6.2: Периметр, окружність та площа
- Page ID
- 66409
6.2.1: Чотирикутники
- Визначте властивості, включаючи вимірювання кута, чотирикутників.
Вступ
Чотирикутники - це особливий тип багатокутника. Як і у випадку з трикутниками та іншими багатокутниками, чотирикутники мають особливі властивості і можуть бути класифіковані за характеристиками їх кутів і сторін. Розуміння властивостей різних чотирикутників може допомогти вам у вирішенні задач, що стосуються цього типу багатокутників.
Визначення чотирикутника
Виділення назви «чотирикутник» допомагає зрозуміти, до чого воно відноситься. Приставка «квад-» означає «чотири», а «бічний» походить від латинського слова «сторона». Таким чином, чотирикутник є чотиристоронній багатокутник.
Оскільки це багатокутник, ви знаєте, що це двовимірна фігура, що складається з прямих сторін. Чотирикутник також має чотири кути, утворені чотирма його сторонами. Нижче наведено кілька прикладів чотирикутників. Зверніть увагу, що кожна фігура має чотири прямі сторони і чотири кути.
Внутрішні кути чотирикутника
Сума внутрішніх кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360°. Розглянемо два приклади нижче.
Ви можете намалювати багато чотирикутників, таких як ці, і ретельно виміряти чотири кути. Ви виявите, що для кожного чотирикутника сума внутрішніх кутів завжди буде 360°.
Ви також можете використовувати свої знання про трикутники як спосіб зрозуміти, чому сума внутрішніх кутів будь-якого чотирикутника становить 360°. Будь-чотирикутник можна розділити на два трикутника, як показано на зображеннях нижче.
На першому зображенні чотирикутники розділені на два трикутники. Вимірювання кута одного трикутника показані для кожного.
Ці вимірювання додають до 180º. Тепер подивіться на вимірювання для інших трикутників - вони також додають до 180º!
Оскільки сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника дорівнює 180°, а в чотирикутнику є два трикутники, сума кутів для кожного чотирикутника дорівнює 360°.
Специфічні типи чотирикутників
Почнемо з розгляду групи чотирикутників, які мають дві пари паралельних сторін. Ці чотирикутники називаються паралелограмами. Вони приймають найрізноманітніші форми, але один класичний приклад показаний нижче.
Уявіть, що розширюють пари протилежних сторін. Вони ніколи не перетинаються, бо паралельні. Зверніть увагу, також, що протилежні кути паралелограма є конгруентними, як і протилежні сторони. (Пам'ятайте, що «конгруентний» означає «однаковий розмір».) Геометричним символом конгруентного є\(≅\), тому ви можете написати A C і B D Паралельні сторони також мають однакову довжину:\(\overline{AB} ≅ \overline{DC}\) і\(\overline{BC} ≅ \overline{AD}\). Ці відносини вірні для всіх паралелограм.
Є два особливих випадки паралелограм, які будуть вам знайомі з ваших ранніх досвіду з геометричними фігурами. Перший особливий випадок називається прямокутником. За визначенням прямокутник - це паралелограм, оскільки його пари протилежних сторін паралельні. Прямокутник також має особливу характеристику, що всі його кути є прямими кутами; всі чотири його кути є конгруентними.
Інший особливий випадок паралелограма - це особливий тип прямокутника, квадрат. Квадрат - одна з найосновніших геометричних фігур. Це особливий випадок паралелограма, який має чотири конгруентні сторони та чотири прямі кути.
Квадрат - це також прямокутник, оскільки він має два набори паралельних сторін і чотири прямі кути. Квадрат - це також паралелограм, оскільки його протилежні сторони паралельні. Отже, квадрат можна класифікувати будь-яким із цих трьох способів, причому «паралелограм» є найменш конкретним описом, а «квадрат» - найбільш описовим.
Ще один чотирикутник, який ви можете побачити, називається ромб. Всі чотири сторони ромба конгруентні. Його властивості включають в себе те, що кожна пара протилежних сторін паралельна, також роблячи її паралелограмом.
Підсумовуючи, всі квадрати - це прямокутники, але не всі прямокутники - квадрати. Всі прямокутники - паралелограми, але не всі паралелограми - прямокутники. І всі ці форми - чотирикутники.
