4.2: Подібні трикутники

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 4.1: Пропорції
- 4.3: Поперечні до трьох паралельних ліній

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Кажуть, що два трикутника схожі, якщо вони мають рівні набори кутів. На малюнку $\PageIndex{1}$ , $\triangle ABC$ схожий $\triangle DEF.$ на Кути, які рівні називаються відповідними кутами. На малюнку $\angle A$ $\angle B$ відповідає $\PageIndex{1}$ $\angle D$ $\angle E$ , відповідає і $\angle C$ відповідає $\angle F$ . Сторони, що з'єднують відповідні вершини, називаються відповідними сторонами. На малюнку $AB$ $BC$ відповідає $\PageIndex{1}$ $DE$ $EF$ , відповідає і $AC$ відповідає $DF$ . Символ подібного є $\sim$ . Оператор подібності завжди $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ буде записаний так, щоб відповідні вершини з'являлися в одному порядку.

Для трикутників на малюнку $\PageIndex{1}$ ми також могли б написати $\triangle BAC \sim \triangle BDF$ або, $\triangle ACB \sim \triangle DFE$ але ніколи $\triangle ABC \sim \triangle EDF$ ні $\triangle ACB \sim \triangle DEF$ .

Малюнок $\PageIndex{1}$ : $\triangle ABC$ схожий на $\triangle DEF$ .

Ми можемо сказати, які сторони відповідають за твердженням подібності. Наприклад, якщо $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ , то сторона $AB$ відповідає стороні, $DE$ тому що обидві є першими двома літерами. $BC$ відповідає $EF$ тому, що обидві є останніми двома літерами, $AC$ відповідає $DF$ тому, що обидві складаються з першої та останньої літер.

Приклад $\PageIndex{1}$

Визначте, чи схожі трикутники, і якщо так, напишіть заяву подібності:

Рішення

$\angle C = 180^{\circ} - (65^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \nonumber$

$\angle D = 180^{\circ} - (65^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \nonumber$

Тому обидва трикутника мають однакові кути і $\triangle ABC \sim \triangle EFD$ .

Відповідь: $\triangle ABC \sim \triangle EFD$ .

Приклад А говорить про те, що для доведення подібності необхідно лише знати, що два відповідних кути рівні:

Теорема $\PageIndex{1}$

Два трикутника схожі, якщо два кути одного дорівнюють двом кутам іншого $(AA = AA)$ .

На малюнку $\PageIndex{2}$ , $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ because $\angle A = \angle D$ and $\angle B = \angle E$ .

Малюнок $\PageIndex{2}$ . $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ тому що $AA = AA$ .

Доказ: $\triangle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - (\angle D + \angle E) = \angle F$ .

Приклад $\PageIndex{2}$

Визначте, які трикутники схожі і напишіть заяву подібності:

$clipboard_e56c0407f3330ab064a03d450dc368b43.png$

Рішення

$\angle A = \angle CDE$ тому що вони є відповідними кутами паралельних ліній. $\angle C = \angle C$ через ідентичність. Тому $\triangle ABC \sim \triangle DEC$ по $AA = AA$ .

Відповідь: $\triangle ABC \sim \triangle DEC$ .

Приклад $\PageIndex{3}$

Визначте, які трикутники схожі і напишіть заяву подібності:

$clipboard_e68568907ceb1ad6e2914799d4117e394.png$

Рішення

$\angle A=\angle A$ ідентичність. $\angle ACB = \angle ADC=90^{\circ}$ . Тому

$clipboard_e8c9e0eb64503ba7052b530e8ffa4910e.png$

Крім того $\angle B = \angle B$ , ідентичність, $\angle BDC = \angle BCA = 90^{\circ}$ . Тому

$clipboard_ee02534487cbd4eb37de243e422e8ea11.png$

Відповідь: $\triangle ABC \sim \triangle ACD \sim \triangle CBD$ .

