7.6: Площа кола

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У главі VI ми визначили площу замкнутої фігури як кількість квадратних одиниць, що містяться в малюнку. Щоб застосувати це визначення до кола, ми знову припустимо, що коло - це правильний багатокутник з великою кількістю сторін. Потім виходить наступна формула:

Теорема $\PageIndex{1}$

Площа кола в $\pi$ рази перевищує квадрат його радіуса.

$A = \pi r^2$

Доказ: Площа кола з радіусом приблизно $r$ дорівнює площі правильного багатокутника з апофемом, $a =r$ описаним навколо кола (рис. $\PageIndex{1}$ ). Наближення стає більш точним, оскільки кількість сторін багатокутника стає більшою. При цьому периметр багатокутника наближається до окружності кола (= $2\pi r$ ).

$Знімок екрана 2021-01-08 о 4.24.34 PM.png$
Малюнок $\PageIndex{1}$ : Правильний багатокутник з $a = r$ апофемом, описаним навколо кола з радіусом $r$ .

Приклад $\PageIndex{1}$

Знайдіть площу кола:

$Знімок екрана 2021-01-08 о 4.21.46 PM.png$

Рішення

$A = \pi r^2 = \pi (3)^2 = 9\pi = 9(3.14) = 28.26$

Відповідь: 28.26

Використовуючи формулу для площі правильного багатокутника (Теорема 7.1.4, розділ 7.1) ми маємо

$\text{area of circle} = \text{area of polygon} = \dfrac{1}{2}aP = \dfrac{1}{2} r(2\pi r) = \pi r^2.$

Приклад $\PageIndex{2}$

Знайдіть затінену область:

$Знімок екрана 2021-01-08 о 4.30.36 PM.png$

Рішення

Знімок екрана 2021-01-08 о 4.32.51 PM.png — Малюнок $\PageIndex{2}$ : Коло, розділене на шість рівних частин.

Затінена область $OAB$ становить загальну $\dfrac{60}{360} = \dfrac{1}{6}$ площу (див. Рис. $\PageIndex{2}$ ). Площа всього кола = $\pi r^2 = \pi (3)^2 = 9\pi = 9(3.14) = 28.26$ . Тому площа м $OAB = \dfrac{1}{6} (28.26) = 4.71$ .

Відповідь: 4.71

Затінена область в Прикладі $\PageIndex{2}$ називається сектором кола. Приклад $\PageIndex{2}$ пропонує наступну формулу для площі сектора:

$\text{Area of sector} = \dfrac{\text{Degrees in arc of sector}}{360} \cdot \text{Area of circle}$

або просто

$A = \dfrac{D}{360} \pi r^2$

Використовуючи цю формулу, рішення Приклад $\PageIndex{2}$ буде

$A = \dfrac{D}{360} \pi r^2 = \dfrac{60}{360} (3.14)(3)^2 = \dfrac{1}{6} (3.14)(9) = \dfrac{1}{6} (28.26) = 4.71$

Приклад $\PageIndex{3}$

Знайдіть затінену область:

$Знімок екрана 2021-01-08 о 4.36.45 PM.png$

Рішення

Давайте спочатку знайдемо площу трикутника $OAB$ (рис. $\PageIndex{3}$ ).

Знімок екрана 2021-01-08 в 4.37.44 PM.png — Малюнок $\PageIndex{3}$ : Трикутник $OAB$ з основою $b$ і висотою $h$ .

$\triangle OAB$ рівносторонній з підставою $b = AB = 10$ . Малюнок по висоті у $h = OC$ нас $\triangle AOC$ є, що $30^{\circ} - 60^{\circ} -90^{\circ}$ трикутник з $AC = 5$ і $h = 5\sqrt{3}$ . Тому площа м $\triangle OAB = \dfrac{1}{2} bh = \dfrac{1}{2} (10) (5\sqrt{3}) = 25 \sqrt{3}$ . Тому

$\begin{array} {rcl} {\text{shaded area}} & = & {\text{area of sector } OAB - \text{area of triangle } OAB} \\ {} & = & {\dfrac{D}{360} \pi r^2 - \dfrac{1}{2} bh} \\ {} & = & {\dfrac{60}{360} \pi (10)^2 - \dfrac{1}{2} (10) (5\sqrt{3})} \\ {} & = & {\dfrac{1}{6} (100\pi) - \dfrac{1}{2} (50\sqrt{3})} \\ {} & = & {\dfrac{50\pi}{3} - 25\sqrt{3}} \\ {} & = & {\dfrac{50(3.14)}{3} - 25(1.732)} \\ {} & = & {52.33 - 43.30 = 9.03} \end{array}$

Відповідь: $\dfrac{50\pi}{3} - 25\sqrt{3}$ або 9.03.

Затінена область в Прикладі $\PageIndex{3}$ називається сегментом кола. Площа відрізка отримують шляхом віднімання площі трикутника з площі сектора.

Приклад $\PageIndex{4}$

Знайдіть затінену область:

$Знімок екрана 2021-01-08 о 4.47.59 PM.png$

Рішення

Площа великого півкола = $\dfrac{1}{2} \pi r^2 = \dfrac{1}{2} \pi (20)^2 = \dfrac{1}{2} (400) \pi = 200 \pi$ . Площа кожного з менших півкіл = $\dfrac{1}{2} \pi r^2 = \dfrac{1}{2} \pi (10)^2 = \dfrac{1}{2} (100) \pi = 50\pi$ . Тому

$\begin{array} {rcl} {\text{shaded area}} & = & {\text{area of large semicircle - (2)(area of small semicircles)}} \\ {} & = & {200 \pi - 2(50\pi)} \\ {} & = & {200\pi - 100\pi} \\ {} & = & {100 \pi = 100 (3.14) = 314} \end{array}$

Відповідь: $100 \pi$ або 314.

Історична записка

Задача 50 Рхіндського папірусу, математичного трактату, написаного єгипетським писарем приблизно в 1650 році до н.е., стверджує, що площа кругового поля діаметром 9 одиниць така ж, як площа квадрата зі стороною 8 одиниць. Це еквівалентно $A = (\dfrac{8}{9} d)^2$ використанню формули для пошуку площі кола. Якщо ми дозволимо $d = 2r$ це стане $A = (\dfrac{8}{9} d)^2 = (\dfrac{8}{9} \cdot 2r)^2 = (\dfrac{16}{9} r)^2 = \dfrac{256}{81} r^2$ або приблизно $3.16 r^2$ . Порівнюючи це з нашою сучасною формулою, $A = \pi r^2$ ми виявляємо, що стародавні єгиптяни мали надзвичайно гарне наближення, 3,16, для значення $\pi$ .

У тій же роботі, в якій він обчислював значення $\pi$ , Архімед дає формулу для площі кола (див. Історичну записку, розділ 7.5). Він стверджує, що площа кола дорівнює площі прямокутного трикутника, основа якого $b$ дорівнює довжині кола і висота якого $h$ дорівнює радіусу. Впустивши $b = C$ і $h = r$ в формулу для площі трикутника, отримаємо $A = \dfrac{1}{2} bh = \dfrac{1}{2} Cr = \dfrac{1}{2} (2\pi r) = \pi r^2$ , сучасну формулу.