Діаграма нижче ілюструє взаємозв'язок між різними типами чотирикутників.
Для вирішення завдань можна використовувати властивості паралелограмів. Розглянемо наступний приклад.
Визначте міри M і L.
Рішення
Визначте протилежні кути.
L протилежний J
M протилежний K
Властивість паралелограмів полягає в тому, що протилежні кути конгруентні.
Л J
М К
Використовуйте задані вимірювання кута для визначення мір протилежних кутів.
мДж = 60°, тому мл = 60°
мК = 120°, тому мм = 120°
Відповідь: мл = 60° і мм = 120°
Трапеції
Існує ще один особливий тип чотирикутника. Цей чотирикутник має властивість мати тільки одну пару протилежних сторін, які паралельні. Ось один із прикладів трапеції.
Зверніть увагу\(\overline{XY} || \overline{WZ}\), що, а те\(\overline{WX}\) і\(\overline{ZY}\) не паралельно. Можна легко уявити, що якщо ви витягнули сторони\(\overline{WX}\) і\(\overline{ZY}\), то вони б перетиналися над фігурою.
Якщо непаралельні сторони трапеції конгруентні, то трапеція називається рівнобедрений трапецією. Як і аналогічно названий трикутник, який має дві сторони однакової довжини, рівнобедрений трапеція має пару протилежних сторін однакової довжини. Інша пара протилежних сторін паралельна. Нижче наведено приклад рівнобедрений трапеції.
При цьому трапеція ABCD,\(\overline{BC} || \overline{AD}\) і\(\overline{AB} ≅ \overline{CD}\).
Яке з наведених нижче тверджень вірно?
А) Деякі трапеції є паралелограмами.
Б) Всі трапеції - чотирикутники.
В) Всі прямокутники - квадрати.
Г) Форма не може бути паралелограмом і чотирикутником.
Можна використовувати властивості чотирикутників для вирішення завдань, пов'язаних з трапеціями. Розглянемо приклад нижче.
Знайдіть міру Q.
Рішення
Сума мір внутрішніх кутів чотирикутника дорівнює 360°.
мр+мк+мр+мс = 360°
Символ квадрата позначає прямий кут.
мр = 90°
Мс = 90°
Оскільки наведено три з чотирьох кутових заходів, ви можете знайти четверте вимірювання кута.
60° + мВт +90° + 90° = 360°
Обчисліть вимір Q.
мДК+240° = 360°
мВт = 120°
З зображення видно, що це тупий кут, тому його міра повинна бути більше 90°.
Відповідь: мQ = 120°
Наведена нижче таблиця узагальнює особливі типи чотирикутників і деякі їх властивості.
| Назва чотирикутника | Чотирикутник | Опис |
| Паралелограм |  |
2 пари паралельних сторін. Протилежні сторони і протилежні кути конгруентні. |
| Прямокутник |  |
2 пари паралельних сторін. 4 прямих кута (90°). Протилежні сторони паралельні і конгруентні. Всі кути конгруентні. |
| Квадрат |  |
4 конгруентні сторони. 4 прямих кута (90°). Протилежні сторони паралельні. Всі кути конгруентні. |
| Трапеція |  |
Тільки одна пара протилежних сторін паралельна. |
Резюме
Чотирикутник - це математична назва чотиригранного багатокутника. Паралелограми, квадрати, прямокутники та трапеції - все це приклади чотирикутників. Ці чотирикутники отримують свою відмінність на основі їх властивостей, включаючи кількість пар паралельних сторін, які вони мають, та їх вимірювання кута та сторони.
1. Б) Всі трапеції - чотирикутники; трапеції - чотиригранні багатокутники, тому всі вони є чотирикутниками.
6.2.2: Периметр і площа
- Знайдіть периметр багатокутника.
- Знайдіть площу багатокутника.
- Знайти площу і периметр нестандартних багатокутників
Вступ
Периметр і площа - дві важливі та фундаментальні математичні теми. Вони допомагають кількісно оцінити фізичний простір, а також забезпечують основу для більш просунутої математики, знайденої в алгебрі, тригонометрії та обчисленні. Периметр - це вимірювання відстані навколо форми та площі дає нам уявлення про те, скільки поверхні покриває форма.
