4.2: Подібні трикутники

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58841

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Кажуть, що два трикутника схожі, якщо вони мають рівні набори кутів. На малюнку$\PageIndex{1}$,$\triangle ABC$ схожий$\triangle DEF.$ на Кути, які рівні називаються відповідними кутами. На малюнку$\angle A$$\angle B$ відповідає$\PageIndex{1}$$\angle D$$\angle E$, відповідає і$\angle C$ відповідає$\angle F$. Сторони, що з'єднують відповідні вершини, називаються відповідними сторонами. На малюнку$AB$$BC$ відповідає$\PageIndex{1}$$DE$$EF$, відповідає і$AC$ відповідає$DF$. Символ подібного є$\sim$. Оператор подібності завжди$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ буде записаний так, щоб відповідні вершини з'являлися в одному порядку.

Для трикутників на малюнку$\PageIndex{1}$ ми також могли б написати$\triangle BAC \sim \triangle BDF$ або,$\triangle ACB \sim \triangle DFE$ але ніколи$\triangle ABC \sim \triangle EDF$ ні$\triangle ACB \sim \triangle DEF$.

Малюнок$\PageIndex{1}$:$\triangle ABC$ схожий на$\triangle DEF$.

Ми можемо сказати, які сторони відповідають за твердженням подібності. Наприклад, якщо$\triangle ABC \sim \triangle DEF$, то сторона$AB$ відповідає стороні,$DE$ тому що обидві є першими двома літерами. $BC$відповідає$EF$ тому, що обидві є останніми двома літерами,$AC$ відповідає$DF$ тому, що обидві складаються з першої та останньої літер.

Приклад$\PageIndex{1}$

Визначте, чи схожі трикутники, і якщо так, напишіть заяву подібності:

Рішення

\[\angle C = 180^{\circ} - (65^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \nonumber\]

\[\angle D = 180^{\circ} - (65^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \nonumber\]

Тому обидва трикутника мають однакові кути і$\triangle ABC \sim \triangle EFD$.

Відповідь:$\triangle ABC \sim \triangle EFD$.

Приклад А говорить про те, що для доведення подібності необхідно лише знати, що два відповідних кути рівні:

Теорема$\PageIndex{1}$

Два трикутника схожі, якщо два кути одного дорівнюють двом кутам іншого$(AA = AA)$.

На малюнку$\PageIndex{2}$, $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ because $\angle A = \angle D$ and $\angle B = \angle E$.

Малюнок$\PageIndex{2}$. $\triangle ABC \sim \triangle DEF$тому що$AA = AA$.

Доказ: $\triangle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - (\angle D + \angle E) = \angle F$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Визначте, які трикутники схожі і напишіть заяву подібності:

$clipboard_e56c0407f3330ab064a03d450dc368b43.png$

Рішення

$\angle A = \angle CDE$тому що вони є відповідними кутами паралельних ліній. $\angle C = \angle C$через ідентичність. Тому$\triangle ABC \sim \triangle DEC$ по$AA = AA$.

Відповідь:$\triangle ABC \sim \triangle DEC$.

Приклад$\PageIndex{3}$

Визначте, які трикутники схожі і напишіть заяву подібності:

$clipboard_e68568907ceb1ad6e2914799d4117e394.png$

Рішення

$\angle A=\angle A$ідентичність. $\angle ACB = \angle ADC=90^{\circ}$. Тому

$clipboard_e8c9e0eb64503ba7052b530e8ffa4910e.png$

Крім того$\angle B = \angle B$, ідентичність,$\angle BDC = \angle BCA = 90^{\circ}$. Тому

$clipboard_ee02534487cbd4eb37de243e422e8ea11.png$

Відповідь:$\triangle ABC \sim \triangle ACD \sim \triangle CBD$.

Подібні TriAngies важливі через наступну теорему:

Теорема$\PageIndex{2}$

Відповідні сторони подібних трикутників пропорційні. Це означає, що якщо$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ тоді

$\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{DF}$.

Тобто перші дві літери$\triangle ABC$ є першими двома літерами$\triangle DEF$ як останні дві літери до$\triangle ABC$ останніх двох літер$\triangle DEF$ як перша і остання літери до першої та останньої літер$\triangle DEF$.$\triangle ABC$

Перш ніж намагатися довести теорему$\PageIndex{2}$, наведемо кілька прикладів того, як вона використовується:

Приклад$\PageIndex{4}$

Знайти$x$:

$2020-11-16 5.06.19png$

Рішення

$\angle A = \angle D$і$\angle B = \angle E$ так$\triangle ABC \sim \triangle DEF$. За теоремою$\PageIndex{2}$,

$\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{DF}$.

Ми будемо ігнорувати$\dfrac{AB}{DE}$ тут, оскільки ми не знаємо і не повинні знайти жодного$AB$ або$DE$.

\[\begin{array} {rcl} {\dfrac{BC}{EF}} & = & {\dfrac{AC}{DF}} \\ {\dfrac{8}{x}} & = & {\dfrac{2}{3}} \\ {24} & = & {2x} \\ {12} & = & {x} \end{array}\]

Перевірка:

$2020-11-16 5.11.36.png$

Відповідь:$x = 12$.

Приклад$\PageIndex{5}$

Знайти$x$:

$2020-11-16 5.13.05.PNG$

Рішення

$\angle A = \angle A, \angle ADE = \angle ABC$, Отже,$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ по$AA = AA$.

$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AE}{AC}$.

Ми ігноруємо$\dfrac{AD}{AB}$.

\[\begin{array} {rcl} {\dfrac{DE}{BC}} & = & {\dfrac{AE}{AC}} \\ {\dfrac{5}{15}} & = & {\dfrac{10}{10 + x}} \\ {5(10 + x)} & = & {15(10)} \\ {50 + 5x} & = & {150} \\ {5x} & = & {150 - 50} \\ {5x} & = & {100} \\ {x} & = & {20} \end{array}\]

Перевірка:

$2020-11-16 5.15.4png$

Відповідь:$x = 20$.

