7.6: Площа кола
У главі VI ми визначили площу замкнутої фігури як кількість квадратних одиниць, що містяться в малюнку. Щоб застосувати це визначення до кола, ми знову припустимо, що коло - це правильний багатокутник з великою кількістю сторін. Потім виходить наступна формула:
Площа кола вπ рази перевищує квадрат його радіуса.
A=πr2
- Доказ
-
Площа кола з радіусом приблизноr дорівнює площі правильного багатокутника з апофемом,a=r описаним навколо кола (рис.7.6.1). Наближення стає більш точним, оскільки кількість сторін багатокутника стає більшою. При цьому периметр багатокутника наближається до окружності кола (=2πr).
Малюнок7.6.1: Правильний багатокутник зa=r апофемом, описаним навколо кола з радіусомr.
Знайдіть площу кола:
Рішення
A=πr2=π(3)2=9π=9(3.14)=28.26
Відповідь: 28.26
Використовуючи формулу для площі правильного багатокутника (Теорема 7.1.4, розділ 7.1) ми маємо
area of circle=area of polygon=12aP=12r(2πr)=πr2.
Знайдіть затінену область:
Рішення

Затінена областьOAB становить загальну60360=16 площу (див. Рис.7.6.2). Площа всього кола =πr2=π(3)2=9π=9(3.14)=28.26. Тому площа мOAB=16(28.26)=4.71.
Відповідь: 4.71
Затінена область в Прикладі7.6.2 називається сектором кола. Приклад7.6.2 пропонує наступну формулу для площі сектора:
Area of sector=Degrees in arc of sector360⋅Area of circle
або просто
A=D360πr2
Використовуючи цю формулу, рішення Приклад7.6.2 буде
A=D360πr2=60360(3.14)(3)2=16(3.14)(9)=16(28.26)=4.71
Знайдіть затінену область:
Рішення
Давайте спочатку знайдемо площу трикутникаOAB (рис.7.6.3).

△OABрівносторонній з підставоюb=AB=10. Малюнок по висоті уh=OC нас△AOC є, що30∘−60∘−90∘ трикутник зAC=5 іh=5√3. Тому площа м△OAB=12bh=12(10)(5√3)=25√3. Тому
shaded area=area of sector OAB−area of triangle OAB=D360πr2−12bh=60360π(10)2−12(10)(5√3)=16(100π)−12(50√3)=50π3−25√3=50(3.14)3−25(1.732)=52.33−43.30=9.03
Відповідь:50π3−25√3 або 9.03.
Затінена область в Прикладі7.6.3 називається сегментом кола. Площа відрізка отримують шляхом віднімання площі трикутника з площі сектора.
Знайдіть затінену область:
Рішення
Площа великого півкола =12πr2=12π(20)2=12(400)π=200π. Площа кожного з менших півкіл =12πr2=12π(10)2=12(100)π=50π. Тому
shaded area=area of large semicircle - (2)(area of small semicircles)=200π−2(50π)=200π−100π=100π=100(3.14)=314
Відповідь:100π або 314.
Задача 50 Рхіндського папірусу, математичного трактату, написаного єгипетським писарем приблизно в 1650 році до н.е., стверджує, що площа кругового поля діаметром 9 одиниць така ж, як площа квадрата зі стороною 8 одиниць. Це еквівалентноA=(89d)2 використанню формули для пошуку площі кола. Якщо ми дозволимоd=2r це станеA=(89d)2=(89⋅2r)2=(169r)2=25681r2 або приблизно3.16r2. Порівнюючи це з нашою сучасною формулою,A=πr2 ми виявляємо, що стародавні єгиптяни мали надзвичайно гарне наближення, 3,16, для значенняπ.
У тій же роботі, в якій він обчислював значенняπ, Архімед дає формулу для площі кола (див. Історичну записку, розділ 7.5). Він стверджує, що площа кола дорівнює площі прямокутного трикутника, основа якогоb дорівнює довжині кола і висота якогоh дорівнює радіусу. Впустившиb=C іh=r в формулу для площі трикутника, отримаємоA=12bh=12Cr=12(2πr)=πr2, сучасну формулу.
ПРОБЛЕМИ
1 - 6. Знайдіть площу кола (використовуйтеπ=3.14):
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7 - 10. Знайдіть площу кола за допомогою... (використанняπ=3.14)
7. радіус дії 20.
8. радіус дії 2.5.
9. діаметр 12.
10. діаметр 15.
11 - 14. Знайдіть затінену область (використовуйтеπ=3.14):
11.
12.
13.
14.
15 - 30. Знайдіть затінену область. Відповіді можуть бути залишені як в терміні,π так і в радикальній формі.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.