Знання області та периметра застосовуються практично людьми щодня, такими як архітектори, інженери та графічні дизайнери, і це математика, яка дуже потрібна людям загалом. Розуміння того, скільки місця у вас є, і навчитися точно поєднувати форми допоможуть вам, коли ви фарбуєте кімнату, купуєте будинок, переробляєте кухню або будуєте палубу.
Периметр
Периметр двомірної форми - це відстань навколо фігури. Можна подумати про обгортання нитки навколо трикутника. Довжина цього рядка буде периметром трикутника. Або гуляючи по зовнішній стороні парку, ви пройдете відстань периметра парку. Деяким людям корисно думати «периметр», оскільки край предмета є його ободом, а PerimeTer має слово «ободок».
Якщо фігура багатокутник, то можна скласти всі довжини сторін, щоб знайти периметр. Будьте уважні, щоб переконатися, що всі довжини вимірюються в однакових одиницях. Ви вимірюєте периметр в лінійних одиницях, який є одновимірним. Прикладами одиниць виміру довжини є дюйми, сантиметри або фути.
Знайдіть периметр заданої фігури. Всі зазначені вимірювання - дюйми.
Рішення
Так як всі сторони вимірюються в дюймах, просто додайте довжини всіх шести сторін, щоб отримати периметр.
\(P = 5 + 3 + 6 + 2 + 3 + 3\)
Не забудьте включити одиниці.
Відповідь:\(P = 22 \text{ inches}\)
Це означає, що щільно загорнута рядок, що проходить всю відстань навколо багатокутника, буде вимірювати 22 дюйми в довжину.
Знайдіть периметр трикутника зі сторонами розміром 6 см, 8 см і 12 см.
Рішення
Так як всі сторони вимірюються в сантиметрах, просто складіть довжини всіх трьох сторін, щоб вийшов периметр.
\(P = 6 + 8 + 12\)
Відповідь:\(P = 26 \text{ centimeters}\)
Іноді вам потрібно використовувати те, що ви знаєте про багатокутник, щоб знайти периметр. Давайте розглянемо прямокутник в наступному прикладі.
Прямокутник має довжину 8 сантиметрів і ширину 3 сантиметри. Знайдіть периметр.
Рішення
Так як це прямокутник, протилежні сторони мають однакову довжину, 3 см. і 8 см. Складіть довжини всіх чотирьох сторін, щоб знайти периметр.
\(P = 3 + 3 + 8 + 8\)
Відповідь\(P = 22 \text{ cm}\)
Зверніть увагу, що периметр прямокутника завжди має дві пари сторін однакової довжини. У наведеному вище прикладі ви могли б також написати\(P = 2(3) + 2(8) = 6 + 16 = 22 \text{ cm}\). Формула периметра прямокутника часто записується як\(P = 2l + 2w\), де\(l\) довжина прямокутника і\(w\) ширина прямокутника.
Площа паралелограмів
Площа двомірної фігури описує кількість поверхні, яку покриває форма. Ви вимірюєте площу в квадратних одиницях фіксованого розміру. Прикладами квадратних одиниць виміру є квадратні дюйми, квадратні сантиметри або квадратні милі. Знаходячи площу багатокутника, ви підраховуєте, скільки квадратів певного розміру покриє область всередині багатокутника.
Давайте розглянемо квадрат 4 х 4.
Можна порахувати, що квадратів 16, тому площа становить 16 квадратних одиниць. Підрахунок 16 квадратів не займає занадто багато часу, але як щодо пошуку площі, якщо це більший квадрат або одиниці менші? Це може зайняти багато часу, щоб розраховувати.
На щастя, можна використовувати множення. Так як є 4 ряди по 4 квадрата, ви можете помножити,\(4 \cdot 4\) щоб отримати\(16\) квадрати! І це можна узагальнити до формули знаходження площі квадрата з будь-якою довжиною,\(s\):\(\text{Area } = s \cdot s = s^2\).
Можна написати «\(\text{in}^2\)» для квадратних дюймів і «\(\text{ft}^2\)» для квадратних футів.
Щоб допомогти вам знайти площу багатьох різних категорій багатокутників, математики розробили формули. Ці формули допоможуть вам знайти вимірювання швидше, ніж просто підрахунком. Формули, які ви збираєтеся дивитися на всі розроблені з розуміння того, що ви підраховуєте кількість квадратних одиниць всередині багатокутника. Давайте розглянемо прямокутник.