Подібні TriAngies важливі через наступну теорему:

Теорема $\PageIndex{2}$

Відповідні сторони подібних трикутників пропорційні. Це означає, що якщо $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ тоді

$\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{DF}$ .

Тобто перші дві літери $\triangle ABC$ є першими двома літерами $\triangle DEF$ як останні дві літери до $\triangle ABC$ останніх двох літер $\triangle DEF$ як перша і остання літери до першої та останньої літер $\triangle DEF$ . $\triangle ABC$

Перш ніж намагатися довести теорему $\PageIndex{2}$ , наведемо кілька прикладів того, як вона використовується:

Приклад $\PageIndex{4}$

Знайти $x$ :

$2020-11-16 5.06.19png$

Рішення

$\angle A = \angle D$ і $\angle B = \angle E$ так $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ . За теоремою $\PageIndex{2}$ ,

$\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{DF}$ .

Ми будемо ігнорувати $\dfrac{AB}{DE}$ тут, оскільки ми не знаємо і не повинні знайти жодного $AB$ або $DE$ .

$\begin{array} {rcl} {\dfrac{BC}{EF}} & = & {\dfrac{AC}{DF}} \\ {\dfrac{8}{x}} & = & {\dfrac{2}{3}} \\ {24} & = & {2x} \\ {12} & = & {x} \end{array}$

Перевірка:

$2020-11-16 5.11.36.png$

Відповідь: $x = 12$ .

Приклад $\PageIndex{5}$

Знайти $x$ :

$2020-11-16 5.13.05.PNG$

Рішення

$\angle A = \angle A, \angle ADE = \angle ABC$ , Отже, $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ по $AA = AA$ .

$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AE}{AC}$ .

Ми ігноруємо $\dfrac{AD}{AB}$ .

$\begin{array} {rcl} {\dfrac{DE}{BC}} & = & {\dfrac{AE}{AC}} \\ {\dfrac{5}{15}} & = & {\dfrac{10}{10 + x}} \\ {5(10 + x)} & = & {15(10)} \\ {50 + 5x} & = & {150} \\ {5x} & = & {150 - 50} \\ {5x} & = & {100} \\ {x} & = & {20} \end{array}$

Перевірка:

$2020-11-16 5.15.4png$

Відповідь: $x = 20$ .

Приклад $\PageIndex{6}$

Знайти $x$ :

$2020-11-16 5.19.24.png$

Рішення

$\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EC} = \dfrac{AC}{DC}$

Ми ігноруємо $\dfrac{BC}{EC}$ :

$\begin{array} {rcl} {\dfrac{AB}{DE}} & = & {\dfrac{AC}{DC}} \\ {\dfrac{x + 5}{4}} & = & {\dfrac{x + 3}{3}} \\ {(x + 5)(3)} & = & {(4)(x + 3)} \\ {3x + 15} & = & {4x + 12} \\ {15 - 12} & = & {4x - 3x} \\ {3} & = & {x} \end{array}$

Перевірка:

$2020-11-16 5.23.52.PNG$

Відповідь: $x = 3$ .

Приклад $\PageIndex{7}$

Знайти $x$ :

$2020-11-16 пнг$

Рішення

$\angle A = \angle A$ , $\angle ACB = \angle ADC = 90^{\circ}$ , $\triangle ABC \sim \triangle ACD$ .

$\begin{array} {rcl} {\dfrac{AB}{AC}} & = & {\dfrac{AC}{AD}} \\ {\dfrac{x + 12}{8}} & = & {\dfrac{8}{x}} \\ {(x + 12)(x)} & = & {(8)(8)} \\ {x^2 + 12x} & = & {64} \\ {x^2 + 12x - 64} & = & {0} \\ {(x - 4)(x + 16)} & = & {0} \\ {x = 4\ \ \ \ \ \ \ \ x} & = & {-16} \end{array}$

Ми відхиляємо відповідь, $x = -16$ тому що $AD = x$ не може бути негативним.

