ стопи. Оскільки 1 миля = 5280 футів, колесо буде обертатися $5280 \div 6.28 = 841$ раз кожну милю. Якщо розмір шин змінений з яких-небудь причин, одометр і спідометр повинні бути перекалібровані.

Історична записка

Окружність землі спочатку точно розрахував грецький географ Ератосфен (бл. 284 - 192 до н.е.), який жив в Олександрії, Єгипет. Було відомо, що опівдні в день літнього сонцестояння сонячні промені повністю освітлювали колодязі Сієни (нині називають Асуан), Єгипту. Це вказувало на те, що промені сонця були перпендикулярні поверхні Землі в Сієні, і так, на малюнку $\PageIndex{4}$ , $\overleftrightarrow{DS}$ проходить через земний центр $O$ . При цьому в Олександрії Ератосфен спостерігав, що сонячні промені робили кут $\angle BAC = 7.2^{\circ}$ в $360^{\circ}$ (тобто $7.2^{\circ}$ ) з перпендикуляром (на рис. $\PageIndex{4}$ ). $\dfrac{1}{50}$ Промені сонця приймаються паралельними звідси $\angle AOS = \angle BAC = 7.2^{\circ}$ і $\widehat{AS} \stackrel{\circ}{=} 7.2^{\circ}$ . Так як відстань між Олександрією і Сієною становить близько 500 миль (довжина $\widehat{AS}$ ). Ератосфен зміг придумати надзвичайно точну цифру близько (50) (500) = 25 000 миль для окружності землі.

$Знімок екрана 2021-01-03 о 3.19.20 PM.png$

Малюнок $\PageIndex{4}$ . Сонячні промені були перпендикулярні поверхні Землі в $S$ той же час, коли вони робили кут $7.2^{\circ}$ з перпендикуляром в $A$ .

Ранні сирі оцінки вартості $\pi$ були зроблені китайцями ( $\pi = 3$ ), вавилонянами ( $\pi = 3$ або $3\dfrac{1}{8}$ ) та єгиптянами ( $\pi = 3.16$ ). Значення також $\pi = 3$ є тим, що передбачається в Біблії (I Царів 7:23). Перший точний розрахунок проводив Архімед (287 - 212 до н.е.), найбільший математик давнини, (Архімед також був відомим фізиком і винахідником. Наприклад, він відкрив принцип, що тверде тіло, занурене в рідину, підживлюється силою, рівною вазі витісненої рідини.) У своєму трактаті «Про вимір окружності» він наближає окружність, обчислюючи периметри вписаних і обмежених правильних багатокутників (рис. $\PageIndex{5}$ ). Це схоже на метод, який ми описали в тексті, за винятком того, що Архімед не мав точних тригонометричних таблиць і повинен був вивести свої власні формули, Проводячи процес до випадку багатокутника з 96 сторін він знайшов значення бути між $3\dfrac{10}{71}$ і $3 \dfrac{1}{7}$ . (До речі, Архімед насправді не використовував символ $\pi$ . Символ не $\pi$ використовувався для відношення окружності до діаметра кола до 18 ст.)

Знімок екрана 2021-01-03 в 3.39.20 PM.png — Малюнок $\PageIndex{5}$ : Окружність кола $O$ більша за периметр вписаного багатокутника, $ABCDEF$ але менше периметра описаного багатокутника $GHIJKL$ .

Процедура Архімеда була початком довгих історій; все більш точних розрахунків вартості $\pi$ . Починаючи з 17 століття ці розрахунки передбачали використання нескінченних рядів, таких як

$\dfrac{1}{4}\pi = 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{9} - ...$

виведення яких CA.TL можна знайти в багатьох підручниках з числення. Зовсім недавно за допомогою комп'ютера було визначено значення $\pi$ до мільйона знаків після коми.