Можна порахувати квадрати окремо, але набагато простіше помножити 3 рази 5, щоб швидше знайти число. І, більш загально, площа будь-якого прямокутника можна знайти, помноживши довжину на ширину.
Прямокутник має довжину 8 сантиметрів і ширину 3 сантиметри. Знайдіть місцевість.
Рішення
Почніть з формули площі прямокутника, яка множить довжину на ширину.
\(A = l \cdot w\)
Підставляємо 8 на довжину і 3 на ширину.
\(A = 8 \cdot 3\)
Обов'язково слід включити одиниці, в даному випадку квадратні см.
Відповідь:\(A = 24 \text{ cm}^2\)
Було б потрібно 24 квадрата, кожен розміром по 1 см на стороні, щоб покрити цей прямокутник.
Формула площі будь-якого паралелограма (пам'ятайте, прямокутник - це тип паралелограма) така ж, як і у прямокутника:\(\text{Area } = l \cdot w\). Зверніть увагу на прямокутник, довжина і ширина перпендикулярні. Це також повинно бути вірно для всіх паралелограм. Підстава (b) для довжини (основи), а висота (h) для ширини лінії, перпендикулярної до основи, часто використовується. Отже, формула для паралелограма взагалі пишеться,\(\text{Area } = b \cdot h\).
Знайти площу паралелограма.
Рішення
Почніть з формули площі паралелограма:\(\text{Area } = \text{base} \cdot \text{height}\).
\(A = b \cdot h\)
Підставте значення в формулу.
\(A = 4 \cdot 2\)
Помножити.
\(A = 8\)
Відповідь: Площа паралелограма дорівнює\(8 \text{ ft}^2\).
Знайдіть площу паралелограма висотою 12 футів і підставою 9 футів.
Площа трикутників і трапецій
Формулу площі трикутника можна пояснити, дивлячись на прямокутний трикутник. Подивіться на зображення нижче - прямокутник з тією ж висотою і основою, що і вихідний трикутник. Площа трикутника - одна половина прямокутника!
Оскільки площа двох конгруентних трикутників збігається з площею прямокутника, можна придумати формулу,\(\text{Area } = \dfrac{1}{2}bh\) щоб знайти площу трикутника.
Коли ви використовуєте формулу для трикутника, щоб знайти його площу, важливо визначити підставу та відповідну йому висоту, яка перпендикулярна до основи.
Трикутник має висоту 4 дюйми і основу 10 дюймів. Знайдіть місцевість.
Рішення
Почніть з формули для площі трикутника.
\(A = \dfrac{1}{2}bh\)
Підставте 10 на підставу і 4 на висоту.
\(A = \dfrac{1}{2} \cdot (10) \cdot (4)\)
Помножити.
\(A = \dfrac{1}{2} \cdot 40\)
\(A = 20\)
Відповідь:\(A = 20 \text{ in}^2\)
Тепер давайте розглянемо трапецію. Щоб знайти площу трапеції, візьміть середню довжину двох паралельних основ і помножте цю довжину на висоту:\(A = \dfrac{(b_1 + b_2)}{2}h\).
Приклад наведено нижче. Зверніть увагу, що висота трапеції завжди буде перпендикулярна основам (так само, як коли ви знайдете висоту паралелограма).
Знайдіть площу трапеції.
Рішення
Почніть з формули для площі трапеції.
\(A = \dfrac{(b_1 + b_2)}{2}h\)
Підставте 4 і 7 для підстав і 2 на висоту, і знайдіть А.
\(A = \dfrac{(4 + 7)}{2} \cdot 2\)
\(A = \dfrac{11}{2} \cdot 2\)
\(A = 11\)
Відповідь: Площа трапеції дорівнює\(11 \text{ cm}^2\)
Скористайтеся наступними формулами, щоб знайти області різної форми.
квадрат:\(A = s^2\)
прямокутник:\(A = l \cdot w\)
паралелограм:\(A = b \cdot h\)
трикутник:\(A = \dfrac{1}{2}b \cdot h\)
трапеція:\(A = \dfrac{(b_1 + b_2)}{2}h\)
Робота з периметром і площею
Часто потрібно знайти площу або периметр фігури, яка не є стандартним багатокутником. Художники та архітектори, наприклад, зазвичай мають справу зі складними формами. Однак навіть складні форми можна вважати складними з менших, менш складних форм, таких як прямокутники, трапеції та трикутники.