Перевірте, $x = 4$

$2020-11-16 5.33.09.пнг$

Відповідь: $x = 4$ .

Приклад $\PageIndex{8}$

Дерево кидає тінь довжиною 12 футів в той же час 6 футів людина кидає тінь довжиною 4 фути. Яка висота дерева?

$2020-11-16 5.35.11.PNG$

Рішення

На $AB$ схемі і $DE$ знаходяться паралельні промені сонця. Тому $\angle A = \angle D$ тому що вони є відповідними кутами паралельних ліній по відношенню до поперечних $AF$ . Так як також $\angle C = \angle F = 90^{\circ}$ , у нас є $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ по $AA = AA$ .

$\begin{array} {rcl} {\dfrac{AC}{DF}} & = & {\dfrac{BC}{EF}} \\ {\dfrac{4}{12}} & = & {\dfrac{6}{x}} \\ {4x} & = & {72} \\ {x} & = & {18} \end{array}$

Відповідь: $x = 18$ ноги.

Доказ теореми $\PageIndex{2}$ ("The corresponding sides of similar triangles are proportional"):

Проілюструємо доказ за допомогою трикутників Прикладу $\PageIndex{4}$ (Figure $\PageIndex{3}$ ). The proof for other similar triangles follows the same pattern. Here we will prove that $x = 12$ so that $\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{x}$ .

2020-11-16 5.44.25.PNG — Малюнок $\PageIndex{3}$ . The triangles of Example $\PageIndex{4}$ .

2020-11-16 5.49.14.PNG — Малюнок $\PageIndex{4}$ : Намалюйте лінії, паралельні сторонам $\triangle ABC$ і $\triangle DEF$ .

Спочатку намалюйте лінії, паралельні сторонам $\triangle ABC$ і $\triangle DEF$ як показано на малюнку, $\PageIndex{4}$ . The corresponding кути цих паралельних ліній рівні і кожен з паралелограмів зі стороною, рівною 1, має свою протилежну сторону, рівну 1, тому всі маленькі трикутники зі стороною, рівною 1, є конгруентний по $AAS = AAS$ . Відповідні сторони цих трикутників утворюють сторону $\triangle ABC$ (див $BC = 8$ . Рис. $\PageIndex{5}$ ). Therefore each of these sides must equal 4 and $x = EF = 4 + 4 + 4 = 12$ (Figure $\PageIndex{6}$ ).

2020-11-16 5.52.25.png — Малюнок $\PageIndex{5}$ . The small triangles are congruent hence the corresponding sides lying on $BC$ must each be equal to 4.

2020-11-16 5.57.4png — Малюнок $\PageIndex{6}$ . The small triangles of $\triangle DEF$ are congruent to the small triangles of $\triangle ABC$ hence $x = EF = 4 + 4 + 4 = 12$ .

(Примітка для інструктора: Це доказ може бути здійснено, коли довжини сторін трикутників є раціональними числами. Однак, оскільки ірраціональні числа можуть бути наближені настільки точно, наскільки це необхідно раціональними, доказ поширюється і на цей випадок.)

Історична записка

Фалес (c. 600 до н.е.) використовував пропорційність сторін подібних трикутників для вимірювання висот пірамід в Єгипті. Його метод був дуже схожий на той, який ми використовували в Example. $\PageIndex{8}$ to measure the height of trees.

2020-11-16 6.06.44 — Малюнок $\PageIndex{7}$ . Using similar triangles to measure the height of a pyramid.

На малюнку $\PageIndex{7}$ , $DE$ represent the height of the pyramid and $CE$ is the length of its shadow. $BC$ represents a vertical stick and $AC$ is the length of its shadow. We have $\triangle ABC \sim \triangle CDE$ . Thales was able to measure directly the lengths $AC, BC$ , and $CE$ . Substituting these values in the proportion $\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{AC}{CE}$ , he was able to find the height $DE$ .