Приклад$\PageIndex{6}$

Знайти$x$:

$2020-11-16 5.19.24.png$

Рішення

$\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EC} = \dfrac{AC}{DC}$

Ми ігноруємо$\dfrac{BC}{EC}$:

\[\begin{array} {rcl} {\dfrac{AB}{DE}} & = & {\dfrac{AC}{DC}} \\ {\dfrac{x + 5}{4}} & = & {\dfrac{x + 3}{3}} \\ {(x + 5)(3)} & = & {(4)(x + 3)} \\ {3x + 15} & = & {4x + 12} \\ {15 - 12} & = & {4x - 3x} \\ {3} & = & {x} \end{array}\]

Перевірка:

$2020-11-16 5.23.52.PNG$

Відповідь:$x = 3$.

Приклад$\PageIndex{7}$

Знайти$x$:

$2020-11-16 пнг$

Рішення

$\angle A = \angle A$,$\angle ACB = \angle ADC = 90^{\circ}$,$\triangle ABC \sim \triangle ACD$.

\[\begin{array} {rcl} {\dfrac{AB}{AC}} & = & {\dfrac{AC}{AD}} \\ {\dfrac{x + 12}{8}} & = & {\dfrac{8}{x}} \\ {(x + 12)(x)} & = & {(8)(8)} \\ {x^2 + 12x} & = & {64} \\ {x^2 + 12x - 64} & = & {0} \\ {(x - 4)(x + 16)} & = & {0} \\ {x = 4\ \ \ \ \ \ \ \ x} & = & {-16} \end{array}\]

Ми відхиляємо відповідь,$x = -16$ тому що$AD = x$ не може бути негативним.

Перевірте,$x = 4$

$2020-11-16 5.33.09.пнг$

Відповідь:$x = 4$.

Приклад$\PageIndex{8}$

Дерево кидає тінь довжиною 12 футів в той же час 6 футів людина кидає тінь довжиною 4 фути. Яка висота дерева?

$2020-11-16 5.35.11.PNG$

Рішення

На$AB$ схемі і$DE$ знаходяться паралельні промені сонця. Тому$\angle A = \angle D$ тому що вони є відповідними кутами паралельних ліній по відношенню до поперечних$AF$. Так як також$\angle C = \angle F = 90^{\circ}$, у нас є$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ по$AA = AA$.

\[\begin{array} {rcl} {\dfrac{AC}{DF}} & = & {\dfrac{BC}{EF}} \\ {\dfrac{4}{12}} & = & {\dfrac{6}{x}} \\ {4x} & = & {72} \\ {x} & = & {18} \end{array}\]

Відповідь:$x = 18$ ноги.

Доказ теореми$\PageIndex{2}$ ("The corresponding sides of similar triangles are proportional"):

Проілюструємо доказ за допомогою трикутників Прикладу$\PageIndex{4}$ (Figure $\PageIndex{3}$). The proof for other similar triangles follows the same pattern. Here we will prove that $x = 12$ so that $\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{x}$.

2020-11-16 5.44.25.PNG — Малюнок$\PageIndex{3}$. The triangles of Example $\PageIndex{4}$.

2020-11-16 5.49.14.PNG — Малюнок$\PageIndex{4}$: Намалюйте лінії, паралельні сторонам$\triangle ABC$ і$\triangle DEF$.

Спочатку намалюйте лінії, паралельні сторонам$\triangle ABC$ і$\triangle DEF$ як показано на малюнку,$\PageIndex{4}$. The corresponding кути цих паралельних ліній рівні і кожен з паралелограмів зі стороною, рівною 1, має свою протилежну сторону, рівну 1, тому всі маленькі трикутники зі стороною, рівною 1, є конгруентний по$AAS = AAS$. Відповідні сторони цих трикутників утворюють сторону$\triangle ABC$ (див$BC = 8$. Рис.$\PageIndex{5}$). Therefore each of these sides must equal 4 and $x = EF = 4 + 4 + 4 = 12$ (Figure $\PageIndex{6}$).

2020-11-16 5.52.25.png — Малюнок$\PageIndex{5}$. The small triangles are congruent hence the corresponding sides lying on $BC$ must each be equal to 4.

2020-11-16 5.57.4png — Малюнок$\PageIndex{6}$. The small triangles of $\triangle DEF$ are congruent to the small triangles of $\triangle ABC$ hence $x = EF = 4 + 4 + 4 = 12$.

(Примітка для інструктора: Це доказ може бути здійснено, коли довжини сторін трикутників є раціональними числами. Однак, оскільки ірраціональні числа можуть бути наближені настільки точно, наскільки це необхідно раціональними, доказ поширюється і на цей випадок.)

Історична записка

Фалес (c. 600 до н.е.) використовував пропорційність сторін подібних трикутників для вимірювання висот пірамід в Єгипті. Його метод був дуже схожий на той, який ми використовували в Example.$\PageIndex{8}$ to measure the height of trees.

2020-11-16 6.06.44 — Малюнок$\PageIndex{7}$. Using similar triangles to measure the height of a pyramid.

На малюнку$\PageIndex{7}$, $DE$ represent the height of the pyramid and $CE$ is the length of its shadow. $BC$ represents a vertical stick and $AC$ is the length of its shadow. We have $\triangle ABC \sim \triangle CDE$. Thales was able to measure directly the lengths $AC, BC$, and $CE$. Substituting these values in the proportion $\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{AC}{CE}$, he was able to find the height $DE$.