Щоб знайти периметр нестандартних форм, ви все одно знайдете відстань навколо фігури, склавши разом довжину кожної сторони.
Знаходження області нестандартних форм трохи відрізняється. Вам потрібно створити області в межах форми, для яких ви можете знайти область і додати ці області разом. Подивіться, як це робиться нижче.
Знайти площу і периметр багатокутника.
Рішення
Щоб знайти периметр, складіть разом довжини сторін. Почніть з вершини і працюйте за годинниковою стрілкою навколо фігури.
\(P = 18 + 6 + 3 + 11 + 9.5 + 6 + 6\)
\(P = 59.5 \text{ cm}\)
Щоб знайти площу, розділіть багатокутник на дві окремі, простіші області. Площа всього багатокутника дорівнюватиме сумі площ двох областей.
\(\text{Area of Polygon } = (\text{Area of A}) + (\text{Area of B})\)
Область A - прямокутник. Щоб знайти площу, помножте довжину (18) на ширину (6).
\(\text{Area of Region }A = l \cdot w\)
\(= 18 \cdot 6\)
\(= 108\)
Площа Регіону А становить\(108 \text{ cm}^2\).
Область B - трикутник. Щоб знайти площу, скористайтеся формулою\(\dfrac{1}{2}bh\), де основа дорівнює 9, а висота - 9.
\(\text{Area of Region }B = \dfrac{1}{2}b \cdot h\)
\(= \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9\)
\(= \dfrac{1}{2} \cdot 81\)
\(= 40.5\)
Площа Регіону B становить\(40.5 \text{ cm}^2\).
Додайте регіони разом.
\(108 \text{ cm}^2\)+\(40.5 \text{ cm}^2\) =\(148.5 \text{ cm}^2\).
Відповідь: Периметр =\(59.5 \text{ cm}\)
Площа =\(148.5 \text{ cm}^2\)
Ви також можете використовувати те, що ви знаєте про периметр і площа, щоб допомогти вирішити проблеми про ситуації, як покупка огорожі або фарби, або визначення того, наскільки великий килимок потрібен у вітальні. Ось приклад огорожі.
Роза садить сад з розмірами, показаними нижче. Вона хоче нанести тонкий рівний шар мульчі по всій поверхні саду. Мульча коштує 3 долари за квадратний фут. Скільки грошей їй доведеться витратити на мульчу?
Рішення
Ця форма являє собою поєднання двох більш простих форм: прямокутника і трапеції. Знайдіть площу кожного.
Знайдіть площу прямокутника.
\(A = l \cdot w\)
\(A = 8 \cdot 4\)
\(A = 32 \text{ ft}^2\)
Знайдіть площу трапеції.
\(A = \dfrac{(b_1 + b_2)}{2}h\)
\(A = \dfrac{(14 + 8)}{2} \cdot 4\)
\(A = \dfrac{22}{2} \cdot 4\)
\(A = 11 \cdot 4\)
\(A = 44 \text{ ft}^2\)
Додайте виміри.
\(32 \text{ ft}^2 + 44 \text{ ft}^2 = 76 \text{ ft}^2\)
Помножте на 3 долари, щоб дізнатися, скільки Розі доведеться витратити.
\(76 \text{ ft}^2 \cdot $3 = $228\)
Відповідь: Розі витратить 228 доларів, щоб покрити свій сад мульчею.
Знайдіть площу заданої форми.
Резюме
Периметр двомірної форми - це відстань навколо фігури. Його знаходять шляхом складання всіх сторін (до тих пір, поки всі вони є однією одиницею). Площа двомірної форми знаходять шляхом підрахунку кількості квадратів, які покривають фігуру. Розроблено багато формул для швидкого пошуку площі стандартних багатокутників, таких як трикутники та паралелограми.
1. \(108 \text{ ft}^2\); висота паралелограма -\(12\) і основа паралелограма є\(9\); площа -\(12\) раз\(9\), або\(108 \text{ ft}^2\).
