Search

9.8: Довжина дуги та кривизна
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%90%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Boelkins_%D1%82%D0%B0_%D1%96%D0%BD.)/09%3A_%D0%91%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%BC%D1%96%D1%80%D0%BD%D1%96_%D1%82%D0%B0_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%96_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97/9.08%3A_%D0%94%D0%BE%D0%B2%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D1%83%D0%B3%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0
Враховуючи просторову криву, можна задати два природних геометричних питання: скільки довга крива і скільки вона згинається? У цьому розділі ми відповімо на обидва питання, розробляючи методи вимірюва...Враховуючи просторову криву, можна задати два природних геометричних питання: скільки довга крива і скільки вона згинається? У цьому розділі ми відповімо на обидва питання, розробляючи методи вимірювання довжини просторової кривої, а також її кривизни.
7.4: Довжина дуги та площа поверхні
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Apex)/07%3A_%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97/7.04%3A_%D0%94%D0%BE%D0%B2%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D1%83%D0%B3%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D1%96
У цьому розділі ми розглянемо просте питання: з огляду на криву, яка її довжина? Це часто називають довжиною дуги.
6.4: Довжина дуги кривої та площа поверхні
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(OpenStax)/06%3A_%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97/6.04%3A_%D0%94%D0%BE%D0%B2%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D1%83%D0%B3%D0%B8_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D1%97_%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D1%96
Довжину дуги кривої можна обчислити за допомогою певного інтеграла. Довжина дуги спочатку наближається за допомогою відрізків лінії, що генерує суму Рімана. Беручи межу, то дає нам певну інтегральну ф...Довжину дуги кривої можна обчислити за допомогою певного інтеграла. Довжина дуги спочатку наближається за допомогою відрізків лінії, що генерує суму Рімана. Беручи межу, то дає нам певну інтегральну формулу. Цей же процес може бути застосований до функцій y. Поняття, що використовуються для обчислення довжини дуги, можуть бути узагальнені, щоб знайти площу поверхні обертання. Інтеграли, породжені як формулами довжини дуги, так і площі поверхні, часто важко оцінити.
7.5: Окружність кола
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F/%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%B6%D1%83_(Africk)/07%3A_%D0%A0%D0%B5%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D1%96_%D0%B1%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BA%D1%83%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0/7.05%3A_%D0%9E%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0
Окружність кола - це периметр кола, довжина лінії, отриманої шляхом вирізання кола і «випрямлення кривих».
13.1: Кути
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83_%D1%96_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97/%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D1%94_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(OpenStax)/13%3A_%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97/13.01%3A_%D0%9A%D1%83%D1%82%D0%B8
Кут утворюється від об'єднання двох променів, утримуючи початкову сторону нерухомою і обертаючи кінцеву сторону. Величина повороту визначає міра кута. Кут знаходиться в стандартному положенні, якщо йо...Кут утворюється від об'єднання двох променів, утримуючи початкову сторону нерухомою і обертаючи кінцеву сторону. Величина повороту визначає міра кута. Кут знаходиться в стандартному положенні, якщо його вершина знаходиться біля початку, а його початкова сторона лежить вздовж позитивної осі x. Позитивний кут вимірюється проти годинникової стрілки від початкової сторони і вимірюється негативний кут за годинниковою стрілкою.
8.3: Довжина дуги та кривизна
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Corral)/08%3A_%D0%97%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%81%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B2/8.03%3A_%D0%94%D0%BE%D0%B2%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D1%83%D0%B3%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0
\[\begin{aligned} s ~&=~ \int_0^{\pi/2} \sqrt{\left(\dxdt\right)^2 + \left(\dydt\right)^2}~\dt ~=~ \int_0^{\pi/2} \sqrt{(-3\,\cos^2 t\;\sin\,t)^2 + (3\,\sin^2 t\;\cos\,t)^2}~\dt\\ &=~ \int_0^{\pi/2} \...\[\begin{aligned} s ~&=~ \int_0^{\pi/2} \sqrt{\left(\dxdt\right)^2 + \left(\dydt\right)^2}~\dt ~=~ \int_0^{\pi/2} \sqrt{(-3\,\cos^2 t\;\sin\,t)^2 + (3\,\sin^2 t\;\cos\,t)^2}~\dt\\ &=~ \int_0^{\pi/2} \sqrt{9\,\cos^4 t\;\sin^2 t ~+~ 9\,\sin^4 t\;\cos^2 t}~\dt ~=~ \int_0^{\pi/2} 3\,\sqrt{\sin^2 t\;\cos^2 t\;(\cos^2 t ~+~ \sin^2 t)}~\dt\\ &=~ \int_0^{\pi/2} 3\,\sin\,t\;\cos\,t~\dt \quad\text{(since $\cos\,t \ge 0$ and $\sin\,t \ge 0$ for $0 \le t \le \pi/2$)}\\ &=~ \frac{3}{2}\,\sin^2 t~\Biggr|_0^{…
11.5: Параметр довжини дуги та кривизна
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Apex)/11%3A_%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE-%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%BD%D1%96_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97/11.05%3A_%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80_%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B8_%D0%B4%D1%83%D0%B3%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0
Наближення декількома лінійними відрізками Криву в площині можна наблизити, з'єднавши скінченну кількість точок на кривій за допомогою відрізків лінії для створення полігонального шляху. Оскільки обчи...Наближення декількома лінійними відрізками Криву в площині можна наблизити, з'єднавши скінченну кількість точок на кривій за допомогою відрізків лінії для створення полігонального шляху. Оскільки обчислити довжину кожного лінійного відрізка нескладно, загальну довжину наближення можна знайти шляхом підсумовування довжин кожного лінійного відрізка.
