Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.6: Площа кола

У главі VI ми визначили площу замкнутої фігури як кількість квадратних одиниць, що містяться в малюнку. Щоб застосувати це визначення до кола, ми знову припустимо, що коло - це правильний багатокутник з великою кількістю сторін. Потім виходить наступна формула:

Теорема7.6.1

Площа кола вπ рази перевищує квадрат його радіуса.

A=πr2

Доказ

Площа кола з радіусом приблизноr дорівнює площі правильного багатокутника з апофемом,a=r описаним навколо кола (рис.7.6.1). Наближення стає більш точним, оскільки кількість сторін багатокутника стає більшою. При цьому периметр багатокутника наближається до окружності кола (=2πr).

Знімок екрана 2021-01-08 о 4.24.34 PM.png
Малюнок7.6.1: Правильний багатокутник зa=r апофемом, описаним навколо кола з радіусомr.
Приклад7.6.1

Знайдіть площу кола:

Знімок екрана 2021-01-08 о 4.21.46 PM.png

Рішення

A=πr2=π(3)2=9π=9(3.14)=28.26

Відповідь: 28.26

Використовуючи формулу для площі правильного багатокутника (Теорема 7.1.4, розділ 7.1) ми маємо

area of circle=area of polygon=12aP=12r(2πr)=πr2.

Приклад7.6.2

Знайдіть затінену область:

Знімок екрана 2021-01-08 о 4.30.36 PM.png

Рішення

Знімок екрана 2021-01-08 о 4.32.51 PM.png
Малюнок7.6.2: Коло, розділене на шість рівних частин.

Затінена областьOAB становить загальну60360=16 площу (див. Рис.7.6.2). Площа всього кола =πr2=π(3)2=9π=9(3.14)=28.26. Тому площа мOAB=16(28.26)=4.71.

Відповідь: 4.71

Затінена область в Прикладі7.6.2 називається сектором кола. Приклад7.6.2 пропонує наступну формулу для площі сектора:

Area of sector=Degrees in arc of sector360Area of circle

або просто

A=D360πr2

Використовуючи цю формулу, рішення Приклад7.6.2 буде

A=D360πr2=60360(3.14)(3)2=16(3.14)(9)=16(28.26)=4.71

Приклад7.6.3

Знайдіть затінену область:

Знімок екрана 2021-01-08 о 4.36.45 PM.png

Рішення

Давайте спочатку знайдемо площу трикутникаOAB (рис.7.6.3).

Знімок екрана 2021-01-08 в 4.37.44 PM.png
Малюнок7.6.3: ТрикутникOAB з основоюb і висотоюh.

OABрівносторонній з підставоюb=AB=10. Малюнок по висоті уh=OC насAOC є, що306090 трикутник зAC=5 іh=53. Тому площа мOAB=12bh=12(10)(53)=253. Тому

shaded area=area of sector OABarea of triangle OAB=D360πr212bh=60360π(10)212(10)(53)=16(100π)12(503)=50π3253=50(3.14)325(1.732)=52.3343.30=9.03

Відповідь:50π3253 або 9.03.

Затінена область в Прикладі7.6.3 називається сегментом кола. Площа відрізка отримують шляхом віднімання площі трикутника з площі сектора.

Приклад7.6.4

Знайдіть затінену область:

Знімок екрана 2021-01-08 о 4.47.59 PM.png

Рішення

Площа великого півкола =12πr2=12π(20)2=12(400)π=200π. Площа кожного з менших півкіл =12πr2=12π(10)2=12(100)π=50π. Тому

shaded area=area of large semicircle - (2)(area of small semicircles)=200π2(50π)=200π100π=100π=100(3.14)=314

Відповідь:100π або 314.

Історична записка

Задача 50 Рхіндського папірусу, математичного трактату, написаного єгипетським писарем приблизно в 1650 році до н.е., стверджує, що площа кругового поля діаметром 9 одиниць така ж, як площа квадрата зі стороною 8 одиниць. Це еквівалентноA=(89d)2 використанню формули для пошуку площі кола. Якщо ми дозволимоd=2r це станеA=(89d)2=(892r)2=(169r)2=25681r2 або приблизно3.16r2. Порівнюючи це з нашою сучасною формулою,A=πr2 ми виявляємо, що стародавні єгиптяни мали надзвичайно гарне наближення, 3,16, для значенняπ.

У тій же роботі, в якій він обчислював значенняπ, Архімед дає формулу для площі кола (див. Історичну записку, розділ 7.5). Він стверджує, що площа кола дорівнює площі прямокутного трикутника, основа якогоb дорівнює довжині кола і висота якогоh дорівнює радіусу. Впустившиb=C іh=r в формулу для площі трикутника, отримаємоA=12bh=12Cr=12(2πr)=πr2, сучасну формулу.

ПРОБЛЕМИ

1 - 6. Знайдіть площу кола (використовуйтеπ=3.14):

1.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.03.27 PM.png

2.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.06.10 PM.png

3.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.06.35 PM.png

4.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.06.56 PM.png

5.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.07.34 PM.png

6.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.07.49 PM.png

7 - 10. Знайдіть площу кола за допомогою... (використанняπ=3.14)

7. радіус дії 20.

8. радіус дії 2.5.

9. діаметр 12.

10. діаметр 15.

11 - 14. Знайдіть затінену область (використовуйтеπ=3.14):

11.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.08.12 PM.png

12.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.08.18 PM.png

13.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.08.43 PM.png

14.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.08.49 PM.png

15 - 30. Знайдіть затінену область. Відповіді можуть бути залишені як в терміні,π так і в радикальній формі.

15.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.09.20 PM.png

16.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.09.41 PM.png

17.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.10.02 PM.png

18.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.10.15 PM.png

19.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.10.47 PM.png

20.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.11.07 PM.png

21.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.11.32 PM.png

22.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.11.53 PM.png

23.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.12.01 PM.png

24.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.12.09 PM.png

25.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.12.41 PM.png

26.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.12.52 PM.png

27.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.13.22 PM.png

28.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.13.28 PM.png

29.

Знімок екрана 2021-01-08 о 5.13.43 PM.png

30.

Знімок екрана 2021-01-08 в 5.13.53 PM.png

  • Was this article helpful?