2. \(11 \text{ ft}^2\); ця форма є трапецією, тому ви можете скористатися формулою,\(A = \dfrac{(b_1 + b_2)}{2}h\) щоб знайти площу:\(A = \dfrac{(2 + 9)}{2}\cdot 2\).
6.2.3: Кола
- Визначте властивості кіл.
- Знайдіть окружність кола.
- Знайдіть площу кола.
- Знайдіть площу і периметр складових геометричних фігур.
Вступ
Кола є загальною формою. Ви бачите їх всюди—колеса на автомобілі, фрізбі, що проходять по повітрю, компакт-диски, що доставляють дані. Це все кола.
Коло - це двовимірна фігура, подібно до багатокутників і чотирикутників. Однак кола вимірюються інакше, ніж ці інші форми - вам навіть доведеться використовувати деякі інші терміни, щоб описати їх. Давайте розглянемо цю цікаву форму.
Властивості кіл
Коло являє собою набір точок, всі з яких знаходяться на однаковій відстані від фіксованої середньої точки. Ця нерухома точка називається центром. Відстань від центру кола до будь-якої точки на колі називається радіусом.
Коли два радіуси (множина радіуса) зібрані разом, щоб сформувати відрізок лінії по всьому колу, у вас є діаметр. Діаметр кола проходить через центр кола і має свої кінцеві точки на самому колі.
Діаметр будь-якого кола в два рази перевищує довжину радіуса цього кола. Він може бути представлений виразом 2r, або «два рази радіус». Отже, якщо ви знаєте радіус кола, ви можете помножити його на 2, щоб знайти діаметр; це також означає, що якщо ви знаєте діаметр кола, ви можете розділити на 2, щоб знайти радіус.
Знайдіть діаметр кола.
Рішення
Діаметр в два рази більше радіуса, або 2р. Радіус цього кола становить 7 дюймів, тому діаметр дорівнює 2 (7) = 14 дюймів.
\(d = 2r\)
\(d = 2(7)\)
\(d = 14\)
Відповідь: Діаметр 14 дюймів.
Знайдіть радіус кола.
Рішення
Радіус дорівнює половині діаметра, або\(\dfrac{1}{2}d\).
\(r = \dfrac{1}{2}d\)
\(r = \dfrac{1}{2}(36)\)
\(r = 18\)
Діаметр цього кола дорівнює\(36 \text{ feet}\), тому радіус дорівнює\(r = \dfrac{1}{2}(36) = 18 \text{ feet}\).
Відповідь: Радіус становить 18 футів.
Окружність
Відстань по колу називається окружністю. (Нагадаємо, відстань навколо багатокутника - це периметр.)
Одна цікава властивість кіл полягає в тому, що співвідношення окружності кола і його діаметра однакове для всіх кіл. Незалежно від розміру кола, співвідношення окружності і діаметра буде однаковим.
Деякі фактичні вимірювання різних предметів наведені нижче. Вимірювання точні до найближчого міліметра або чверті дюйма (залежно від використовуваної одиниці виміру). Подивіться на співвідношення окружності до діаметра для кожного з них - хоча елементи різні, співвідношення для кожного приблизно однакове.
| Пункт | Окружність (\(C\)) (округлена до найближчої сотої) | Діаметр (\(d\)) | Співвідношення\(\dfrac{C}{d}\) |
| Чашка | 253 мм | 79 мм | \(\dfrac{253}{79} = 3.2025...\) |
| Квартал | 84 мм | 27 мм | \(\dfrac{84}{27} = 3.1111...\) |
| Чаша | 37.25 у | 11.5 в | \(\dfrac{37.25}{11.75} = 3.1702...\) |
Окружність і діаметр є приблизними вимірами, оскільки немає точного способу точно виміряти ці розміри. Однак якби ви змогли виміряти їх більш точно, ви б виявили, що співвідношення\(\dfrac{C}{d}\) буде рухатися до\(3.14\) кожного з наведених елементів. Математична назва співвідношення\(\dfrac{C}{d}\) - пі і представлено грецькою літерою\(\pi\).