7.1: Кути
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F_(OpenStax)/07%3A_%D0%9E%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%BE_-_%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81_%D1%96_%D0%BA%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97/7.01%3A_%D0%9A%D1%83%D1%82%D0%B8
Кут утворюється від об'єднання двох променів, утримуючи початкову сторону нерухомою і обертаючи кінцеву сторону. Величина повороту визначає міру кута. Кут знаходиться в стандартному положенні, якщо йо...Кут утворюється від об'єднання двох променів, утримуючи початкову сторону нерухомою і обертаючи кінцеву сторону. Величина повороту визначає міру кута. Кут знаходиться в стандартному положенні, якщо його вершина знаходиться біля початку, а його початкова сторона лежить вздовж позитивної осі x. Позитивний кут вимірюється проти годинникової стрілки від початкової сторони і вимірюється негативний кут за годинниковою стрілкою.
4.2: Довжина дуги
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83_%D1%96_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F_(Corral)/04%3A_%D0%A0%D0%B0%D0%B4%D1%96%D0%B0%D0%BD_%D0%9C%D1%96%D1%80%D0%B0/4.02%3A_%D0%94%D0%BE%D0%B2%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D1%83%D0%B3%D0%B8
Отже, припустимо, що у нас є коло радіуса r і ми розміщуємо центральний кут з радіановною мірою 1 поверх іншого центрального кута з радіановною мірою 1, як на малюнку 4.2.1 (а). Зрозуміло, що об'єднан...Отже, припустимо, що у нас є коло радіуса r і ми розміщуємо центральний кут з радіановною мірою 1 поверх іншого центрального кута з радіановною мірою 1, як на малюнку 4.2.1 (а). Зрозуміло, що об'єднаний центральний кут двох кутів має радіанову міру 1+1 = 2, а комбінована довжина дуги r + r = 2r.
5.1: Кути
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83_%D1%96_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97/%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D1%94_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(OpenStax)/05%3A_%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97/5.01%3A_%D0%9A%D1%83%D1%82%D0%B8
Кут утворюється від об'єднання двох променів, утримуючи початкову сторону нерухомою і обертаючи кінцеву сторону. Величина повороту визначає міра кута. Кут знаходиться в стандартному положенні, якщо йо...Кут утворюється від об'єднання двох променів, утримуючи початкову сторону нерухомою і обертаючи кінцеву сторону. Величина повороту визначає міра кута. Кут знаходиться в стандартному положенні, якщо його вершина знаходиться біля початку, а його початкова сторона лежить вздовж позитивної осі x. Позитивний кут вимірюється проти годинникової стрілки від початкової сторони і вимірюється негативний кут за годинниковою стрілкою.
9.5: Обчислення та полярні функції
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Apex)/09%3A_%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D1%96_%D0%B2_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D1%96/9.05%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D1%96_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97
У попередньому розділі визначені полярні координати, що ведуть до полярних функцій. Ми досліджували побудову цих функцій та розв'язували фундаментальне питання щодо їх графіків, а саме, де перетинають...У попередньому розділі визначені полярні координати, що ведуть до полярних функцій. Ми досліджували побудову цих функцій та розв'язували фундаментальне питання щодо їх графіків, а саме, де перетинаються два полярні графіки? Тепер звернемо увагу на відповіді на інші питання, рішення яких вимагають використання обчислення. Основою для більшої частини того, що робиться в цьому розділі, є здатність перетворити полярну функцію r = f (θ) у набір параметричних рівнянь.