Search

1.2: Раціональні та ірраціональні числа
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%97_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB_(Veerman)/01%3A_%D0%A8%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D1%82%D1%83%D1%80_%D0%BF%D0%BE_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%97_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB/1.02%3A_%D0%A0%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%82%D0%B0_%D1%96%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0
Тоді є ще одне натуральне число $s_{2}$ в $S$ такому, що $s_{2} \le s_{1}-1$ . Зауважте, що будь-який непорожній набір $S$ цілих чисел з нижньою межою може бути перетворений шляхом додавання цілого...Тоді є ще одне натуральне число $s_{2}$ в $S$ такому, що $s_{2} \le s_{1}-1$ . Зауважте, що будь-який непорожній набір $S$ цілих чисел з нижньою межою може бути перетворений шляхом додавання цілого числа $b \in N_{0}$ $S+b$ в непорожнє $N_{0}$ . Суть наступного доказу полягає в тому, що ми беремо інтервал і масштабувати його до тих пір, поки ми не знаємо, що є ціле число в ньому, а потім масштабувати його назад вниз.
1.1: Огляд дійсних чисел та абсолютного значення
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%A0%D0%BE%D0%B7%D1%88%D0%B8%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/01%3A_%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B8/1.01%3A_%D0%9E%D0%B3%D0%BB%D1%8F%D0%B4_%D0%B4%D1%96%D0%B9%D1%81%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB_%D1%82%D0%B0_%D0%B0%D0%B1%D1%81%D0%BE%D0%BB%D1%8E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F
Алгебру часто описують як узагальнення арифметики. Систематичне використання змінних, букв, що використовуються для представлення чисел, дозволяє нам спілкуватися і вирішувати найрізноманітніші реальн...Алгебру часто описують як узагальнення арифметики. Систематичне використання змінних, букв, що використовуються для представлення чисел, дозволяє нам спілкуватися і вирішувати найрізноманітніші реальні проблеми. З цієї причини ми починаємо з розгляду реальних чисел та їх операцій.
1.1: Реальні числа - Основи алгебри
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F_(OpenStax)/01%3A_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D1%83%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B8/1.01%3A_%D0%A0%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_-_%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B8
У цьому розділі ми розглянемо набори чисел, обчислення з різними видами чисел, а також використання чисел у виразах.
1.2: Реальні числа - Основи алгебри
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B0%3A_%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%B6_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B8_(OpenStax)/01%3A_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D1%83%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B8/1.02%3A_%D0%A0%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_-_%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B8
Часто говорять, що математика - це мова науки. Якщо це правда, то мова математики - числа. Найбільш раннє використання чисел відбулося 100 століть тому на Близькому Сході для підрахунку або перерахува...Часто говорять, що математика - це мова науки. Якщо це правда, то мова математики - числа. Найбільш раннє використання чисел відбулося 100 століть тому на Близькому Сході для підрахунку або перерахування предметів. Через еволюцію систем числення тепер ми можемо виконувати складні обчислення, використовуючи ці та інші категорії дійсних чисел. У цьому розділі ми розглянемо набори чисел, обчислення з різними видами чисел, а також використання чисел у виразах.
7.5: Окружність кола
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F/%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%B6%D1%83_(Africk)/07%3A_%D0%A0%D0%B5%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D1%96_%D0%B1%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BA%D1%83%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0/7.05%3A_%D0%9E%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0
Окружність кола - це периметр кола, довжина лінії, отриманої шляхом вирізання кола і «випрямлення кривих».
8.1.3: Раціональні та ірраціональні числа
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%BE_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B8/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_II_(%D0%86%D0%BB%D1%8E%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_-_8_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81)/08%3A_%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9F%D1%96%D1%84%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D1%96%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0/8.00%3A_%D0%94%D0%BE%D0%B2%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD_%D1%96_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D1%96_%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%96%D0%B2/8.1.3%3A_%D0%A0%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%82%D0%B0_%D1%96%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0
Він має розташування на числовій лінії, і його розташування можна наблизити раціональними числами (це крихітний біт праворуч $\frac{7}{5}$ ), але не $\sqrt{2}$ може бути знайдений на числовій лінії, ...Він має розташування на числовій лінії, і його розташування можна наблизити раціональними числами (це крихітний біт праворуч $\frac{7}{5}$ ), але не $\sqrt{2}$ може бути знайдений на числовій лінії, розділивши відрізок від 0 до 1 на $b$ рівні частини і відходячи $a$ від цих частин від 0 (якщо $a$ і $b$ є цілими числами).
1.4: Ірраціональні числа
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%97_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB_(Moser)/01%3A_%D0%93%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B8/1.04%3A_%D0%86%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0
$|f(\dfrac{p}{q})| = \dfrac{1}{q^n} |a_0p^n + a_1 p^{n - 1} q + \cdot\cdot\cdot + a_n q^n| \ge \dfrac{1}{q^n}$ Доказ не є складним, $\lambda$ Дозволяти бути ірраціональним і розглянути $n$ , для фі... $|f(\dfrac{p}{q})| = \dfrac{1}{q^n} |a_0p^n + a_1 p^{n - 1} q + \cdot\cdot\cdot + a_n q^n| \ge \dfrac{1}{q^n}$ Доказ не є складним, $\lambda$ Дозволяти бути ірраціональним і розглянути $n$ , для фіксованих, числа ( $\lambda$ $2 \lambda$ ), (),..., ( $n \lambda$ ), де $(x)$ означає «дробова частина $x$ ». Ці $n$ точки є окремими точками на $0, 1)$ ; отже, існують дві з них говорять $i\lambda$ і відстань $j \lambda$ яких один від одного $\le \dfrac{1}{n}$ .
2.6: Повноваження з довільними реальними показниками. ірраціональні
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7_(Zakon)/02%3A_%D0%A0%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F/2.06%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B7_%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B8_%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8._%D1%96%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96
\[\begin{aligned} a^{r} a^{s} &=a^{r+s} ;\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r s} ;(a b)^{r}=a^{r} b^{r} ; a^{r}<a^{s} \text { if } 0<a<1 \text { and } r>s \\ a &<b \text { iff } a^{r}<b^{r}(a, b, r>0) ; a^{r}>... $\begin{aligned} a^{r} a^{s} &=a^{r+s} ;\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r s} ;(a b)^{r}=a^{r} b^{r} ; a^{r}<a^{s} \text { if } 0<a<1 \text { and } r>s \\ a &<b \text { iff } a^{r}<b^{r}(a, b, r>0) ; a^{r}>a^{s} \text { if } a>1 \text { and } r>s ; 1^{r}=1 \end{aligned}$ Влада також $a^{r}$ визначається, якщо $a<0$ і $r$ є $\frac{m}{n}$ раціональним, $n$ тому що $a^{r}=\sqrt[n]{a^{m}}$ має сенс у цьому випадку. (Чому?) Це не працює для інших значень $r$ .