\(\pi\)є незавершеним, що не повторюється десятковим, тому виписати його повністю неможливо? Перші 10 цифр\(\pi\) - 3,141592653; його часто округляють до 3,14 або оцінюють як дріб\(\dfrac{22}{7}\). Зверніть увагу, що як 3.14, так і\(\dfrac{22}{7}\) є наближеннями\(\pi\), і використовуються в розрахунках, де не важливо бути точним.
Оскільки ви знаєте, що відношення окружності до діаметра (або\(\pi\)) узгоджується для всіх кіл, ви можете використовувати це число, щоб знайти окружність кола, якщо ви знаєте його діаметр.
\(\dfrac{C}{d} = \pi, \text{ so } C = \pi d\)
Крім того\(d = 2r\), з тих пір\(C = \pi d = \pi (2r) = 2 \pi r\).
Щоб знайти окружність (\(C\)) кола, скористайтеся однією з наступних формул:
Якщо ви знаєте діаметр (\(d\)) кола:\(C = \pi d\))
Якщо ви знаєте радіус (\(r\)) кола:\(C = 2 \pi r\))
Знайдіть окружність кола.
Рішення
Щоб розрахувати окружність, задану діаметром 9 дюймів, скористайтеся формулою\(C = \pi d\). Використовуйте 3.14 як наближення для\(\pi\). Оскільки ви використовуєте наближення для\(\pi\), ви не можете дати точне вимірювання окружності. Замість цього ви використовуєте символ\(≈\) для позначення «приблизно дорівнює».
\(C = \pi d\)
\(C = \pi \cdot 9\)
\(C ≈ 3.14 \cdot 9\)
\(C ≈ 28.26\)
Відповідь: Окружність дорівнює\(9\pi\) або приблизно\(28.26 \text{ inches}\).
Знайдіть окружність кола радіусом 2,5 ярда.
Рішення
Щоб обчислити окружність кола, заданого радіусом 2,5 ярда, скористайтеся формулою\(C = 2 \pi r\). Використовуйте 3.14 як наближення для\(\pi\).
\(C = 2 \pi r\)
\(C = 2 \pi \cdot 2.5\)
\(C = \pi \cdot 5\)
\(C ≈ 3.14 \cdot 5\)
\(C ≈ 15.7\)
Відповідь: Окружність дорівнює\(5\pi\) або приблизно\(15.7 \text{ yards}\).
Коло має радіус 8 дюймів. Яка його окружність, округлена до найближчого дюйма?
Площа
Pi,\(\pi\), є важливим числом в геометрії. Ви вже використовували його для обчислення окружності кола. Ви використовуєте,\(\pi\) коли ви з'ясовуєте область кола, теж.
Щоб знайти площу (\(A\)) кола, скористайтеся формулою:\(A = \pi r^2\)
Знайдіть площу кола.
Рішення
Щоб знайти площу цього кола, скористайтеся формулою\(A = \pi r^2\). Не забудьте написати відповідь з точки зору квадратних одиниць, оскільки ви знаходите площу.
\(A = \pi r^2\)
\(A = \pi \cdot 3^2\)
\(A = \pi \cdot 9\)
\(A = 3.14 \cdot 9\)
\(A = 28.26\)
Відповідь Площа є\(9\pi\) або приблизно\(28.26 \text{ feet}^2\).
Кнопка має діаметр 20 міліметрів. Яка площа кнопки? Використовуйте 3.14 як наближення\(\pi\).
Композитні фігури
Тепер, коли ви знаєте, як розрахувати окружність і площу кола, ви можете скористатися цими знаннями, щоб знайти периметр і площу складових фігур. Хитрість для з'ясування цих типів проблем полягає в тому, щоб визначити форми (і частини фігур) всередині складеної фігури, обчислити їх індивідуальні розміри, а потім скласти їх разом.
Наприклад, подивіться на зображення нижче. Чи можна знайти периметр?
Першим кроком є визначення більш простих фігур всередині цієї складеної фігури. Ви можете розбити його на прямокутник і півколо, як показано нижче.
Ви знаєте, як знайти периметр прямокутника, і знаєте, як знайти окружність кола. Тут периметр трьох твердих сторін прямокутника дорівнює 8 + 20 + 20 = 48 футів. (Зауважте, що лише три сторони прямокутника додаватимуться до периметра складеної фігури, оскільки інша сторона не знаходиться біля краю; вона покрита півколом!)
Щоб знайти окружність півкола, скористайтеся\(C = \pi d\) формулою діаметром 8 футів, потім візьміть половину результату. Окружність півкола становить\(4 \pi\), або приблизно 12,56 футів, тому загальний периметр становить близько 60,56 футів.
Знайдіть периметр (до найближчої сотої) складеної фігури, складеної з півкола і трикутника.
Рішення
Визначте менші фігури всередині складеної фігури. Ця фігура містить півколо і трикутник.
Знайдіть окружність кола. Потім ділимо на 2, щоб знайти окружність півкола.
\(\text{Diameter }(d) = 1\)
\(C = \pi d\)
\(C = \pi (1)\)
\(C = \pi\)
\(\text{Circumference of semicircle } = \dfrac{1}{2} \pi\)або приблизно\(1.57 \text{ inches}\)
Знайдіть загальний периметр, склавши окружність півкола і довжини двох ніжок. Оскільки наше вимірювання окружності півкола є приблизним, периметр також буде наближенням.
\(1 + 1 + \dfrac{1}{2} \pi ≈ 3.57 \text{ inches}\)
Нагадаємо, ми використовуємо оригінальні блоки з периметром.
Відповідь: Приблизно\(3.57 \text{ inches}\)
Знайдіть площу складеної фігури, складеної з трьох чвертей кола і квадрата, до найближчої сотої.
Рішення
Визначте менші фігури всередині складеної фігури. Ця фігура містить кругову область і квадрат. Якщо знайти площу кожного, то можна знайти площу всієї фігури.
Знайдіть площу квадрата.
\(\text{Area of square} = s^2\)
\(= (2)^2\)
\(= 4 \text{ ft}^2\)
Знайдіть площу кругової області. Радіус дорівнює\(2 \text{ feet}\).
Зверніть увагу, що область\(\dfrac{3}{4}\) складається з цілого кола, тому потрібно помножити площу кола на\(\dfrac{3}{4}\). Використовуйте 3.14 як наближення для\(\pi\).
\(\text{Area of full circle} = \pi r^2\)
\(= \pi (2)^2\)
\(= 4 \pi \text{ ft}^2\)
\(\text{Area of region} = \dfrac{3}{4} \cdot 4 \pi \)
\(= 3 \pi\)
\(≈ 3 \cdot 3.14 \text{ ft}^2\)
Це приблизно\(9.42 \text{ feet}^2\).
Додайте дві області разом. Оскільки ваше вимірювання площі круга є приблизним, площа фігури також буде наближенням.
\(4 \text{ feet}^2 + 3 \pi \text{ feet}^2 =\)приблизно\(13.42 \text{ feet}^2\)
Нагадаємо, ми використовуємо квадратні одиниці для площі.
Відповідь: Площа приблизно\(13.42 \text{ feet}^2\).
Яка площа (до найближчої сотої) малюнка, показаного нижче? (Обидві округлі області є напівколами.)
Резюме
Кола - важлива геометрична форма. Відстань по колу називається окружністю, а внутрішній простір кола - площею. Обчислення окружності та площі кола вимагає числа під назвою pi (\(\pi\)), яке є незавершеним, що не повторюється десятковим. Pi часто наближається значеннями 3,14 і\(\dfrac{22}{7}\). Ви можете знайти периметр або площу складових фігур, включаючи форми, що містять кругові перерізи, застосовуючи формули окружності та площі, де це доречно.
- \(50 \text{ inches}\); якщо радіус є\(8 \text{ inches}\), правильна формула для окружності, коли радіус задано, є\(C = 2 \pi r\). Правильна відповідь -\(50 \text{ inches}\).
- \(314 \text{ mm}^2\); діаметр є\(20 \text{ mm}\), тому радіус повинен бути\(10 \text{ mm}\). Потім, використовуючи формулу\(A = \pi r^2\), ви знаходите\(A = \pi \cdot 10^2 = \pi \cdot 100 ≈ 314 \text{ mm}^2\).
- \(7.14 \text{ in}^2\); уявіть, що два півкола збираються разом, щоб створити одне коло. Радіус кола є\(1 \text{ inch}\); це означає, що площа кола є\(\pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi\). Площа площі становить\(2 \cdot 2 = 4\). Додавання цих разом дає\(7.14 \text{ in}^2\).